2026届高考数学第一轮复习：平面解析几何（解答题）专项练（含解析）

高考数学第一轮复习:平面解析几何解答题专项练

一、直线的倾斜角与斜率（本大题共1小题）

1.已知动点P到点尸6,0）的距离等于它到直线％=一：的距离，记动点P的轨迹为曲线C.

（I）求。的方程.

（2）。为坐标原点，过点M（2,0）且斜率存在的直线/与C相交于48两点，直线4。与直线为=-2相交于点

D,过点B且与C相切的直线交汇轴于点£

（i）证明:直线DE〃].

（ii）满足四边形A80E的面积为12的直线L共有多少条？说明理由.

二、直线方程（本大题共1小题）

2.已知直线/的方程为（〃+l）x+y-5-2a=0（a£R）.

（I）求直线/过的定点。的坐标；

（2）直线/与工轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A,8,当X08面积最小时，求直线/的方程；

三、直线交点坐标与距离公式（本大题共1小题）

3.已知上（也，0）,K岑，0），点4满足IA£l=El4Q,点A的轨迹为曲线C

（1）求曲线。的方程；

（2）若直线/：y=h+/〃与双曲线：，一]=1交于M,N两点，且NMON=，（。为坐标原点），求点A到直

线/距离的取值范围.

四、直线综合运用（本大题共2小题）

4.已知直线/：（〃+2）），+（2a-5）x-&/+6=0.

（I）若直线/垂直于直线4：x+y-3=0,求。的值：

（2）求证：直线/经过定点；

（3）当。=-11时，求点P（l,4）关于直线/的对称点产的坐标.

5.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y=kx+l（kWR）表示过点（0,1）的直线族（不

包括y轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上对应点处的切线，且该曲线

上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

（I）圆M：+°,-3）2=4是直线族mx+ny=6R）的包络曲线，求m,几满足的关系

式；

（2）若点N（xo，yo）不在直线族Q：y=比一/。WR）的任意一条直线上，求尢的取值范围及直线族Q

的包络曲线E的方程；

（3）在（1）（2）的条件下，过曲线E上的动点P向圆M作两条切线PA,PB,交曲线E于点4B,求4

P4B的面积S的最小值.

五、圆的方程（本大题共1小题）

6.(17分)

已知椭圆。的离心率为小左、右焦点分别为&(一1,0)42(1,0).

(I)求。的方程；

(2)已知点Mo(l,4),证明:线段AM。的垂直平分线与C恰有一个公共点；

(3)设M是坐标平面上的动点，且线段F]M的垂直平分线与。恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆,并求该

圆的方程.

六、直线、圆的位置关系(本大题共1小题)

7.已知同C经过点0(0,0),4(4,0),且圆心在直线x-y=0上.

(I)求圆C的方程；

(2)若直线y=2x与圆C交于M,N两点，求|MN|；

(3)过P(6,l)作圆C的两条切线，求切线的长.

七、圆与圆的位置关系(本大题共1小题)

8.如图，在平面直角坐标系xO.v中，点40,3),直线/：y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在/上.

(I)若圆心C也在直线y=x-l上，过点A作圆C的切线，求切线方程；

(2)若圆C上存在点例，使M4=2MO,求圆心。的横坐标。的取值范围.

八、直线与圆锥曲线(本大题共6小题)

9.已知A为抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点，〃为7的准线与x轴的交点，C在)，轴正半轴上，直线人。

交7于M,N两点，。在线段AM上，且四边形八8C。为菱形.

(I)求忸刈(用〃表示)；

(2)证明：。为线段AM的中点.

10.在平面内，若直线1将多边形分为两部分，多边形在/两侧的顶点到直线/的距离之和相等，则称，为多

边形的一条“等线”，已知。为坐标原点，双曲线E:捺一卷=1(Q>0,b>0)的左、右焦点分别为

分尸2万的离心率为2,点P为E右支上一动点，直线小与曲线E相切于点P,且与E的渐近线交于4B两

点，当PF21%轴时，直线y=1为4PF〔F2的“等线”.

(I)求曲线E的方程；

(2)若直线y=夜》是四边形AFiBFz的“等线”，求四边形A&BF2的面积；

(3)设丽=：而，点G的轨迹为曲线/，证明:r在点G处的切线九为△4&尸2的“等线

11.点A（，〃，2）在抛物线丁=2/尔0<〃<2）上，且到抛物线的焦点尸的距离为g.

（I）求抛物线C的方程；

（2）过点尸的直线交抛物线于5,C两点，fiZBAC=90,求直线4c的方程.

