2026届高考数学压轴题：数列问题（含答案）

2026届高考数学压轴题系列：数列问题

1.（2025•天津）已知为等差数列，也;为等比数列，《叫「2”：二生"必二乩,

（1）求I”」」“）的通项公式；

（2）V〃w、・，/={0J）,有

。={p岫♦PW也♦…中2外-/1+几。也IP",,…，2€/）,

①求证：V/eT；,均有，<4也“；

②求7；中所有元素之和.

2.（2025.湖南模拟）若存在常数八使得数列满足JWM…凡l（n>\,nN）,则称

数列为"〃"）数列

（1）判断数列：1,3,5,10,152是否为“〃（2）数列“，并说明理由；

（2）若数列”二是首项为2的“〃⑴数列”，数列他，是等比数列，且①」与也；满足

〃…q+hg“，求/的值和数列的通项公式；

|w|

⑶若数列①」是“〃⑺数列”，s“为数列值」的前“项和，a>1,Z>0,证明：

3.（2025•湖南模拟）在数列“；中，q二I,其前n项和为S.,且〃；Sn二（〃1）（5.J

（“22且〃£'■）.

（1）求他」的通项公式；

（2）设数列也}满足其前〃项和为7；,若加亿.3）4储、丁恒成

）n-\'

立，求实数人的取值范围.

4.（2025•浙江模拟）定义：若对〃22,都有一如|=/（j为常数，且"0）,则

称数列伊;为“绝对等差数列“，常数j为数列也|的“绝对公差已知“绝对公差''数列所有

项的和为E

（1）若/=1,a,2,&I,请写出有序实数对（生的所有取值；

（2）若数列共有259项，且/=3,q=211,，985,求数列的通项公式q,；

（3）若j为奇数，数列曾「共有2k（AWN，422）项，且q・0,£■（1.证明：k为偶

数，并写出一个符合条件的数列

5.（2025•天河模拟）对于数集/={-1.4%.…,6},其中0<q</<・・•<%,”22,定义“伴

随向量集“8：而二（口）,、£.4/一1；.若对任意彳£8,存在万wB,使得&万0,则称

A为“好集”.

（1）已知数集4<卜&.I，请写出数集.4的”伴随向量集“/并判断是否为"好集”（不

需要证明）；

（2）若有限集d={-1吗吗为“好集”，求证：lw,4,且当0<q<l时，ajl；

（3）若有限集.4二；1必必,,•“；为“好集”，且。“।xqq二I,求

6.（2025・威海模拟）设集合？'・2'04八“目。中所有的数从小到大排列构成数列

①」，并将数列的各项农次按照上小下大，左小右大，第〃行共有〃项的原则，写成如下

的数表.

a\

。2。3

。4。5。6

（1）写出该数表第4行各项的数；

⑵求〃”：

（3）设外位于数表的第八行，若\〉200,且该数列前、.项的和能被2“整除，求、的最小

值.

7.（2025・长沙模拟）对于有穷数列4：q,g,...,q,若存在，使得q-a72,

则将数列进行操作变换T：将a,减1,。，加1,其余项不变，得到数列.（，记为7（IJ.从

.（开始进行m次操作变换丁，依次得到数列4,4,…，4,即4八IJ,，=12…M.

(1)已知数列.1，：2，0，I，3,是否可以通过巾次操作变换7得到如下数列？

①-4，2，I，2：②0，0,0，2，

若可以，请写出一种满足题意的4，儿，…，4.；若不可以，请说明理由；

(2)已知数列,(：q,%，…，6是公差为I的等差数列，若从(开始进行用次操作变换

7后得到数列/.：3,3,3,3,3,求用的所有可能值.

(3)已知数列4：I,2,••・，20,将数列儿进行6次操作变换丁，直到这种操作不能再

进行时为止，求阳的最大值.

8.(2025•眉山模拟)已知是定义在/上的函数,若对任意上£模/(己20恒成立,则称〃I)

为/上的非负函数.

(1)判断二i-clni是否为上的非负函数，并说明理由.

(2)已知〃为正整数，g(0=nr-alni(d>0)为(0.♦工)上的非负函数，记。的最大值为q,

证明：他」为等差数列.

(3)已知〃22且"《N'，函数加i)=《(x>0)，若尸(外=加外-力(〃)为(0.+“)上的非

X-

2029|

负函数，证明：Xr<dn2()25):•

«=2幺

9.(2025・义乌模拟)给定正整数〃23,考虑集合［2…〃)的所有排列N=(49…d),对每

个定义：J,并规定4・o.记S.为所有排列中£4的最大

值.

