第2章 实数 学案-2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025~2026学年北师大版八年级上册数学回归教材系列

教材重点例题与习题

范围：北师大版八年级上册数学第2章实数

一,判断题

判断下列说法是否正确:

1.所有无限小数都是无理数；()

A.正确B.错误

2.所有无理数都是无限小数；()

A.正确B.错误

3.有理数都是有限小数；()

A.正确B.错误

4.不是有限小数的数不是有理数.()

A.正确B.错误

二、填空题

5.填空题：

(1)一个数的平方等于它本身，这个数是

(2)平方根等于本身的数是；

(3)算术平方根等于本身的数是；

(4)立方根等于本身的数是；

(5)大于0且小于兀的整数是；

(6)大于-度且小于门的整数是.

三、计算题

6.计算：

⑴小忖

(2i(l+/3)(2-/3)；

(3i(2/3-l)2；

四,解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

7.

下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

相邻两个之间有个(小数

180,3.97,-234.10101010...(110),0.12345678910111213…

部分由相继的正整数组成).

8.

(1)一个正数的平方等于361,求这个正数；

(2)一个负数的平方等于121,求这个负数；

(3)一个数的平方等于196,求这个数.

9.当c=25,b=24时，求J(c+b)(c-b)的值.

10.

下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干顶点，可得到一些

线段.试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段.

11.Q是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若QAO,则它的倒数如何表示?

12.通过估算，比较下列各组数的大小:

/八口一11

⑴丁2；

(2)/15,3.85；

(s3、I----1,-5

—28

13.

（1〕对于正数K随着A值的增大，它的算术平方根怎样变化？

（2）对于正数k随着k值的增大，它的立方根怎样变化？如果k是一个负数，随着A值的增

大，它的立方根又怎样变化呢？

14.一个人每天平均要饮用大约0.00157九3的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大

约为407n3.如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约多高（结

果精确到1m）?

15.空间飞行器绕地球飞行的速度以单位：巾/s）与飞行高度九（单位：血）之间的关系为“二

学等，其中R（单位：血）为地球的半径.已知中国空间站绕地球飞行的轨道可以近似看成

一个圆，地球半径约为6400Am,中国空间站飞行高度约为400/cm.

（1）估算中国空间站的飞行速度（结果精确到lm/s）.

（2）中国空间站绕地球飞行一周大约需要多长时间（结果精确到1s）?

16.小明放风筝时不小心将风筝落在了4.8zn高的墙头上，他请爸爸帮他取风筝.爸爸搬来梯

子，将梯子稳定摆放（梯子底端离墙的距离约为梯子长度的：），此时梯子顶端正好抵达墙

头.爸爸问小明梯子的长度有没有5瓶，你能帮小明一起算算吗？

17.已知心心1.414,/3«1,732,«2.449,计算*并与同伴交流你的方法.

18.

如图，已知IOA=OB.

B

（1）说出数轴上点4所表示的数；

（2）比较点4所表示的数与—2.5的大小.

19.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，它的计算公式为7=其中7

表示周期（单位：s）,，表示摆长（单位：m）,兀取3.14,g=9.8m/s2.假如一台座钟的摆长为

0.5m,它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1m沅内，该座钟大约发出多少次滴答

声？

20.

半径为1的扇形04B的圆弧和以48为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知041OB,

求阴影部分的面积.

21.一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原夹的9倍,

它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的100倍呢？面积变为原来的几倍呢？

22.我们已经知道（、书+3）（05-3）=4,因此将右的分子、分母同时乘“VT5+

3”,分母就变成了4.请仿照这种方法化简：焉，—^=.

23.如图，在长方形48co中，E是CD上一点，/.DAE=LCBE=45°,AD=1,求aABE的

面积和周长（结果精确到0.01）.

24.一个三角形的三条边长确定后，它的面积也就确定了，因此，三角形的面积S可以用三边

长a,b,c表示.

(1)下面关于a,b,c,S的三个关系式中(k为参数)，只有一个是正确的，你认为是哪一个?

说说你的思考过程.

①S=k(a+b+c)(a+b-c)(b+c—a)(c+a—b),

②S=ky/(a+b+c)(a+b-c)(h+c-a)(c+a-b),

③S=kJ(a+b+c)(a+b-2c)(b+c—2十)(c+Q—2b).

(2)试确定(1)中正确式子中参数上的值.

25.设三角形的三边长分别为a,b,c,p=：(Q+b+c),则有下列三角形面积公式成立：

S=Jp(p一a)(p-b)(p-c)(海伦公式),S=a2b2-(吆/竺)j(秦九韶公式).

(1)一个三角形的三边长分别为5,6,7,利用上面两个公式分别求这个三角形的面积；

(2)一个三角形的三边长分别为"，/6,77,利用上面两个公式分别求这个三角形的面

积：

(3)试说说你对海伦公式和秦九韶公式的认识.

26.

如图，15只空油桶(每只油桶底面的直径均为50cm)堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮

雨棚至少要多高(结果精确到0.1cm)?

im

ISE*_

答案和解析

1〜4.【答案】B、A、B、B

5.【答案】【小题1】

0,1

【小题2】

【小题3】

0,1

【小题4】

0,±1

【小题5】

1,2,3

【小题6】

-1,0,1,2

6.【答案】【小题1】

解:9

【小题2】

(1+/3)(2-/3)=2-/3+2/3-(/3)2=2-/3+2/3-3=/3-1.

