2026新高考数学一轮复习：函数的图象（解析版）

新高考数学一轮复习

第9讲函数图像

知识点：函数图像作法

1、直接画

①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性(或其他对称性)、单调性、周期性、凹凸性;

④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线(对称轴、渐近线等).

2、图像的变换

(1)平移变换

①函数尸/3+〃)(〃>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位得到的：

②函数)，=/*-〃)(〃>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿x轴向右平移a个单位得到的：

③函数y=/(幻+a(a>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿)，轴向上平移a个单位得到的；

④函数y=./'(X)+a(a>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿)，轴向下平移a个单位得到的；

（2）对称变换

①函数y=/（x）与函数y=-x）的图像关于），轴对称；

函数）,=/（A）4函数的图像关于x轴对称；

函数），=/"）与函数y=-f（-x）的图像关于坐标原点（0,0）对称；

②若函数的图像关于直线x=〃对称，则对定义域内的任意x都有

/S—X）=/（4+X）或/5）=「（勿―X）（实质上是图像上关于直线X=4对称的两点连线的中点横坐标

为4,即为常数）;

2

若函数fix）的图像关于点3为）对称，则对定义域内的任意X都有

f（x）=2b-f（2a-x）^f（a-x）=2h-f（a+x）

③的图像是将函数/Q）的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于x轴对称翻

折上来得到的（如图（4）和图”））所示

④），=/（区）的图像是将函数f（x）的图像只保留），轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y轴对称得

到函数1y=/（旧）左边的图像即函数），=/（凶）是一个偶函数（如图（c）所示）.

注：|/（刈的图像先保留/（工）原来在x轴上方的图像，做出x轴卜.方的图像关于x轴对称图形，然后

擦去工轴下方的图像得到：而/刎）的图像是先保留"X）在），轴右方的图像，擦去），轴左方的图像，然后

做出y轴右方的图像关于），轴的而称图形得到.这两变换又叫翻折变换.

⑤函数），=广|。）与y=/（x）的图像关于y=x对称.

（3）伸缩变换

①y=Af（x）（A>0）的图像，可将），=/（x）的图像上的每一点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<\）到

原来的人倍得到.

②），=/（的）3>0）的图像，可将），=/（©的图像上的每一点的横坐标伸长（0<。<1）或缗短（3>1）到

原来的L倍得到.

co

解题方法总结

（1）若f（ni+x）=f[m-x）恒成立，则y=f{x}的图像关于直线x=〃?对称.

（2）设函数y=/（x）定义在实数集上，则函数y=/（X一〃）与），=/〃〃-X）（加>0）的图象关于直线

x=m对称.

（3）若/（〃+©=/（〃-幻，对任意xeR恒成立，则），=力工）的图象关于直线X=一对称.

（4）函数y=f（a+x）与函数y=f（b-x）的图象关于直线/=对称.

（5）函数y=f（x）与函数y=/（2〃一幻的图象关于直线x=a对称.

（6）函数），=/（©与函数），=给-/（2々-用的图象关于点3,力中心对称.

（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.

（8）图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想）

072=1.414,73=1.732,逐=2.236,遍=2.45,V?=2.646

②e=2.71828,/=7.39,^=^=1.65

@In1=0,In2=0.69,ln3=l.l,lne=l,InV^=-

2

@sin1=0.84,cos1=0.54,sin2=0.91,cos2=-0.42

特别地：当x—>0时sinx=x

例如：sin0.1=0,099^0.1,sin0.2=0.199^0.2,sin0.3=0.296«0.3

当x—>0时cosx=1

cosO.l=0.995«1,cos（-0.2）=0.980«1

题型一：由解析式选图（识图）

【典例1・1】函数〃％）==的大致图像为（）

【解析[由/（x）=E可知，COSXW0,即+显然该函数定义域关于原点对称,

此时函数图象位于X轴下方，故持除A,经检验B选项符合题意.

故选:B.

【变式1・2】函数/（力=9_1-10?的图象大致为（）

【答案】A

,\_

vv

,.r-,e-e-2ln（-x）,x<0

【解析】/（x）=e，—e=ln?=（V）,

ev-e¥-21nx,x>0

闪为当XV0时，y-e\y=-e，,y=一21n（-x）都为增函数，

所以，尸/_1_21"—）在（^，°）上单调递增，故B，C错误;

又因为/（一x）=e~x-e*-InfW一/⑺，

所以/W不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.

故选:A

题型二：由图象选表达式

【典例2・1】已知函数>>，=/（》）的图象如下，则/（“的解析式可能为（）

【答案】D

【分析】先由函数奇偶性排除AB,再由xe（O4）时函数值正负情况可得解.

