2026年中考数学一轮复习：锐角三角函数（含解析）

中考数学一轮复习锐角三角函数

一.选择题（共10小题）

I.（2025•梅县区一模）在18C中，ZC=90°,AB=RBC=6则NA的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

2.（2025•绥化模拟）在中，ZC=90°,设NA,4,NC所对的边分别为b,c,则（

）

A.c?=/?sinBB.b=csinBC.a=blanBD.Z?=ctanB

3.（2025•义乌市模拟）若NA是锐角，且sinA='，则（）

3

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°C.45°<Z4<60°D.60°<ZA<90°

4.（2025•邵阳模拟）N8AC放在正方形网格纸的位置如图，则tanN区AC的值为（）

5.（2025•道里区模拟）如图，某数学兴趣小组测量一棵树。。的高度，在点A处测得树顶C的仰角

为45。，在点8处测得树顶。的仰角为60。，旦A、B、。三点在同一直线上，若48=（86+8）米，

则这棵树CZ）的高度是（）

A.米B.米C.10G米D.12g米

6.（2025•海珠区一模）如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH.小乐沿着水平面步行

17〃?到达点8时拍到树顶点尸，仰角为63。；小静沿着坡度1=5:12的斜坡步行13m到达点C时拍到

树顶点产，仰角为45。，那么这棵木棉树的高度约（）〃?.（结果精确到1〃?）（参考数据：sin63°«0.9,

cos63°«0.5»tan63°=2.0）

C.20D.19

7.（2025•肇庆一模）在正方形网格中，NAO8如图放置，则tanNAOB的值为（）

8.（2025•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8/〃的测量仪所测得顶端A的仰角为

45°，小军在小明的前面5〃?处用高1.5〃?的测量仪CZ）测得顶端A的仰角为53。，则电子厂AB的高度

为（）

434

（参考数据：sin53°«—»cos53°«—»tan53°«—）

553

A

二二二二二二二二；；

CN

FDB

A.22.1mB.22.4/zzC.212〃D.23。〃

9.（2025•垦利区二模）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得

44二88乙ZC=42°,45=60,则点A到/5C的距离为（）

„60

A.60sin50°C.60cos50°D.60tan50°

sin500

10.（2025•丰南区校级二模）如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为62。，测得BC=10米，则

树的高Afi（单位：米）为（）

A.——B.——C.10tan62°D.1Osin62°

sin620tan62°

二.填空题（共10小题）

11.（2025•新泰市三模）如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度C,无人机在空中点尸

处，测得点?距地面上A点100米，点A处俯角为60°,楼顶C点处的俯角为30。，已知点A与大楼

的距离为80米（点A,B,C,夕在同一平面内），则大楼的高度3C=米.（结果精确到

0』米，参考数据：x/3®1.732）.

P

容

c

Q

O

D

O

O

a

o

Q

a

g

A/B

77777777777777777777T777T7T/T

12.（2025•东营区模拟）如图，已知公路/上A,4两点之间的距离为20米，点8在C的南偏西3。。

的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路/的距离为米.

R

13.（2025•江西）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形A5co，连接AC,则tanNC4B=

15.（2025•长沙一模）如图，AC是操场上直立的一根旗杆，旗杆AC上有一点8,用测角仪（测

角仪的局度忽略不计）测得地面上的。点到3点的仰角N8Z）C=45。，到A点的仰角NADC=60°,

若8C=3米，则旗杆的高度47=米.

