2026学年人教版八年级数学上册压轴题专练：乘法公式的五类综合题型（原卷版+解析）

专题10乘法公式的五类综合题型

目录

典例详解

类型一、平方差公式中连续相乘应用

类型二、乘法公式中简便运算变换

类型三、乘法公式中项数的变换

类型四、乘法公式中整体代换应用

类型五、乘法公式中几何图形的应用

压轴专练

典例详解

类型一、平方差公式中连续相乘应用

1.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如-力）（。+份（"+〃）...，

前两项得〃-从，再与下一项生平方差，以此类推，简化运算。

2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合G-），）（％+），）形式。例如（1-"22）（1-1/3

2）...,每项拆分为两数和差，连续约分化简。

例I.计算：（2+1）（22+1）（24+1）|28+1）=（结果用募的形式表示）.

【变式1-1］计算:

24x,6

［变式1-2］计算：（5+l）（5+i）|5+l）（5+l）（5+l）+l=

【变式1-3】阅读下列材料.某同学在计算3（4+1乂4、1）时，发现把3写成4-1后，可以连续运用平方差公

式计算:3（4I1）（42।1）=（41）（4I1）（42I1）-（421）（42I1）=441=2561-255.

请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值.

⑴（2+1乂22+1）（2、*28+1卜（2@4+1）（结果用基的形式表示）；

类型二、乘法公式中简便运算变换

1.凑整变形：将原式凑成完全平方或平方差形式，如992K00-1快速计算，避

免复杂乘法。

2.拆分重组:拆分项使其符合公式,如102X98=(100+2)(100-2),用平方差公式得1002-22,简化运算

步骤。

例2.用乘法公式进行简便运算：

⑴1(X)3?；

⑵201()2-2011x2009.

【变式27】简便运算:

(1)20022；

(2)2024x2026-20252.

【变式2-2】运用乘法公式进行简便运算：

(1)2012;

(2)49x51-2500.

【变式2-3］使用简便计算：

(1)9002-894x906.

(2)|(X)12-2002+1.

类型三、乘法公式中项数的变换

1.增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如炉+64可加9减9,变为(xS)2-

9,适配公式简化计算。

2.分组合并项：多项式分组后用公式，如冰•〃+。・儿前两项用平方差得(a-b)(a+

力)，再与后两项合并提公因式。

例3.计算：(5。+功-2c)(5〃一动+6c).

【变式3-1】计算：(2a-b+5)(2a+b-5).

【变式3-2】计算：(a+2b-3c)(a-2b-3c).

【变式3-3】计算：(2。+30-1)(1+2。-3〃)+(1+2。-3))2.

类型四、乘法公式中整体代换应用

1.视多项式为整体:如计算(a+b+c)2,将(o+b)看作整体,用完全平方公式得(a+b)2+2(a+b)c+c2,再

展开化简。

2.代换简化求值：已知x+y=5,孙=3,求/+>2,用(x+y)2-整体代入，避免求单值。

例4.已知：a-b=3,ab=\,试求：

(1)(z2+3ab+b?的值；

(2)(4+。『的值.

【变式4-1】同学们在学习八年级上册第卜四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式一一完全

平方公式，解答下列各题：

【基础公式】请写出完全平方公式(〃+力)2=；

【公式变形】公式可以变形为〃2+从=.

【应用】

(1)已知：。+力=8,而=15,求4+从的值;

(2)已知：。+2=3,求/+《的值.

aa~

【变式4-2】阅读材料：把形如,川+云+。的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法

,配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即。2±2"+从=(a±b)2.

13

例如：*-1)2+3,(工-2)2+2工，(5工-2)2+；/是丁一2x+4的三种不同形式的配方.

请根据阅读材料解决下列问题：

(1)将/_6x+4按三种不同的形式配方；

⑵将/+ab+b-配方(至少两种形式)；

(3)已知/+b2+c2-ab-3/)-2c+4=Q,求a+〃-C的值.

