2026届高三数学专项复习：空间几何体的最值、范围问题 专项训练【含答案】

2026届高三微专题4空间几何体的最值、范围问题

r必背知识

立体儿何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题.常以规则几何体为

载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离•的求解等，同时往往也需要

将同题进行等价转化.解决的思路有：

一是根据几何体的结构特征，化动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；

二是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.；

三是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最直问题求解.

考点一切接问题中的最值、范围问题

考点归纳

【方法储备】

求解与球有关的组合体问题：一种是内切,i种是外接.

分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图，如球内切「正方体,

切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正

方体的休对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转叱为平面图形与圆的接、切问题，再利用平

面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

【典例精讲】

例1.（2025•全国•真题）一底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径

相等的铁球，则铁球半径的最大值为（单位：cm）

例2.（2025•浙江省绍兴市月考）如图，一张A4纸的长4O=2*a，宽718=2a,M,N分别是AD,BC的

中点.现将沿8。折起，得到以/，B,C，。为顶点的三棱锥，则三棱锥/一反:。的外接球。的半径

为：在翻折的过程中，直线MN被球。截得的线段长的取值范围是

【拓展提升】

练1-1（2025•广东省揭阳市月考）已知正方体的棱长为4,球。是正方体的内切球，MN

是球。的直径，点G是正方体表面上的一个动点，则俞•前的取值范围为（）

A.[0,4]B.[0,8]C.[1,11]D.[3,12]

练1-2（2025•江苏省常州市•月考试卷）已知三棱锥P-4BC,Q为BC中点,PB=PC=4B=BC=AC=2,

侧面P8C_L底面48C,则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）.

A.卜居]B.年，用C.[y,2/r]D.[nf2n]

考点二距离有关的最值、范围问题

【方法储备】

1.求线段长度的最值

几何法：先用立体几何知以确定动点的轨迹,转化为平面几何问题求最值；

向量法：建立适当的坐标系，建立线段长度的表达式,转化为函数求最值.

2.求曲面上的两点间距离或多面体中的折线的最短长度

通过化曲为直转化为平面上两点间的最短距离问题,然后用解三角形的方法加以解决.

【典例精讲】

例3.（2025•广东省阳江市模拟）如图，正三棱锥P-力8c的顶点P为圆柱。0的上底面的中心，底面48C

为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形DEFG为圆柱的轴截面，BO1DG,AB=2g，P.4=2「.现

有一机渊人从点4处开始沿圆柱的表面到达。点，再到达点P处，再从F处沿正二棱锥P-4/?。的表面返回A

处，则其最短的路程约为.（参考数据：n-«3,15^2.24，V-2«1.41，结果精确到0.01）

例4.（2025•河南省商丘市月考）在棱长为1的正方体ABCD—儿&GD1中，点E,尸分别是棱G。1，&G的

中点，P是上底面4B1G2内一点，若AP〃平面则线段AP长度的取值范围是（）

B.[学年]5*,争D.小，口]

【拓展提升】

练2-1（2025・江苏省月考试题）如图，在三棱锥A-4181cl中，A41平面4$传1，乙4181cl=90°,A$i=

2AlA=2BlC1=2,P为线段人员的中点，M,N分别为线段4cl和线段为加上任意一点，则CPM+MN的

最小值为（）

•/

A.经B.1C.V-5D.2

22

练2-2（2025•湖北省荆门市•月考试卷）如图，在直三棱柱4181cl中，ACAC=2,AAX=4,

4B=6,点E,尸分别是44i，上的动点，那么+EF+/B】的长度最小值是,此时三棱锥见一

GEr外接球的表面积为.

考点三与角度有关的最值、范围问题

【方法储备】

求空间角：

1.几何法：根据空间角的定义找到空间角，通过变量假设建立函数，求最值；

2.坐标法：建立坐标系，设动点，求解空间角，根据函数特征求出最值.

【典例精讲】

例5.（2025•云南省・模拟）动点M在正方体4BCD-41当。1。1从点％开始沿表面运动，且与平面占。。1的距离

保持不变，则动直线与平面4DG所成角正弦值的取值范围是（）

A停,争A他，吁，・停,？］0仲，争

例6.（2025•河南省・模拟）如图，在长方体力BCD—48iCiDi中，AB=BC=口，AH1=C，P是41cl与

例7.（2025•四川省宜宾市模拟）某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥

内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是（）

A.16B.8C.32D.24

例8.（2025•湖北省武汉市月考）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹑、踢的含义，“鞠”最早