三.解答题（共5小题）

21.（2025•惠州二模）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角是30°,看这栋楼底的

俯角为60。，热气球与楼的水平距离为120米，这栋楼有多高？

BBB

一DG

fpfaGE

eBGN

陷sGB

俘Q

■rEB

口E

BQCC

csmC

pE

ffalGfBl

fcfnn

B尸

22.（2025•澄迈县模拟）如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建

筑物底端8在同一水平线上的A点出发，沿斜坡4）行走130米至坡顶。处，再从。处沿水平方向

继续前行若干米后至点石处，在石点测得该建筑物顶端C的仰角为60。，建筑物底端8的俯角为45。,

点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡A£＞的坡度i=l:24.根据小颖的测量数据，求建筑物8C

23.（2025•重庆模拟）某动物园熊猫基地。新诞生了一只小熊猫，吸弓I了大批游客前往观看.由于

A、8之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口A进入园区之后可步行到达点C,然

后可以选择乘坐空中缆车从Cf。，也可选择乘坐观光车从已知点。在点A的北偏东

45。方向上，点。在点。的正东方向，点B在点A的正东方向30（）米处，点。在点8的北偏东60。方

向上，且期）=400米.（参考数据：V2«1.414,6al.732,x/5®2.236）

（1）求CD的长度（精确到个位）；

（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫

基地。，应选择乘坐空中缆车还是观光车？

北

24.（2025•泰兴市三模）如图I是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架.点A、B、C处均可

旋转180。，CD处可摆放平板或者手机.其中=BC=75mm,CD=80〃w?.研究表明，

当手机（CD）与桌面的夹角为55。时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的第度.

（1）如图2,当AA和桌面垂直旦BC_LCO时，可将8c绕点3旋转一定的角度，就能达到最舒适的

观影状态，求此时NC"的度数；

（2）在（1）的条件下求点。到的距离（结果保留整数）.（参考数据：sin35。n0.57,cos35°«0.82,

tan35°«0.70.)

图2

25.（2025•淮安）拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱

体截面是矩形8CDE,8C的长度为60o〃，两节可调节的拉杆长度相等，且与8c在同一条直线上.如

图1,当拉杆伸出一节（A3）时，AC与地面夹角NACG=53。；如图2,当拉杆伸出两节（AM、MB）

时，AC与地面夹角Z4CG=37。，两种情况下拉杆把手4点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度.

434

(参考数据：sin53°«—,sin37°,tan53°«—,tan37。n

553

AA

E

E

BM

D

D

GG

C

ffll图2

中考数学一轮复习锐角三角函数

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

I.（2025♦梅县区一模）在418。中，ZC=90°,AB=®=W，则NA的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【考点】特殊角的三角函数值

【专题】解直角三角形及其应用

【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案.

【解答】解：•.•NC=90。，AB=5BC=6

ADy/62

：.ZA=45°.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

2.（2025•绥化模拟）在△ABC中，ZC=90°,设NA,ZB,NC所对的边分别为a,b,c,贝I"

)

A.c=〃sin8B.b=csinBC.a=btanBD.Z?=ctaiiB

【答案】B

【考点】锐角三角函数的定义

【专题】运算能力；解直角三角形及其应用

【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可.

【解答】解：A、sin5=-,

c

则。=csin8,本选项说法错误；

B、〃=csinB,本选项说法正确；

C、tanB=—9

则人=atan。，本选项说法错误；

D、〃=atan4,本选项说法错误；

故选：B.

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握正弦、正切的定义是解题的关键.

3.（2025•义乌市模拟）若NA是锐角，且sinA=L则（）

3

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

【答案】A

【考点】锐角三角函数的增减性

【专题】等腰三角形与直角三角形；数感

【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论.

【解答】解：:NA是锐角,且sin人=[<"!■=sin30。，

32

.-.O0<Z4<30°.

故选：A.

【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

4.（2025•邵阳模拟）N8AC放在正方形网格纸的位置如图，则tanNBAC的值为（）

【答案】D

【考点】勾股定理：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义

【分析】连接CD,再利用勾股定理分别计算出4）、AC.的长，然后再根据勾股定理逆定理证

明“C=9O。，再利用三角函数定义可得答案.

【解答】解：连接CD,如图:

AD=y)22+22=2x/2,CD=\T+12=x/2,AC=B+F=屈，

V(2>/2)2+(V2)2=(Vi0)2

/.ZADC=90°,

/.tanZBAC=-=^=-.

