2026届高三数学专项复习：离散型随机变量及其分布列、数字特征 专项训练【含答案】

2026届高三微专题12.3离散型随机变量及其分布列、数字特征

■必背知识

1.随机变量的有关概念

(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间C中的每个样本点3都有唯一的实数X(3)与之对应，我们称X为

随机变量.用大写英文字母表示随机变量，如X,y,Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如％y,z.

(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量.

注：离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数

表示的.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为.，上,…,X…我们称x取每一个值项的概率P(X=勺)=pifi=1,2,3/

••，九为X的概率分布列，简称分布列.

与函数的表示方法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示：

X•••xk

pPiP,・・・PK・・・Pn

3.离散型随机变量的分布列的性质

⑴Pi>0,i=1,2,3,—

⑵P：+P2+…+Pn=L

注意：①列出随机变量的所有可能取值；②求出随机变量的每一个值发生的概率.

4.离散型随机变量的均值与方差

⑴离散型随机变量的均值的概念

一般地，若岗散型随机变量X的概率分布为：

X・•・•••

XlX2Xk

PPlP2•・・Pk・・・Pn

则称E(X)=x1P1+x2p2+.••+xnpn=Ek［为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.

⑵离散型随机变量的方差的概念

一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：

X••••••

%2Xk

pPlP2・・・Pk・・・Pn

则称D(X)=(%i-以乂))20+•••+&-E(X))2p[+•••+(x“一E(X)『pn=理]®-E(X))2pi

为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称o(X)=J函为随机变量X的标准差.

【重要结论】

1.随机变量的线性关系

若X是随机变量，丫=。万+匕,4匕是常数，则丫也是随机变量.

2.分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.

3.离散型随机变量的均值与方差的常用性质

⑴E(k)=k,D(k)=0,其中A为常数;

⑵E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X),Q,匕为常数，X是随机变量；

⑶E(Xi+X2)=E(XJ+E(X2);

⑷D(X)=E(X2)-(E(X))2；

⑸若Xi，X2相互独立，则E(X1•>2)=E(Xi)・E(X2)；

1.【人教A选择性必修三P60练习T3】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量f去描述1次试验的

成功次数，贝如6=0)等于()

A.0B.111C.2D.

2.【人教A版选择性必修三P71习题7.3T3］若X是离散型随机变量，P(X=勺)=/(X=打)='又已

知E(X)=：,O(X)=:,则⑶一句的值为()

A.7B.1C.2D.\

93

考点归纳

考点一离散型随机变量分布列的性质

【典例精讲】

例L(2025•河北省・期末考试)随机变量X的分布列为P(X=n)=^^j(n=1,2,3,4),其中Q是常数，则P(；<

^<|)=()

A・葛B.需C.-D.|

例2.(2025•河北省衡水市♦月考试卷)(多选)设随机变量f的分布列为P«=§=ak,(k=1,234,5),则()

A.15a=1B.P(0.4<f<0.8)=0.2

C.P(0.1<f<0,6)=0.2D.=1)=0.3

【方法储备】

离散型随机变量分布列的性质的应用：

(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概生之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.

【拓展提升】

练1-1(2025•黑龙江省绥化市期末)(多选)设随机变量X的分布列P(X=k)=/^(k=1,234,5),则P(X>

4)=()

A上B—c—9—

,35,25-25,35

练1-2(2025•江苏省苏州市月考)一校园公用电话在某时刻恰有k(kGN)个学生正在使用或等待使用该电话

cn<Zr<,4

(〃+l)(〃+2)，U-K<，，其中c为常数，则在该时刻没有学生正在使用或

{0,k>4

等待使用该电话的概率为()

15厂3「7

AA-2BD-8C-4D-8

考点二离散型随机变■的数字特征

例3.(2025•河南省•期末考试)已知随机变量X的概率分布如表所示，且E(X)=也则m=()

X123

1

Pnm

3

例4.(2025•江苏省南京市•模拟题)不透明口袋中有几个相同的黑色小球和红色.白色.蓝色的小球各1个，从中

任取4个小球，《表示当九=2时取出黑球的数目，〃表示当九=3时取出黑球的数目，则卜.列结论中成立的是()

A.E(f)<E(〃),D(f)<。⑺B.E⑹>E(〃),D(f)<。⑺

C.E(f)VES),D(f)>。⑺D.F(O>>D⑺

例5.(2025•湖北省黄石市月考)甲、乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次，

旦未击中目标即停止,然后换另一方射击,一旦未击中Fl标或两方射击总次数达S次均停止.本局比赛结束.

