2026届高三数学阶段检测一（B卷）含解析

2026届高三阶段检测一（B）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.已知集合力={-4,_3,_2。2,3,4},8=®2y_9工0},则集合力n8的真子集的个数为（）

A.7B.8C.31D.32

2.已知命题P：VxW（0，+8）,ex>lnx,）

A.P是假命题，->P：3XG（-QO,0）,ex<Inx

B.P是假命题，-ip^xE（0,+8）,ex<Inx

C.P是真命题,ip：3xe（-oo,0）,ex<Inx

x

D.P是真命题，-ip：3xe（0,+oo）fe<Inx

3.已知关于工的不等式a-+bx+4>0的解集为（一8，血"（荷+8）,其中加<o,则0+8的最小值

为（）

A.-4B.4C.5D.8

4.函数/（"）=sinxlMg+Lx）的图象大致是（）

5.如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16、丸血2的正三角形.若在该酒

杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积

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256、回3

—j-ncm3

27D9yjSncm

「2025”.、

则工=()/。)-(

6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2%)+/(l-2x)=1,/(1-x)=/(I+x),)

2025

A.OB.2025c.~D.W13

7.若不等式历。+l)-«(x+1)>x-aex^x6(0,+8)上恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(-8,l]B」l，+8)US。]D,[04J

8.已知函数/(x)是定义在区间(-8,0)U(0,+8)上的偶函数，且当%e(0,+8)时,

=

{/(x-2)-4,x>2(则方程"乃+#=2根的个数为()

A.3B.4C.5D.6

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列命题正确的是()

A,若函数/(无)定义域为则函数/(2%+1)的定义域为［0,2］

D./(O)=。是八乃)为奇函数的必要不充分条件

C.正实数》,、满足3%+4丫-5町=0,则工+3丫的最小值为5

/W=的1(一/+4无+5)r<

D.函数2在区间(3m-2,血+2)内单调递增，则实数租的取值范围为导

Isinx

rifM=——

10.已知工£［一冗，用，函数，+1,则()

A.f(x)的图像关于y轴对称B.八乃恰有2人极值点

C.『(%)在「4可上单调递增D.八冷的最小值小十一彳

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ex-e~x

11.已知函数"乃=1函数^（幻二^-,XER

则()

A,对任意实数%/㈤一一(劝=1

B.对任意实数%y,都有g(%+y)g(x-y)=/(%)+g2(y)

C.存在实数不使得/(%)>2g(x)

D.若直线y=t与函数y=/a)和y=g(x)的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为七,

%2,%，则。+%2+%>/(1+\扬)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数fa)=ga)+Q,2x,若Q=2,/(%)的图象关于原点对称，若Q=4,/(%)的图象关于

y轴对称，则g(%)=.

13.已知。>0力€尺6是自然对数的底数，若Q+6Q=b+/,则b(Q-2e)的取值范围是.

14.已知函数一一""⑺力有四个零点见b,c,d,且QVbVcVd,且在区间(a力)和

(Gd)上各存在唯一一个整数，则实数血的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知关于》的不等式a,-x+1-Q工

(1)当awR时，解关于》的不等式；

(2)当XE[2,3]时，不等式-QWO恒成立，求a的取值范围.

16.(本小题15分)

某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成

•已知矩形力BCD的周长为8cm,设其中较长边4°为%将△BCD沿B0向△48D折叠，折过后交

力0于点E.

图2

(1)用工表示图1中的面积；

(2)现决定按此方案制作一枚徼章，要求将徽章的六个直角(如图2阴影部分)双面镀金(厚度忽略不计

),已知镀金的价格是2元/cm2,试求将这枚徽章镀金所需的最:人费用.

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答案和解析

1.【答案】力

【解析】

由题得"坪，"。}=卜挈堂

因为4={-4,-3,-2,0,2,3,4},

所以4皿={-2,0,2}有三个元素，所以真子集个数为23-1=7.

故选：4

2.【答案】D

【解析】

x

命题P：Wrw(0,+8),e>lnxf

由指数函数和对数函数的图象可知p是真命题，

x

-ip:3xe(0,+oo)fe<lnxt

故选：D.

