2025中考数学压轴题专项训练：二次函数中线段周长最值及定值问题 （八大题型）学生版

专题09二次函数中线段周长最值及定值问题（八大题型）

压轴题密押

通用的解题思路:

一、二次函数中的线段最值问题有三种形式：

1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质

求解，求最值时应注意：

①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；

②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时，函数自变量的取值范围应确

定正确。

2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是:作

其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为吁求的点，共变

形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.

【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M,使PA+PB的值最小.

A

•-------------------------------------•L

B

方法：如右图，连接AB,与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点夕，连接AB］与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线

段AB'的长。

3.两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这

类问题的方法是；求解时，先根据原理确定线段差取最值时的图形，再根据已知条件求解。

【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值

方法：如右图，延长射线AB,与直线L交于点P,|PA-PB|最大值为AB

【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点夕，延长射线ABQ与直线L交于点P,|PA-PB|最大值为AB，

二、二次函数中的定值问题

一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用：

I.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量（如线段长，点坐标）作为参数，将要求的定值用参数表示出，

然后消去参数即得定值。

2.韦达定理法:当涉及到直线（一次函数图象或x轴）与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元

二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或

积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。

压轴题预测

题型01利用二次函数解决单线段的最值问题

1.（2024・河南•一模）如图，抛物线），="2+灰+4与x轴交于点A（-2,0）和点仇4,0）,与），轴交于点C.

⑴求抛物线的函数解析式;

⑵点P为抛物线位于第一象限上一个动点，过点尸作尸。_Lx轴于点。，交直线8C于点Q,求线段PQ的最

大值；

⑶点例（-2,8）,NG,8）,将抛物线向上平移机个单位，若平移后的抛物线与线段MN只有一个公共点，

直接写出〃?的取值范围.

2.（2024•甘肃平凉•一模）如图，抛物线），=O?+ZUTC经过点2,0）,点8（4,0）,交V轴于点C（0,4）.连

接AC,8c。为08上的动点，过点。作瓦）_Lx轴，交抛物线于点E,交BC于点G.

⑴求这条抛物线的函数表达式：

⑵过点E作防工AC,垂足为广，设点。的坐标为（见0）,请用含，”的代数式表示线段EG的长，并求出

当用为何值时EG有最大值，最大值是多少？

⑶点。在运动过程中，是否存在一点G,使得以O,DG为顶点的三角形与SOC相似.若存在，请求出此

时点G的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2024•湖北襄阳•一模)抛物线j=*+2x+3的图象与x轴交于A8两点(4在B的左边)交y轴于点C,

点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为人

(1)直接写出4,B,。三点的坐标；

⑵如图1,若点P在第一象限内抛物线上运动，当NB48=NACO时，求点尸的坐标；

(3)如图2,点N是经过点A的宜线)，=m(x-3)上一点，直线尸N〃y轴，交直线BC于点M,过点尸作直线

PQ〃x轴，交直线于点Q.

①当0<〃?<3时，求线段MN长度的最大值；

②记线段MQ的长度为/,当心2a时，求〃?的取值范围.

5.（2024•山西晋城•二模）综合与探究

如图，二次函数产於+辰+2的图象与x轴交于A（—1,0）,8（4,0）两点，与），轴交于点C,连接AC,BC.P

是抛物线上第一象限内的一个动点，过点P作叨JLx轴于点D,交BC于点E,过点P作直线厅'〃八。，交

y轴于点尸，交BC于点、G,连接过点C作C〃_LPD于点机

⑴求二次函数的表达式，并直接写出直线8C的函数表达式.

（2）求线段GE的最大值.

⑶在点〃运动的过程中，是否存在点"，使△/X?”£z^C〃K?若存在,请直接写出点”的坐标；若不存在,

请说明理由.

且过点小「鬲+尚

6.（2024•天津南开•一模）抛物线y=-2/+法+c与y轴交于点A0,其中

/«>—,连接AB.