得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6,

乙赢机器人的概率为05求：

（1）在一轮比赛中，甲的得分X的分布歹U.

（2）在两轮比赛中，甲的得分V的分布列.

（3）y的均值和方差.

练2-3（2025•山东省济南市月考）第31届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行.某体校田径队正

在积极备战，考核设有100米、400米和1500米三个项目，需要先手依次完成考核，成绩合格后的枳分分别

记为Pi，P2和P3（Pi＞。，i=L2,3）,总成绩为累计积分和.考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有

在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止.对于100米和400米项

目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次

及以上就算合格.已知选手甲三个项目的达标率依次为2，p5,选手乙三个项目的达标率依次为&2,

每次考核是否达标相互独立.

（1）用f表示选手甲考核积分的总成绩，求打勺分布列和数学期望；

（2）证明：无论Pi，P2和P3取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学

期望值.

考点三方案与决策问题

【典例精讲】

例6.（2025•广东省湛江市模拟）有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示.

甲公司乙公司

职位ABCD职位ABCD

月薪/千元5678月薪/千元46810

获得相应职位概率0.40.30.20.1获得相应职位概率0.40.30.20.1

(1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位,记这两人被录用的人数和为心求〃的分布列.

(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率.

(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由.

例7.(2025•江苏省•月考试卷)某品牌布娃娃做促销活动：已知有50个布娃娃，其中一些布娃娃里面有奖品，

参与者可以先在50个布娃娃中购买5个，看完5个布娃娃里面的结果再决定是否将剩下的布娃娃全部购买，设

每个布娃娃有奖品的概率为p(0<p<1)，且各个布娃娃是否有奖品相互独立.

(1)记5个布娃娃中有1个有奖品的概率为/Xp),当口=「。时，/(p)取得最大值，

求Po；

(2)假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品，以上问中的po作为p的值.已知每次购买布娃娃需要2元，若有中奖，

则中奖者每次可得奖金15元.以最终奖金的期望作为决策依据，判断是否该买下剩下所有的45个布娃娃；

(3)若已知50个布娃娃中有10个布娃娃有奖品，从这堆布娃娃中任意购买5个，若抽到k个有奖品的布娃娃可

能性最大，求〃的值.(%为正整数)

【方法储备】

随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般

先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

⑴当期望不同时，两个随机变量取值水平可见分歧,可对问题作巴判断.

⑵若两个随机变量期望相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程

度，进而进行决策.

⑶实际应用中是方差(期望)大了好还是小了好,要根据这组数据反应的实际问题来判断.

【拓展提升】

练3T.(2025•广东省茂名市•模拟题)甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分"Se/V\n>2)

关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员

被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者几关都挑

战成功，挑战比赛结束.若甲每•关挑战成功的概率均为p(0<pVI),乙每一关挑战成功的概率均为q(0V

q<l),且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响.

⑴已知甲先上场，P=,，g=n=2,

①求挑战没有一关成功的概率；

②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求E(X)；

(2)如果九关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并

说明理由.

练3-2(2025•浙江省温州市期末)某景区有•个自愿消费的项目，在某特色景点入口处，工作人员会为每

位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走

照片.若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段时间后，统计出平

均只有三成的游客会选择带走照片.为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿的关系做了市场调

研，发现价格与消费意愿有较强的线性相关性.统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片

的概率平均增加0.05.假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，每个游客是否

选择带走照片相互独立.

(1)若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？

(2)要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？

练3-3(2025•河北省石家庄市模拟)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有力，B两类问题，每位参加比赛

的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正

确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.4类问题中的每个

问题回答正确得m(OVm工100,m6N)分，否则得0分；8类问题中的每个问题回答正确得九(0</三

lOQnWN)分，否则得0分.已知学生甲能正确回答A类问题的概率为pi，能正确回答8类问题的概率为pz，

且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若学生中先回答4类问题，m=20,九=80,Pi=0.8,p2=0.6,记X为学生甲的累计得分，求X的分布

列和数学期望.