3.【答案】C

4

【解析】关于“的不等式以2+旅+4>0的解集为(—8,m)Ug+8),其中^<0,

4

所以m和而是方程a/+bx+4=0的实数根，

,.b

m+—4=一一

ma

mx'=4，

由根与系数的关系知血a

解得a=],b=—(m+：)=_m+WN2\"二二4

__4

m

当且仅当~-mt即m=_2时取“=”，

b4,4

所以「产b+&

设/'(b)=b+^(b>4)

4

...函数/3)=8+5在(2,+8)上单调递增，

4

当b"时他="弹调递增，

所以fS)min=，(4)=5,

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匕4

所以ZB的最小值为5.

故选C.

4.【答案】4

【解析】

2

•."(-%)=sin(-x)-ln(yjx+1+x)

--sinx•1.=sinx•ln(Jx2+l~x)=fix)

&2+i-xY,

•••/(%)为偶函数，排除选项8和数

又f(O)=sinO•m1=0,••・排除选项c,

故选：4

5.【答案】C

【解析】

设圆锥底面圆的半径为Rem,圆柱形冰块底面圆的半径为女讥，高为九。血，

由题意可得，43)2=16、"，解得R=4,

h<tan^r,(R-x)=^3(4-x)(0<x<4)

设圆柱形冰块的体积为此7九3,

则V(yf3nx2-(4-x)(0<x<4),

设/■(%)=,47rx2("盼，(0<x<4),则广0)=y/3nx(S-3x),

88

当°<“<w时，ra)>。，/Q)递增;邹<“<4时，ra)<o,/■(“)递减，

所以八%="睇挈，

256^1,3nr3

故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为一h’m.

故选C.

6.【答案】D

【解析】由/■(2对+/'(1-2%)=1得/(0)+/(1)=1,且函数f(%)关于点对称，

由f(lT)=f(l+%)得f(x+2)=/[I4-(1+X)]=/[1-(14-X)]=f(-x)f

又由/"(2%)+f(l—2%)=1得/(t)=1-/(1+x)=l-f(l-x)=l-[l-f(x)]=f(x),

所以/a+2)=f(-x)=f(x),得函数人%)是周期为2的函数，

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则+f(2i+1)=/(0)+f⑴=1,iWZ,所以Zi=o,(i)=1。13[7(0)+/■⑴]=1013

故选：D.

7.【答案】B

【解析】

不等式功a+1)-矶工+1)>X-Q/对于％e(0,+8)上恒成立，

即伉(X4-l)-a(x+1)>lnex-aex^fyx€(0,+②)上恒成立，

令F(x)=lnx—ax,

则等价于+1)>"(e“)对于％W(°，+8)上恒成立.

令g(%)=%+l-，Q>0),

g'(x)=l-ex,

当"0时,g'(x)<0,

所以g(x)在(。，十8)单调递减，

所以g(%)vg(o)=o,

所以l<x+lve-

所以只需/(外在(L+8)上单调递减，

即Vx€(l,+8),F'(x)丁QW0恒成立，

即高

只需。之6)2

又因为D,

所以QN1,

即实数a的取值范围是口，+8),

故选：B.

8.【答案】0

【解析】

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方程"为+#=2根的个数Q函数y=f(x)与函数y=一#+2的图象交点个数，图象如下:

由图象可知两函数图象有6个交点.

故选：D.

9.【答案】AC

【解析】

对于力、若函数/(“)定义域为口，5],

yiij2x+lG[l,5],故为€[0,2],

故函数/(2%+1)的定义域为[0,2],故正确；

对于反若f(0)=0,则f(X)不一定是奇函数，如f(X)=—,

反之，若/(无)是奇函数，/(0)二°也不一定成立，如

故/'(0)=°是/1%)为奇函数的既不充分乂不必要条件，故错误；

对于c、正实数匕y满足3x+4y-5孙=0,

3+±=1

则卬十5x\

故％+3y=(%+3y)岛+白

=12+9+艺〉值+工=5

55y5%歹55,

3x_12y

当且仅当豆=京时，取等号，

故汇+3丫的最小值为5,正确；

对于，若m=2,则区间(3m—2M+2)为(4,4),与区间定义矛盾，故错误;

故选AC.