(1)对于排列x=(l.3.2.4),计算£d，再直接写出S和1的值，并分别给出一个满足

立，的排列和一个满足%.S,的排列；

(2)对任意整数423,证明：1+；

(3)证明：Sp>13312.

10.(2025•上虞模拟)已知数列满足：①4£7,②/.「qlSl,则称数列他」有性质

答案解析部分

】.【答案】（1）解：设等差数列值二的公差为d,等比数列的公比为。,

由q二勺2.ub*l.aA,,可得解得/二3,q—2,

2+2d=2/

则&・3〃I,"=2・；

（2）①证明：由⑴可得心。也二。或几。也;（3吁1）2・，4Mz=伽*2）2"”，

当也=（3〃I）2">0时,

设S.=p岫♦P/»A+…+P,i*&+P.a也=2X2+5X2'+・T（如7）2,①，

电一2,2二.5x2J.♦…（3〃1）21②，

①.②可得—S.二4+3”丁・丁..丁|[3”1）211=-8+（4-3n）2*,

即、=（3〃明,2'',为匚中的最大元素，

%"（3"2）.2，

,

4.也.「$<,=（3〃+2）2・“-[8+（切-4）2".]=6,2"“-8>0恒成立，

则,£7；,均有/..也“；

②解：由⑴可得J=（3〃-4）・2・“-8,为7；中的最大元素,

由题意可得：「二一帖』.一咕一"一咕一°"一（他，"人‘

其中i."w|12…间Jw/"，

则r,的所有元素的和中各项u"出现的次数均为：

♦・・.♦仁；*Ct・2一次，

所以7；中所有元素的和为2-1£>也卜2‘1（3”4）•2A.8].

2.【答案】（1）解：若数列：1,3,5,10,152为“〃（2）数列“，则”2,

即a.”,2,因为％-q・2成立，成立,

/acj,a101-^-55/2不成立，

所以1,3,5,10,152不是“"(2)数列”;

(2)解：由数列k；是首项为2的“〃⑺数列”，则«：?♦/,仇3f・4,

设等比数列|"；的公比为4,

-I.!

由>a①，可得»广—，♦hg」，..②,

|o||v|

①-②可得以l|・kg”.lug\.

即匕尸。已。，…。I卜kgg,

由数列|。」是“〃⑴数列”，则q/一，对于〃21,”£、恒成立，

所以必=(4—川生T)+晦q，

即"+1肛即小也.1108s.对于“Al,〃w、恒成立，

则;“♦1)%-，=1%4=(/♦l)〃+2)-/=k>g/

[(r41)<jj-/=log:^+l)(5/+4)T=log]q

解得，=-l,4=2,由q・2,a：・q+kg%,则々7,即々・2”“，

故所求的/--I,数列也：的通项公式22,；

(3)证明：要证,>“广0-/•，即证，>%「一・，因数列|〃」是“〃〃)数列”，

则©小〃「••《♦/，

则要证,>4“e’・',即证-q%…可c'・，oqq…q<<?，",

又q।qq必…q/,对于〃2I,〃w、恒成立，

因为q>l,f〉()，则再结合q>l,f>0,a>>I,

反复利用q.।qaa仇T,可得对于任意的〃2I,”£N,a,>I,

则要证：q%…可<c，",即证Inq+In%-Inq<S.一〃oglnq<-1),

i

设函数/(x)二hl,"l,WJr(x)=lI,令/'(x)=o,解得

X

当x>l时，r(K)<0,则/("二Ini-l在区间(1./N)单调递减，

因对于任意的〃wN,a,>I,则/(o.)<〃l)=0=>Ina.-a.+1<0=Ina.<a.-I,

即1nq<q-l,Ina;<a2-1,...»In<a,-1,

相加可得Inq+•i-lna,<a-u.*・qn,即£皿〃《工(0-1),故命题得证.

|o|

3.【答案】(1)解：在数列中，q二I,其前n项和为5“，且⑸-§-=("1)61+。一),

,代入，0q_J,整理得4=二°一(〃22),

以上(勿T)个式子相乘可得：a.=qH--,

23nnn

当”,I时，q■I,符合上式，则4=1；

n

2}

(2)解：由(1)可得：A.=-----1=(2；I-I)x3<,

m)

Z=lx3+3x3：+…“2”l)x3・①，

37；=1」(2^-3)x3'f(2j>-l)x3-1

2,

①一②得，-27；=lx3+2x3+..+2x3--(2/i-I)xy

2x32-2x3ax3

=3♦_(2”l)x3i=(-2/f+2)x3Z-6

1-3

则7.=(〃->3”、3,

An(T-3),,v_.,/-9n3

由tinf9x3,可得zw久£-一匚+,

〃・lI,3〃3〃

；+；22、1-2,当且仅当〃3时等号成立，x^2,则人的取值范围是(，」].