(2)从下面的两组条件中选择一-组作为已知条件.学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最

大？并证明你的结论.①m=P1>P2：②P1=P2，m>n.

考在四离散型随机变■概率m分布列的综合应用

【典例精讲】

例&(2025•湖南省•联考题)甲、乙两个不透明的袋中各有几(n22)个材质、大小相同的小球，甲袋中的小球分

别编号为1,2,n,乙袋中的小球分别编号为n+1,n+2,…,2几从甲袋中任取两个小球,编号记为“

b(a<b),从乙袋中任取两个小球，编号记为c,d(cvd).

(【)若"=5,设X=b—Q,求X的分布列和数学期望.

(11)设丫=。—Q,Z=d—b,事件“Y=Z”发生的概率记为匕.

(i)用含n的组合数表示匕；

(ii)证明：当nN3时,^<Pn<^.

附：I2+224-32+-4-n2=n(n+1^(2n+1).

例9.(2025•四川省成都市•模拟题)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金

融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，X1,Xf,X”

那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态儿,即P(儿+1]...,4_2，4_1，儿)=P(4+1]4).己

知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球(6个球的大小形状完全相同).记操作T：

从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复九次T操作后，记甲盒子中黄球个数为小，恰

有3个黄球的概率为力，恰有2个黄球的概率为盘，并记X”的数学期望为E(X。.

(1)求A，Qi；

(2)求E(X2);

(3)证明：｛E(Xn)-|｝是等比数列.

【方法储备】

离散型随机变量概率与分布列的综合应用是常考题目，解题时对应问题应用知识点，注意此部分可能与其它

模块内容的联系.

【拓展提升】

练4T.(2025•福建省•期末考试)一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况,需要检验血液是否

有抗体，现有几(7i£/r)份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则

需要检验n次；(2)混合检验，将其中k(kEN♦且kN2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果无

抗体，则这A份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这

k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为々+1次，假设在接受检

验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为p(0<p<l).

(1)假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有

抗体的血液样本全部检验出来的概率；

(2)现取其中k(kEN•旦kN2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为采用混合检

验方式样本需要检验的总次数为七.若E(G)=E(3)，求p关于k的函数关系式p=/(〃)，并证明pv1_e】.

练4-2.(2025•湖北省•期末考试)

甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：(一)每局胜者得1分，负者得。分;(二)若比赛进行到有一人比对方多2分

或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为VpV1),第二局比赛结束时比赛停止

的概率为常且各局胜负相互独立.

O

⑴求p;

(2)记X表示比赛停止时已比赛的局数，求X的分布列及数学期望；

⑶若不限定局数(即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件)，设a葡为比赛进行九局后仍未停止比赛的

概率，求数列｛即｝的通项公式.

新题放送

1.(2025•湖北省鄂州市•模拟题)一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向

左或向右跳动1个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色.则蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的期望

E(X)=.

2.(2025•福建省模拟)根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X(X为正整数)满足：对于任意

的几EN*,X=?i+1的样本在X〉几的样本里的数量占比与X=1的样本在全体样本中的数量与比相同，且

均等于《，即尸(X=n+1|X>n)=P(X=1)=；,贝iJP(X=n)=.

3..<2025•广西壮族自治区柳州市•模拟题)

不透明的口袋中装有编号分别为1，2,…，九5'2"WN*)的几个小球，小球除编号外完全相司.现从中有

放回地任取r次，每次取1个球，记取出的厂个球的最大编号为随机变量X,则称X服从参数为出厂的“8M”

分布，记为X〜BM(n,r).

(1)若X〜8M(2,2),求P(X=2)；

(2)若X〜且E(X)之千，求相的最小值；

(3)若X〜8”(八,八)，求证：V>2.^.ne/V*,F(X)>n-l.

【答案解析】

1.【人教A选择性必修三P60练习T3】

解：设P(《=l)=p,则P(《=o)=l-p.