22

12.已知椭圆七:二+二=1（八人>0）的一个顶点为40」），焦距为2后.

crb~

（1）求椭圆£的方程；

（2）过点P（-21）作斜率为2的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点

MN,当|MN|=2时,求一的值.

13.［广东深圳2025一模］已知抛物线y2=2%,过点N（2,0）作两条直线分别交抛物线于48和C.0

（其中4c在％轴上方）.

（I）当。垂直于工轴，且四边形4CB0的面积为4遍时，求直线%的方程；

（2）当I1,％的倾斜角互补时，直线4c与直线BO交于点M,求的内切圆圆心的横坐标的取值范

用.

14.（15分）

已知点（3,|）是双曲线Eq一《=1（Q>0,b>0）上一点,E的渐近线方程为y=±yx.

（I）求E的方程.

（2）直线/过点4（1,1）,且与E的两支分别交于P,Q两点.若端咨=誓，求直线/的斜率.

九、圆锥曲线的综合（本大题共46小题）

15.设椭圆C:「+2=I3">O）/,用为左右焦点,9为短轴端点，长轴长为4,焦距为2c,且〃>c,△叫鸟的

面积为G.

（I）求椭圆c的方程

（II）设动直线/：）'=履+"椭圆C有且仅有一个公共点M,且与直线X=4相交于点N.试探究:在坐标平面内

是否存在定点P,使得以为直径的圆恒过点尸?若存在求出点。的坐标，若不存在.请说明理由.

16.设抛物线C:），2=4x的焦点为“，过”的直线,与C交于A,B两点.

（I）求C的准线方程；

（2）设2）为。准线上一点，且用/_L/,求MM.

17.已知双曲线。:，m=1（00力〉0）的两条渐近线的斜率之积为-3.

（I）求。的离心率.

（2）若过点。（0,5）且斜率为1的直线与C交于AB两点（A在左支上，3在右支上），HAD=^DB.

①求C的方程；

②已知不经过点P（2,3）的直线/与C交于£尸两点，直线/的斜率存在且直线正与夕尸的斜率之积为1,

证明：直线/过定点.

18.（17分）

已知抛物线E的顶点为坐标原点0,焦点为（1,0）,过点M（2,0）的直线与E交于4万两点，过点8作y轴的

垂线与直线。4相交于点尸.

（I）求E的方程；

（2）证明:点P在定直线Lt;

（3）延长B。交（2）中的直线/于点Q,求四边形ABPQ的面积S的最小值.

19.（15分）

已知椭圆Cq+盘=1（。＞b＞0）的焦距为2限且过点尸（-1,2）.

（I）求椭圆C的标准方程；

（2）过点P作两条直线分别交椭圆。于4B两点,若直线x=-1平分Z4PB,求证:直线的斜率为定值,

并求出这个定值.

20.（12分）已知椭圆C3+意=1（4＞。＞0）的离心率为章点4（-2,0）在C上.

（1）求。的方程；

（2）过点（一2,3）的直线交。于P,。两点，直线AP,AQ与），轴的交点分别为M,M证明：线段MN的

中点为定点.

21.（15分）已知4（0,3）和「（3（）为椭圆。：5+'=1（Q＞b＞0）上两点.

（I）求C的离心率；

（2）若过P的直线I交。于另一点8,且△/BP的面枳为9,求I的方程.

22.（15分）

已知椭圆。喘$=1（。＞/»0）的左、右焦点分别为离心率为景长轴长与短轴长之和为6.

（1）求椭圆C的方程.

（2）己知知（・1,0）映1,。）,点。为椭圆C上一点，设直线与椭圆C的另一一个交点为点用直线PN与椭圆C

的另一个交点为点力.设前=心丽.而=益而.求讦:当点?在椭MC卜运动时2+以为定值.

23.已知抛物线上的顶点为坐标原点0,焦点为（L0）,过点"（2,0）的直线与上交于A、B茯点,过点B

作）'轴的垂线与直线OA相交于•点〃.

（1）求E的方程；

（2）证明：点尸在定直线/上；

（3）延长80交（2）中的直线/于点Q,求四边形A8PQ面积S的最小值.

24.在平面直角坐标系屹V中，已知椭圆。的中心为原点，焦点在坐标轴上，P（五叫,Q（2,l）为。上

两点，A从D为椭圆上三个动点.

（I）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在点A4,。使。为△A/。的重心？若存在，请探究△Q4B的面积是否为定值；若不存在，

说明理由.

25.已知点A,8在椭圆=1（。＞人＞0）上,点4在第一象限，。为坐标原点，且。4JLA8.