2

⑴当,〃=6时，求抛物线解析式和其顶点的坐标;

（2）当〃=4G时，若点M为抛物线），=-2/+瓜+c上位于直线AB上方的一点，过点M作直线AB的垂线,

垂足为N.求MN的最大值和此时点用的坐标;

(3)已知点D0»—y/3m+，点。〃，不-，〃:>0,若点。在线段/W上，且BP=〃，连接OP,BQ,当DP+BQ

的最小值为45时，直接写出此时人的值和点P的坐标.

7.(2024•四川南充•一模)如图，已知抛物线y=Y+云+c与上轴交于4(-1,0),4两点，与)，轴交于点C(0,-3).

图⑴图⑵

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图1,点尸是抛物线上位于笫四象限内一动点，PD工BC于点D,求。。的最大值及此时点尸的坐标;

(3)如图2,点E是抛物线的顶点，点M是线段8七上的动点(点M不与4重合)，过点M作MNJ_x轴于N,

是否存在点M，使..CMN为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

8.(2024•新疆巴音郭楞•一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=-丁+法+。经过1,0),C(0,3)两

点，并与x轴交于另一点反

⑴求该抛物线所对应的函数关系式;

(2)求点B坐标：

⑶设P(x.y)是抛物线卜.的一个动点,过点夕作音线/_Lx轴干点M.交直线8。千点M

①若点。在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值;

若不存在，请说明理由；

②当点。运动到某一位置时，能构成以8c为底边的等腰三角形,求此时点。的坐标及等腰△6PC的面积.

9.（2024•山东淄博•模拟预测）如图，已知二次函数1y=/+阮+。经过斗，B两点,BC_Lx轴于点C,且点

A（-l,0）,C（4,0）,AC=BC.

⑴求抛物线的解析式；

⑵点E是线段AA上一动点（不与A,B重合）,过点E作x轴的垂线，交抛物线于点凡当线段所的长度

最大时，求点E的坐标及

⑶点2是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的夕点，使.A砂成为直角三角形？若存在，求出所

有点。的坐标；若不存在，请说明理由.

10.（2024・湖北恩施•一模）如图1,抛物线y="+A+c的顶点坐标为A（l,2）,与X轴交于点伙-1,0）,C

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵连接A8、AC,判断“8C的形状并说明理由.

⑶连接C。，若点P在第一象限，过点P作PE_L8于E,求线段正长度的最大值；

⑷已知NACE+NPC8=a,是否存在点P,使得tana=2?若存在，求出点尸的横坐标；若不存在，请说

明理由.

11.（2024•江苏淮安•模拟预测）如图1,二次函数），=-72+/^+。与x轴交于A、A两点，与），轴交于点c.点

8坐标为（6,0）,点C坐标为（0,3）,点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点尸作叨_Lx轴，垂足为。，

PO交直线8C于点E,设点尸的横坐标为〃1.

⑴求该二次函数的表达式；

⑵如图2,过点P作厅'_L8C,垂足为尸，当胴为何值时，尸尸最大？最大值是多少？

⑶如图3,连接“，当四边形。CZ7）是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点。，使原点。关于史线CQ的

对称点。恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点。的坐标.

12.（2024•安徽黄山•一模）已知抛物线），=aP+bx+c（4工0）与x轴交于&T,0）,B（4,0）两点，经过点

。（一2,-3）,与），轴交于点C.

⑴求抛物线的函数解析式；

⑵若点M是x轴上位于点A与点8之间的一个动点（含点A与点4）,过点M作x轴的垂线分别交抛物线

和直线4c于点区点厂.求线段£尸的最大值.

13.（2024•天津•一模）抛物线），=-/+Zu+c（〃，c•为常数，c>0）顶点为P,与彳轴交于点A,B（点A

在点8左侧），与y轴交于点C,直线/过点。且平行于1轴，M为第一象限内直线/上一动点，N为线段8C

上一动点.

⑴若〃=2,c=3.

①求点尸和点A,B的坐标；

②当点例为直线/与抛物线的交点时，求MN的最小值；

（2）若4（c,0）,BN=CM,且ON+8M的最小值等于46时，求b,c的值.