系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有

四个点P,48,C,满足/M=2,PAl^ABC,/IC1FC,若8c=刍则该“鞠”的体积的最小值为（）

A4。n8。厂9n9

A.―--7TB・-~-TCC.~7TD・-7T

35Lo

【拓展提升】

练4-1（2025•湖北省・期末考试）已知矩形4BCD,AB=2,AD=1,将△ABD沿BD折起到△若点4'在

平而卜的射影落在△BC。的内部（不包括边界），则四面体4一/?。0的体积的取值范围是（）

2门、（口2、％.（展等）

A-）B・）c.（？亨）D

练4-2（2025•山东省青岛市联考）如图，在四棱锥P-A8CD中，PA=PB=PC=PD=2,底面A8CD是

边长为。的正方形.E是PC的中点，过点A,E作棱锥的截面，分别与侧棱PB,PD交于M,〃两点，则四

棱锥P-体积的最小值为.

练4-3（2025•重庆市・模拟）在三极锥P-48C中，AC=BC=PC=2,RAC1BC,PCJ_平面力EC,过点P作

截面分别交4C，BC于点E,F,且二面角P—EH-C的平面角为60。，则所得截面PE尸的面积最小值为（）

A-BD.1

入31

【答案解析】

例1.解；轴截面如图所示，设铁球半径为r,

则有4r2=(9-2r>4-(8-2r)2,

即4r2.68厂+145=0,

即［2r―5)(2r-29)=0,

解得丁=黑丁=年(舍),

故答案为：2.5.

例2.解：如图：

因为四边形力8C。是矩形，AD=2yTla，AB=2a,

所以连接AC交BD于。，则04=0B=0C=0D=Ca，

因此将△ABD沿BD折起，得到以4,B,C,D为顶点的三棱锥,

则三棱锥A-BCD的外接球球心为。，半径为

因为M,N分别是80,8c的中点，所以连接MN,则。在MN上.

分别过M,N作30的垂线,交BD于G,H,

由4BHN-BCD嘲嚼,瑞端,

因此NH=MG=2：曾。=手，BH=DG=口？干°=

2v3a32V3a3

所以HG=20一2x罕=罕.

设将△力8。沿BD折起，得二面角A-8。-C大小为6(66(0,")),如下图:

在平面8co内，过N作直线A与8D平行，过G作直线％与N“平仁，。=丁，

连接GT,MT,因此BO1GT,

所以4MGT为二面角A-BD-C的平面角，即ZMGT=。（0e（0,兀））,

且7G=NH=MG=手，NT=HG=空阻

因为BD1GT,BD1GM,GTdGM=G,GT,GMu平面MG7,

所以8。JL平面MGT,而NT与BD平行，因此NT1平面MGT,

而7Mu平面MGT,所以NT1TM.

因为在AMGT中，MT=2TGsing=*psin"而NT=空=，

L5L3

所以MN=J等si得+粤=2片^^.

在AOMN中，因为OM=ON=a,

所以在平面。MN内，0到直线MN的距离为Ja2_（^sin2"[i）=J警—殍siM*

又因为球。的半径为Ca，

所以直线MN被球0截得的线段长为2J3a2一得一争得）=竽J21+6si得.

因为0＜级与所以空/V：J21+6新2女空0=2，^，

2233y23

即直线MN被球。截得的线段长的取值范围是（区科,2Ca）.

练IT.解：因为球。是正方体的内切球，MN是球。的直径，

所以OM=0N=2,

因为丽•丽=（而+丽）•（而+而）=（被+丽）•（丽一丽）=|丽产-4,

又点G是正方体表面上的一个动点，

所以当G为正方体顶点（图中G点）时，|诙|有最大值为2门，

当G为内切球与正方体的切点（图中N点）时，|而|有最小值为2,

所以|被|2—4€[0,8].

练1-2.解：连接PQ,QA,由P8=PC=A8=8C=/1C=2,可知：△4BC和△PBC是等边三角形,

设三棱锥P-力外接球的球心为。，

所以球心。到平面小凤?和平面P8C的射影是^ABC^^的中心凡E,

△PBC是等边三角形，Q为BC中点,

所以PQ1BC,乂因为侧面PBC，底面/BC,侧面PBCC底面ABC=BC,

所以PQ1底面;4BC,而力Qu底面ABC,因止匕PQ1AQ,所以。尸QE是矩开2.

p

△48C和△P8C是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高h=J22—0x2)2=「,

在矩形O/QE中'0E=FQ=^h=.AE=^h=连接。4,

JJJJ

所以。A='CE2+412==空，

设过点Q的平面为a,当。QJ_a时，

此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，

0Q=VOF2+FQ2=I(1h)2+(i/i)2=X=

因比圆Q的半径为：J0A2=0Q2=J齐,=L所以此时面积为"-1?=雷

当点Q在以0为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：7r.(罕)2=等；

所以截面的面积范围为：［凡学］,故选A.