【详解】由图可知函数为偶函数，而函数/（"=而和函数/（力=而为奇函数，故排除选项AB；

又当xe（O,l）时1一/＞0»2一1＜（）,此时/“）=此＞（）,/"）=丹＜0,

由图可知当x«O,l）时，/（x）＜o,故C不符合，D符合.

故选：D

【典例2-2】已知函数/（力的部分图象如图所示，则/（力的解析式可能为（）

B./3=4sin国一吉

1

C./(A)=6COS|^|下D../'(x)=W-lnW

【答案】A

【分析】根据图象可知函数的奇偶性判断及值域排除BC再代入特殊值/（l）=l-lnl=l排除D即可判断.

【洋解】由图象，得函数f（x）的定义域为（-8,。）=（。,+8）,口图象关于），轴对称，即/（"）为偶函数，当

xfO,/(x)->-h».

选项B,C中，sin|x|<l,cos|^<l,当工70,故徘除B,C；

选项A,D中，当x=l时，e'-lnl=e,l-lnl=l,结合图象,排除D.

故选:A.

【典例2・3】函数/（x）的图象如图所示，则/%）的解析式可能为（)

ev-e-A

B./(-v)=

x~

C.小)=3D./(加贴

XX

【答案】c

【解析】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数/(6为奇函数，且/⑴=0,

"/.ln|-x|Inhl.、

对于A,〃T)=/、2「/」小)，为偶函数，故A错误；

(-X)+1X+1

对于B,/(i)=^-^-=e--^O,故B错误：

1e

对于C,/(_力=上立二1=_止1,为奇函数，当x>0时，y(x)=^-=x--,

—XXXX

因为y=x,)，=-,在(0,+8)为单调递增函数，所以/(力=工-，在(0,+8)单调递增，故C正确;

XX

对于D,当x>0时，f(x)=—>/©)=匕乎，所以4«0,e)时,片->0,

.1AT

/(X)单调递增，当X«C,I8)时，r(x)<0,/(x)单调递减，故D错误，

故选：C.

【方法技巧】

1、从定义域值域判断图像位置；

2、从奇偶性判断图像的对称性；

3、从周期性判断图像循环往复；

4、从单调性判断大致变化趋势；

5、从特殊点排除错误选项.

【变式2-1］已知函数y=/'(x)的图象如图所示，则/(“的解析式可能是()

c./、X4-COSX

D.f(x)=———

e+e

【答案】C

【分析】依题意可得/("为奇函数，即可排除B、D,由函数在0<x<］上的函数值的特征排除A.

【详解】由图可知/(X)的图象关于原点对称，则为奇函数，

4十A、-x-sinx

对于」(上.

A-X定义域为R,

当0<x苫时一x-sinx<0,ev+e-J>0»所以/(x)<0,不符合题意，故A错误;

对于B：〃制=三二三定义域为R,

e'+e'

，/、-x-COS(-X)—X-COSX_/t，z.z

/(T)=、二"，=-7—^*-/Wx且/(r)//(x)，

v।CCIC

所以/。)=丁"为非奇非偶函数，不符合题意，故B错误;

e+e

x+cosx

对于D：fM=定义域为R,

e+e

J\-X+COS(-X)-x+COSXxuz.z、一，/\

八一幻二心」=.3且〃r)=〃x),

w"T"wL"iw

Y4-CCSr

所以八x)=b为非奇非偶函数，不符合题意，故D错误;

小工「〃八x+sinx-x+sm(-x)x+sinx，/、

对于C：/U)=—~~工定乂域为R，/(-x)=-_\7=--——=-/U)»

e+evex+eAex+etx;

所以/(、)=霁¥为奇函数,

且当0<x苫时x+sinx>0,e'+e-j。，所以〃力>0,符合题意，故C正确;

故选:C

【变式2・3】函数/(x)的部分图象如图所示，则/⑶的解析式可能为()

xsmx八一、xsmx+x〜、xsinx

---C.fW=D./(x)=-^—

X+1A+1X~+\

【答案】A

【解析】由图象可得函数/(X)为偶函数，且xwK,/(x)N。，当且仅当x=。时，/(x)=0,

对干A,因为二小),xeR所以函数/("是偶函数，又

y=sinx+x,x>0.

贝ijy'=cosx+l之0,所以函数y=$inx+x在(0,+“)上单调递增,

所以y=sinx+x>。，故解析式可能为A,故A正确；

3兀.3K37r

-sin一一一

3兀

对于B,由一不合题意，故B错误;

型+i型+1

22

“、-xsin（-x）4-（-x）xsinx-x,、,、z,、

对于C,因为/（一1）=-------\^+i----=J；］，所以/（T）W/（X）且〃一工）声一了（刈，

所以函数〃X）是非奇非偶函数，放C错误;

对于D,由小卜口=。，不合题意，故D错误.