14.（2024•安徽•二模）如图1,抛物线y=ar2+bx+c（awo）的顶点。的坐标为（1,4）,与x轴交于A,B两

点（点4在点A的右侧），与），轴交于点。（0,3）.

⑴求抛物线的表达式及点A，点B的坐标；

⑵如图2,连接AO交y轴于点£过点E作叱工A。交x轴于点儿连接。〃交抛物线于点G,试求点G

的坐标；

⑶如图3,连接4C,BC,点。是抛物线在第一象限内的点，过点。作PQ〃4C,交8c于点Q,当〃。的

长最大时，求点P的坐标.

15.（2024•广东惠州•一模）综合与探究:

如图，在平面直角坐标系中，直线丁=依+4与x轴交于点4-4,0）,与），轴交于点C,抛物线），=-/+队+c

经过A,C两点且与x轴的正半轴交于点8.

⑴求女的值及抛物线的解析式.

⑵如图①，若点。为直线AC上方抛物线上一动点，当NAC7）=2N84C时，求。点的坐标；

⑶如图②，若r是线段QA的上一个动点，过点”作直线律垂直于“轴交直线AC和抛物线分别于点G、

E,连接CE.设点b的横坐标为，〃.

①当"为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少；

②是否存在以C，G,E为顶点的三角形与-ARG相似，若存在，直接写出〃，的值；若不存在，请说明理

由.

16.（2023・重庆•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=—『+bx+c与x轴交于点A,B,

4

与了轴交于点C,其中8（3,0）,C（0,-3）.

⑴求该抛物线的表达式；

⑵点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD_LAC于点D，求刊）的最大值及此时点尸的坐标；

⑶在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点尸的对应点，平移后的抛物线与＞轴交于点尸，

。为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以。尸为腰的△。所是等腰三角形的点。的坐标,

并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来.

17.（2023・四川凉山•中考真题）如图，已知抛物线与％轴交于A。,。）和3（-5,0）两点，与丁轴交于点C.直

线y=-3\+3过抛物线的顶点p.

⑴求抛物线的函数解析式：

⑵若直线x=〃2（-5<m<0）与抛物线交于点E,与直线4c交于点尸.

①当仃取得最大值时，求〃?的值和E尸的最大值；

②当二瓦C是等腰三角形时，求点£的坐标.

18.（2023•青海西宁•中考真题）如图,在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点A（6,0）,与y轴交于点8（0,-6）,

抛物线经过点A,B,且对称轴是直线x=l.

⑴求直线/的解析式；

⑵求抛物线的解析式；

⑶点P是直线/下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C,交直线/于点D,过点P作PMJJ,

垂足为M.求PM的最大值及此时P点的坐标.

题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题

19.(2024•山东枣庄•一模)已知抛物线＞，=♦+必_4与x轴交于A(-4,0),8(1,0)两点，与)，轴交于点C.

图1图2

⑴求抛物线的表达式；

(2)如图1,点。是线段OC上的•动点，连接AO,BD，将△A8O沿直线A。翻折，得到VA9。，当点3'

恰好落在抛物线的对称轴上时，求点。的坐标；

(3)如图2,动点P在直线AC下方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC,线段8c于点E,

F,过点尸作FGJLx轴，垂足为G,求产G+&五P的最大值.

20.（2024・广东广州•一模）如图所示，抛物线"=->?+加+c与直线AB交于4-4,-4）,6（0,4）两点，点C为

线段AB上一动点，过点C作％轴的垂线交抛物线于点D..

⑴求该抛物线的解析式；

⑵当点C运动到何处时，线段CO的长度有最大值；

⑶点E为直线CO上一动点，在（2）的条件下，当+有最小值时，点七的坐标为（直接写

出答案）.