例3.解：因为AB=2U，所以04=OB=PE=丑。=2,

cos30

所以P0=DE=VAP2-AO2=2，

又因为5010G,BOLAC,所以0G〃4C,

所以4a4。=Z,AOD=30°,

所以筋(劣弧)的长为懿x轨=全

由弱可知，当从4到E经过的路程最短时，总路程最短，

将圆柱侧面展开，从力到E的最短距离为线段AE的长度,

此时AE=JG)2+22yC，

所以最短距离为，+2+2\T2=2.24+24-2X1.41=7.06,

故答案为：7.06.

例4.解；如图所示，分别取棱4出、为必的中点M、N,连接MN,连接BQi，

・・・"、N、E、产为所在棱的中点，.・.MN〃反臣1，EF//B\D\,：・MN”EF,

又MN仁平面BDEF,EFu平面8DE/，

•••MN||平面BO",

连接NF,由NFII/li^i，NF=%Bi，A1B1||AB,A1B1=AB,

可得NF〃AB,NF=AB,则四边形力NF8为平行四边形，

则AN||尸8,而ANU平面80E”，尸Bu平面80E"，贝1JANH平面6。£尸，

又4NnNM=N,•••平面AMN〃平面BDE凡

又P是上底面48储1。1内一点，且APII平面BOEF,

・•.P点在线段MNI.,

2

在Rt△力力iM中，AM=yjAA14-AYM=J1+,=；^，

同理，在RtZi/MiN中，求得力N=孕，则A/IMN为等腰三角形.

当P为MN的中点时，力尸最小，为J12+(?)2=更?,

当P与M或N重合时，AP最大,为qi

••・线段行长度的取值范围是[甲，涓.

故选：B.

练2-1.解；依题意得4&=厅，816=44=1,

易得B]G1平面44避1，又力反u平面44$i，

则81cl1AB],

在A4BiG中，SAAB^M+SAB^MCI=Sf8[C]，

侬X\/~5PMsin^MPA+时想由广叫=lx1Xy/~5,

yTSPMsinZ.MPA+MNsin^MNC1=

又CPMsin乙MPAW『PM,MNsin乙MN(\SMN,

所以UPMsin匕MPA+MNsin乙MNCi<RPM+MN,

即占PM+MNZW§,当ZMP4=9O。，4MNQ=90。时取等号，

当乙MP4=90。时，M为4cl的中点，

此时当乙MNG=90°时，N为8iG的中点，

综上所述CPM+MN的最小值是一亏.

故选c.

练2-2.解：把平面/4GC沿84展开到与平面共面的力4C；。的位置,

延长BiB到*,使得。片B/?,连接〃/,

如期所示，则/?/〃/,

要使的^+6尸+尸丛的长度最小，则需E,F,四四点共线，

此时GE♦/7IB{（；EEI«r/?jCR,

所以GE+EF+FB1的长度最小值是，82+82=

因为「臼=s,B：n\K,.BMC=”,

所以.B\,-皤，

所以。厂BB\I,4/4,C,-2,

故AE=AF=2,.Af.///[i\-15,

所以NO|FE-911,EF=2，7,BiF=47~2,EBr=2CU，

所以△E/丛的外接圆是以EBi的中点。为圆心，牛=门5为半径的圆，

故三楂锥为-GEF外接球的球心。'一定在过点:。且与平面EFBi垂直的直线上,

,I

如组2所示，点0'到点E,G的距离相等，则（X，-/IC,

所以三棱锥&-GEF外接球的表面积为47rxll=447r.

故答案为：8「；447r.

例5.解：由动点M从点名开始沿表面运动，且与平面必DQ的距离保持不变，则BiM〃平面4DCi，

易得，点M的轨迹为△力。仇，则有平面4cBi〃平面40G，

所以动点M是在三角形4C8］的边长线上运动，

设正方体的棱长为1，直线与平面&DG所成角为仇

由正方体性质易知BO11平面4CB1，851平面4道。1，且点M到平面的距离为定值d=!|8DJ=?，

所以sin。=,

l/MI3\AiM\

由组形可知4Ml.力当时,&M取得最小值为?，点M与点C重合时,41M取得最大值为，?，即?<

所以；<sine<?，即动更线AM与平面4DG所成角的正弦值的取值范围是",?!

故选C.