【变式4-3】观察以下等式团

(x+l)(x2-X+l)=x3+I,(X-2)(X2+2X+4)=X3-8,(X+3)(X2-3工+9)=丁+27,

(x-5乂f+5x+25)"-125……

按以上等式的规律，发现自

①(〃+〃)(/一〃力+阴=〃'+"；(2)(a-b)^a2+ab+b~^=a3-b3

⑴利用多项式乘以多项式的法则，证明团(。+勿-必+/?2)="+方成立；

(2)已知,+〃一4|+卜力—2)2=0,求+〃3值；

(3)已知x>y,x+y=3,—=2，求/-丁的值.

4

类型五、乘法公式中几何图形的应用

1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为研〃的正方形面积，可分为。2、//和两个"，验

证(a+b)2=a2+2ab+b2。

2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差〃一〃对应长方形面积

(a-b)(a+b),印证平方差公式。

—

例5.如图1是一张边长为〃的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为〃的小正方形，然后将图1剩余部

分(阴影部分)剪拼成如图2的一个大长方形(阴影部分).

⑴将图1阴影部分的面积记为S-图2的面枳记为邑,若用含。、〃的代数式表示册和邑，则S尸:s2=_；

(2)请你判断，与S2之间的大小关系:51_S2(填“>，'、"<"或"=")；

⑶利用(2)中的结论,求2024,-2022?的值.

定义一种新运算：：=/+/+反.

【变式5-1］定义：对于任意四个有理数。、b、c、d,

-1-2

⑴34

⑵=,；若二;是完全平方式，则〃=_;

km2nkjnzn

in+4〃-4

⑶若有理数切、〃满足机+3〃=5,且“,_2.=13.

①求机〃的值;

②如图，四边形ABC。是长方形，点E、F、G、”分别在边A3、BC、CD、上，连接EG、FH交于点P,

且EG、FH将长方形ABC。分割成四个小长方形，若AB=9〃,BF=3n,CF=3m,DG=m,在①的条件

下，求图中阴影部分的面积.

AHD

BFC

【变式5-2】如图I,边长为。的大正方形中有一个边长为力的小正方形，把图I中的阴影部分拼成如图2

所示长方形.

:用字母。，〃表示)

⑵运用以上等式计算:

(3)如图3,100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100cm,向里依次为

99cm,98cm,…，1cm,那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？(结果保留不)

【变式5-3】【知识生成】

通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1，在边长为。的

正方形中剪掉一个边长为〃的小正方形(。＞力)，把余下的部分剪开并拼成一个长方形(如图2),图1中阴

影部分的面枳可表示为：片—6，图2中阴影部分的面枳可表示为：gb)(a-b),因为两个图中的阴影部

分的面积是相同的，所以可得到等式：a2-b2=(a+b)(a-b).

M5

【结论探究】

图3是一个长为2a,宽为助的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成

一个大正方形.

(D如图4,用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于(4+0)2,(a-A)："的等式是

(2)若a+b=7,ab=5,求,一8)-的值.

【类比迁移】

(3)如图5,点。是线段8G上的一点，以BC,CG为边向上下两侧作正方形488,正方形CEPG,两正

方形的面积分别记为，和S?,若BG=9,两正方形的面积和，+S?=47,求图中阴影部分的面积.

压轴专练

一、单选题

1.计算2024?-2023x2025的结果是()

A.1B.-1C.2025D.2024

2.如果〃2_3〃一7=(),那么代数式(a-lf+a(。-4)-2的值为()

A.-15B.-8C.6D.13

3.若。为任意整数，则（。-8）2-（。+2）2的值总能（）

A.被25整除B.被20整除C.被16整除D.被9整除

4.如图，正方形A8C。和长方形OEFG的面积相等，且四边形的H也为正方形.欧几里得在《几何原本》

中利用该图得到了：AH2=ABxBH.设48=〃，BH=b,若ah=45，则图中阴影部分的周长为（）

G

DC

AB

H

E

A.25B.26C.28D.30

2

3'

则新的值为()

D.2025

二、填空题

9

6.若实数x满足（x—2025）（2020—力=彳，贝ijx=.

7.若a=一3,a2-b2=12,贝lj（a+力）（a-h+l）=.

8.若〃满足（〃-2023y+（2025-"）2=1,则（〃-2023）（2025-〃）=.