2L（2024•山东淄博•一模）如图，已知直线/：），=依+4与抛物线产四2+厩+2交于点A8（l，3），且点A在x

轴上，P是〉轴上一点，连接尸

（1）求AM力的值;

⑵当尸A+P8取得最小值时，求点/＞的坐标；

⑶若直线、=相交直线/于点C（点C在线段人8上，不与端点重合），交抛物线于点。，连接。C.设

W=OC2+CD,求卬关于小的函数表达式，并求出卬的最小值.

22.（2024・广东江门•一模）如图，已知抛物线y=o?+加一3（*0）,与1轴交于43,。）、8（9,0）两点,且与

⑴求抛物线的解析式；

⑵在抛物线的对称轴/上是否存在一点P,使AP+”的值最小?若存在，求出AP+CP的最小值;若不存在,

请说明理由；

⑶在以A8为直径的圆中，直线CN与相切丁•点N,宜线。”交x轴丁点求直线CN的解析式.

23.(2024•重庆•一模)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线产-$2+尿+0交工轴于46,0),3(-2,0),

⑴求抛物线的表达式；

⑵如图2,连接AC,点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作正轴交AC于点E,过点P

作P/"AC交文轴于点F,求PE+巫Pr的最大值及此时点P坐标；

13

⑶将抛物线沿,轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与)，轴交于点。，过点〃作。“〃人•轴交新抛物线于

点M,射线M。交新抛物线于点M如果MO=4OM请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N

的坐标的其中一种情况的过程.

24.(2024・湖南怀化•一模)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线〉，=-/+法+。与x轴交于48两点(点

A在点B的左侧)，与y轴交于点C,OB=OC=5,顶点为。，对称轴交x轴于点£

图1图2图3

⑴求抛物线的解析式、对称轴及顶点。的坐标；

⑵如图2,点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时0A+QC最小，求出。点的坐标，并求出此

时△QAC的周长；

(3)如图3,在对称轴左侧的抛物线上有一点M,在对称轴右侧的抛物线上有一点M满足NM/W=9()。.求

证：直线恒过定点，并求出定点坐标.

25.(2023♦宁夏•中考真题)如图，抛物线>=五+区+3(〃/0)与4轴交于A,B两点,与丁轴交于点C.已

⑴直接写出点8的坐标；

⑵在对称轴上找•点产，使PA+PC的值最小.求点P的坐标和尸A+PC的最小值；

⑶第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN_Lx轴，垂足为N,连接8C交MN于点Q.依题意

补全图形，当"Q+gCQ的值最大时，求点M的坐标.

26.(2024•海南海口•一模)如图，抛物线+法+。过点A(T0),*3,0),。(0,3).

⑴求抛物线的解析式；

(2)设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点，

①当P为抛物线的顶点时，求证：APBC直角三角形；

②求出PBC的最大面积及此时点P的坐标；

③过点尸作「N_Lx轴，垂足为N,PN与BC交于点E.当PE+&CE的值最大时，求点P的坐标.

27.（2024•天津津南•一模）综合与探究：如图,抛物线），=-/+历+f上的点A,2坐标分别为（0,2）,（4,0）,

抛物线与x轴负半轴交于点B,JSOM=2,连接AC,CM.

⑴求点M的坐标及抛物线的解析式；

⑵点户是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP,CP,当SgAc=Szcw时，求点。的坐标；

⑶将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点4,点C的对应点为点C'，当MA'+MC

的值最小时，新抛物线的顶点坐标为-M4'+MC的最小值为一.

28.（2024•安徽马鞍山•一模）在平面直角坐标系中，抛物线）=；（人+3）（人-“）与x轴交于两点，点

8（4,0）.点C在），轴正半轴上，且OC=OB,。,后分别是线段AC,A8上的动点（点。不与点4c重合，

点E不与点A8重合）.

⑴求此抛物线的表达式；

（2）连接5。.

①将△58沿x轴翻折得到,BAG’点CD的对应点分别是点F和点G,当点G在抛物线上时，求点G的

坐标；

②连接CE,当CD=AE时，求8O+CE的最小值.