故选:A.

题型三：表达式含参数的图象问题

【典例3-1］（多选题）已知函数=（其中〃叶〃>0,。工。）的部分图象如图所示,

C.ni>0>nD.a<0

【答案】AB

【解析】选项A,B,C：由题意如

广(x)=a〃2(x+l广(x-l)"+fl/i(x+l)，n(x-l)n_，=a(x+l)M，-'(x-l)"-1[(m+n)x-(m-n)J,

令r（x）=O,解得Ll或x=l或j

tn+n

由题图可知函数的一个极值点位于区间（0，；；

因此0v‘―-<7；,乂/〃+〃>0,所以0<2〃?一2〃，故〃>0,因此A,B1E确，C错

in+n2

误.

选项D：由题图可知=

若取〃?=3,〃=2,则解得。>0,因此D错误.

故选:AB

【典例3.2】(多选题)函数小)=i的大致图象可能是()

【答案】BCD

【解析】当4=0时，(■是偶函数，当x>0时，“X)为减函数，此时对应图象可能是C；

1\~cix~—2,X+CT

当"0时，xeR,令/("=0得x=-‘<0,为非奇非偶函数，且/(')=卜2+,,

令丁=-〃戈2-2.r+42其对应方程的△-4+4/>0.设其对应方程的两根分别为*],xz,(与<。〈三)，

所以x«-oo,xj,xe(^,x2),f^x)>0,xe(.q,4<o),

即函数f(x)阳YO,西)和(七，”)上单调递减，在(%,王)上单调递增，由单调性判断此时对应图象可能是

B：

当“<o时，〃力为非奇非偶函数，/("在工=±G处无定义，

取〃=—2J(x)=W|,d)=0,x<-应时〃x)>。且〃.1)单增，

%>&时“X)V0且/(X)单增,-V2<x<V2时/(力单增，

此时对应图象可能是D；

对于A,由于图象无间断点，故〃>0,但此时在x<0上不可能恒正，

故选：BCD.

【方法技巧】

根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系,

以得出正确选项.

【变式3・1】(多选题)函数f(x)=V-%(，〃eR)的图象可能是()

X

【答案】ABD

【解析】由题意可知，函数“X)的定义域为(-8,。)5°，+8)，

当"?〉()时，,("=3/+?>0,函数〃力在(y,O),(O,y)上单调递增，故B正确；

当〃7=0时，/(x)=x\，(x)=3/>0,所以在(-8,0),(0,+切上单调递增,故D正确;

当"?<0时，当x>0时，/(^)=^-->0；当xvO时，/(x)=xy<0；

XX

故A正确；C错误.

故选：ABD.

【变式3・2】函数/(x)=ln(l+x)-&ln(l-x)的大致图像可能为()

【答案】BCD

【解析】因为析x)=ln(l+x)dln(lT),

所以II,解得-1VXV1,故/(X)定义域为(Tl).

kx(A-1)+1+女

r(x)=—+/(—x)=hi(l—x)—Aln(l,

'71+x与一I-x2

1k

因为心。时，八+=>。在区间7)上恒成立,

所以/⑴在区间(TD上单调递增.

当上=1时，/(-x)=-/(x),此时/>)为奇函数，故选项B正确；

当2=0时，/(x)=ln(l+x),易知其图像为选项D,故选项D正确.

当2<0时，由r(x)=。，得%=；~~-=1+--7，又~；■一(-1)=-;-7>0,

I-%\-K\-k\-k

\LI+LIL

所以-+即f(x)在区间(—1,岩)上单调递增，在区间(+£/)上单调递减,

\-k1-kl-k

综上可知，/(X)在区间(-1，1)上不严格单调递减，故选项A不正确；

当七=-1时,/(-x)=/(%),此时/")为偶函数，

且在区间(-1,0)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减，故选项C正确，

故选:BCD.

题型四：函数图象的变换

【典例4・1】已知对数函数/[x)=log“x,函数/(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来

的3倍，得到函数飘幻的图象，再将双幻的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)的图象

重合，则〃的值是()

A.—B.：C.D.6

233

【答案】D

【解析】因为将函数/*)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象,

所以g(x)=log”|,即g(x)=log”x-log“3,

将g(.T)的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式)=log“x-log〃3+2,

因为所得图象恰好与函数/(.v)的图象重合，

所以Tog03+2=0,

所以/=3，又。>0且

解得a=后,

故选：D

【典例4-2】已知函数“X)的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式

【答案】c

①rf-k②x-M-1③U->2N

)，=/(%)Ty=f(-x)Ty=/(l-x)ty=f(\-2x)

①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半

故选：C.