AD2>J22

故选：D.

【点评】此题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明ZADC=90°.

5.(2025•道里区模拟)如图，某数学兴趣小组测量一棵树C。的高度，在点A处测得树顶C的仰角

为45。,在点4处测得树顶C的仰角为60。，且A、B、。三点在同一直线上，若AB=(86+8)米，

则这棵树CD的高度是()

A.66米B.米C.10G米D.12G米

【答案】B

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力

【分析［根据题意可得：COJ_A4,设a)=x米，然后在RlABDC中，利用锐角三角函数的定义求

出CO的长，再在RtAACD中，利用锐角三角函数的定义求出仞的长，然后根据47+4/)=列

出关于”的方程，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：CD_AB,

设3£>=x米，

在RtABDC中，NCW=600,

.•.CD=BDtan6()o=x/3x(米)，

在RtAACD中，ZDAC=45°,tanND4c=1,

AD=——=\/3(米)，

tan45°

BD+AD=AB,

A+V3x=8>/3+8

解得x=8,

.-.CD=>/3x=8x/3（米），

，这棵树8的高度约为873米.

故选：B.

【点评】本题考兖了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关

键.

6.（2025•海珠区一模）如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树"7.小乐沿着水平面步行

17〃?到达点B时拍到树顶点F,仰角为63。：小静沿着坡度1=5:12的斜坡步行13m到达点C时拍到

树顶点F，仰角为45。，那么这棵木棉树的高度约（），〃.（结果精确到1〃?）（参考数据：sin63°«0.9,

cos63°x0.5,tan63°«2.0）

r

【答案】C

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯先问题

【专题】解直角三角形及其应用：运算能力

【分析】过点C作C/）_LA”,垂足为。，过点。作。石_!_切，垂足为石，根据题意可得：CD=EH,

CE=DH,AB=17米，再根据已知可设CD=5x米，则AO=12x米，然后在巾，利用勾

股定理进行计算可得8=£〃=5米，40=12米，最后设CE=O”=y米，则8”=。，-5）米，分别

在R/4BFH和心ACEF中,利用锐角三角函数的定义求出FH和正的长，从而列出关于），的方程

进行计算，即可解答.

【解答】解：过点。作8_!_人〃，垂足为。，过点C作垂足为E,

由题意得：CD=EH,CE=DH,AA=17米,

•.•斜坡AC的坡度i=5:12,

CD5

75-12

.•.设C£>=5x米，则AO=12K米，

在/“△AC。中，AC=yjCDr+AUr=7(5%)2+(12x)2=13x(米)，

•・・AC=13米,

：A3x=\3,

解得：x=1,

:.CD=EH=5米,4)=12米，

设CE=O"=y米，

.•.8〃=AO+O”-A3=12+y-17=()，-5)米，

在对△班H中，4FBH=8>。,

FH=BH-tan630*2()，-5)米，

在知中，/尸8=45。.

.•.FE=CE・tan450=y米，

♦;EF+EH=FH,

.\y+5=2(y-5),

解得：y=15,

.\FH=FE+EH=15+5=20(米)，

这棵木棉树的高度约为20米，

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三用形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结

合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

7.(2025•肇庆一模)在正方形网格中，N4OB如图放置，则tanNAOB的值为()

5

【答案】A

【考点】锐角三角函数的定义

【专题】等腰三角形与直角三角形

【分析1根据图形找出角的两边经过的格点以及点O组成的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对

边比邻边解答.

7

【解答】解：如图，tanZAOB=—=2.

1

故选A.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键.

8.（2025•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8，〃的测量仪EF测得顶端A的仰角为

45°，小军在小明的前面5〃z处用高1.5机的测量仪CZ）测得顶端A的仰角为53。，则电子厂AB的高度

为（）

434

（参考数据：sin53°«—»cos530%—»tan530*—）

553

A

FDB

A.22.1mB.22.4/z?C.212〃D.23.0m

【答案】A

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】根据题意可■得：EF=BM=l.8〃i,CD=BN=1.5m,DF=5nt,EM=BF,BD=CN,

EM±AB,CN上AB,然后设BD=CN=xm,则EM=BF=（x+5）m,分别在和心△

AOV中，利用锐角三角函数的定义求出A例和4V的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解

答.