29.（2024•山东临沂•模拟预测）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=aF-2ov+3与x轴交于点A,以

点A在点8的左侧），交y轴于点C,点A的坐标为点。为抛物线的顶点，对称轴与X轴交于点£.

图1图2

⑴填空：，点8的坐标是:

⑵连接以九点M是线段8。上一动点（点M不与端点8,。重合），过点”作/团7,8力，交抛物线于点M

点N在对称轴的右侧），过点N作N”_Lx轴，垂足为H,交BD千点、F，点P是线段0C上一动点，当-MNF

的周长取得最大值时，求/P+JPC的最小值；

⑶在（2）中，当一MN/的周长取得最大值时，F?+JPC取得最小值时，如图2,把点尸向下平移侦个单

位得到点Q,连接AQ,把“OQ绕点。顺时针旋转一定的角度以0。＜。＜360。），得到“AO。，其中边

交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得GQ，=OG?若存在，请直接写出所有满足条件的

点。’的坐标：若不存在，请说明理由.

30.（2024•天津滨海新•一模）已知抛物线.v=-x2+2mx+c（"Jc为常数,且加＞0）,与大轴交于点4T,0），

B两点,与y轴相交于点c.

⑴当〃?=i时，求抛物线的顶点坐标;

⑵点M为抛物线对称轴上一点，点M的纵坐标为若=求抛物线的解析式：

⑶当〃/＞1时，抛物线的对称轴与X轴交于点。，过点〃?）作直线，垂直于y轴，垂足为E,。为

直线/上一动点，N为线段。上一动点，当。。+QN的最小值为中时，求〃，的值.

31.（2024•山东临沂•一模）如图:，在平面直角坐标系中，抛物线丁=。小—23+3与x轴交于点A,B（点

4在点4的左侧），交y轴于点C,点A的坐标为（-1,0）,点。为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点£

图1图2

⑴填空：。=，点B的坐标是；

（2）连接AQ,点M是线段上一动点（点M不与端点B,D重合），过点M作MN上BD，交抛物线于点N

（点N在对称轴的右侧）,过点N作M/轴，垂足为H,交BD于点F,点P是线段。。上一动点，当..MNF

的周长取得最大值时，求。+gpc的最小值；

⑶在（2）中，当JWVF的周长取得最大值时，Q+gR?取得最小值时，如图2,把点〃向下平移竽个

单位得到点。连接AQ,把△AOQ绕点。顺时针旋转一定的角度00。＜。＜360。），得到“TO0,其中

边交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得G0JOG?若存在，请直接写出所有满足

条件的点Q'的坐标；若不存在，请说明理由.

32.（2024•湖北•一模）如图1,抛物线y=；/+班+c与工轴交于A,C两点，与），轴交于点8（0,-3）,

经过点C的直线丁=心-必与抛物线y=+6x+c的另一个交点为例

⑴直接写出。，C的值;

(2)若NMC4=/48O,求女的值；

⑶若。为3c上的点，”为4c上的点，8O=b,过点3作x轴的平行线交抛物线于点E,连接OE,BF,

如图2,当DE+BF取得最小值时,求点尸的坐标.

33.(2023•黑龙江绥化•中考真题)如图，抛物线到=底+6+。的图象经过4-6,0),B(-2,0),C(0,6)三

点,且一次函数)，=兴+6的图象经过点8.

⑴求抛物线和一次函数的解析式.

(2)点七，户为平面内两点，若以E、尸、8、。为顶点的四边形是正方形，且点石在点尸的左侧.这样的E,

产两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.

⑶将抛物线弘=ad+云的图象向右平移8个单位长度得到抛物线力，此抛物线的图象与x轴交于“，N

两点(/点在N点左侧).点尸是抛物线乃上的,个动点且在直线NC下方.已知点P的横坐标为机.过点

P作PD工NC于点、D.求加为何值时，CD+gp。有最大值，最大值是多少？

题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题

34.(2024•安徽合肥•一模)已知抛物线L:y=a/_4x+c(a>0)与直线y=^-c•都经过点4-1加),直线

>=如-。与抛物线L的对称轴交于点B.