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10.【答案】BC

【解析】

、sinx”、sin(-x)sinx

„f(x)=-=——r,/(—X)=---:——=一一z——=

对于“中，由*+1,已知工£[—兀，田，且(r)?+lx2+l

所以函数/(%)为奇函数，所以4不正确；

_•._(x2+l)cosx-sinx-2x

对于8中，由‘”一(，+1)2,令9(%)=(x2+l)cosx-sinx-2x,

贝！Jg(%)=2xcosx—(xl+Y)smx—2sinx—2xcosx=—(xz+3)sinx,

当x6(0,汨时，可得sinr>0,所以g(x)<o,gQ)单调递减；

当XE[一20)时，可得sinxV0,所以。'(%)>0,单调递增，

由g(〃)=_('+1)vo,g(-兀)=_(M+1)<。且g(o)=i>o,

可得g(O)gO)<o，g(-九)g(o)<。，所以gO)在［一兀，。)和(。川上各有一个零点,

设两个零点分别为今内2,不妨设4<々，

当工6［一江占)时，g(x)〈0,可得/(%)<0,f(%)单调递减;

当工£(修,%2)时，g(%)>0,可得了'(%)>0,/(乃单调递增；

当“6(”2，扪时，g(x)<of可得f(X)<0,/(X)单调递减，

所以巧，々时函数/(%)的2个极值点，且只有2个极值点，所以8正确;

对于C中,由B知，g(x)在［-兀0)单调递增,在(0,可单调递减，

又由双吟=¥噂+1号=羯-4)2>0,且编)=彖广4)2>0,

则当"'［一而］时，g(x)>0f即f'Q)>0,所以函数/(%)单调递增，所以C正确;

「兀、如(吟-T

<

八424

对于。中，由f(F=767771=7花7+1；正+1,所以。不正确.

故选：BC.

11.【答案】ACD

e*+e-x

【解析】己知函数"")二如=竽,XG/?,

2,函数，

则尸⑺寸㈤=(竽2_(竽)2

=。2*+6-2*+2e2、+e_2x_2=

F4,故力正确;

e*+y-e~(x+y)x~y-e~(x~y)e2x+e~2x-e2y-e~2y

g(x+y)g(x-y)=e

224

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7e-ee'-e-y

92W+92M=(1—)9+(—z-)

e2x+『"-2,e2y+e~2y-2e2x+e"2x+e2y+e~2y-4

=----4----+-----4----=---------4---------,

故对任意实数%九g(%+y)38-y)与/(%)+/(、)不一定相等，故4错误；

当"0时,/(0)=1,g(0)=。,此时满足f(x)>2g(x),故。正确；

0-X+/

/'㈤定义域为R,"r"F-="2即f(x)为偶函数，

“—e'+e-x

且八R「一F,当且仅当％=。时取等，

e~x-ex

。(乃定义域为R,9(一”)二^^"一"")，即g(W为奇函数，

且y=/与y=均在R上单调递增，即g«在R上单调递增，

故若直线y=亡与/(无)、。①)的图象共有三个交点，

则直线y=t与/■(“)的图象有两个交点，不妨设为"】，J,与9。)有1个交点，设为“3,

则％1+勺=0,£>1,或勺)>1,

x3_**3

由9(无3)=^^>1,得涓〜个一？〉。，即(丁3)2_2/3_1>0,

解得涓>1+但或汽<1一依舍)，

故内>"(1+隹)，

故,+初+叼=叼>伍(1+\历)，故0正确.

故选：ACD.

12.【答案】2-X-3x2X

【解析】由题意得g(x)+2x+i+g(-T+21r=0,

g(x)+212—g(r)—22f=o,

两式相加并整理得9(%)=2T-3x2\

故答案为：2r_3x2"

13.【答案】L4+8)

【解析】令/(%)=%+我,

因为函数y=%，y=/都是增函数，

所以函数八乃是增函数，

bb

又f"na)=a+lna,f(b)=b+eta+lna=b+et

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所以mQ=b且Q>0,

则b(a-2e)=lna(a-2e)t

Q—2e2e

令g(a)=Ena(a—2e),则I®)=k+I-=+lna

_2e

因为函数y=a,y=ma在(0,+8)上都是增函数，

2e

所以函数g'⑷=r+m”在(。,+8)上是增函数,

又g'(e)=O,

所以当Ovave时，g'(a)vO.当时，4(a)>0,

所以9(a)Ng(e)=-e,

所以〃a-2e)的取值范围是［-e,+8).