9.如图，小明制作了一些A类、B类、。类卡片各10张，其中4,8两类卡片都是正方形，。类卡片是长

方形.取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的种数为.

10.边长分别为〃，〃的两个小正方形年〉力）在边长为a+b的大正方形内按如图1所示位置放置，此时阴影

部分的面积为30.将图15大正方形的边长减少1个单位后得到新的大正方形，边长分别为〃，方的两个小

正方形在新的大正方形内按如图2所示位置放置，此时阴影部分的面积为16.则的值为

三、解答题

11.计算：

(l)|-x+2y)(-x-2y)；

(2)(y+2)(j-2)-(y-1)(y+5)：

(3)|a+/?+c)2；

(4)+8+1)(2^/—/>—!)；

(5)(3a-2b)(b-3a):

(6)|-2x+1)(-3x+5).

12.先化简，再求值[(21+)，)2-(4一)，)(犬+)，)一2丁卜(一3)其中、、)，满足卜—5|+()，+4)2=0.

13.先化简，再求值：

(l)[3x+y1-(3x+y)(3x-y),其中x=2,y=3；

(2)[(。-48)2+(。-28)(。+2力)-2G**2b,其中白=1,b=-2.

14.若一个正整数x能表示成"-从(。，人是正整数，且〃>>)的形式，则称这个数为“开明数”，。与人是

工的一个平方差分解.例如：因为5=32-22,所以5是“开明数”，3与2是5的平方差分解；再如：

222222

M=X+2xy^=x+2A7+y-y=(x+y)-y(x,y是正整数)，所以M也是“开明数”，(x+W与y是M的

一个平方差分解.

⑴判断:20_“开明数”(填“是”或“不是”)；

(2)己知(丁+”与/是。的一个平方差分解，求小

⑶已知N=Y-)，2+4x_6y+&(x,y是正整数，攵是常数，且、"1),要使N是“开明数”，试求出符合

条件的女值，并说明理由.

15.一个正方形边长为〃?+4(用为常数且〃7>0),记它的面积为加，将这个正方形的一组邻边长分别增加

2和减少2,得到一个长方形，记该长方形的面积记为邑.

⑴求Sz(用含〃?的代数式表示)；

⑵小丽说无论相为何值，5；和S2的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？

(3)洛原正方形的边长减少1,得到一个新的正方形，记它的面积为邑，若存在常数小使得不论机为何值，

邑-始终是一个定值，求。的值.

16.阅读理解:我们已经学过完全平方公式(〃土建=方土式〃+从,通过对I+/进行适当的变形，如

a2-b2=S+4-2而或/+从=(即力产+2时,可以使某些问题得到解决.

例如：已如ai〃=5,"=3,求cJ+〃2的值

解：/+/=(。+"-2他=52-2x3=19

问题解决：

(1)若x+y=10，Q，=24,求Y+y的值；

(2)已知a+—=6,求42H•—7的值：

acr

⑶若(9-x)(x-6)=l,求*-9尸+(1-6产的值；

17.【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.例如：

由图I可得至IJ(。+))2=/+2〃。+。？

图1图2

(I)写出由图2所表示的数学等式:

(2)根据上面的等式，如果将力看成“+("),直接写出〃-上+1的展开式(结果化简)；若〃2+2=2求

In)n-

”1+4的值.

n)

(3)已知实数〃、b、c,满足以下两个条件：/+/+/+24-45+60=-10且

(a+l)S—2)-3+l)(c+3)-S-2)(c+3)=0,求a+b-c的值.

18.数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为〃的正方形，B种纸片是边

长为b的正方形，C种纸片是长为〃，宽为〃的长方形，并用A种纸片一张，8种纸片一张，。种纸片两张

拼成如图②的大正方形.

bBhC

图①

⑴仔细观察图①、图②，请你写出代数式(。+。)2,/+从，(活之间的等量关系是

(2)根据(1)中的等量关系，解决下列问题:

①已知a+〃=4,a2+b2=10,求曲的值；

②已知(2020-疗+(〃-2019『=5,求(2020-〃)伍一2019)的值;

③已知(x—2021)2+(x—2019『=52,求工一2020的值.