【解答】解：由题意得：EF=BM=1.8m,CD=BN=\.5m,DF=5m,EM=BF,BD=CN,EMA.AB,

CN工AB,

议BD=CN=xm,

EM=BF=DF^BD=(x+5)/n,

在Rf△AEM中,ZA£M=45°,

AM=EM-tan450=(x+5)m,

在A/ZXACV中，ZAC7V=53°,

4

/.AN=CN-tan53°»—%(/??),

AM+=AN+BN=AB,

4

x+5+1.8=-x+1.5,

3

解得：x=15.9,

4

/.AN=—x=2\.2(m),

AB=AN+BN=21.2+1.5=22.7(〃?)，

电子厂AB的高度约为22.7/〃，

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关

键.

9.(2025•垦利区二模)如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得

ZA=88°,ZC=42°,A8=60,则点A到8C的距离为()

60

A.60sin50°B.-----C.60cos50°D.60Um50°

sin50°

【答案】A

【考点】解直角三角形的应用

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识

【分析】先求出/3=180。一88。-42。=50。，再用三角函数定义，求出A£>=A/3xsin4=60xsin50。,

即可得出答案.

【解答】解：过点A作AD_LBC于点。，如图所示：

VZfi4C=88°,ZC=42°,

二.ZB=180°-88°-42°=50°,

在RtAABD中，AD=ABxsinfi=60xsin50°,

.•.点A到3C的距离为60sin50。，故A正确.

故选；A.

C

V

B

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键

是熟练掌握三角函数的定义.

10.（2025•丰南区校级二模）如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为62。，测得BC=10米,则

树的高A3（单位：米）为（）

A

sin62°tan62°

【答案】C

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】根据题意可得：NA比*=90。，NACE=62。，然后在RtAABC中，利用锐角三角豕数的定义

进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：

ZABC=90°,ZACB=62°,

在RtAABC中，8c=10米，

.AB=-tan62°=10lan62°（米），

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关

键.

二.填空题（共10小题）

11.（2025•新泰市三模）如图所示,某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度C,无人机在空中点2

处，测得点P距地面上A点100米,点A处俯角为60°,楼顶C点处的俯角为30。，已知点A与大楼

的距离45为80米（点A,B,C,P在同一平面内），则大楼的高平区。=69.3米.（结果精

确到0.1米，参考数据:6,1.732）

【答案】69.3.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】应用意识；解史角三角形及其应用

【分析】过尸作于H,过C作CQ_LP〃于Q,而C8_LAB,则四边形是矩形，先

解RtAAPH,求出PH,AH,得到CQ的长度，再解RlAPQC,得到PQ的长即可解决问题.

【解答】解：如图所示：

P

茗

-c

QO

OD

aO

o

ao

777777A////////////

过P作尸于"，过C作CQ_L/W于Q,而CB_LA/3,

则四边形CQ-3是矩形，

:.QH=BC,BH=CQ,

由题意可得："=100米，ZE4//=60°,NPCQ=30。，AB=80米，

/.PH=APsin60°=100x^=5075（米），AH=APcos60°=50（米），

2

.-.C2=BH=80-50=30（米），

/.P0=C0tan3O0=loV3（米），

/.BC=QH=50g-10x/3=4（）75x69.3（米）,

•••大楼的窗度BC约为69.3米.

故答案为：69.3.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定与性质，理解仰角与俯角的

含义是解本题的关键.

12.（2025•东营区模拟）如图，已知公路/上A,2?两点之间的距离为20米，点ZT在。的南偏西30。

的方向上，A在C的南偏西60。方向上，则点C到公路/的距离为_106_米.