（I）若。=6/=1,直线OA的方程为工-3），=。，求直线OB的斜率;

（2）若△OAA是等腰二角形（点C,4.“按顺时针排列），求2的最大值.

26.已知双曲线-丁=],直线P。与双曲线E交于尸，Q两点，直线MN与双曲线E交于M,N两

点.

<1）若直线MN经过坐标原点，且直线尸M,PN的斜率⑥”，女呐均存在,求心/物；

（2）设直线P。与直线MN的交点为7（1,2）,且TPTQ=TMTN,证明：直线PQ与直线MN的斜率之和

为0.

27.设耳，鸟分别为椭圆£5+/=1（。>力>。）的左、右焦点，点在椭圆E上，且点。和K关

于点《。制对称.

（I）求椭圆E的方程；

（1【）过右焦点人的直线/与椭圆相交于4B两点，过点。且平行于A3的直线与椭圆交于另一点。，问

是否存在直线/,使得四边形PA8Q的对角线互相平分？若存在，求出，的方程；若不存在，说明理由.

28.设抛物线£：丁=2外（〃>0）的焦点为尸，过点尸的直线交E于48两点，且|4用的最小值为4.

（I）求E的方程；

（2）设过户的另一直线交E于C,。两点，且点M（2,2）在直线AC上.

（i）证明；直线3。过定点N；

（ii）对于（i）中的定点N,当.AMN的面积为装时，求直线A4的方程.

29.已知椭圆的离心率为率人8分别为椭圆C的上、下顶点，。为坐标原点，

直浅），=米+2与椭圆C交于不同的两点P,Q.

（I）设点M为线段PQ的中点，证明：直线OM与直线P。的斜率之积为定值；

（2）若恒用=2,证明：直线曾与直线AQ的交点。在定直线上.

30.已知椭圆C：.+孑=1伍>/?>0）过点（1,半）过其右焦点K且垂直于x轴的直线交椭圆C于

A,B两点,且卜8|=手.

（I）求椭圆C的方程；

（2）若直线/：），=履-1与椭圆C交于£尸两点，线段EF的中点为Q,在），轴上是否存在定点P,

使得N£QP=2N£P、P恒成立？若存在，求出点产的坐标；若不存在，请说明理由.

2

31.已知椭I员IG:三+产=1的左、右顶点分别为4,4,点尸为直线/：x=2上的动点.

（I）求椭圆G的离心率.

（2）若求点尸的坐标.

（3）若直线和直线分别交椭圆G于8,C两点，请问：直线8c是否过定点？若是，求出定点坐

标；若不是，请说明理由.

32.已知椭圆C:ii.Z=I的右焦点为（1,0），且经过点4。/）.

a2b2

(I)求椭圆c的方程：

(II)设。为原点，直线/：)，=h+，。工±1)与椭圆。交于两个不同点2Q,直线4P与x轴交于点M,

直线AQ与x轴交于点N,若|0M|0M=2,求证：直线/经过定点.

33.已知抛物线£9=2*(〃>0)，。(4,%)为E上位于第一象限的一点，点尸到E的准线的距离为

5.

(I)求E的标准方程；

(2)设。为坐标原点，尸为E的焦点，A,4为E上异于。的两点，且直线始与尸8斜率乘积为-4.

(i)证明：直线A8过定点；

<ii)求|E4||用的最小值.

y22

34.已知双曲线C曝一v靠=l(a>0,b>0)的左、右顶点分别为=4.C的右焦点尸到渐近线

的距离为2次，过点F的直线，与C的右支交于P、Q两点(点P在第一象限)，直线4P与BQ交于点T.

(1)求双曲线。的方程；

(2)证明：点T在定直线上；

(3)记△/口?,△「48的面积分别为SiS，若2=5,求直线，的方程.

35.已知抛物线W：y?=>0)的焦点为F,直线及：x—y+l=0与勿相切.

(I)求W的方程.

(2)过点,且与。平行的直线％与小相交于M,N两点，求|MN|.

(3)已知点P(4,4),直线/与方相交于4,8两点(异于点P),若直线4P,BP分别和以F为圆心的动

圆相切，试判断直线1是否过定点若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.

36.定义:设三角形A8C的内角4B,C的对边分别为ab,c,若其所在平面内一点。满足

sinACM+sinBO4+sinCOC=0，则称点。为三角形A8C的正弦分点.

(I)证明:点。为三角形48C的内心；

(2)己知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d,且|042=义+皿2,其中4〃均为常数，动点夕的

轨迹称为(九〃)曲线.