4.【答案】⑴解：由题意可知，同，|=|4-2|=1,所以％=3或勺・1,

当％・3时，因为(二：；「；：：：，所以3,二所以(4必)=(3.2)；

卜右一叫|=卜人-l|=I

当％・1时，因为JJi,，所以3・。或《,2,

呵-引=|"％|=1

所以(4.4)=(1.2)或(％.%)=(1.0],

所以有序实数对(生MJ的取值情况为(3.2),(1.2),(1.0).

(2)解：由题可得，1*一3|=3…,258,

所以aa”、3”..、a.<3......a,*3,

累加得〃,-q«774,即〃、，、〃•9S5,

因为小、，985,所以上述不等式中的等号同时成立，

所以q3,k=L2.--.258,

所以数列①」是以〃211为首项，3为公差的等差数列，

所以〃，一211•(〃I)•t，〃+20X(〃(N，，〃/25。).

所以数列打二的通项公式凡3〃-08(〃wN・，“4259).

(3)证明：令/i=1.2,«-\2A1,所以q・士J,

因为以:q♦q.a、q+q♦•八...，。工只…,

所以£=a1+a•♦="q+("-1)。+(2大-2八♦,,+1],

又q0,所以-(24l)q•(找2卜.♦…♦口一

•(2斤」)“2A-2)»・・M・[("・I)("G)“2G-2)(I-CJMU-3)("CJ•・・・“JC”.J]

二('I)X甲"1)_[(〃-])("小(2h2)(1・0).(2人-3)("6"・・/1-—)]

一(*-1*一[(2*-l)("cJM乂一2)(>CJ+(2A-3)("(J-(1-G，.)]因为J,士j,

且j为奇数，所以(力=12….2LI)为偶数，

所以(2A-I)(I-卜42|(1r，H(2AJ为偶数，

因为EO,所以(〃1)”•为偶数，

又因为24I为奇数，所以k为偶数.

0.“为奇数

当大(£22)为偶数时，/■，.^

为偶数

5.【答案】(1)解：由“伴随向量集”的定义可得:

4=(-1.-1).I.；.(U)

(-!>-=0,(-1,-1)(1.-1)=0,卜，KT/卜。，=0，

则对任意Aw4,存在RWB,使得兀区二。，故集合,4为好集；

(2)证明：取耳=匕必)£8,因为集合/是“好集”,所以存在斤二(八/)£6,

使得“也二H,即〃/、,/)=(),因为0<q<l,所以.什，=0,

因为=“},所以存在5・一|,，=|或5■],，・一|,所以lw4,

假设q>1,取a=(qs)wH,因为集合d是“好集”，所以存在另二(、,/)£6,

使得々•/).=+a1=0,

因为0<q<%<…</，所以、J异号，

若则q4,而0<q<4，所以q二町,不可能成立；

若/-I,则叫a,而0<.-4，0<<I,所以叫:可不可能成立，

故假设错误，即凡01,

又因为lw/，且0<q<%<…<^，所以4・1；

(3)解：有限集/=卜1必….〃,；为“好集”，且0<q<用<…<a.,a._1・q,aj\,

所以0V取4=3，q)wB,由“好集”定义，存在，二($.，)£6，使得看石=■$♦«.<，

所以3,异号，

若、・一|,则q:/,因为《<夕<1,qS/Sl,所以，=6wd；

q

若，-1,则q、q,因为、<1,所以该式不成立，

类似的：考虑向量〈亍・。，($・</],…，可得序列q,&,3，…，/y都在集合力中,

由华=6=1n%7''•

，/

6.【答案】(1)解：由题意知，第4行各项为2、2',2、2-2\212、24,

所以第4行各项的数为17,18,20,24.