依题意知，p=2(l-p),解得p=故p(《=0)=1-p=/.

故选从

2.1人教A版选择性必修三P71习题7.3T3]

解：因为P(X=%1)+P(X=%2)=[+[=1，故随机变量X的值只能为%1，%2,

(2

/]+./12=Q4=1

1hI22,解得

12,所以%-不|=1.

匕卜1-3)+式“2-§)=9

故选：B.

例1.解：••・P(X=n)="12)(九=1234),

aaaa.

.・//西+五=1,

30

•••Q=F'

VP(Z12<X<25\)=/5(X=1)、+P(,X=2)=3107X(31+81)=6585-

例2.解：选项A,由己知可得，a+2a+3a+4a+5a=1,即15a=1,故该选项正确；

选项B,尸(0.4VfV0.8)=P延=0.6)=3Q=卷=0.2,故该选项正确；

JL。

选项C,P(0,1<f<0.6)=P(f=0.2)+P(f=0.4)=P(f=|)+P(f=|)=-^+^=0.2,故该选项正确;

选项。，P«=l)=^x5=1^0.3,故该选项错误.

故选：ABC.

练1-1.解：P(X=k)==(2>_i)(2k+i)=-iTPT〉

5

•••£P(X=k)=l,

k=l

故选：A.

练1-2.解：,・,E2=oP(Z)+0=q+：+/+?=l(k€N),c=J,即P(0)=；xc=，.

4OA./UiLaO

故选:B.

例3解：由分布列的性质可得，n+m+1=1,所以九+m=

又因为E(X)=2，所以E(X)=〃+2m+3x.=P，即n+2m=擀,

OOOO

21

n+m=-m=-

联立《*3，解得，b

,r51

n+2m=-6n=2

所以m="

o

故选:B.

例4.解：当几=2时，f的可能取值为1,2,

P(f=l)=萼4P(一)=等4,

55

2389243

X+2X=⑹X+X

一

一-^-

因此E(f)=55555

252525

当几=3时，〃的可能取值为1,2,3,

PS=1)=警=/PS=2)=誓=1,P(〃=3)=警=p

因此E(〃)=lx1+2x14-3xl=2,。⑺=lxi+Ox|+lx|=1,

所以E⑹VES),。⑹VD<).

故选：A.

111

X

----・

例5.解：(1)甲、乙各得0分的概率尸。326，

甲、乙各得1分的概率A=卜**：=3；

5SLLlo

甲、乙各得2分的概率P2"x,x：x：x：=S

•5OO乙乙乙/

故两人得分相同的概率为Po+Pl+P2=务

(2)由题意知X的所有可能取值分别为0,1,2,3,4,

因为甲最多射击3次，所以X=0表示乙第一次射击就未击中目标，其概率与甲的得分无关,

故P(X=0)=1x1=|,同理P(X=l)=lx|x|=i,

X=2时，考虑甲射击3次和少于3次两种情况，

P(X=2)Vx；x"C)3(；4x；)x(；)Zx；=/

同理P。=3)=如#(，+*(，＞»方P(X=4)=gx0'=q

X的分布列为：

X01234

p111371

247214448

7.±1£1

小㈤一4十+36十48十12=-144.

2

练2-1.解：P(6=2)=为邑-=—=J=Cm+n+4=36,所以m+九+4=9,

Cm+n+4Gn+n+4b

取出的两个球一红一黄的概率：P=?Cm=复=£=；,...^=3,所以几=2,则771-71=1.

*+n+43693

由于P(f=2).P(f=D=警=黑JP(f=O)=g=H=得

U□JUzC#QJUJL。

^(O=ix2+|xl+Ax0=l+f=f.

故空1答案为：1；空2答案为:5.

练2-2.解：(1)X的可能取值为-1,0,1,根据记分规则，

得P(X=-1)=(1-0.6)x0.5=0.2,

P(X=0)=0.6x(1-0.5)+(1-0.6)x0.5=0.5,

P(X=1)=0.6x0.5=0.3.