(i)已知曲线3为(1,学曲线，其左顶点为4,右焦点为尸，若点［是曲线「|右支上的一点，三角形

P^F的正弦分点为Q,证明:点。在曲线日上;

(ii)已知曲线「2为G令2曲线，其焦点分别为"，人,若点八是曲线「2上的-•点，三角形鸟£工的正弦

分点为1，则是否存在两定点凡7,使得|小|+|/71恒为定值，若存在，求出此定值，若不存在，则说明理

由.

37.已知抛物线C:y2=2px(p>0),F为C的焦点,/为。的准线，48是C上两点，且。4。8(。为

坐标原点)，过。作。0_L48,垂足为。，点。的坐标为(6,2次).

(I)求C的方程.

(2)在C上是否存在点P,使得过产的任意直线交。于S,7两点，交［于M,直线PS/M.PT的斜率成等

差数列？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

38.(17分)

已知动点P与定点0）的距离和P到定直线x=!的距离的比为常数g.其中m>O.n>0,且

mHm记点P的轨迹为曲线C.

（I）求C的方程，并说明轨迹的形状.

（2）设点8（一机,0）,若曲线。上两动点M,N均在％轴上方且4N与BM相交于点Q.

①当m=2V2.n=4时，求证:2+白的值及448Q的周长均为定值.

\AM\\BN\

②当m>几时，记△A8Q的面积为S,其内切圆半径为r,试探究是否存在常数;I，使得S=4丁恒成立?若存

在，求出2（用表示）的值；若不存在，请说明理由.

22_

39.己知双曲线C曦一言=1（。>0,8>0）的渐近线方程为）/=±b工，焦距长为4.

（I）求。的标准方程；

（2）点AQo，yo）在。上，点P的坐标为（2,4）,。为原点，求△40P面积的最小值；

（3）过C的右焦点F的直线与C交于0,E两点，以OE为直径的圆与直线x=g交于M,N两点，若

\MN\=3V3,求直线QE的方程.

40.已知椭圆［=过点（0,1）,且离心率为且.设A,A为椭圆。的左、右顶点，P

a'b~2

为椭圆上异于A,8的一点,直线针，82分别与直线/:x=4相交于M，N两点，且直线与椭圆C

交于另一点H.

（I）求椭圆C的标准方程；

<2）求证：直线AP与AP的斜率之积为定值；

（3）判断三点A,H,N是否共线？并证明你的结论.

41.已知双曲线C的中心为坐标原点，过点（20）,其中一条渐近线的方程为y=

（I）求双曲线。的方程；

（2）设双曲线C的左、右顶点分别为4、B,过点（4,0）的直线/交双曲线。于例、N两点.直线AM与直

线x=l交于点G,证明：力、G、N三点共线.

42.（17分）已知椭圆C：2+《=1（Q>匕>0）的离心率为竽，下顶点为4右顶点为B,\AB\=

V10.

（I）求C的方程；

（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|4P|=3.

（i）设P（zn,九），求R的坐标（用m,n表示）；

（ii）设。为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.

43.（17分）

设M是由直线构成的集合，对于曲线C,若C上任意一点处的切线均在M中，且M中的任意一条直线都是

C上某点处的切线，则称C为M的包络曲线.

（I）已知圆G：/+y2=1为Mi的包络曲线，判断直线上xsin6-ycos。=1（6为常数6eR）与集

合Mi的关系.

（2）已知M2的包络曲线为。2：产=4乂直线。心G“2.设。，12与。2的公共点分别为P.Q.记Ln/2=

4c2的焦点为尸.

①证明:|F川是|FP|,|FQ|的等比中项；

②若点4在圆/+⑶+1）2=1上，求髭的最大值.

44.已知椭圆。》g…）的左焦点为y。）'右顶点为A,点石的坐标为（。©,AEEA的面

积为"

2

（I）求椭圆的离心率；

（2）设点。在线段4E上，|FQ|=1c,延长线段尸。与椭圆交于点P,点“，N在x轴上，PM'QN,

且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面枳为女.

（i）求直线尸尸的斜率；

（ii）求椭圆的方程.

45.（17分）

已知椭圆C:5+、=l（a>b>0）的左顶点为4焦距为26且离心率为当

（I）求椭圆C的方程.

（2）直线/与椭圆U交干M、N两点，点。为44MN的外心.

（i）若△AMN为等边三角形，求点P的坐标；

（ii）若点P在直线x=-:上，求点A到直线I的距离的取值范围.

46.已知双曲线C：4-4=1<«>0，/?>0）的左顶点为A,右焦点为八动点8在双曲线C上，当

a'b~

3"_L4G寸，忸尸|=|A川.