⑴求m的值;

(2)求证:a-¥c>4；

⑶当4=1时，将抛物线L向左平移〃(〃>0)个单位得到抛物线P,抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M,

且点M在点4的下方.过点4作入轴的平行线交抛物线。于点N,且点N在点A的右侧，求AM-4V的最

大值，并求出此时〃的值.

35.(2024•宁夏银川•一模)如图，已经抛物线经过点O(OQ),A(5,5),且它的对称轴为x=2.

⑴求此抛物线的解析式；

⑵若点3是抛物线对称轴上的一点，且点3在第一象限，当二OAB的面积为15时；求点8的坐标.

⑶在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，求尸的坐标以及孙-尸8的最大值.

题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题

36.（2021・湖北恩施•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形A8C。为正方形，点A,8在/轴上,

（2）尸为抛物线对称轴上一点，。为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四

边形是以跖为边的菱形.若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）。为了轴上一点，过点尸作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连接ME,BP.探究EM+MQ+PB是

否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.

37.（2024•天津河北•一模）已知抛物线y=[r2+bx+c,与x轴相交于A,B两点（点A在点8的左侧），与），

轴相交于点C,若C点坐标为(0,2),对称轴为X=-；.

⑴求抛物线顶点尸和点A的坐标：

(2)点D为y轴上一点，连接AO,BD,若将△A3。沿AO所在直线翻折，点B的对应点8'恰好落在抛物线

的对称轴上，求。点坐标；

⑶抛物线上点M在直线上方，过M作AC的垂线交线段8C于点M过N点向)，轴作垂线，垂足为Q,

求CB-MN+2丘QN的最小值.

38.(2022•山东烟台•统考二模)如图，平面直角坐标系中，正方形A8CD的顶点48在x轴匕抛物线y=

一/+b%+c经过A,C(4,-5)两点，且与直线DC交于另一点E.

⑴求抛物线的解析式：

(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q,连接EQ,4P.试求EQ+PQ+AP的最小值：

(3)4为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M,使得以点M,N,E,八为顶点的四边形是菱形？若

存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题

39.(2024•江西•一模)已知关于人的一次函数了=加+法+C的图象的对称轴是直线X=l,其最大值是4,

经过点4（-LT）,交）'轴于点8,请仅用无刻度直尺按下列要求作图.

⑴在图1中作二次函数图象上的点P（2,2）：

⑵在图2中二次函数图象的对称轴上找•点。，使-A8Q的周长最短.

40.（2024•山东济宁•一模）如图，顶点坐标为（1,4）的抛物线、=&+/求+c与“轴交于A两点（点A在

点B的左边），与丁轴交于点。（0,3），。是直线8c上方抛物线上的一个动点，连接入。交抛物线的对称轴于

点E.

⑴求抛物线的解析式；

⑵连接4C,当A4CE的周长最小时，求点。的坐标；

⑶过点。作轴于点，，交直线BC于点/，连接AF.在点。运动过程中，是否存在使△Ab为等

腰三角形？若存在，求点尸的坐标：若不存在，请说明理由.

41.（2023・湖南张家界•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数丁=然2+/状+。的图象与x轴

交于点4-2,0）和点3（6,0）两点，与），轴交于点C（0,6）.点。为线段8c上的一动点.

⑴求二次函数的表达式;

（2）如图1,求△AOD周长的最小值;

（3）如图2,过动点。作交抛物线第一象限部分于点P,连接幺,。4,记▲孙/）与力的面积和

为S,当5取得最大值时，求点尸的坐标，并求出此时S的最大值.

42.（2023•山东济宁・模拟预测）如图1,在平面直角坐标系中.勉物线产底+灰+2与x轴交于A（-4,0）和

3（1,0）,与y轴交于点C,连接力C,BC.

⑴求该抛物线的解析式；

⑵如图2,点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点“作y轴的平行线，交AC于点N,过点M作

x轴的平行线，交直线AC于点Q,求△MAQ周长的最大值：

⑶点P为抛物线上的一动点，是否存在点P使ZACP+NBAC=45。?若存在，请求出点P的坐标;若不存在，

请说明理由.