例6.解：设Q是力C与8D的交点，则力Q=C，乂力4=C，

则乙IPQ:,

过P作PG〃MN交卜底面48G/J二点G,

DiG

/B

则4PGQ就是直线MN与底面4BCD所成的角，

乙/PG就是异面直线PA与MN所成的角，

由,4Q=AAX=PQ=C，PG=MN=2,

则QG=1,则taMPGQ=M=、①

则/PGQ=$Z.QPG=7,

5O

所以宜线MN与底面"CD所成的角为乙PGQ=g；

则点G在以。为圆心、1为半杼的同卜运动，

当G在47上且位于4和Q之间时，41PG最小，且为;;",

所以\r（；5c）=匹-仅

故答案为最巨字.

34

练3-1.解：在正方体4BCD-必瓦的/中，E为线段力义上的一个动点，

尸为线段&G上的一个动点，

当F与a重合时，平面EFB即为平面AB81Ai，

此时平面与底面力BCD所成的二面角的平面角为90。，余弦值为0,

当E与A重合，尸与G重合时，平面£尸8是平面力

此时平面18与底面4BCD所成的锐二面角的平面角为45。，余弦值为子.

.•.平面EFB与底面4BCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是[O,3].

故选:A.

练3-2.解：设。为48中点，

在平面PAB中，PA+PB=4>=2「，

所以点P在以48为焦点的椭圆上，

i(yH。)・

在平面4BC内，CA-CB=2<AB=20,

所以点C在以4、B为焦点的双曲线的一支上,

=l(x>0,y0).

过P作PH148,

因为AB1PC,

又PHCPC=P,PH、PCu平面PHC,

则,481平面PHC,

囚为CHu平面P”C,所以ABJ.C",

则二面角P-AB-C的平面角即为乙PHC,

设OH=2cos6,可取〃111,

•5

则PH=V_lsin。，CH=V4cos20-l，

2sin20+4cos2。-1-1

cos乙PHC=

2yJ~2s\n0y]4cos20-1

2cos2。

2nsm6J4cos2。—1

l-sin0

■/"Zsin0J3-4sin20

所以C=2.瑞*,

令l-siMC,*t<l，

C°s2乙PHC=1.(1T；(4.1)

111

X

=7_^+1-42-U2+5U-4>

其中〃二;W(1,4),

y=-u2+5u-4在〃=|时取最大值£

2

Bp(coszPHC)min=|x1=^t

4

则［COS4PHC)min=?.

故选：A.

例7.解：某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，故该四棱锥为正四棱锥体;

当半径为1的球与四棱锥体相内切时,，四棱锥的表面积最小；

设正方形的边长为2a,四棱锥体的高为h,四棱锥体的表面积为S,

所以利用等体积转换法，

V=1x2czx2ax/i=1x(4x|x2axVa2+h2+2ax2a)x1=.S,

整理得a-(/i-1)=Va2+h2^S=3V；故a?=,

所以四楂锥的体积1/=1x4a2.h,

Ms=3K=3x1-4a2-h=^(h>2)»

设t=/i一2,可得/i=£+2,

所以S=4«；2)2=4(t+1+4)>4x(2Jt-j+4)=32.

当且仅当£=2,即/i=4时,四棱锥的表面积的最小值为32.

故选C.

例8.解：因为P4=2,P41面ABC,AC1BC,

故48为三角形48。所在小圆的直径，取力B中点。，过。'作O'O〃AP,交BP于点0,则0,0=；P4=l,

因为P4J■面4BC,ABa^ABC,所以。'。1面力BC,PA1AB,

因为AC1BC,所以。4=OB'=0C',所以。/=OB=0C=OP,

则。即为球心，P8为球的百径，

要想该“鞠”的体积最小，只需PB最小，由于PB=VP42+%B2=V4+482,

故只需48最小，其只力8=，力/2+5人2,

1119

故。用C=打MBC•PA=""C•BCx2号,

解得：ACBC=2,

由基本不等式得：AC2+BC2^2AC-BC=4,当且仅当力C=BC=。时，等号成立，

故48最小值为2,此时直径最小值为PB=V4+22=2，讶，

所以该“鞠”的体积最小值为：4，2)3=手小

练4-1.解：当A'在平面BCD上的投影。在BD上时,

点4'到平面BCD的距离&。=弊=£=岁，

BDV55

此时三棱锥片-BCD的体积最大，

Knax=0=堂，

A'

如国，当4在平面BC。上的投影M在DC上时，体积最小,

则点4'到平面BCD的距离为4'M,作AOJ.B。于。，连接0M,

因为4'。=修，ArB=2,所以D。=7一4。2=

因为AM10B,4010B,且AM,A。u平面AOM,AMnT