19.(1)如图1到图2的操作能验证的等式是()

C.(«-h)2=(a+b)2-4ahD.a2-b2=(a+b){a-b)

⑵若/-4丁=12,x+2y=4,则x-2y=_；

（3）运用你从（1）中选出的等式，计算下列各题：

①2023?-2022x2024：

@2x（3+l）x（32+l）x（34+l）x（38+l）+l.

20.【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图

（1）,在边长为。的正方形中剪掉一个边长为〃的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图

（2）,图（1）中阴影部分面积可表示为/-A?,图（2）中阴影部分面积可表示为（。+力）（。-力），因为两个

图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2-b2=（a+b）（a-b）.

【类比探究】（I）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积.可得到•个等式是

【实践运用】（2）根据⑴所得的关系式，若a+b=8,ab=4,则/+从=_.

【拓展迁移】（3）若x满足（9一心（工一4）=2,求（9—X）2+（X—4『的值.

【灵活应用】（4）如图（4）,某学校有一块梯形空地A8CD4。，3。于点石，AE=DE,BE=CE.该校计

划在△4ED和V4EC区域内种花，在和一A3E的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35,4c=11,

求种草区域的面积和.

(1)

专题10乘法公式的五类综合题型

目录

典例详解

类型一、平方差公式中连续相乘应用

类型二、乘法公式中简便运算变换

类型三、乘法公式中项数的变换

类型四、乘法公式中整体代换应用

类型五、乘法公式中几何图形的应用

压轴专练

典例详解

类型一、平方差公式中连续相乘应用

I.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如二」）（〃；6）…,

前两项得〃-从，再与下一项生平方差，以此类推，简化运算。

2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合（X-），）（％+），）形式。例如（1-"22）（1-1/3

2）...,每项拆分为两数和差，连续约分化简。

例I.计算：（2+1）（22+1）（24+1）|28+1）=（结果用摩的形式表示）.

【答案】2,6-1/-1+216

【分析】本题主要考查了平方差公式，把原式前面乘以（2-1）,然后利用平方差公式求解即可.

【详解】解：（2+1乂22+*24+1）（28+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（24-1）（24+1）（284-1）

=（28-1）（28+1）

=2J，

故答案为：2'6-1.

【变式f计算：“一募卜

【分析】本题主要考杳了利用平方差公式简化计算，利用平方差公式对每一个括号分解因式，然后约分即

可得出结果.

【详解】解：a*。W）。-/（1-志）

=（1--）（1+-）（1--）（1+-）（1--）（14--）X（1———）（14--^―）

22334420202020

13243202020192021

一X—X—X.X-X»x«—X

22334201920202020

12021

—X

22020

7021

~4040

2021

故答案为:

4040

【变式1一2】计算：（5+1）（52+］）|54+1）（5X+1）（5'6+1）+1=

严

【答案】—

4

【分析1本题考查平方差公式，将算式转化为：（5-l）（5+l）（52+l）（54+l）（58+l）（5i6+l）+；,利用平方差公

式进行简算即可.

［详解］解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（5,6+1）+1

2486

=1（5-1）（5+1）（5+1）（5+1）（5+1）（5）+1）+1

=轲-并2+1）（5，+1）（58+1）66+1）+；

T（5J1）（54+1）（5F）（5-）+；

6

=1（5«_1）（5«+1）（51+1）+1

=浮7（即+】）+；

532

-T:

故答案为:

4

【变式1-3】阅读下列材料.某同学在计算3（4+1乂4、1）时，发现把3写成4-1后，可以连续运用平方差公

式计算：3（44-1）（42+1）=（4-1）（4+1）（42+1）=（42-1）（42+1）=44-1=256-1=255.

请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值.

248,024

（|）（2+1）（2+1）（2+1）（24-1）...（2+1）（结果用幕的形式表示）；

叫+0（1+/+孰i+£l+表.

【答案】⑴2*1

（2）2

【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

（I）仿照材料例题，构造平方差公式求解即可；

（2）仿照材料例题，构造平方差公式求解即可.

【详解】⑴解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）..（2,024+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）--（2,024+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）--（2,024+1）

-（24-1）（24+1）（28+1）•••（21024+1j

=（28-1）（28+1）-（2,024+1）

=（2,024-1）（21024+1）

=严-1;

⑵解:（局（扑去

=2卜知+分去

=2（「奈卜表

r11

=2一/+/

=2.