（1）求C的离心率；

（2）已知a=1,M,N两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若MB=28N，求△MOV

的面积.

47.（17分）

已知两点Fi（—2,0）尸2（2,0）,平面内的动点M到定点Fz的距离与到直线=1的距离之比为也，点M

的轨迹为曲线C.

（I）求曲线。的方程.

（2）点P在曲线C上,且在第一象限，连接PF2并延长与曲线。交于点Q,讯=国（入>0）,以P为圆

心JPF2I为半径的网与线段PF】交于点可,记4PF?N4PFIQ的面积分别为Si.S2.

<i）若点P的坐标为（与,%）,求证:瞿=”；

出21必一1

（ii）求铝也的最小值.

S1

48.（17分）

222

己知动圆Ci：（x+2）4-y=斤（4>0）与动圆。2：（%-2>+y=r^（r2>0）满足匕一

r2|=2g,记Ci与C2公共点的轨迹为曲线「曲线T与x轴的交点记为4B（点A在点B的左侧）.

（1）求曲线T的方程.

（2）若直线/与圆+y2=3相切，且与曲线T交于Pi/2两点（点Pi在y轴左侧，点。2在丁轴右侧）.

（i）若直线，与直线y=一"工和丫=果分别交于Qi02两点,

证明:岛Q1HIP2Q2I;

（ii）记直线力Pi，8P2的斜率分别为心心,证明:自心是定值.

49.（15分）

已知点片厂2分别为双曲线£《一，=l（a>0fh>0）的左、右焦点，点F1到双曲线E的渐近线的

距离为2注,点A为双曲线E的右顶点，且|40|=2\AF2\.

（I）求双曲线E的标准方程；

（2）若四边形力8C。为矩形，其中点艮。在双曲线E_L，求证:直线80过定点.

50.已知椭圆+£=的离心率为乎，且过点-五用・

（I）求椭圆c的方程；

（2）斜率为2（攵>。）的直线/与椭圆C交于A3两点，记以04.为直径的圆的面积分别为4S?,当k

为何值时,，+$2为定值.

（3）在（2）的条件下，设/不过椭圆中心和顶点，且与x轴交于点点A关于），轴的对称点为。，直

线仇）与）?轴交于点N,求QMN局长的最小值.

51.在平面直角坐标系中，椭圆+4=左右焦点分别是爪-c,0）,5亿0）,点A是椭

b~

圆「上的任意一点，A到原点。的距离最大为拉.

（I）若a/iK鸟面积的最大值为1,求椭圆「的表达式；

（2）若4（-1,0）,过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M,连接AO并延长交椭圆于另一点从

连接8M交椭圆于另一点C,证明：ABlACx

（3）在（2）的条件下，过点A咋不经过6的直线,,其斜率为匕交椭圆于另一点。，招到直线/的距

离为d.如果直线A6、/、。冗的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.

52.我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点尸（c,0）的距离与到定直线/：

x=；（c>“>o）的距离之比为常数?的点的轨迹叫做双曲线，其方程为q-igxuAO）,其中

b2=c2-a2,此时/叫做该双曲线的右准线.已知双曲线C：E■-工=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为

a~b~

4（-2,0）,月（2,0）,直线/：x=l是。的右准线.

（I）求C的方程以及。的离心率；

（2）设/与x轴的交点为过点尸2的直线与C的右支相交于4,B两点，

(i)以M,A,B为其中的三个顶点作平行四边形W4N8,求平行四边形M4NB面积的取值范围；

(ii)设直线/与直线人B的交点为P,点P在)，轴上的射影为Q,直线AQ,8。与x轴的交点分别为

|F,G|

G,H,则挖才是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

53.设M是由直线构成的集合，对于曲线C,若。上任意一点处的切线均在M中，且M中的任意一条

直线都是C上某点处的切线，则称C为M的包络曲线.

(|)已知圆G：/+V=i为M的包络曲线，判断直线/：期ine-)cose=i(。为常数，e^R)与集合

M的关系；

(2)已知时2的包络曲线为。2：丁=45，直线446^2.设《4与G的公共点分别为P,Q,记

《门/2=4。2的焦点为厂.

①证明：|州|是|。|、-Q|的等比中项；

②若点A在圆./+()，+]>=|上，求牌的最大值.

54.(17分)

“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长,某些折纸活动蕴含丰富的数

学内容，例如:用一张纸片，按如下步骤折纸：

步骤1:在纸上画一个圆人并在圆外取一定点B;

步骤2:把纸片折叠,使得点B折叠后与圆人上某一点重合；

步骤3:把纸片展开，并得到一条折痕；

步骤4:不断重复步骤2和3,得到越来越多的折痕.