(2)解：由题意知，

第〃行各项为T+T中，二〃/二0J2.….〃I对应的值,

设《在第〃行，

则前〃行总项数””1%50,

一

解得〃>10,

9x10

则数表前9行共有、-45项，

所以a*在第10行从左往右的第5项,

所以*2—040.

(3)解:数表第”行所有项的和为:

(2。.2").(7.2・).(2?+2・).・・・.(2・7.2")

=(/>•►1)2"-1,

设数表前〃行所有项的和为乙，

则7>(2・7_|)“3・2二1卜(4・2：1卜・・*((»1)2--|)

-2,2,+3,2?♦4,2’+1)2"—",

令刀=2・2,-3・2：)4・21+・・・*0|3)2*,

则2r-,

两式相减得7=2・2>2*2•,丁(〃♦])>“=4+±土l-y+]R・“

1-2

可得一〃2"“，

所以7；=小2・“-〃，

设出为数表的第〃行的第"人T〃)项，

所以数列前,V项的和为：

心♦。•转"倒”卜优”)+…优t”)

124

=(w-1)2"—(n-1)-♦-A:,2*♦1-'・=(〃-1)2"—(/>—1)4,A,2*+21-1

1—2

一（〃♦斤1）2-2'n，

由题意知，前〃行总项数吗1之200,解得〃23」，

因为人5n,

所以2'<2">

所以2,〃<2"，

又因为2"・C'•（•<-*C：>〃，

所以-2“<e

所以-2"<2'，

则-2"<2'-〃<2・，

乂因为该数列前、项的和能被2"整除，

所以2，—〃0»则〃），

所以丁、20，

可得A>log.20,

所以35,

可得〃的最小值为32,

所以、的最小值为""7=501.

7.【答案】（1）解：山变换7的定义可得，变换前的数列和变换后的数列的各项和相等,

所以①不可以，理由：注意到每一次操作变换T不改变的值，

而-4+2+I+21/240+143,故①不可以；

②可以，操作如下：4：3，

4:—I♦0,0,3♦

4：0,0,0,2；

（2）解：由于每•次操作变换丁不改变q•+…•凡的值，也没有改变数列的项数，

故q•生，,•a=3：・：5IS,q,〃,，4；,a,,u、是公差为1的等差数列，

故数列4为：I，2，3,4,5,

当q-u22时，(@-|)♦I「二+1)0。：-2,

即每次操作后，新数列各项的平方和至少减少2,且每次减少的数为偶数，

而a44,故每次操作后新数列各项的平方和至多减少6,

记数列4的所有项平方之和为，，则，产1、2、3、4、52・55,

(■3。3、3、3。3?・45,于是人­.匚,10,故24m45,

当所=3时，存在操作变换丁：4：2,2,3,4,4：.1：2,3,3,3,4；4：3,3,

3,3,3；

当徵,4时，存在操作变换T：4：2,2，3,3,5：4：2,2,3,4,4：4：2,3,

3,3,4；4：3»3,3!3»3：

当刖=5时，存在操作变换T：4：2，2，2，4,5；4：2，2,3,3,5；4：2，2,

3,4,4；4：2，3,3,3,4；4：3,3,3,3,3；

变换r满足条件，由于每次变换只能改变两个数，故M的第三项必须为3,

所以4可能为2，2，3,3,5,或2，2，3,4,4,或I，3,3,3,5,或I，3,3,

4,4,

此时&都不可能为3,3，3,3,3.所以巾-2不可能，

综上，阳的所有可能值为3,4，5；

(3)解：由题意，每一次操作变换/不改变…的值，也没有改变数列的项数，

而1+2+…+20・210,因此操作停止时，数列(：q,中应该含有10个10,10

个II，

由(2)可知，由于每次操作后，新数列各项的平方和至少减少2，

因为("1)'一/=(“+1)(〃+2〃+1)-/二刀'+2〃-2/1一"'二3"+3〃+1,

所以=+3xlN，3J-25-3X22+3X2+I，

…，3〃+3/141,

所以・3(-.2，4+,

所以3(1-2-----w)-(/7«1|V“1.2,

所以3(1?.21♦…=1,3仆”)-外,

所以3(『,2'*3/♦2n-3"”")，

4

3(r•2•♦/)=〃(〃■])m+2)-3"‘；"),

所以3(1■]------nI〃|“74〃+；),

所以入2、…八小")⑶")

6

记数列力的所有项平方之和为4,

20x21x41

则4=1+2'+…+20：=2K7O

::