故答案为：L*+8).

产2+11)

14.【答案】L4')

【解析】/0)=吗=0<=>ln\x\+1-mx2=0

令h(x)=ln\x\+1-mx2,则他-x)=/i(x),

为偶函数,

二只需考虑x>0时九a)=^+—m/有两个零点c,d,且在区间(Gd)存在唯一的整数.

I/、八Inx+1

八h(x)=0<=>——--=m

%>0时一/,

令。@)--丁，贝产⑺--一丁，当％6(0小)时，g'(x)>o,

••,g(x)单调递增，当2,+8)时，^'(x)<0,

••。(无)单调递减，：在区间(Cd)存在唯一的整数,

M2+1./1

-g(2)<m<g(l),即4-771

产+11)

・••m的取值范围为I4,乙

15.【解析】(1)不等式a/T+i—awo可化为(.i)(ax+a一1)30,

当Q二。时，不等式化为%-1NO,解得XN1,

1-a

当a<0时，不等式化为(“一1)"一丁)-°

l-a

解得％一丁或

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当Q>O时，不等式化为aT）Q-w）三°；

Cl）o<aV不H--->1盘2T401W%W—

2时，a,解不等式得a,

⑶〃=11一。_1

02|ft,T-1,解不等式得x=l,

③Q"时，丫<1,解不等式得丫以式1.

综上，当a=0时，不等式的解集为W%工1},

当a<°时，不等式的解集为"氏或x21},

11—

°Va<2时，不等式的解集为3丁a）,

_1

°=2时，不等式的解集为法|%=1},

11-a

2时，不等式的解集为{Wk***”.

⑵由题意不等式一工+1一。工。化为矶公-1）<x-1,

当工€[2,3]时，%-lG[l,2],且％+l€[3,4],

1

所以原不等式可化为°4kT恒成立,

设/（％）=+,%e[2,3],

则人为的最小值为"3）=4,

所以。的取值范围是（-86

16.【解析】（1）已知矩形48CD的周长为8cm,设其中较长边力。为工,

将△8。。沿3D向△<8。折叠，8c折过后交于点灯

因为40=%,所以人3=4-%,

又因为40为较长边，所以4-xvx<4,即2<%V4,

设E0=a,贝ij4E=x—Q,

图2

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因为NC'E0=4AE8,乙DCE=iEAB,AB=DC,

^\^Rt△BAE^Rt△DC'Et所以BE=ED=a,

在R34E中,由勾股定理得842+加2=8产,

x£-4x+8

即(4_%)2+Q_Q)2=Q2,解得Q=——

“仁4x-8,8

=x-a=----=4一一

所以XX,

所以△B4E的面积$=%'•至=1(4-x)•(4-|)=12-2(x+?)(2<x<4)(单位：皿,

(2)设-枚徽章的镀金费用为y元，则y=6X咿X2x2=24x112-2(%+凯

Q_8

由基本不等式可知：X+钎4的,当且仅当”=7,即x=2隹时等号成立，

y=24x[12-2(x+®)]<24x(12-8A/2)=96(3-2隹)

所以当40=2隹时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为96(3-2的)元.

ln2(x+l)

17.【解析】：(1)当。=1时，/a)=(x+i)^~1),得ro)="«一l)-7(2^)-,

v/(l)=O,/,(1)=-4,

二曲线y=/(%)在点(1/(1))处的切线方程为y=-4(x-l),即4%+y-4=0.

