导数的综合应用（讲）-高考数学一轮复习（新高考）解析版

专题4.4导数的综合应用

了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，

新课程考试要求

会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.

本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模（例9.10）、直观想象（例

核心素养

3）、数学运算（多例）、数据分析等.

（1）导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的跑调性、极值

与最值、函数的零点等.解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有

考向预测

综合化更强的趋势；

（2）适度关注生活中的优化问题.

【知识清单】

1.利用导数研究函数的图象与性质

函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观

察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽

然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.

2.与函数零点有关的参数范围问题

（1）方程/。）=0有实根U函数的图象与X轴有交点U函数y=/（x）有零点.

（2）求极值的步骤：

①先求/«=0的根%（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；

②分析/两侧导数f（x）的符号：若左侧导数负右侧导数正，则,％为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，

则Xo为极大值点.

（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的

最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值，大前提是要考虑函数的定义域.

（4）函数y=/（x）的零点就是/（x）=0的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉

函数图象的交点横坐标.

3.与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题

不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和

热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转

化为求函数的最值问题来处理.

'恒成立o/(x)min>a

/⑴>。,有解o/(x)max>a

无解=/(x)max

4.利用导数证明、解不等式问题

无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质(单调性和最值),

达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.

【考点分类剖析】

考点一：利用导数研究函数的零点或零点个数

【典例1](2021•山东泰安市•高三其他模拟)己知函数/(x)=x2+x+sinv-tzln(x+l).

(1)当〃二一1时，求/(力图象在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)当。>0且2时，证明：f(x)有且仅有两个零点.

【答案】(1))，=3x；(2)证明见解析；

【解析】

(1)当。=-1时，代入，求导，根据导数几何意义即切线斜率，求得切线方程；

(2)通过二次求导判断导函数的单调性，进而求得原函数单调性，从而解决零点个数问题.

【详解】

(1)当a=—1时，/(%)—x2+x+siirv+ln(x+1).

贝ijf'(x)=2x+l+cosx+—5~y,

贝ijf(0)=3,又/(0)=。

则f(犬)图象在点(0,/(0))处的刃线方程为y=3x：

(2)由/'(X)=2x+l+cosx——(a>0)

则f〃(x)=2-sinx+^^y〉。恒成立,

f'(x)单调递增;

(x+1)

又xf—1,f\x)n•、xf+oo,f\x)t+oo,

则必然存在一点Xoe(T+°°)，使得/'(玉))二°，且XW(T,AQ),/'(x)v0,/(x)单减，xe(x0,+co),

fix)>0,/(x)单增，即/(幻,=八天)，

则f(Xo)W/(0)=0,

故若/a)有且仅有两个零点，则/(玉))<0，只需最小值点不在x=0处取得即可,

即F'(0)=2—awO,即〃工2,

故当。〉0且。工2时，/*)有且仅有两个零点.

【典例2](2020届山东省范泽一中高二2月月考)已知函数/(x)=lnx-x+2sin大，/(x)为/(x)的导

函数.

⑴求证：,(力在(0,4)上存在唯一零点;

(2)求证：/(尢)有且仅有两个不同的零点.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)设g(x)=//(x)=--l+2cosx,

X

当)£(0,乃)时，g<x)=-2sinx--y<0,所以g(x)在(0,外上单调递减,

.X

(^\3(2

又因为g—=---1+1>0,—=---1<0

<3；兀k2J7T

所以g(x)在仁51:有唯•的零点。，所以命题得证.

⑵①由⑴知:当x«0,a)时，/'(力>0,〃力在(O,a)上单调递增;

当)£(a,万)时,八力<0,在(a,4)上单调递减;

/\

所以/(x)在(0,乃)上存在唯一的极大值点ag<a<g

IJ

所以/(a)>d=ln--—+2>2-->0

222

又因为/f4]=-2—e+2sinl<-2—3+2<0

IJe"e"e'

所以在(0,a)上恰有一个零点.

乂因为/(万)=ln;r-;r<2—;rvO

2

1.(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)【多选题】关于函数/(x)=-+Inx,下列判断正确的是()

A.x=2是/(力的极大值点

B.函数y=/(x)-x有且只有1个零点

C.存在正实数%,使得/'(x)>h恒成立

D.对任意两个正实数阳，修，且％2>X，若/(%)=/(9)，则玉+工2>4

【答案】BD

【解析】

⑴/(X)的定义域为(0,+8)，f(力=三一，所以/(力在(0,2)上递减，在(2,+»)上递增，所以1=2

X

是f(X)的极小值点.故A选项错误.