43.（2024•山东滨州•一模）在平面直角坐标系中，直线y=->-2与x轴交于点A,与），轴交于点8,抛

物线.b'=加+6+4。＞0）经过A,B两点,并与x轴的正半轴交于点C.

⑴求。，力满足的关系式及。的值；

（2）当。=!时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求人4夕周长的最小值

4

⑶当a=l时，若点。（团,〃）是直线A4下方抛物线上的一个动点，当切取何值时，AABQ的面积最大？并求

出.A8Q面积的最大值.

44.（2024•广东东莞•一•模）如题，在平面直角坐标系xO），中，抛物线广加+陵+2与工轴交于点A（-LO）,

⑴求抛物线的解析式.

⑵点D为抛物线的对称轴上一动点，当.A8周长最小时•，求点。的坐标.

⑶点E是0C的中点，射线AE交抛物线于点尸，夕是抛物线上一动点，过点。作轴的平行线，交射线存

与点G,是否存在点。使得△/）卬与AAOE相似？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

45.（2024•山西晋中•一模）综合与探究

如图1,抛物线），=依2+/a-石与/轴交于4_3,0）,3（1,0）两点，与），轴交于点C,顶点为点。.连接

AC,BC,将丛水;沿x轴向右平移〃2（〃>0）个单位长度，得到&A'HC.

⑴求抛物线的函数表达式与顶点O的坐标.

（2）如图2,连接AC,AD,CD,当△AC。周长最短时，求加的值.

⑶如图3,设边BC与边AC交于点E,连接8E，是否存在机，使得BE与qA,BE的一边相等?若存在,

直接写出〃?的值；若不存在，请说明理由.

46.（2024•吉林长春•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=d+2x+c（a・c是常数）经过4（0,3）、

3（3,0）两点.点/＞为抛物线上一点，且点P的横坐标为

⑴求该抛物线对应的函数表达式；

⑵点。为抛物线对称轴上一点，连结ACOC,求J1OC周长的最小值;

⑶已知点Q（4-〃?，m-1）,连结以PQ为对角线作矩形PMQN,且矩形各边直于坐标轴.

①抛物线在矩形内的部分图象）'随工增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求〃?的值；

②连结8Q,设〃。的中点为。，当以P、。、。为顶点的二角形为锐知二角形时，直接写出机的取值范围.

47.（2024•内蒙古乌海•模拟预测）如图（1）,在平面直角坐标系中，抛物线），=6+云-4（叱0）与x轴交

于A,B两点（点A在点B的左侧）,与丁轴交于点C,点A的坐标为且点D和点C关

于抛物线的对称轴对称.

⑴分别求出",b的值和直线AD的解析式;

⑵直线AD下方的抛物线.上有一点P,过点P作PH±AO于点H,作PM平行于丁轴交直线AD于点、M,

交x轴于点E,求的周长的最大值；

⑶在（2）的条件下，如图2,在直线的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N,过点N作可。，工轴

交x轴于点G,使得以点E、N、G为顶点的三角形与丛OC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标；

如果不存在，请说明理由.

48.（2023•重庆•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线），="2+阮+2过点（1,3）,且交x轴于点4（-1,0）,

8两点，交），轴于点C.

⑴求抛物线的表达式；

⑵点尸是直线3c上方抛物线上的一动点，过点P作PZ）_L3c于点。，过点P作y轴的平行线交直线3c于

点E,求△/）/比周长的最大值及此时点P的坐标；

⑶在（2）中△尸■周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线C/3方向平移逐个单位长度，点M为平

移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点M使得以点4,P,M,N为顶点的四边形是菱形，写

出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.

题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题

49.（2024•四川凉山•模拟预测）如图，抛物线），=-f+bx+c的图象与x轴交于4（-3,0）、8两点，与＞轴

交于点C（0.3）.