类型二、乘法公式中简便运算变换

1.凑整变形：将原式凑成完全平方或平方差形式，如992=(1051)2,用Q-b)2二标快速计算，避

免复杂乘法。

2.拆分重组：拆分项使其符合公式，如102X98=(100+2)(100-2),用平方差公式得lOO'Z?,简化运算

步骤。

例2.用乘法公式进行简便运算：

⑴10032：

(2)20102-2011x2009.

【答案】(1)1006009

(2)1

【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键.

(1)把原式变形为(1000+3『，再利用完全平方公式求解即可；

(2)把原式变形为20102一(2010+1)x(2010-1),再利用平方差公式求解即可.

【详解】(1)解：10032

=(1000+3)2

=b3OO2+2x3xlOOO+32

=1-300000+6000+9

二1006009；

(2)解:20102-2011x2009

=20102-(2010+1)x(2010-1)

=20102-(20102-12)

=20102-20102+1

=1.

【变式2T】简便运算：

⑴2002，

(2)2024X2026-20252.

【答案】⑴4008004

⑵-1

【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式是关键.

(1)将2002变形为(2000+2),根据完全平方公式即可解答

(2)把2024x2026变形为(2025-1)(2025+1),根据平方差公式利用平方差公式，即可求解.

【详解】3)解：原式=(2000+2『

=20002+2X2000X2+22

=4000000+8000+4

=4008004：

(2)解:原式二(2025-1)(2025+1)-2025?

=2()252-12-20252

=—1.

【变式2-2】运用乘法公式进行管便运算：

⑴20F：

(2)49x51-2500.

【答案】(1)40401

⑵T

【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先整理原式=(200+1)2,再运用完全平方公式进行简便运算，即可作答.

(2)先整理原式=(507)x(50+1)-2500,再运用平方差公式进行简便运算，即可作答.

【详解】(1)解：20产

二(200+1)2

=40000+400+1

=40401：

(2)解：49x51-2500

=(50-1)x(50+1)-2500

=2500-1-2500

="l.

【变式2-3]使用简便计算：

(1)9002-894x906.

(2)I0012-2002+1.

【答案】⑴36.

(2)1000000.

【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平•方差公式-从和

完全平方公式(〃±份2=/±2"+/的形式及适用条件是解题的关键.

(I)可将894和906转化为与900有关的形式，再利用平方差公式计算；

(2)将2002转化为2x1001的形式，再利用完全平方公式计算.

【详解】(1)解：9002-894x906

=9002-(900-6)(900+6),

=9002-(9002-62)

=9(X)2-9002+36

=36

(2)解：10012-2002+1

=1'3012-2X100I+1

=(1001-1)2

=10002

二1000000

类型三、乘法公式中项数的变换

1.增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如丁+6x可加9减9,变为(x+3/-

9,适配公式简化计算。

2.分组合并项：多项式分组后用公式，如a?b2+a-b,前两项用平方差得5-b)[a+

b)，再与后两项合并提公因式。

例3.计算：（5。+%一2c）（5〃一%+6c）.

【答案】25/+20＜（-12°2-96+24。°

【知识点】运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式

【分析】本题考查了多项式乘多项式以及平方差公式的运算，先整理原式为（5a+2c『-（3》-4C）2,再运用

平方差公式展开进行计算，再合并同类项，即可作答.

［详解】（5〃+劝-勿）（5吁初+&）

=（5«+3/?+2c-4（?）（5。一劝+2c+4r）

=［（5«+2c）+（3Z?-4c）］［（5a+2c）-（3Z?-4c）j

=（5〃+2c）~—（3人-4c）~

=25a2+20UC+4c2-9b2+24bc-\6c2

=25a2+20ac-12c2-9b2+24bc.

【变式3-1】计算：（为一b+5）（勿+〃一5）.

【答案】4/一〃+10〃一25

【知识点】运用平方差公式进行运算

【分析】构造平方差公式计算，本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键.

【详解】（2a-b+5）（2a+b-5）=（2a）2-（b-5）2

=4f/一。2+10%—25.