R

【答案】1（）73.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【专题】运算能力；推理能力；应用意识；等腰三角形与直角三角形：解直角三角形及其应用

【分析】过点C作COJ■公路/于点。，证NAC8=NC4B=30。，得AB=8C=20米，再在RtABCD

中，根据CD=8CsinNC8D计算求得CD的长即可.

【解答】解：如图，过点C作CO_L公路/于点O,

贝|JZAZX?=9O。，ZBCD=30°.ZACD=60°,A3=20米，

/./ACH=7ACD-/RCD=60°-30°=30°./CAD=90°-/ACD=90°-60°=W.

ZACB=ZCAD,

.•.AC=AB=20米，

rry

在RtABCD中，cosZ5CD=—,

BC

CD=BC-cos/.BCD=20x立=K）G（米），

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角

三角形是解决问题的关键.

13.（2025•江西）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形A4CO,连接AC,则tanNC48=

图1

【答案心

【考点】七巧板；平行四边形的判定与性质；解直角三角形

【专题】解直角三角形及其应汨；运算能力

【分析】根据所给拼图，得出四边形"C7?是平行四边形，根据平行四边形的性质及正切的定义即可

解决问题.

【解答】解：令AC与的交点为O,

S.CD//AB,

又•.•A4=CO,

.•・四边形ABC。是平行四边形，

:.AC与8。互相平分，

OB=-BD.

2

：.OB=-AB.

2

在RtAAOB中，

tanZ.CAB=.

AB2

故答案为：

2

【点评】本题考查解直角三角形、七巧板及平行四边形的判定与性质，能根据所拼图形得出四边形

ABCO是平行四边形及熟知正切的定义是解题的关键.

14.（2025•凉州区一模）已知a为锐角.若sina=且，则。=60°.

2

【答案】60.

【考点】特殊角的三角函数值

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力

【分析】根据特殊角的三角函数值计算.

【解答】解：=sin30。="，

/.a=60°.

故答案为：60.

【点评】本题考查特殊角三角函数值，熟记各特殊角三角函数值是解题的关键.

15.（2025•长沙一模）如图，AC是操场上直立的一根旗杆，旗杆AC上有一点4,用测角仪（测

角仪的高度忽略不计）测得地面上的。点到4点的仰角NA/）C=45。，到A点的仰角NA0C=60°,

若8c=3米，则旗杆的高度AC=_3G_米.

【答案】3百.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯先问题

【专题】解直角三角形及其应用：运算能力

【分析】在RLXBDC中，根据/8DC=45。，求出DC=8C=3米，在RtAADC中，根据NADC=60。

即可求出AC的高度.

【解答】解：在RtABDC中，

•/ZBDC=45°,

.♦.DC=4C=3米，

在RtAADC中，

•/ZAPC=60°,

?.AC=DCtan60°=3x>/3=（米）.

故答案为：3G.

【点评】本题考查了解直角三龟形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形,

难度一般.

16.（2025•揭东区一模）如图，ZAOB是放置在正方形网格中的一个角，则cosN4OB的值是_盘

【考点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义

【分析】首先连接由勾股定理易求得。片=『+32=10,48?=『+32=10,OB2=22+42=20,

然后由勾股定理的逆定理，可证得AAO8是等腰直角三角形，继而可求得cosNAOB的值.

【解答】解；连接A3,

•/OA2=12+32=10,>4B2=12+32=1O,OB1=22+42=20,

..OA1+AB2=OB2,OA=AB,

.•.AAQB是等腰直角三角形，即NQ45=90°,

,-.ZAOB=45%

/.cosZ.AOB=cos45°=—.

故答案为：立.

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理.此题难度不大，注意掌

握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

17.（2025•旺苍县三模）如图，A,B,C,。均为网格图中的格点，线段M与8相交于点P,

则44叨的正切值为3.

【答案】3.

【考点】解直角三角形

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析］连接CM，ON,根据题意可得CW//A4,从而可得NAPD=NNCD,然后利用勾股定理

的逆定理证明△C7W）是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.

