2024-2025学年福建省南平市建阳市中考数学最后一模试卷含解析

2024-2025学年福建省南平市建阳市中考数学最后一模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（）A．2.18×106B．2.18×105C．21.8×106D．21.8×1052．下列事件是必然事件的是()A．任意作一个平行四边形其对角线互相垂直B．任意作一个矩形其对角线相等C．任意作一个三角形其内角和为D．任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分3．如图,在△ABC中,AD是BC边的中线,∠ADC=30°,将△ADC沿AD折叠,使C点落在C′的位置,若BC=4,则BC′的长为()A．2 B．2 C．4 D．34．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为（）A． B． C． D．5．港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为()A．55×103 B．5.5×104 C．5.5×105 D．0.55×1056．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐.问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是()．A． B．C． D．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．115°8．若代数式2x2+3x﹣1的值为1，则代数式4x2+6x﹣1的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．39．如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果，，那么弦AB的长是（）A． B． C． D．10．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A． B．C． D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．抛物线y=（x+1）2-2的顶点坐标是______．12．如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、AF、CE、CF，添加__________条件，可以判定四边形AECF是平行四边形．（填一个符合要求的条件即可）13．分解因式：8x²-8xy+2y²=_________________________.14．2017年12月31日晚，郑东新区如意湖文化广场举行了“文化跨年夜、出彩郑州人”的跨年庆祝活动，大学生小明和小刚都各自前往观看了演出，而且他们两人前往时选择了以下三种交通工具中的一种：共享单车、公交、地铁，则他们两人选择同一种交通工具前往观看演出的概率为_____．15．一个正n边形的中心角等于18°，那么n＝_____．16．有下列各式：①；②；③；④．其中，计算结果为分式的是_____．（填序号）17．已知二次函数的图象开口向上，且经过原点，试写出一个符合上述条件的二次函数的解析式：_____．（只需写出一个）三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图,已知二次函数与x轴交于A、B两点,A在B左侧,点C是点A下方,且AC⊥x轴.(1)已知A(－3，0),B(－1，0),AC=OA．①求抛物线解析式和直线OC的解析式；②点P从O出发,以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动,Q从O出发,以每秒个单位的速度沿OC方向运动,运动时间为t.直线PQ与抛物线的一个交点记为M,当2PM=QM时,求t的值(直接写出结果,不需要写过程)(2)过C作直线EF与抛物线交于E、F两点(E、F在x轴下方),过E作EG⊥x轴于G,连CG,BF,求证：CG∥BF19．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．20．（8分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.求与之间的函数关系式；如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.21．（10分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得_____；（2）解不等式②，得_____；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集为_____．22．（10分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长.23．（12分）已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=x2-4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．（1）求点C和点A的坐标．（2）定义“L双抛图形”：直线x=t将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线x=t的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线x=t的“L双抛图形”（特别地，当直线x=t恰好是抛物线的对称轴时，得到的“L双抛图形”不变），①当t=0时，抛物线L关于直找x=0的“L双抛图形”如图所示，直线y=3与“L双抛图形”有______个交点；②若抛物线L关于直线x=t的“L双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点，结合图象，直接写出t的取值范围：______；③当直线x=t经过点A时，“L双抛图形”如图所示，现将线段AC所在直线沿水平（x轴）方向左右平移，交“L双抛图形”于点P，交x轴于点Q，满足PQ=AC时，求点P的坐标．24．（14分）某校为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学生进行问卷调查，统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图：请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：（1）共抽取名学生进行问卷调查；（2）补全条形统计图，求出扇形统计图中“足球”所对应的圆心角的度数；（3）该校共有3000名学生，请估计全校学生喜欢足球运动的人数．（4）甲乙两名学生各选一项球类运动，请求出甲乙两人选同一项球类运动的概率．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，所以2180000用科学记数法表示为2.18×106，故选A.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2、B【解析】