【变式3-2】计算：（。+以-3c女）.

【答案】a2+9c2-6ac-4b2

【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算

【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式.此题难度适中，注意首先把原式变形为：

3-3c）+羽-3c）-是解答比题的关键.

所求的式子可化成［（。-3c）+2勿［伍-3°）-2勿，然后利用平方差公式和完全平方公式即可求解.

【详解】解：（。+加一3c）（。一劝-攵）

=［｛a-3c）+2b］［（a-3c）-2b］

=(〃-3c,『一(如2

=cr+9c2-6ac-4b2.

【变式3-3】计算：（2々+3〃-1）（1+2。-3〃）+（1+2。-3〃）2.

【答案】Sa2-12ab+4a.

【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算

【分析】本题考查了整式的乘法一乘法公式.利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解.

【详解】解:原式=[2a+（3b-l）][2a-（3b-l）]+[2«-（3b-l）了

=4«2-（3/?-l）2+4fz2-4«（3/?-l）4-（3/?-l）2

=&72-4«（3/?-1）

=8a2—12ab+4a-

类型四、乘法公式中整体代换应用

L视多瓦式^整体：飞语算（。+炉c）T将仿+A）房昨整床二用免嶷私天得（"协万提2（a+b）c+再

展开化简。

2.代换简化求值：已知x+y=5,孙=3,求f+歹，用幻）尸-羽，整体代入，避免求单值。

例4.已知：a-b=3,ab=\,试求：

⑴4+3帅+从的值;

（2）（。+力f的值.

【答案】⑴14

⑵13

【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式在行运算

【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对是解题的关键.

根据完全平分公式的变形即可求解

【详解】（1）解：a-b=3,ab=\

a2+3ab+〃

=（a-b）~+5他

=9+5

=14；

(2)(4+犷

=("/?)'+4"

=9+4

=13.

【变式4-1】同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式一一完全

平方公式，解答下列各题：

【基础公式】请写出完全平方公式(〃+力；

【公式变形】公式可以变形为：

【应用】

(I)已知：。+。=8,"=15,求述+加的值；

(2)已知：〃+二3,求/+与的值.

aa'

【答案】［基础公式］

［公式变形］(a+))2-2他

［应用］(1)34

(2)7

【知识点】通过对完全平方公式变形求值

【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式及其变形计算是解题的关键.

［基础公式］由完全平方和公式即可求解；

［公式变形］根据完全平方公式的变形即可求解；

［应用］(1)根据完全平方公式的变形得到/+从=(〃+92-2＜而，代入计算即可；

(2)运用完全平方公式变形得到笳+J=(〃+：)-2,代入计算即可.

【详解】解：［基础公式］(〃+〃)2="2+2〃〃+〃，

故答案为：a2+lab+b1；

［公式变形］/+〃-2ab,

故答案为：(。+92-2他；

［应用］(1)(3/+〃=(〃+〃『一2"，a+b=S,ab=\5,

回原式=82-2x15=64-30=34；

1/1A21

（2）0a2+—=a+—-2,a+—=3,

a~\aJa

团原式=3?-2=7.

【变式4-2】阅读材料：把形如④z+法+c的二次三项式（或具一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法

,配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即。2±2"+从=（a±b）2.

I3

例如：（工-1）2+3,（X-2）2+2X,（5工-2）2+不丁是丁-2x+4的三种不同形式的配方.

请根据阅读材料解决下列问题：

⑴将V—6x+4按三种不同的形式配方；

⑵将/+ab+b-配方（至少两种形式）;

（3）已知/+b'+c2-ab-3l）-2c+4=0,求a+Z?-C的值.

【答案】⑴（工一3）2-5；（4-2）2-24；仗”-2）-%、

i\23

{2}(a+b)1-ab；〃+_U［+)；—a+h+—a2；

2)42)4

⑶2

【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式在行运算

【分析】本题考查了完全平方公式的逆写，熟练掌握完全平方式的结构是解题关键.

（1）仿照例题，利用完全平方公式即可求解；

（2）仿照例题，利用完全平方公式即可求解；

（3）利用完全平方公式，将等式化为1一:“一+：伍一2『+（C-1）2=0,进而求出〃=2,a=l,c=l,再

代人求值即可.