【方法技巧】

熟悉函数三种变换：(1)平移变换；(2)对称变换；(3)伸缩变换.

【变式4-1】已知函数/(x)=e'-eT,则函数y=/(x-l)+l的图象()

A.关于点(1,1)对称B.关于点(-1,1)对称C.关于点(-1,0)对称D.关于点(1,0)对称

【答案】A

【解析】因为/(幻=/一©7,所以/(-<)=「-/=-/*),即/⑴的图象关于原点对称，

函数y=/(x-i)+i的图象可由/⑶的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到,

所以函数y的图象关于点(1,1)对称.

故选:A.

【变式4・2］已知函数/(x)的图象如图1所示，则图2所表示的函数是()

【答案】C

【解析】由图知，将〃”的图象关于)'轴对称后再向下平移1个单位即得图2,

乂将/(力的图象关于y轴对称后可得函数y=/(-x),

再向下平移1个单位，可得)，=/(-力-1

所以解析式为

故选:C.

题型五：利用函数的图像研究函数的性质、最值

【典例5・1】已知函数/(x)=rv，x>,.若用<〃，"/〃)="〃)，则〃一〃?的最小值为()

x+3,x<0

53

A.1B.-C.-D.2

42

【答案】D

【解析】画出/(x)的图象如下图所示，

令""?)=/(〃)=/,则0</43,

且一3<〃？V0<〃,贝lj2\fn=/,+3=f,

所以〃=—且〃7=/—3,

4

gr-pi厂—4/+12—2)~+8/八

力以〃-m=-----------=------------(0</<3)»

当7=2时，〃-"】取得最小值为2.

【典例5・2】用min{a,Z?,c}表示“，力，c三个数中的最小值，则函数f（x）=min<x+l,-g.x+4,-x+6,

的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】在一个坐标系中画出y=x+L），=-gx+4,y=-x+6的图像，从左到右，取横坐标对应的纵坐标

小的点构成新的图像，如图:

y=x+l

联立[1/解得力(2,3),

y=一一x+4

I2

函数/(x)=min卜+1,-gx+4,r+6卜勺最大值为3

故选：C.

【方法技巧】

利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取

得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想.

【变式5・1】已知/?wR,设函数/(6=|1。氏x+2x+〃|在区间山+1](/>0)上的最大值为％(〃).若

抄M(b)N2}=R,则正实数f的最大值为.

【答案】|

【解析】画出/(x)=|log2X+2x+〃|的图象如下：

由图象可知，当时：M3)取得最小值，最小值为了⑺,

此时f+l,-(log,/+2/+/?)=log,(/+1)+2(/+l)+Z?,

则/>=一Tlog2，a+l)—2/—l①，

故只需要一(log2，+Z+6)N2②,

故正实数，的最大值为g.

故答案为：：

【变式5・2】对“，Z?eR,记max｛〃,/?｝二、：'，"-?,则函数/a)=max1|x+l],x2-2x+g]的最小值

[b,(a<b)[4]

为.

3

【答案】1/1.5

【解析】函数/。)=0^(｛卜+1|/2-2工+(｝是函数)，=|4+1|与函数)，=/-2工+・同一个.1取得的两个函数

值的较大的值，

由图象可知，令/-2x+\=x+I,得X=；或x=T，

13

故当尸5时，/⑶的最小值为9

故答案为：!3

题型六：利用函数的图像解不等式

|log2x|,xe(0,4)

【典例6・1】已知函数f(x)=,则满足lW/(x)W3的x的取值范围为()

[4,+8)

-11-

A.[0,2"6]一82-

--

D.“2,6]

_o乙.

【答案】D

【解析】令/(力=1,则|隆2才=1卜«°，4))或T=l(x«4,+0),

x—3

解得X=g或X=2或x=6.

令f(x)=3,则|k)g2H=3(iw(0,4))或=3(X€[4,+8),

A*—3

解得x或X=4.

o

画出函数/(X)图象的草图(如图)，得满足的X的取值范围为|iu[2,6],

o2

则/⑴,咏小的解集是()

D.(|j]u(U)

【答案】c

【解析】根据题意当xc|,3^M,/(X)=2-(X-|+1)=3-X,

、

当叫3q9J时J(x)=2-[2-/*-3)]=/。-3)=X-55,

X+，Xe0,

作出函数/("=2(I、2I「3、的图象如图，

在同一坐标系中作出函数y=|bg2M的图象，

故选：c

【方法技巧】

利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据

题意结合图像写出答案.