4-IOx|O+IOx||.2210，于是41-，・660,故04330,

下面证明：存在330次操作变换丁满足题意，

若数列中的最大数与最小数之间的所有整数至少出现一次，则称该数列为“连续数列”,

则4：1,2,20为连续数列，记其中的最大值为人，最小值为。

先对。与“多二操作，再对u+1与u+3操作，

然后对u+2与u+4操作，…，直到对/>-2与人操作，

经过这样一轮操作后，数列中等于。，〃的数减少一个，等于/)-1的数增加一个,

并且此时数列依旧为“连续数列从,4：1,2,...,20开始反复进行上述操作，

直到不能操作为止，因每次操作恰使得/-2,故操作次数恰好为330次,

综上，加的最大值为330.

8.【答案】(1)解：/(])是(0.・4)上的非负函数,

理由如下：

函数/(1)=定义域为(0.+。)，/'(i)=l-±=二£,

XX

当JTW(O,C)时，/函数/(、)单调递减，当xw(c.y)时，函数」L单调

递增，

则/(€)-(),故〃1)是(0,T)上的非负函数；

nr-

（2）证明：函数月（刀）=H[-。1!1.“。＞0）定义域为（0-r）,月卜）二〃

x

时，g'（V）＜0,函数*（l）单调递减，当A，一,+/)时，g'（x）＞。，函数8（K）单

调递增，

则弁。）2乂|：|a-u\n^,

因为g（x）为（0」工）上的非负函数,所以〃-〃皿2：•（）,解得"Sc”，则4因，

n

因为〃,：cnc,所以卜〃为等差数列；

(3)证明：山，“i)=L,x>0//(<)=Inw--

x*JrVx)

当〃22且〃e、・，由力'C）＞0,解得ln〃”＞0,则,

由方'（工）＜0,得In"；，＜0,解得0。＜”,

xln/y

则函数介n）在上单调递减，在[J--®）上单调递增，故人仃）之人（二），

VInwj\lnnJIIn”）

IInn

由八X）为（0、+x）上的非负函数，得可小帅）,则"=：

Innb.n

令f（jr）=lnx+:1,x＞l；贝!=在（l./r）上恒成立，

XXXX

故r"在（l.♦N）上单调递增，则mdD二o,从而在（1・♦,）上恒成立，

令，=*=I♦--..＜＞1,得，9（1.+工），则x=，,从而In'＞1在（、♦/）上恒成立,

x-lx-lf-lf-li

故-L二见2<In/r-ln，—=(ln/0'-lnw-ln(/i-l)i(lnnr-|ln<n-l)|

b.nw-1

当且仅当〃2时，等号成立，

225।

则Z—<(ln2)'-(Ini)*+(ln3>;-dn2f-+(ln2G25»-(li)2024>2=(In202?」

D

9.【答案】（1）解：因为排列x（U.2.4）,

则”।,J,«।,4,2,a■o，

所以Z"，="l+2+0=4,

I

则33对应排列为（2,L3）,5,-5对应排列为（2,3,l,4i.

（2）证明：设原排列为再（q.u......q,rq）,

交换最后两项得到新排列KI.

显然（兀）,即交换排列的最后两项不改变4的总和，

考虑一般情况：设原排列为不=（4…•・。.」」・人4.2…•・4），

交换1和，的位置后得到新排列=（立…匚1…,即J,

显然，对于j4桁-I或，2M・2的项，有d=d,

因此只需比较幺+4.和（+4•的大小，

设A/=minM7•….，分三种情况分析：

情况I：当"22/-I时，有/・心・1-\,

且4"・"—Ml，

情况2：当/<"427-2时，有人「〃>”一，

情况3：当“</时，有d.・《“・,且4t.i工（，

综上所述，在三种情况卜都有人♦J.*d：♦d：,

即交换后总和不会减少，

对于任意排列x=（4…4）,

构造其对称排列'=（12+1-^....,^41-即J时，

对任意，恒有可（TT）:4（）

因为将原排列中的1后移等价于在对称排列中将〃后移，

结合已证向右移动1不减少整个的总和，

所以向右移动〃也不减少总和，

因此，最优排列的构造中，将〃固定在末位同样能保证寻找到总和最大,

设原排列为%设...,A.L2A।,

前*-3项中｛2.•…&-1｝的4和为1・（4-1）*・1一.U“

的4和为

固定项八？A1,4：一UI,

（3）证明：设原排列为