所以X的分布列为：

X-101

P【).20.50.3

(2)丫的可能取值为-2,-1,0,1,2,由于两轮比赛的结果是独立的,

所以P(y=-2)=0.2x0.2=0.04,

P(Y=-1)=0.2x0.5+0.5x0.2=0.2,

p(y=0)=2x0.2x0.3+0.5x0,5=0.37,

P(y=1)=2x0.3x0.5=0.3,

P(y=2)=0.3x0.3=0.09,

所以y的分布列为：

Y-2-1012

p0.040.20.370.30.09

(3)£(V)=(-2)X0.04+(-1)x0.2+0x0.37+1x0.3+2x0.09=0.2,

D(y)=(-2)2x0.04+(-1)2x0.2+02x0.374-l2x0.3+22x0.09-0.22=0.98.

练2-3.解：(1)选手甲考核积分的总成绩t的所有可能取值为0,%,P1+P2,P1+P2+P3.

P(f=0)=l-(1)2=£=%)=(1)2x[1-(1)2]=,

431217

=Pl+P2)-(耳)2X(4)2X[q)34-C3x-X(2)2]=方

P(f=Pl+P2+P3)=(款X弓)2X[Clx(犷X|+(|)3]=去

所以f的分布列为

0PiPi+P2Pl+P2+P3

9774

P

25257515

所以数学期期E(f)=0x,+Pix《+(Pi+火)(Pi+P2+P3)xA=Pi+晟P2+AP3-

(2)证明：记选手乙考核积分的总成绩为G，

则&所有可能的取值为0,Pi»P1+P2，Pl+P2+P3-

P(4=。)=1-©2=晟，P&=PD=©2x[1一(1]=

P©=P1+P2)=()2X(1)2X伤)3+盘X'X@)2]=

P(6=Pl+P2+P3)=()2X(1)2X\ClX弓/X；+停尸]=备

所以fl的分布列为

0PiPl+P2Pl+P2+P3

939527

P

25100128128

所以数学期望E6)=0X费+P1X篇+(pl+P2)X言+(pl+P2+p3)X磊=£pi+；P2+得P3・

所以E(f)-£«1)=袅1+蓊2+33一碟Pl+\vz+磊P3)=盖P2+提P3>0,

所以E(f)>E(A),即无论Pi，P2和P3取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望都大于选于乙考核积分总

成绩的数学期望.

例6.解：(1)??=0,1,2,

则pg=0)=以OS=0.64,p(rj=1)=©0.2X0.8=0.32,p["=2)=C^0.22=0.04,

所以〃的分布列为

012

P0.640.320.04

小方月薪高于小芳月薪的概率：P=0.4x0.4+0.3x0.4+0.2x(0.4+0.3)+0.1x(0.4+0.3)=0.49

(3)入职甲公司，月薪的期望为E(X)=0.4x54-0.3x6+0.2x7+0.1x8=6,

方差D(X)=0.4x(5-6)2+0.3x(6-6)2+0.2x(7-6)2+0.1x(8-6)2=1,

入职乙公司，月薪的期望为E(y)=0.4x4+0.3x6+0.2x8+0.1x10=6,

方差。(X)=0.4X(4-6)2+0.3X(6-6)2+0.2X(8-6)2+0.1X(10-6)2=4,

乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3X0.4+0.2X(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4,

即E(X)=E(Y),D(X)<D(y),即两家公司月薪的期望相同，但平公司月薪的波动性小，乙公司的月薪波动

性更大，且甲公司月薪高于乙公司的月薪概率更大，故选甲公司.

例7.解：(1)由题意可得/(p)=C》(l-p)4,

f'(p)=C9[(l-p)4-4p(l-p[3]=cg(l-p)3(l-5p),

令r(p)=。得p=

当pe(0,3时，/'(p)>0；

◊

当PE号,1)时，f(p)<0,

f(p)的最大值点为p=Po="

因此当p=Po=上时，/(p)取最大值.

(2)由(1)可知po=

设剩下45个布娃娃中有y个奖品，获利为X元，

则丫~8(45w),

XX=157-90.

因此E(X)=E(15Y-90)=15E(y)-90=15x45x1-90=45>0,

因此该买下剩下所有的45个布娃娃.