【变式6・1】已知函数/(x)=则不等式/(/(功<”(幻+1的解集是()

3x+l,x<0

【答案】D

【解析】令，=fM,则/(/*))<4/Cr)+1即为/(/)<4/+1,

当，vO时,/⑺=32故，⑺<421无解,

当后0时，/。)=3',/(。<4/+1即为3'<4f+l,

在同一平面直角坐标系下画出和)，=4+1的大致图像如图,

14

由图可得当且仅当0<，<2时，3J+1,

综上所述，％)<4+1的解为o〈r<2,Xr=/(x),

所以0</(x)<2,

当xvO时，/(x)=3x+l,

故0<3x+l<2,解得：——<x<—,所以一Q<X<(),

当了20时，/(x)=3\

故0<3'<2,解得：xvlogC，所以OKxvlog.”，

综上所述，不等式/W))<”(x)+1的解集是信」叫2

故选：D.

【变式6-2】已知函数/")=华+1,g(*)=/(x-2)+l,则不等式〃»<g(K)的解集为()

A.(f,l)B.(1,2)C.(1,-Ko)D.(2,+oo)

【答案】A

【解析】由题知/(6=4+1=[1：<：[鼠》)=/(工一2)+1=12"：；，在同一坐标系下画出/(力,

2[x+l,x>0,[%,x>2,

g(x)图象如下所示：

由图可知/(x)<g(x)的解集为(—J).

故选：A.

题型七：利用函数的图像求恒成立问题

【典例7・1】已知函数/(%)=•若对任意的x都有|/(x)|Nar恒成立，则实数〃的取值范

111(X-1kx>1.

围是()

A.(-a),0]B.[TO]C.[-3,0]D.(3,2]

【答案】B

一储+4(141

【解析】因为/(外=|/:,，令g(x)=|/(x)|，作出以力图象，如图所示,

令心•)=◎,由图知，要使对任意的x都有恒成立，则必有人0,

v=f-4x

当工WO时，x=V—4x,由广，消》得到/一(4+〃)X=0,

y-ax

由A=0,得到(4+4=0,即。=-4,由图可知TKaMO,

【典例7・2】己知函数/(入•)的定义域为R,满足/(x)=2/(K-l),且xe(0,l]时,/a)=x27.若

Vxc(-coM,都有则，的取值范围是()

4

B.(T_

(1T

D.

I4」

【答案】B

【解析】当1cx<2时

因为/(x)=2/(x-l),且xe(O,l]时,/(x)=/_xw-^-,0,

所以/(x)=2,f(x-l)=2[(x—l)2-a-l)]=2/-6x+4e0；

当2cxM3时,1vx-lW2,

所以/(幻=2/(%—l)=2[2(.r—I)?—6(工—1)+4]=4—-20\+24£[—1,0]；

因为/(x)=2/*-l)n/(x+l)=2/(x)n/(x)=g/(x+l),

当一1<XK0时,0<1+141,

所以/*)=:/*+1)=4(X+1)2-(X+1)]="+:XC

ZZLJZZo

所以/。)=2/1-1)=〃％+1)=2〃1),得/(1+/)=2'/(刈(/£2).

由此做出函数图像得:

3Q।I

当2X3时,“-2。>24=-“解彳”a或"二，

QG11

结合图像得…2。."/的解为：'普或出不

3

因为4yM.都有人

9

所以〃W-00,4

故选:B.

【方法技巧】

先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得

出参数的范围.

|AA|+2,X<I

，设aeR,若关于x的不等式/（x）2]+。在R上，亘成立，则

【变式7・1】已知函数〃幻=2

XH—N1

X

”的取值范围是()

A.B.[-2,2]

_2_

C.[-|>/2,2D.卜渭正

2

【答案】B

【解析】由题意知，令g（%）=,函数/（上）的图象如图所示,

当函数g。)的图象经过点(0,2)时，得。=±2.

当y=的图象与y=x+为训的图象相切时，

r2

由:+a=x+—,Wx2-2av+4=0,结合图形，由△=()得。=2.

2x

若不等式«在R上恒成立，

当时，需满足一〃42,K|J-6/<2<0,

当〃>0时，需满足。42,即0K〃W2,

所以-24。42,

所以实数4的取值范围为［-2,2］.

故选：B.

【变式7・2】设函数/(幻的定义域为R,满足/。-2)=2/(外，且当xe(0,2］时，/(刈=1(2-幻.若对

3

任意都有成立，则。的取值范围是()

O

「51

A.与曲B.-,+oo

［2

(3(