【解答】解：连接CM,ON,

B

山题意得:

CM//AI3,

ZAPD=ANCD,

由题意得:

CAT2=12+12=2,

D?/2=32+32=18,

CD~=2?+4。=20,

：.CN2+DN2=CD2

.•.△CNQ是直角三角形，

tanZ^CD=—=^=3,

CNV2

.•.NAPD的正切值为：3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

18.（2025•徐汇区三模）一斜坡的坡角为a,坡长比坡高多10（）米，那么斜坡的高为皿光

l-sina

（用。的锐角三角比表示）.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识

【分析】设斜坡的高MC为x米，根据正弦的定义用x表示出根据题意列出方程，解方程得到

答案.

【解答】解：设斜坡的高人C为x米,

在心△48。中，NB=a,

.”A。

•/sinD------,

AB

ACxu,

..AB=———=———术，

sinBsina

由题意得:7=100,

sina

解得：x=32，

1-sina

故答案为：幽皿米.

1-sina

4

C------------------------B

【点评】本题考杳的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，热记锐角三角函数的定义是解题的关键.

19.（2025•中山市一模）一个斜坡的坡度i=l:2,若某人沿斜坡直线前进100〃?，则垂直高度上升了

20后_卅.

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【分析】根据题意作出图形，由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边.根据题意可得

tanZ>4=-,A3=10/〃，可解出直角边AC,即得到位置升高的高度.

2

【解答】解：由题意得，BC:AC=1:2,

：.BC：AB=\:&

•「AZ?=100〃？，

...BC=20底〃.

故答案为：20G.

【点评】本题主要考查坡度的定义以及解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化.

20.（2025•广西模拟）图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“L型”托架A-C-E用

于放置手机，支架班）两端分别与托架和底座MN（其厚度忽略不计）相连，支架3端可调节旋转角

度，已知AB=23D=48C,支架调整到图2位置时，N3DW=60。，ZABD=120°.因

实际需要，现将支架笈端角度调整为NA/3Q=15O0,如图3所示，则点A的位置较原来的位置上升高

度为_(12-6>/3)_cw.

【答案】(12-6>/3).

【考点】解直角三角形的应用

【分析】如图2,过点A作AQ_LMN交MN于点Q,过点B作8G//MN交A。于点G,过点8作

BF工MN于点、F,如图3,延长4c交于点“，在RtAABG和RtABDF中分别算出入G和加',

求出点A到MN的距离，再在RtABDH中，算出4”，AH»再作差即可求得.

【解答】解：如图2,过点A作AQ_LMN交MN于点Q,过点、B作BG//MN交AQ于点、G,过点B

作MJLMN于点/，如图3,延长BC交MN于点H

旋转前如图3:

vZBDM=60°,ZABD=120°,8G//MV,

:.NABG=4DBG=&f,

vAB=2BD=4BC,RD=6cm,

AB=12cm»BE=3cm>

ZAG5=ZBED=90°,

在RtAABG和RtABDF中，

AG=ABsin60°=12x—=6Mcni,

2

BF=BD-sin60°=6x—=3&m,

2

故点A到MN的距离为：6>/3+3x/3=9辰m,

旋转后如图3:

•.•Z4BD=I5O°,

/.ZZ)BC=30°,

vZBDM=60°,

:./DHB=900,

在RtABDH中，

BH=8。•sin60°=6x—=3x/J(a〃),

故A"=A3+=（12+3。）加，

点A的位置较原来的位置上升高度为：12+3百-96=（12-66）（。〃），

故答案为：（12-6万）.

【点评】本题主要考查解直角三角形的实际应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形.

三.解答题（共5小题）

21.（2025•惠州二模）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角是30%看这栋楼底的

俯角为60。，热气球与楼的水平距离为120米，这栋楼有多高？

【答案】这株楼的高度AC约为160百米.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识

【分析】在直角三角形4加中和直角三角形ACO中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得⑺和

C7）的长，从而可以求得AC的长，本题得以解决.