(3)设抽到Z个有奖品的布娃娃的可能性为p(£),

则/)=啥，根据题意可得｛；猾;;

(10-k)(5-k)&(k+1)[36+k)

化简得々(35+6<(11-卜)(6-k)

解得看小三弟从而k=1.

练3-1.解：(1)①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P,

则「=

②依题可知，X的可能取值为0,1,2,

则P(X=0)=；;

P(X=l)=p(l-p)(l-q)+(l-p)(7(l-Q)=|xlx(l-1)+ixlx(l-i)=A,

1，7

P(X=2)=l-5--=-,

所以E(X)=0xl+lx-+2x^=i|；

(2)设甲先出场比赛挑战成功的概率为P],乙先出场比赛挑战成功的概率为P2，

则P：=p71+pn-1(1-p)q+pn-2(l-p)q2+…+(1-p)qn

=(pn+pnTq+pn~2q2+…+q71)-(_pnq+pn-1q2+pn~2q3+…+pqn)；

nn-1n22

P2=q+Q(l—q)p+q~(l-q)p+•••+(1-q)p"

=(qn+qn-1p+qn~2p2H---Fpn)-(q"p+Qn-1p2+qn~2p3+…+qp");

由p"+p"Tq+pn-2q2+...4-Qn=q"+Qn-1p+qn~2p2+…+pn,

pnq+prt-1q2+pn~2q'3H---Fpq"=qnp+qn~yp2+qn~2p'3H---Fqpn,

得P：=P2，

则甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同.

练3-2.解：(1)当收费为20元时，照片被带走的概率为0.3,不被带走的概率为07设每个游客的利润为匕元,

则X是随机变量，其分布列为：

Yi15-5

P0.30.7

E(K)=15x0.3-5x0.7=1阮),故5000个游客的平均利润为5000元,

当收费为10元时，照片被带走的概率为0.3+0.05X10=0.8,不被带走的概率为0.2,

设每个游客的利润为七元，则为是随机变星，其分布列为：

彩5-5

P0.80.2

E(Y2)=5x0.8-5x0.2=3(元)，故5000个游客的平均利润为5000x3=15000(元),

该项目每天的平均利润比调整前多10000元；

(2)设降价工元，则OWxV15,照片被带走的概率为0.3+0.05%,不被带走的概率为0.7-0.05》,

设每个游客的利润为丫元，则V是随机变量，其分布列为：

Y15—%-5

P0.3+0.05x0.7—0.05%

E(K)=(15-x)(0.3+0.05x)-5(0.7-0.05x)=0.05[69-<%-7)2],

当％=7时,E(y)有最大值3.45元,

当定价为13元时，口平均利润的最大值为5000x3.45=17250(元).

练3-3.解:(1)由题意得X的可能取值为0,20,100.

P(X=0)=0.2,P(X=20)=0.8x0.4=0.32,P(X=100)=0.8x0.6=0.48,

分布列如下表：

X020100

P0.20.320.48

则X的数学期望E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

(2)如果选择条件①.

若甲同学选择先回答4类问题，得到对应的分布列为

X】0m2m

P1-PiPl(l-P2)P1P2

E(XD=mpi(l+p2).

若甲同学选择先回答B类问题，得到对应的分布列为

x?0n2n

P1一P2P2(l-Pi)P1P2

E(X?)=即2(1+pi).

E(XJ-F(XZ)=mpi(l+p2)-np2(l+p»=m(px-p2)>0,

所以甲同学先回答人类问题的期望大.

如果选择条件②.

若甲同学选择先回答人类问题，得到对应的分布列为

X30mm+n

P1—PiP1(1-P2)P1P2

£(>3)=Pi(m+np2).

若甲同学选择先回答8类问题，得到对应的分布列为

X40nm+n

P1一P2P2（1-P1）P1P2

n

£(局)=p2(+mPi)，EC%)-F(X4)=(m-n)pr>0,

所以甲同学先回答A类问题的期望大.

例8.解：(1)由题意得：设“甲在校运会铅球比赛中获优秀奖”为事件儿

比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有：9.80,9.70.9.55,9.54四个，

所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(4)=0.4,

(2)X所有可能取值为0,1,2,3.

甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(力)=0.4.

乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件8,则尸(B)=0.5.

丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C,则P(C)=0.5.

P(X=0)=0.6x0.5x0.5=0.15,

P(X=1)=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.4,

P(X=2)=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.35,

R(X=3)=0.4x0.5x0.5=0.1,

则E(X)=0x0.15+1x0.4+2x0.35+3x0.1=1.4;

(3)丙获得冠军的概率估计值最大.

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩比赛一次，丙获得9.85的概率为%甲获得9.80的概率为击,

乙获得9.78的概率为：，并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.

O

例9.解：(1)由题目有：

DC；C；1c或c\c\c14

(2)由题目定义:假设我们的序列状态是…，X—，儿一1，儿，4+1，

那么治+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态儿，

即P(4+i|...,X”2，XS1，XJ=P(X,+1]XJ

记重复n次7•操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为降，

易得&=*福=/

X2的所有可能得取值为3,2,1,0,

且尸%=3)=P2=P10+Q](4一昌)+&.0=言,

「301

P/=2)=Q2=P…+Q「箸赳$奥+&.*机喑,

P(£z=i)=&=P「o+Q「gS+R「(l，5=||，

P(Xz=0)=P】•()+Qi•0+%.日寻=4,

所以X2的分布列为:

X?3210

441324

p

81818181

3x4+2x41+1x32+0x414

E(Xz)=81V

(3)证明：记重复几次r操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为尤

G1

o+a+RO

n=9-

711G44

%1+6-+-+=8+-+-

Qn033/?n9Qn9/?n

221221

Rn+l=%,0+Qn・(W,W)+Rn•(W,W+W,W)+(1-4-Qn-Rn)-1

二1一吊_1^n»

18RKK21

3&+1+2Qn+l+Rn+1=§Qn+24+§Qn+§&t+1-B-§Qn-§%=&+§Qn+§Rm+L

即E(X豌+i)=jf(Xn)+1=E(Xn+1)-1=|叩(XQ-|],

首项是E(X1)-R3P1+2Q1+R1-R95/

因此｛E(X〃)-小是公比为;等比数列，故得证.

练4-1.解：(1)设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件4

所以P(A)=胆警殂=击

所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为得.

(2)由已知得E(&)=匕

基的所有可能取值为1，k+1.

所以P&2=1)=(1-p)"，P&2=k+1)=1-(1-p)k,

所以E(&)=(1-P)"+(k+1)[1-(1-P)k]=k+l-k(l-p)k,

若E&1)=F(G),则忆=k+1—A(1-p)k,

所以R(l-P)k=1,(1-P)k=p

所以1-P=即p=1-(J”,

1

所以p关于k的函数关系式为p=f(k)=1-(k>2且keN)

i

证明：令£=@丫(攵工2且攵€/7)

所以Int=|lni=-哈

令9(%)=一竽(％?2),gZ(x)=掾L

所以g'Q)=0得x=e,

所以0W(2,e),“(%)V0,g(x)单调递减，

xe(e,4-oo),g\x)>0,g(x)单调递增，

所以g(%)min=g(e)=-：，所以乎之一也

因为k>2且keN\

所以半>即9n卜

kekke

所以e》年〉el,即Cy>e4,

i]

所以p=l-G)”<l-e=.

练4-2.解：(1)第二局比赛结束时比赛停止的概率为今

O

则/+(1-p)2=]整理得：16P2-16p+3=0,

o

解得：V=[或P=；，

因为p<1,所以P=1:

(2)X的可能取值为2,4,6,

P(X=2)=p2+(1-p)2=G)’+Q)?=I，

22

P(X=4)=2X1X1X[(1)+(1)]=|X|=||,

P(X=6)=G)2=A，

则x的分布列为:

r6

||864|64|

数学期望：E(X)=2x|+4xi1+6x^=^；

(3)由题可得Qi=1,Q3=。2=2XXX彳=E，

当九为奇数5二3)时，第5-1)局没有停，甲乙得分均为号分，则Qn=Qn-l，

当九为偶数时，an+2=2x^x^