(2)构造函数g(x)=/(x)-x=2+lnx-x(x>0).g(x)=("二十?)-\+4.

xv7x1=-------；--------<0

厂

所以g(x)在(0,y)上递减.而g(l)=ln2+l>0,^(2)=ln2-l<0,g(l)・g(2)v0.所以g(x)有

且只有一个零点.故B选项正确.

2—kr2v_7

(3)构造函数力(x)=/(x)=-+lnx-丘(x>0,攵>0)./(力=-----------,由于一女<0,

XX

_人21r_O

)，=-京？+戈-2开II向下，XT0和时，y=-kx2+x-2<0,即〃(耳二—二人/<(),

时〃(力<0,故不存在正实数人使得〃力>依恒成立，C选项错误.

(4)由(1)知，/(五)在(0,2)上递减，在(2,十8)上递增，x=2是/(力的极小值点.由于任意两个

%

正实数』，彳2，且彳2>%，/(%)=/(%)，故0<内<2<々.令‘=2>1，^2=tx\•由/(X)=/(%)

x\

得2+inx=Z+ln%2,即2•±二五二ln上，即2(1)“=ln/,解得玉二丑二!1,则

演々王占玉玉・41tint

%=必所以x+x2c二2.要证>4,即证凡+々-4>0,即证

zlnrrlnr

2r-242?-2-4rlnr

-----------4=-------------------->0,由于，>1,所以"nr>0,故即证2,2-2-4"lV>0(/>l)①.构造函

/•In//•Inr

数力。)=2/-2-4"n/(/Nl)(先取fNl),/?(1)=0；/?(r)=4r-41n/-4,/(1)=0；

/(7)=4-；=当">0.所以〃(。在[1,+8)上为增函数，所以〃«)之/?(1)=0,所以/?”)在

[1,-HX))上为增函数，所以〃(/)之〃(1)=0.故当时，力(/)>0•印证得①成立，故D选项正确.

故选：BD.

2.(2019•全国高考真题(理))已知函数/(x)=sinx—ln(l+x),/'(x)为/(x)的导数.证明:

(1)/'(%)在区间(-1,9存在唯一极大值点;

(2)/3)有且仅有2个零点.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)由题意知：/(%)定义域为:(-1,+8)且/(x)=cosx——，

令g(A)=COSX-------,xe\-\,-

X+1

.•.^,(x)=-sinx+-^—y

，XG—1,一

(x+l)I2)

17T

西?在「引上单调递减，—sinx,在上单调递减

••・g'(x)在卜吟上单调递减

\乙)

乃.乃44八

又g'(0)=—sin0+l=l>0,g'-sin——I------------=-----------1f<0

2(i+2)一(笈+2)一

/.3x0G0,g,使得g'(七)=0

<2)

.,.当时,g'（x）＞0；xe时,g'（x）＜。

\L）

/\

即g（x）在（-1,七）上单调递增；在上单调递减

则X=%）为g（X）唯一的极大值点

即：/（大）在区间卜,1）上存在唯一的极大值点

（2）由（1）知：/f（x）=cosx———,xe（-l,-K»）

I1

①当X£（—1,O］时，由⑴可知广⑺在（T0］上单调递增

?.f（x）＜r（0）=0.-./（A）在（—1,0］上单调递减

又"0）=0

.•.%=0为/（x）在（-1,0］上的唯一零点

②当工£（0卷时，尸（X）在（0/。）上单调递增，在口0，口上单调递减

又/（0）=0

.•./（X）在（0,毛）上单调递增，此时/（力＞/（。）=0,不存在零点

又噌

=cos--一—=-一—<0

2万+2万+2

••3x,GXo，g，使得/'（苔）=0

I乙）

在（玉,西）上单调递增，在上单调递减

乙）

又外力/（0）=0'/闺=si吟Tn［+q=ln含

>lnl=0

'乙）乙1乙）7lI乙

.•./（力〉0在%,3上恒成立，此时不存在零点

IL）

③当xw：、兀时，sinx单调递减，-ln(x+l)单调递减

.•./(/)在%、兀上单调递减

又、'(9>°'/⑺:sin/r-ln(乃+1)=_皿1+1)<0

即又/(同在*乃上单调递减

••.“X)在g4上存在唯•零点

④当x£(E+oo)时，sinxe[-Ll],ln(^+l)>ln(^+l)>lne=1

sinx-ln(x+l)<0

即f(x)在(匹中功上不存在零点

综上所述：/(工)有且仅有2个零点

考点二：与函数零点有关的参数范围问题

【典例3】(2021•四川省绵阳南山中学高三其他模拟(文))已知关于x的方程工一皿。=214目有三个不相

等的实数根，则实数。的取值范围是.