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

⑵若点石在抛物线上，且=S△板，求点:E的坐标;

⑶点P是抛物线上A、。之间的一点，过点尸作轴于点例，过点尸作交抛物线于点。，

过点。作轴于点N.设点。的横坐标为点〃?，请用含/〃的代数式表示矩形PQNM的底长，并求矩

形PQMW周长的最大值.

50.（2022•广西柳州•中考真题）已知抛物线y=・/+/u+c与％轴交于4（-1,0）,B（m,0）两点，与y

轴交于点C(0,5).

⑴求b,c,加的值;

(2)如图1,点。是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点。在第一象限内，过点。作x轴的平行线交

抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作ERlr轴，垂足为点儿当四边形。EFG的周长最

大时，求点。的坐标；

⑶如图2,点M是抛物线的顶点，将沿4C翻折得到△N8C,与)，轴交于点°,在对称轴上找一点

P，使得△PQ8是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点。的坐标.

51.(2023•辽宁丹东•校考二模)如图,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于力(-1,0),

8(5,0)两点，与y轴交于点C.

备用图

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求48PC面积的最大值；

⑶若点。是V轴上的一点，且以3、C、。为顶点的三角形与MBC相似，求点。的坐标；

⑷若点E为抛物线的顶点，点F(3,a)是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、

N使四边形EFMN的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由.

52.(2022•广东东莞•东莞市光明中学校考一模)二次函数丫=。/+必+35=0)的图像与、轴交于点。,

(2)P是二次函数图像在第一象限部分上i点，且“46=乙。&4,求P点坐标；

⑶在(2)的条件下，有一条长度为1的线段£T落在0A上(E与点。重合，尸与点A重合)，将线段EF沿4轴正

方向以每秒/个单位向右平移，设移动时间为t杪，当四边形CE『P周长最小时，求£的值.

JLJ

53.(2022•安徽六安•校考一模)如图，直线A8E)y=x-3与x轴、y轴分别交于48两点，抛物线y=x2+bx+c

经过点48,抛物线的对称轴与x轴交于点。，与直线48交于点N,顶点为C

⑴求抛物线的解析式；

⑵点M在线段8/V上运动，过点M作线段EF平行于y轴，分别交抛物线于点F,交x轴于点£,作FG3CD

于点G：

①若设E（30）,试用含t的式子表示DE的长度；

②试求四边形EFG。的周氏取得最大值.

题型07利用二次函数解决线段比最值问题

54.（2024•山西太原•三模）综合与探究

如图1,经过原点。的抛物线），=-2f+8x与X轴的另一个交点为小直线/与抛物线交于A,8两点，已

知点3的横坐标为1,点M为抛物线上一动点.

图2图3

⑴求出A,8两点的坐标及直线/的函数表达式.

（2）如图2,若点M是直线/上方的抛物线上的一个动点，直线OW交直线/于点C,设点M的横坐标为机,

求生X4C的最大值.

⑶如图3,连接OB,抛物线上是否存在一点M,使得NM04=N840,若存在，请直接写出点M的坐标;

若不存在，请说明理由.

55.（2024♦山东济南•一模）如图，抛物线），=d-3级-44的图象经过点。（0,2）,交x轴于点A,3（点A在

点B左侧），连接BC直线），=a十1（攵>0）与丁轴交于点£>,与8C上方的抛物线交于点E与8C交于点F.

⑴求抛物线的解析式；

（2）空是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标：若不存在，请说明理由.

Dr

⑶第一象限内抛物线上是否存在一点P,使得ABCO中有一个锐角与/PCF相等？若存在，求点尸得横坐

标，若不存在，请说明理由.

56.（2024•四川广元•二模）如图1,二次函数y=以2+灰+。的图象与工轴交于点.A（—l,0）,B（3,0）,与y

轴交于点C（O「3）.

⑴求二次函数的解析式.

⑵点尸为抛物线上一动点.

①如图2,连接8C,若点P在直线8c下方的抛物线上，连接。P,与BC交于点E,求会的最小值；

PE

②如