【小题3】

(2/3-I)2=(2/3)2-2X2/3X1+I2=12-4/3+1=13-4/3.

【小题4】

/3=/T7X/3+1x/3=V27x3+=9+1=10.

/27-/12

=/9-74=3-2=1.

/3

【小题6】

5

3

7.【答案】解：一粤，3.97,—234.10101010...(相邻两个1之间有1个0)是有理数;

180

0.12345678910111213...(小数部分由相继的正整数组成)是无理数.

8.【答案】【小题1】

解：因为19的平方等于361,所以这个正数是19.

【小题2】

因为-11的平方等于121,所以这个负数是-11.

【小题3】

因为±14的平方等于196,所以这个数是14或-14.

9.【答案】解：当c=25,b=240J-,飞(c+b)(c-b)=J(25+24)x(25-24)==

7.

10.【答案】解：答案不唯一.例如：如图所示，线段AB,AE的长都是有理数；线段BE,

CE的长都不是有理数.

11.【答案】解：Q的相反数表示为-Q，a的绝对值表示为|。|，若QHO,则它的倒数表示为

1

a

12.【答案】【小题1】

解：因为，3V2,所以，W—1V1,所以

【小题2】

因为3.852=14.8225V15,所以，3.85.

【小题3】

因为上=丝三立=正1,<5<2.24,所以4展一4V4.96,

288

所以用〈三，即旦v§.

8828

13.【答案】【小题1】

解：正数k的算术平方根随着k值的增大而增大.

【小题2】

对于正数k,它的立方根随着k值的增大而增大；

对于负数K它的立方根随着k值的增大而增大.

14.【答案】解：设这个容器的高为xm,则"Q.x=40,

所以xk4,即这个容器大约有47n高.

15.【答案】【小题1】

77

.1.995X101.995X10_.rA/.、

解：v«/?人=-7=——727650(m/s).

V6400X103+400X103\<6^8X1031')

因此，中国空间站的飞行速度约为7650m/s.

【小题2】

I_27r(R+拉)2x3.14x(6400-400)xl03.

5582(s).

v7650

因此中国空间站绕地球飞行一周大约需要5582s.

16.【答案】解：设梯子的长度为％m,

由勾股定理，得％2=4.82+0%)2,

解得/=25.92.

因为52=25,而25V25.92,所以%>5,

所以梯子的长度大于57n.

17.【答案】解法一：黑右1.2249.

V21.414

-----V~3x/~3xV22.449<_

解法一：77=7W5=T^—=L2245・

两种解法结果不相等，因为取估算值代入计算会有误差.

18.【答案】【小题1】

解：数轴上点4所表示的数为-店.

【小题2】

因为2.52=6.25>5,

所以，^<2.5,所以一店>一2.5.

19.【答案】解：7二2加居*1.42(s),接、42(次).

20.【答案】解：在中，AO=BO=1,

由勾股定理，得AB?=4。2+8。2=1+1=2,

所以AB=y/~2f

所以直径为4B的半圆的半径为日，

2

；

所以S阴影=S半圆+S区ABO-S扇形A08=2nX(5+gxlxl-7rxi2=g.

因此，阴影部分的面积为a

21.【答案】解：设原正方形的边长为工,面积为Q,

由正方形的面积公式得/=a.

当正方形的面积变为原来的4倍时，4a=4/=(2x)2,所以它的边长变为原来的2倍.

同理，当正方形的面积变为原来的9倍时，它的边长变为原来的3倍；当正方形的面积变为原

来的100倍时，它的边长变为原来的10倍；当正方形的面积变为原来的几倍时，它的边长变

为原来的五倍.

.【答案】解:

222+/3-(2+x<3)(2-/3)-22-(73)2-4-3一

2_2x(/I+C)_2x(4+0)_2X(VT+V3)

/S-/3-(/5-/3)(/5+/3)-(/5)2-(/3)2-5-3<5+73.

23.【答案】解：在长方形4BC0中，由乙0=2。=90。，^DAE=/.CBE=45°,

可得4DE4=Z,CEB=Z.DAE=乙CBE=45°,

所以DE=CE=BC=AD=

故AB=DC=DE4-CE=2,AE=BE=Vl2+l2=y/~2.

(1)SMBE=1力B♦40=Tx2x1=1,所以△ABE的面积为1.

(2)△4BE的周长为AB+AE+BE=2+/I+V^=2+2/2«4.83.

24.【答案】【小题1】

解：②是正确的.理由如下：

如图所示，过点8作_14c于点D,设BD=/i,4D=x,则CD=b-

B

在RtzMBD中，利用勾股定理，^BD2=AB2-AD2,即F=c2-久2.①

在RtZkBCO中，利用勾股定理，WBD2=BC2-CD2,即层二十一的一乃2②

由①②得，c2-x2=a2-(b-%)2,

+C2Q2\2

所以x=萨，h=lc2_^

2b

根据三角形的面积=底乂高+2,得S=：AC,BO,

所以S=*x*^1^=.一书可二

b2+c2-a2-(b-c)2-(b+c)2-a2

二X~

2)依+*)=拉22

[J(Q—b+C)(Q+b-C)(b+C-Q)(b+C+Q)=

；J(Q+b+c)(a+b-C)(Q+c-b)(b