必然事件就是一定发生的事件，根据定义对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、任意作一个平行四边形其对角线互相垂直不一定发生，是随机事件，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，所以任意作一个矩形其对角线相等一定发生，是必然事件，故本选项正确；C、三角形的内角和为180°，所以任意作一个三角形其内角和为是不可能事件，故本选项错误；D、任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分不一定发生，是随机事件，故选项错误，故选：B．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．熟练掌握相关图形的性质也是解题的关键．3、A【解析】连接CC′，∵将△ADC沿AD折叠，使C点落在C′的位置，∠ADC=30°，∴∠ADC′=∠ADC=30°，CD=C′D，∴∠CDC′=∠ADC+∠ADC′=60°，∴△DCC′是等边三角形，∴∠DC′C=60°，∵在△ABC中，AD是BC边的中线，即BD=CD，∴C′D=BD，∴∠DBC′=∠DC′B=∠CDC′=30°，∴∠BC′C=∠DC′B+∠DC′C=90°，∵BC=4，∴BC′=BC•cos∠DBC′=4×=2，故选A.【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识，准确添加辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键．4、B【解析】

延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD=150°，∴∠DCF=30°，又CD=4，∴DF=2，CF==2，由题意得∠E=30°，∴EF=，∴BE=BC+CF+EF=6+4，∴AB=BE×tanE=（6+4）×=（2+4）米，即电线杆的高度为（2+4）米．点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.5、B【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】55000是5位整数，小数点向左移动4位后所得的数即可满足科学记数法的要求，由此可知10的指数为4，所以，55000用科学记数法表示为5.5×104，故选B.本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6、B【解析】

根据题意，表示出两种方式的总人数，然后根据人数不变列方程即可.【详解】根据题意可得：每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可得人数为（2x+9）人，所以所列方程为：3（x-2）=2x+9.故选B.此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是找到问题中的等量关系：总人数不变，列出相应的方程即可.7、B【解析】

根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数，进而利用平行线的性质得出∠ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=130°，

∴∠C=180°-130°=50°，

∵AD∥BC，

∴∠ABC=180°-∠A=50°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=25°，

∴∠BDC=180°-25°-50°=105°，

故选：B．本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数．8、D【解析】

由2x2+1x﹣1＝1知2x2+1x＝2，代入原式2（2x2+1x）﹣1计算可得．【详解】解：∵2x2+1x﹣1＝1，∴2x2+1x＝2，则4x2+6x﹣1＝2（2x2+1x）﹣1＝2×2﹣1＝4﹣1＝1．故本题答案为：D.本题主要考查代数式的求值，运用整体代入的思想是解题的关键．9、C【解析】

先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．【详解】解：，PB为的切线，，，为等边三角形，．故选C．本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．10、C【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，依题意得：，即．故选C．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、(-1,-2)【解析】试题分析：因为y=（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2），故答案为（﹣1，﹣2）．考点：二次函数的性质．12、BE=DF【解析】可以添加的条件有BE=DF等；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）.∴AE=CF，∠AEB=∠CFD.

∴∠AEF=∠CFE.∴AE∥CF；∴四边形AECF是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）故答案为BE=DF．13、1【解析】

提取公因式1，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．完全平方公式：a1±1ab+b1=（a±b）1．【详解】8x1-8xy+1y²=1（4x1-4xy+y²）=1（1x-y）1．故答案为：1（1x-y）1此题考查的是提取公因式法和公式法分解因式，本题关键在于提取公因式可以利用完全平方公式进行二次因式分解．14、【解析】

首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果，最后用概率公式求解即可求得答案．【详解】树状图如图所示，

∴一共有9种等可能的结果；

根据树状图知，两人选择同一种交通工具前往观看演出的有3种情况，

∴选择同一种交通工具前往观看演出的概率：，

故答案为．此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15、20【解析】

由正n边形的中心角为18°，可得方程18n=360，解方程即可求得答案．【详解】∵正n边形的中心角为18°，∴18n=360，∴n=20.故答案为20.本题考查的知识点是正多边形和圆，解题的关键是熟练的掌握正多边形和圆.16、②④【解析】