【解答】解：如图，

由题意可得，

44）=30。，ZC4D=60°,AO=120米，ZAZ）C=ZADB=90°,

在RtAADB中，z7M£>=30°,A£>=120米，

BD=AD-tan30°=120x=4073（米），

3

在RtAADC中，ZC4D=60°,A£>=120米，

/.CD=4Dtan60°=120x/3（米），

:.BC=BD+CD=40x/34-120^=160>/5（米），

即这栋楼的高度BC约为160G米.

【点评】本题考盒解直角「角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

22.（2025•澄迈县模拟）如图，为了测量某建筑物3c的高度，小颖采用了如下的方法；先从与建

筑物底端4在同一水平线上的4点出发，沿斜坡4。行走130米至坡顶。处，再从。处沿水平方向

继续前行若干米后至点七处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°,建筑物底端3的俯角为45。，

点A、B、C、。、石在同一平面内，斜坡AD的坡度i=l:24.根据小颖的测量数据，求建筑物8C

【答案】（50+506米.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识

【分析】过。作于H,延长DE交BC于F.则四边形3”即是矩形，得BF=DH,在

RtAADH中求出再解直角三角形求出功、B的长，即可解决问题.

【解答】解：如图，过。作Z>/_LAZ?于"，延长DE交4c于厂.

则四边形。，汨尸是矩形，

:.BF=DH,

在RtAADH中，4。=130米，DH:AH=\:2A,

:.DH=5（）（米），

;.BF=DH=5U（米），

在RtAEFB中，NBEF=45。,

.•.的心是等腰直角三角形，

..EF=BF=50（米），

在RtAEFC中，ZCEF=60°,tanZCEF=tan600=—=x/5,

EF

:.CF=»EF=50&（米），

/.BC=BF+CF=（50+50>/3）（米）.

答：建筑物8C的高度为（50+5（）6）米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造直角三角形解决问题.

23.（2025•重庆模拟）某动物园熊猫基地。新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看.由于

A、8之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口A进入园区之后可步行到达点C,然

后可以选择乘坐空中缆车从CT。，也可选择乘坐观光车从Cf8t0.已知点C在点A的北偏东

45。方向上，点。在点C的正东方向，点8在点A的正东方向300米处，点。在点8的北偏东60。方

向上，且80=400米.（参考数据：啦=1.414,73®1.732,石。2.236）

（1）求CD的长度（精确到个位）；

（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫

基地。，应选择乘坐空中缆车还是观光车？

北

【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用-方向角问题

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】（1））作。3_1_48于知，BN1CD于，N,推出四边形M8NC是矩形，得到=

CN=MB,求出BN=，BO=1x400=200（米），由锐角的正切定义求出ON的长，由AAMC是等

22

腰直角三角形，得到八Af=CM=8V,求出MB的长，即可解决问题；

（2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断.

【解答】解：（1）作CMJ.A8于M,BN工CD于N,

•：CD//AB,

四边形M8NC是矩形,

:.CM=BN,CN=MB、

•;NDBN=W,

.-.«/V=-^D=-x400=200（米），

22

tanZNBD=—=j3>

BN

DN=2（）0>/3（米），

•「ZC4M=45°,

.•.A4mC是等腰直角三角形，

.•.AM=CM=200（米），

：.MB=AB-AM=\OO（米），

.•.CD=CN+ND=100+200尺446（米）；

（2）由勾股定理得到BC=JMC2+MB2=1（X）6（米），

...BC+8。=400+100石=623.6（米），

「•乘坐观光车的时间是623.6+320。1.95（分钟），乘坐空中缆车的时间是446+200=2.231分钟），

・・・应选择乘坐观光车.

【点评】本题考查解直角三角形的应用一方向角问题，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角

形，应用三角函数定义来解决诃题.

24.（2025•泰兴市三模）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架.点A、B、C处均可

旋转180。，C£＞处可摆放平板或者手机.其