你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸,画一个半径为2的

圆4并在圆外取一定点&AB=4成照上述方法折纸，点8折叠后与圆4上的点W重合，折痕与直线WA交于

点的轨迹为曲线T.

(1)以A8所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线7的方程.

(2)设曲线7的左、右顶点分别为KH,点尸在曲线7上，过点P作曲线7的切线/与圆/+9=1交于M,N两

点(点M在点N的左侧)，记KM”N的斜率分别为此h证明:为此为定值.

(3)尸是7的右焦点,若直线〃过点F,与曲线7交于CD两点，是否存在x轴上的点Q。。),使得直线〃绕点尸

无论怎么转动，都有无•而=0成立?若存在，求出点。的坐标;若不存在,请说明理由.

55.(12分)在直角坐标系中，点尸到工轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为

W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形48co有三个顶点在W上，证明：矩形48co的周长大于3百

56.如图，在V4BC中，点A(TO),3(1,O).圆/是VABC的内切圆，且。延长线交/W于点0,若

CI=2ID.

D

DB

(I)求点C的轨迹C的方程;

(2)若椭圆4+£=1(〃”＞0)上点优,九)处的切线方程是答+咨=1,

a~b~a'tr

①过直线/：x=4上一点M引Q的两条切线，切点分别是RQ,求证：直线PQ恒过定点N；

②是否存在实数几，使得|物|+|。2=川川卜|。2,若存在，求出4的值，若不存在，说明理由.

22

57.已知椭圆C：4+[=l(a＞力＞0)过点(2,0),且椭圆C的离心率为;.

a'b~2

(I)求椭圆C的方程；

(2)若动点P在直线4-1上，过P作直线交椭圆C于M,N两点，且P为线段的中点，再过尸作直

线I上MN,证明：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.

58.已知点4(3,券)在双曲线C:，-*=1(〃＞0力＞0)上，且C的离心率为苧，直线/交C的左支于

P,Q两点，直线4尸，AQ的斜率之和为().

(I)求直线/的斜率；

4

(2)若tan/PAQ=§,直线4＞，AQ与＞轴的交点分别为“，N,求”MN的面积.

59,在平面直角坐标系中，点M到定点尸(4,0)的距离与点M到直线2：%=1的距离之比为2:1,点M的

轨迹为曲线C.

(I)求曲线C的方程.

(2)已知点P(l,m),mrO,4B为曲线C的左、右顶点.若直线P4PB与曲线C的右支分别交于点

D,E.

(i)求实数Tn2的取值范围；

(ii)求鬻鬻的最大值.

|PD||PE|

60.如图，已知椭圆E:二+£=1(〃＞力＞0)的一个焦点为『01),离心率为9.

a'b~2

⑴求椭圆E的方程；

(2)过点K作斜率为k的直线交椭圆E于A4两点，48的中点为M.设。为原点，射线交椭圆E于点

C,当四边形。4C8为平行四边形时，求k的值.

参考答案

I.【答案】

(1)【解】第一步:根据条件确定动点轨迹为抛物线

由题意知点P的轨迹是以点F为焦点，直线X=一：为准线的抛物线，.....1分

第二步:由待定系数法求轨迹方程

设其标准方程为y2=2Px(p>0),则"3即p=1,.....3分

所以C的方程为y2=2x.....4分

(2)(i)【证明】第一步:设出直线48的方程，与抛物线方程联立

设直线的方程为％=my+2,mA0,46*，丫1)，8(]/丫2)，不妨令>O/<°，

2

由2'得y?-2my-4=0,所以△=4m4-16>0,所以y1y2=-4，7i+y2=

2m......5分

第二步:分别求点。，E的坐标

由ko4=Z,得直线04的方程为y=2工令》=-2,得、=一土，即。(一2,-±),.....6分

力yiViyi

2

2y=2x,

设抛物线C在点8处的切线方程为y-y2=k(x-§)(kH0),联立,/、八消去工整理得

2(y-y2=k^--),

2

ky-2y+2y2-kyl=0,则A1=4-4/c(2y2-k秃)=0,则k=工则抛物线。在点B处的切线方

yz

程为y2y=%+§•(二级结论:在抛物线y2=2px(p>0)上一点(见,为)处的切线方程为y()y=P(x+

x0)),令y=0,得%=一芟即E(一空,0),.....8分

第三步:利用斜率相等证明结论

4

所以上0£=-n-2=-~~2=—^―=—=心8，所以DE〃/.