【答案】(J,+8

(4)

【解析】

由参变量分离法得出lna=x-21nW，利用导数分析函数/(“=x-2卜凶的单调性与极值，数形结合可

得出关于实数〃的不等式，由此可解得实数〃的取值范惘.

【详解】

由工一111。=21川司可得lna=x-2h】k|,设〃无)=x-21nW,其中rwO,

2x—2

当支<0时，/(x)=x-21n(-x),则/'3=1--=——>0,此时函数/(力单调递增，

XX

2v_9

当x>0时，/(x)=x-21nx,则r(x)=l--=-__

XX

若0<x<2，/'(x)<0,此时函数/(工)单调递减，

若x>2,/'(x)〉o,此时函数“力单调递增，所以,/(力极小值=/(2)=2-2卜2,

作出函数丁=/(x)与)，=1n。的图象如下图所示：

由图可知，当加。>/(2)=2—21112=加?时.，即当时，

直线y=In4与函数)，=/(x)的图象将三个交点，

/2\

因此，实数。的取值范围是―/，+8.

(4)

故答案为：J，+8.

I4)

【典例4](2020•全国高考真题(文))已知函数f(x)=x3-k.x+k2.

(1)讨论"X)的单调性；

(2)若/。)有三个零点，求大的取值范围.

4

【答案】(1)详见解析；(2)(0,—).

【解析】

(1)由题，f\x)-3x2-k,

当kKO时，/'*）20恒成立，所以/3）在（70,+oc）上单调递增;

,令/。)<0,得

当上＞0时，令f（x）=。，得工二yx<

3

令-*）＞0,得或R〉J|,所以/&）在上单调递减，在

+00）上单调递增.

（2）由（1）知，/"）有三个零点，则%＞0,

k2+->0

即<34

,解得0vkV—,

27

公二<0

,3

4

当0<k<一时,且/(4)=公>0.

27

所以fW在哈,4）上有唯一一个零点,

同理一k-lc-Jg,f(-k-l)=-k3-(k+l)2<0,

所以/*）在（-k-1,-^-）上有唯一一个零点,

又f（幻在（-上有唯一一个零点，所以/3）有三个零点,

4

综上可知k的取值范围为（0,—）.

【变式探究】

1.（2021.全国高三其他模拟（理））已知函数/（力=巴-1盯+机在区间（1,©）内有唯一零点,则实数加

-V

的取值范围为（)

ee,-1e

A.---,—H1B.——,——

e2+l21e+le+1J

D.*+l)

C.捻』

【答案】B

【解析】

令儿r片0,分离参数，结合导数研究函数的单调性即可得出结果.

【详解】

xlnx

令网幻=0,则=Inx,m=

x+1

//\xlnx.l、f.x+1+lnx

令〃(x)=----(-<x<e),町一2

x+\e(x+1)

令女(x)=x+l+lnx,k'(x)=l+—>0,

X

则函数了=上("在区间(eLe)单调递增，^(x)>^(e-,)=e-1>0,

所以〃(x)>0,函数y=/?(x)在区间(eLe)单调递增,

所以有/?(e')</?(x)</7(e),

即——<h(x\<—^―,

e+1i7e+l

,,一1e

所以----<m<-----，

e+1e+1

故选：B.

2.（2021•全国高三其他模拟）已知函数/（x）=d+3a（x+l）（a£/?）.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数仪力=〃”一/11工一3。在［；,2］上有两个不同的零点，求。的取值范围.

【答案】⑴当。20时，/（力在R上单调递增；

当〃<0时，“X）的递增区间是：（-8,->/一。b（>/-々,+00）；递减区间是：1>/一凡\/-4）.

（2）-l+411n22，l+6ln~2A］,

【解析】

(1)求导函数/'(X),分。之。和。<0两种情况讨论可得结果；

(2)g(x)=0<=>3。=Inx-丁，令〃(x)=lnx-xG—.2,通过求导列表作出y=〃(x)的简图,

数形结合可得结果.

【详解】

(1)显然，函数/(x)的定义域为R.

因为/(幻=丁+3〃(工+1),求导得/<x)=3f+3Q=3(x2+d).

当时，对任意X£R,f'(1)20恒成立，所以，/0)在R上单调递增；

当〃<。时，由/'(戈)>0得x<-J工或x〉J工；由/'(X)<0得—J工vJ工，

所以，/(X)的递增区间是：(―CO,—\/—6/),(J-4,+oO);递减区间是：(-J-4,>/-4).

综上可知，

当〃20时，/a)在R上单调递增；

当〃<0时，/(X)的递增区间是：(一8,-J二)，(>/工,+8);递减区间是：(一J二,/]).

(2)g(x)=/(x)-xlnx-3r/=x3+3or-xlnx,xer2

所以g(x)=0=丁+3公一xln/=0o3。=Inx-x?