【详解】（1）解：炉-6犬+4=/一6犬+9-5=（工-3）2-5；

X2-6X+4=X2-4X+4-2X=（X-2）2-2X；

(2)解：a2+ab+b2=cf+lab+b2-ab=(a+h)~-ab；

a2^-ab+b2=a2+ab+-b2+-b2=\a+-b

44I2J

a2-k-ab+b2=—a2+ab+b2+—a2=—a+/?|+—a2

4412yl4

(3)解：a2+b2+cz-ab-3b-2c+4=0

:.^a2-ab+^b2-30+3)-6-2c+l)=0,

+-加+*-2『+(c-l)2=0,

.\a——b=O,/?—2=0,c—1=0»

2

.\b—2,a—1,c—1»

/.d4-^-C=1+2-1=2

【变式4-3］观察以下等式12

(x+l)(x2-X+I)=X3+1,(X-2)(X2+2X+4)=X3-8,(X+3)(X2-3A+9)=X3+27,

0-5乂八5工+25)=/-125…

按以上等式的规律，发现团

①(a+b)(c/—而+〃)=/+/?\②(〃一以/+ab+b2^=a3-b3

⑴利用多项式乘以多项式的法则，证明回3+蚁/-必+后）=^+//成立；

（2）已知,+〃一4|+（出?-2）2=0,求/+〃值；

⑶已知x>y,x+y=2>,xy=-,求F-的值.

4

【答案】（1）见解析

⑵40

（3）15.5

【知识点】多项式乘法中的规律性问题、通过对完全平方公式变形求值

【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值：

（I）利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得征；

(2)根据非负性求出〃+"用的值，进而求出的值，进而求出^+尸的值即可;

(3)先求出f+V的值，整体思想求出/-y3的值即可.

【详解】(1)证明：(a+b)(a2-ab+b2)

=。3-a'b+ab'+a2b-ab'+b'

="+人

(2)^\a+b-4\+(ab-2)'=0,

团。+人-4=0,"-2=0,

团。+〃=4,4〃=2,

团"+62=(。+/02一加力=16-4=12,

呢+//=(4+加(/一他+〃)=4><(12—2)=40；

(3)团x>y,x+y=3,盯=*,

4

、13

0x:+y2=(x+y)~-2xy--,(x-y)2=(x+y)2-4A>?=4,

团,

团x-y=2,

3

0x-/=(Ar-y)(^+A7+/)=2xfy+^=15.5.

类型五、乘法公式中几何图形的应用

1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为。+〃的正方形面积，可分为。2、〃和两个。儿验

证（。+8）2=a2+2ab+b2。

2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差对应长方形面枳

（a-b）（a+b）,印证平方差公式。

例5.如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为〃的小正方形，然后将图1剩余部

分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）.

⑴将图1阴影部分的面积记为耳，图2的面枳记为工，若用含a、b的代数式表示S；和s2,则5,=_,邑=_；

⑵请你判断E与§2之间的大小关系:S-S?(填”>〃、"<"或"=")；

(3)利用(2)中的结论，求20242-2022?的值.

【答案】⑴片-从,(a+b)(a-b)

⑵二

(3)8092

【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算、列代数式

【分析】本题主要考查平方差公式与几何面积、列代数式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

(1)根据正方形和长方形的面积可直接进行求解；

(2)根据图形可得结论；

(3)根据(2)中的结论可得合-从=(〃+〃)(〃-〃)，进而利用结论进行求解即可.

22

【详解】(1)解：根据题意，S,=a-b,S2=(a+b)(a-b),

故答案为：a2-b2»(a+b^a-b)-

(2)解：根据图形，图2的大长方形是边长为〃的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为。的小正方形,

然后将阴影部分剪拼成的，

0S1=S?9

故答案为：=;

(3)解：由(2)na2-b2=(a+b)(a-b),

020242-20223

=(2024+2022)x(2024-2022)

=4046x2

=8092.

【变式57】定义：对于任意四个有理数。、b、c、d,定义一种新运算:胃=2+-

-1-2

(1)

34

m-n二」若禽:是完全平方式,

⑵62〃则攵=_;

m+4〃-4

⑶若有理数机、〃满足〃?+3〃=5,且13.