(2)••"(%)的定义域是(02),且/'(%)的图象关于直线％=6对称，，b=l,

对任意的%6(。，2),/(x)=/(2-无)成立，

即(ax+1)"(丁1)=(2a-ax+1)伍(右—1),

化简整理得s+1=。工一2。一1,

解得a=-l,即存在。=-1,b=l,使/(X)的图象关于直线》=匕对称：

⑶设9(%)=/0=C+D"3-1),则g口)"(2.1)],

在(1，+8)上单调递增，:'g'(x)NO对任意的X€(1,+8)恒成立，

_2r2+2nr_4x(x-a-1)

即£(%)=~2^1一—aln(2x-1)>0,且t'(x)一(2x-i)2,

①当Q40时，t'(x)>0,即亡(无)在(1,+8)上单调递增，."(%)>2(1)=2+2。.由2+2。之0,

得一1WaWO；

②当a>0时，当x£(l,a+l)时，t'(x)<0,t(x)单调递减；当％W(a+1,+8)时，f(x)>0,

t(x)单调递增，•••Ombt="a+1)=2(。+1)-aln(2a+1)

设/i(Q)=2(a+l)—ad(2a+l),h'(a)=2-[/n(2a++2^11=1+2^+i~ln(2a+1),易知

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九'（a）在（。，+8）上单调递减，

46

.•出⑴，一出3>。/'（2），一仇5<0,

J•存在唯一的（12）,使当。£（°，&）时，/i'（a）>0,h（a）单调递增，

h（a）>/i（0）=2.当。6（。0，+8）时，h,（a）<0,h（a）单调递减，

v/i（5）=12-5/nll>0,h（6）=14-6》13<0,二存在唯一的由^（56）,使八（％）=°,

令t（%）min=2g+1）-aln（2a+1）工0,解得。<a^ai,

由①②，得一

vaEZ,二Q的取值集合为{-1。1,2,3,4,5}.

18.【解析】⑴，。戈3>眄

（2）第一步，研究函数y=八刈与y=g（M有且仅有两个交点的充要条件,

由题意可知，其等价于工>0时，方程.一的解的个数，

,、也9?

P（X）----7-

不妨设函数,x>0,

bl

^-bx-logax/T忌-.g『）

P'W=

令“（"）=而^一6°9环且“（%）单调递减,

当娱）=0,即盘-4og/o=0时,

1_此0I

有菰一Ina,解得%0=e>1,

可知当％W（°口0）时,M（x）>0,P（x）单调递增;

当％6（与,+8）时，n（x）<0,p（x）单调递减，

,、,、l09aX0ll03ae1

P（X）ms=P（"。）=寸=<=丽

故X。，

又因为函数y=fa）与y=g（%）存在两个交点，

即m4工勺，P（X1）=P（%2）=1,

1

则P（X）max>l,故6V而，

必要性得以说明.

b<

后研究条件elna的充分性，

即证明当匕<丽时，函数q（X）=p（%）-i有两个零点,

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①函数q(x)在(°，/)上单调递增,

勺⑴二口⑴一…工。，

>11=0

q(%)=p(x0)-l=焉T-

根据函数零点存在定理可知，

函数q(x)在(°次。)上存在唯一零点，

②函数式》)在(和+8)上单调递减，qQo)>°,

2——

取点%】=(痂)一々=豆

qQi)=p(/)T=

则耳

-^T=/%；T=O

..不1<1

Inax；帅la1

根据函数零点存在定理可知，

函数q。)在(灯巧)上存在唯一零点•(充分性得证)，

h<1

综上，函数y=/(%)与y=。(%)有且仅有两个交点的充要条件为必0,

第二步，由于vivaw*函数y=/Q)与y=g(%)有且仅有两个交点，

所以V(而)min=2；

(3)构造函数x>0,则加⑴一/,

当％W(O,e)时，m'(x)>0,函数加。)单调递增，

当％W(e,+8)时,7711(%)<0,函数m(x)单调递减，

eln2/、Ine1

因为租(2)=〒<n(?)="="

1<_L.L

整理得2%g2,所以h““<人啊

由(2)可知此时函数y=/(无)与y=g(x)的交点个数为2.

x

19.【解析】：(l)f«=alna-bf

当b40时，/'(%)>0,f(x)在K上单调递增,

此时f。)的单调递增区间为(-8,+8