根据分式的定义，将每个式子计算后，即可求解.【详解】=1不是分式，=，=3不是分式，=故选②④.本题考查分式的判断，解题的关键是清楚分式的定义.17、y=x2等【解析】分析：根据二次函数的图象开口向上知道a＞1，又二次函数的图象过原点，可以得到c=1，所以解析式满足a＞1，c=1即可．详解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞1．∵二次函数的图象过原点，∴c=1．故解析式满足a＞1，c=1即可，如y=x2．故答案为y=x2（答案不唯一）．点睛：本题是开放性试题，考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易出错．本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．三、解答题（共7小题，满分69分）18、(1)①y=－x2－4x－3；y=x；②t=或；（2）证明见解析.【解析】

(1)把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式即可求出；由AC=OA知C点坐标为(-3,-3),故可求出直线OC的解析式；②由题意得OP=2t,P(－2t，0)，过Q作QH⊥x轴于H,得OH=HQ=t,可得Q(－t,－t),直线PQ为y＝－x－2t，过M作MG⊥x轴于G,由，则2PG＝GH，由，得，于是，解得，从而求出M(－3t,t)或M（），再分情况计算即可；(2)过F作FH⊥x轴于H，想办法证得tan∠CAG=tan∠FBH，即∠CAG=∠FBH，即得证.【详解】解：(1)①把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式得解得∴y=－x2－4x－3；由AC=OA知C点坐标为(-3,-3),∴直线OC的解析式y=x；②OP=2t,P(－2t，0)，过Q作QH⊥x轴于H,∵QO=,∴OH=HQ=t,∴Q(－t,－t),∴PQ：y＝－x－2t，过M作MG⊥x轴于G,∴，∴2PG＝GH∴，即，∴，∴，∴M(－3t,t)或M（）当M(－3t,t)时：，∴当M（）时：，∴综上：或(2)设A(m,0)、B(n,0),∴m、n为方程x2－bx－c=0的两根，∴m+n=b,mn＝－c,∴y＝－x2+(m+n)x－mn＝－(x－m)(x－n),∵E、F在抛物线上，设、，设EF：y＝kx+b,∴，∴∴∴，令x＝m∴＝∴AC=,又∵,∴tan∠CAG=，另一方面：过F作FH⊥x轴于H，∴，，∴tan∠FBH=∴tan∠CAG=tan∠FBH∴∠CAG=∠FBH∴CG∥BF此题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质及正确作出辅助线进行求解.19、（1）见解析（2）相切【解析】

（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．【详解】（1）如图所示：；（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，∵CO平分∠ACB，∴OB=OD，即d=r，∴⊙O与直线AC相切，此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出d=r是解题关键．20、（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.【解析】

（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．【详解】（1）由题意得：．故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，（2）由题意，得-10x+700≥240，解得x≤46，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∵-10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，-10（x-50）2=-250，x-50=±5，x1=55，x2=45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．21、（1）x＞1；（1）x≤1；（3）答案见解析；（4）1＜x≤1．【解析】

根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集．【详解】解：（1）解不等式①，得x＞1；（1）解不等式②，得x≤1；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为：1＜x≤1．本题考查了一元一次不等式组的解法，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．22、还需要航行的距离的长为20.4海里.【解析】分析：根据题意得：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD=27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．详解：由题知：，，.在中，，，（海里）.在中，，，（海里）.答：还需要航行的距离的长为20.4海里.点睛：此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度是解决问题的关键．23、（1）C（2，-1），A（1，0）；（2）①3，②0＜t＜1，③（+2，1）或（-+2，1）或（-1，0）【解析】

（1）令y=0得：x2-1x+3=0，然后求得方程的解，从而可得到A、B的坐标，然后再求得抛物线的对称轴为x=2，最后将x=2代入可求得点C的纵坐标；（2）①抛物线与y轴交点坐标为（0，3），然后做出直线y=3，然后找出交点个数即可；②将y=3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而可得到直线y=3与“L双抛图形”恰好有3个交点时t的取值，然后结合函数图象可得到“L双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点时t的取值范围；③首先证明四边形ACQP为平行四边形，由可得到点P的纵坐标为1，然后由函数解析式可求得点P的横坐标．【详解】