4〃『+2n24m-n

①求〃〃7的值；

②如图，四边形A3CZ)是长方形，点E、AG、”分别在边A3、BC、CD、04上，连接EG、FH交于点尸，

且EG、FH将长方形ABC。分割成四个小长方形，若48=9〃，BF=3n,CF=3?n,DG=m,在①的条件

下，求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴11

(2)/w2-knui+4n2；±4

⑶①2;②弓

【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、求完全平方式中的字母系数、多项式乘多项式一一化简求值

【分析】本题考查「新定义，完全平方公式的变形求解.，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关

键.

(I)根据/=V+/+加计算即可;

cd

ab、、

(2)根据，=/+小+6。计算，再根据完全平方式的特征求解即可；

ca

(3)①根据，=a~+d2+be得出(m+4/?)2+(4m-n)-4(4〃/+2n2)=13,再结合m+3n=5即可求出mn=2；

cd

②根据图象可得S阴影=S矩形A8CO-S矩形—SVEBC-S\HDC，化筒后代入〃?+3〃=5,"帆=2即可求解；

-1-222

【详解】(1)解:=(-1)+4+3x(-2)=1+16-6=11；

34

in-n

(2)解：=m2-hnn+4/?2；

km2n

tn-n

若是完全平方式,则&=±4；

Mln

m+4n-4

(3)解:00=13,

4/7?2+2n24/77-n

回(加++(4〃?一一4(4〃/+2/!2)=13,

(W+9〃2=13,

0(w+3〃)2-6fmi=13,

团，〃+3〃=5,

025-6〃7〃=13,

团mn=2,

②由题意可知：S阴影=S矩形ABCD-S知形AEPH-SVEBC-SVHDC

=9/2•(3/7+3/77)-3mn-—•3m9n---(9n-〃?)⑶[+3〃?)

22

77],

=27zr+21nm-3mn------mn------(27/?2+24/〃〃-3m2)

22

27।,

=27n2+27〃?〃-3nin------mn------(27//+24，〃〃-3m2)

22

2733

=­n2-mn+-m2~

222

=1[(3〃+加)一7〃”？，

33

将加+3〃=5,"〃?=2代入可得，原式=：.

【变式5-2］如图1,边长为。的大正方形中有一个边长为人的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2

:用字母出人表示）

（2）运用以上等式计算:

（3）如图3,100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100cm,向里依次为

99cm,98cm,…，1cm,那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留乃）

【答案】⑴/-从=（〃+加（。一位

⑵些

4048

（3）5O5O^cin?

【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形

【分析】本题主要考杳了平方差公式的应用，考核学生的计算能力和应用意识，找到规律是解题的关键:

（1）根据图I和图2图形的面积相等列出等式即可;

丁、山.〒+"八452024202512320222023

(2)利用平方差公式.整理成二x二x：xx——x——x-x-x-xx_____x_即___可_求解:

2342023202423420232024

（3）根据圆的面积公式列出式子，根据（1）的规律计算即可.

【详解】（1）解：解：①根据图1和图2阴影部分面积相等可得：/-〃=m+〃）（q—切,

故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b),

1

(2)解:

22A

1+/1

1+

20232024

...11+1+

2024

2024；

34520242025I2320222023

=—X—X—XX------------X------------X—X—X—XX------------X-------------

2342023202423420232024

20251

=-----x-----

22024

=2025

-4048；

(3)解：1002-992^+...+42-32+22-\27T

=^(1002-992+...+4:-32+22-12)

=狙100+99+…+4+3+2+1)

100x(1+100)

=冗"

2

=5O5O^-(cm2),

答:阴影部分的面积为5050/5?.

【变式5-3】【知识生成】

通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1,在边长为。的

正方形中剪掉一个边长为〃的小正方形(。＞〃)，把余下的部分剪开并拼成一个长方形(如图2),图1中阴

影部分的面积可表示为：/一护，图2中阴影部分的面积可表示为：(a+b)(a—b),因为两个图中的阴影部

分的面积是相同的，所以可得到等式：a2-b2=(a+