_2+或-2y1+^i必+、2mA""

22

.....9分

(ii)【解】第一步:由弦长公式求|/W|,|DE|

由①知直线DE〃心yi+丫2=2m,y1y2=-4,0(—2,一士),E(—§,0),

222

所以|4B|=Vl+m\y±-y2l=2V14-m•yjm+4,

\DE\=-V14-m2,......10分

第二步:求梯形ABDE的面积

因为点E到直线的距离d=度竦=卷急，

所以s梯形丽E=+|DE|)d=12“+而•而2+4+力1+-2)•亲暮二

(，巾2+4+/.号士......12分

第三步:结合根与系数关系消去为，7九

由%%=-4，得力=—»y<0，所以m=空"='一2，

、2222y2

所以莉2+4=伸-$2+4=J(葭+$2=一掾—黄

所以S梯形48DE=(一丫2-$,当3-12，

即役+6舅+24y2+8=0,.....13分

第四步:因式分解，降幕

S+2)(源-2yl+i0y2+4)=o,

因为丫2工-2(提示：当=-2时，直线I的斜率不存在，不符合题意)，所以yy-2无+10y2+

4=0,.....14分

第五步:利用导数讨论零点个数

令f(%)=%3-2%2+10%+4,则1(％)=3%2—4%4-10>0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调

递增.

又f(-l)=-9<0,/(0)=4>0,

所以存在唯一力W(T，。)，使/(%)=0,.....16分

第六步:得出结论

此时有一条满足题意的直线/,

由抛物线的对称性知此时］关于％轴对称的直线也符合题意，

故满足四边形4BDE的面积为12的直线1共有两条......17分

2.【答案】⑴(2,3)；

(2)3x+2)，-12=0

【详解】(1)由题意，直线/的方程可化为(x—2)a+x+)，-5=0,

x-2=0

联立方程组》,，一5二。

所以直线/过的定点*2,3).

(2)设直线4+2=1(〃>0*>0)，则4(。,0),8(0/),

ab

、?3

由(1)知，直线/过的定点网z2,3),可得一+；=1,

ab

因为。>0,Z?>0,

所以1=2+色，解得"N24,

ab\ab

2323

当且仅当一=；且一+==1即。=4,。=6时，等号成立，

abab

所以.4OA面积为S=3d|Z?|=L必之，x24=12,

此时对应的直线方程为二十上=1,即3x+2），—12=0.

46

3.【答案】（1）设A（x,y）,因为|4用=啦依网,

所以44一，？+）,一02

=-j2x^y（X—^）2+y-0^,

将等式两边平方后化简得r+），2=1.

22

（2湍直线/：y=Ax+/〃与双曲线，一1=1联立，

y=kx+m,

得yL—=X4R—9).P+8*"ZX+4/〃2+36=0,

l4-7=1

设M（11，6），Ng”），

4^-9^0,

所以有《

A=8Mp-44^-94〃/+36>0,

3

5

8km4也2+36

所以工l+x2=4乒一9'W2=4JP-9,

因为NMQV=W，

所以况即国7•苏^=0,所以X1工2+）D'2=O心"2+（丘1+"?>（区2+〃?）=。，

化简得伙2+1）xi^2+km（x\4-^2）+m2=0,

把即+足=一崇与，XM2=4：》1；6代入,得（必+］）.4：］；6+灯加（一4；竺9）+〃?2=O,化简得

3

〃产=2^±1,因为〃户+9〉4炉5

-

山7士36A*■F1

所以有一—

3

5

圆f+?=l的圆心为（0,0）,半径为1,

6AM2+1

圆心（0,0）到直线/：y=kx-}-m的距离"=1y=，?>1,

所以点A到直线I距离的最大值为然+1,最小值为竽一1,

所以点A到直线/距离的取值范围为［竽-1,乎+1］

4.【答案】（1）1

（2）见详解

»21

(3)33

【详解】(I)因为/

所以(a+2)xl+(2a—5)xl=0,

解得。=1，

故〃的值为1;

(2)因为(a+2)y+(2。-5)工-6。+6=。,

所以a(2x+y-6)-5x+2y+6=0,

“[2x+y-6-0

所以(<工人八，

[-5x+2y+6=0

x=2

解得V

b=2

所以直线/恒过定点(2,2)；

(3)因为&=一11,

所以直线上3x+y-8=0,

设点尸(1,4)关于直线/的对称点P的坐标为(A-o,y0),

所以P.P的中点坐标为(耳，空丑),

22

久二土(_3)=-1

所以"，

3上+『_8=0

22

8

解得；］，

Q91

所以点2关于直线/的对称点P的坐标为。彳).

5.【答案】(1)由题可知，直线族+九y=l(m,TIE/?)中的每一条直线都是圆M上对应点处的

切线，故圆心M到该直线族的距离满足华等＞=2,所以求刀满足5m2—4机2-6几+1=0.

vmz+nz

(2)将点N(Xo，yo)代入y=tz-产(£eR),可得关于t的方程严一+y0=0，因为点

2

N(xoJo)不在直线族V-tx-t(tGR)的任意一条直线上，故方程产-xot+y0=。无实数解，所

以3=亚-4yo＜0,那么y0＞?，故y。＞0.

因为区域y＞彳•的边界为抛物线/=4y,所以联立y=tx—t2{tER)与/=4y,可得/_4tx_j_

4t2=0,由△'=(),可知直线族Q：y=tx—/(tER)中的每一条直线均为抛物线％2=4丫在对应

点处的切线.

因比直线族。的包络曲线E的方程为=4y.

(3)如图，设力(Xi，%),83，为)，P(2//),则七力二三手二手，故直线

大[/14-T

PA:(%1+2u)x-4y-2ux1=0.

2

因为直线24与圆M相切，所以j(:曹：：;=2,结合M=4yl可得Q2-1)乃+2uX14-5-u=

2

。①，同理可得(I？-l)y2+2UX2+5-u=0(2),由①②可得直线48:(I?-l)y+2ux+5-

u2=0(u2工1).

—l)y+：”+5-〃2=°,可得7+8ux20-4砂

=0,由一元二次方程根与系数的关系

xz=4y,u2-lu2-l

2

可得％1+不=一含72=20-4U

U2-l,

因比|4B|=4(/+；),：2葭2+5,由于点p(2a,7)到直线4B的距离d=色等上，所以△P4B的面积

uz+l

42

S=2VU-2IZ+5x(u4+2u2+5).

Q2T)2

令认2—1=m,则?nN—1,巨mH0,则S=/(m)=2(m+£+4)Jl++("iN—1,且7nH

0),il/Xm)=2Jl+京•(m-4)(m；8m+16)=。(巾>—1,且m*0),解得m=4,当m6

[-1,0)时，/'(m)<0;当znG(0,4)时，/'(m)<0；当me(4,+8)时，//(m)>0,所以/(m)在

[-1,0),(0,4)上单调递减，在(4,+8)上单调递增，所以Smm=/(4)=10V5(当且仅当7=5时取

等)，所以aPAB的面积S的最小值是10迷.

6.【答案】

(I)【解】由e=：=}c=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=V3,

所以椭圆。的方程为9+?=1.....2分

(2)【证明】第一步：求出线段F1M。的垂直平分线

因为乙(一1,0),Mo(1,4)»所以线段"lMo的中点为(0,2),kF1Mo=^=2,则线段&Mo的垂直平分

线的斜率为一条所以线段F1M。的垂直平分线的方程为、=一;x+2,.....4分

第二步:联立直线与椭圆方程，证明△=0

(y=+2,

联立〈r2V2消去y并化简得--2x4-1=0,△=(-2)2-4=0,因此线段Fi"o的垂直平

分线与C恰有一个公共点.......6分

(3)【解】解法■：第•步:设动点，先考虑线段的垂直平分线与直线「iM的斜率有•个不存在的

情况

设M(%o，y。)，则当线段FiM的垂直平分线与直线FiM的斜率有一个不存在时，M(-UV3).

M(-l,-2>/3),M(-3,0),M(5,0)......8分

第二步:再考虑线段FiM的垂直平分线与直线FiM的斜率都存在的情况，写出线段的垂直平分线的方

程

当浅段的垂直平分线与直线FiM的斜率都存在时，x0H-ly0H0,线段的中点坐标为

(甘，军)，3M=肃,则线段EM的垂直平分线的斜率为一暇，因此线段公”的垂直平分线的方

程为y=_2(x_忙1)+为=_2》+温业二.……….1°分

7

Vo22y02yo

第三步:换元并联立方程，由A=0得等式

…小心(y=kx+m,

设k==警二，联立，/।好消去y得

y。2yo—+—=1,J

43

(3+4/c2)%2+8kmx+4m2-12=0,由4=0,得

64/c2m2_4(3+4k2)(4m2_12)=0,化简得血2=M2+3,.....“分

第四步:将变量/cm还原，整理并分解因式得出结论

即(至迎二)2=4(-殛±1)2+3,

整理得(诏+据一I)2=16(/+I)2+12端

即党+2(熠-l)yo+(就-1尸=16(%o+I)2+12光，

2

整理得正+(2就-14)据+(诏-I)=16(x0+1产

22

即若