4"h(x)=Inx-x2,xeg,2,

则/(X)=L-2X=±N二，令13)=0得工="或-1(舍).

xx22

列表

_1_V2

X2

2簧)争)

h'M+0—

l+41n2l+ln2

g)ln2-4

4z2

且仙2-4<-上上〈一匕出

42

作出函数〃"）的简图，由图可知,

.l+41n2r1+In21+4In21+In2士小

当---------<3a<--------即----------<a<--------时，y=/?(%)的图象与直线y3。由两个不同

42126

的交点.

故g(x)在；，2l+41n2l+ln2

上杓两个不同的零点时，。的取值范围是

乙126

极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.

考点三：与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题

【典例5］（2021•河南商丘市•高三月考（文））设函数/（x）=（xT）lnx.

（1）求函数/（力的极值；

（2）若关于x的不等式4f（”+；11m.工在（6/）上有解，求实数上的取值范围.

【答案】（1）极小值为/（1）=0.无极大值；（2）（；，+8）.

【解析】

（1）先求导函数，然后利用导数判断函数单调性即可得函数极值;

(2)原问题等价于也口3.」在但门上有解，即产(飞…、.】，构造函数即

可求解.

【详解】

ft?：(1)由于函数〃％)的定义域为(0,+3),，(力=&-1+1.

X

易知广(X)在(o,+“)上单调递推，且有r(i)=。，

所以当xe(O,l)时，/'(x)＜0；当时，f'(x)＞。

所以〃力在(0,1)上单调递减，在(1,go)上单调递增，

因此函数了(力的极小值为/(1)=0,无极大值.

(2)由题意，/tf(x)+—\nx..x,即2"("11nx’1nx..1在O上有解.

22A

记g(加生也回，则g，(x)=(2Z)Wj)+-

2«Y2X

若人..；，当时总有/(另＞0,所以g(x)在卜,/)上单调递增，

所以g(x)＜g(/)，

要使g(x)..l在卜,e?)上有解，只需g(/)=丑二所以左＞；.

\)々*■2

若kJ,当x£（e,/）时，妙（力+1lnx＜，（x-］）lrir+Liu=』jdnx,

若原不等式在(e,M)上有解，则：jdnx〉x,即in%＞2,即工＞^,与已知矛盾.

综上，2的取值范围为(g,+8).

【典例6】(2020•全国高考真题(理))已知函数f(x)=e'+/—X.

(1)当时，讨论/*5)的单调性:

(2)当x20时，f(x)>—x-H,求a的取值范围.

2

【答案】(1)当X«YO,0)时,/'(x)<OJ(x)单调递减，当XE(O,+8)时,/'(x)>OJ(x)单调递增.

一7-£\

(2),+8

L4J

【解析】

⑴当4=1时，/(%)=+厂—1，/'(力=e'+2x—1,

由于/"(x)="+2>o,故尸(力单调递增,注意到r(°)二°,故:

当上£(一8,0)时，/'(X)<OJ(X)单调递减，

当X£(0,+30)时,/z(x)>0,/(x)单调递增.

⑵由/(X)工;/斗1得，ex+ax2-x..Xx3+1,其中x30，

①.当下0时，不等式为：121，显然成立，符合题意：

px_L一r—1

②.当x>0时，分离参数a得，”2，

厂

令人(/)=^-^x2-x-l(x>0|,

则力'(x)=ex-x-\,〃"(x)=ex-l>0,

故力'(x)单调递增,“(x""(O)=O,

故函数/7(力单调递增，/?(X)>/7(O)=O,

由方(x)20可得：e'-/一x-L.O恒成立，

故当x«0,2)时，g«x)>0,g(x)单调递增:

当工时，,x)vO,g(x)单调递减:

因此，［E)L=g(2)=V，

7-e2

综上可得，实数a的取值范围是——,-KX）.

4

L）

【规律方法】

I.一般地，若不等式伫/U）恒成立，〃的取值范围是色伏幻工皿；若不等式aJU）恒成立，则"的取值范围是

aW［Kx）］min.

2.含参数的不等式/（x）＞g（x）恒成立、有解、无解的处理方法：①），=/*）的图象和丁=以工）图象特点

考考虑；②构造函数法，一般构造产（x）=/a）-g（x）,转化为Rx）的最值处理；③参变分离法，将不等

式等价变形为a＞/?（x），或av/Kx），进而转化为求函数力（幻的最值.

【变式探究】

1.（2020・湖南长郡中学高三其他（文））已知函数%）="（工一〃一1）（。£/?）.

（1）讨论/（x）在区间［，2］上的单调性：

（2）若恒成立，求实数。的最大值.（e为自然对数的底）

e

【答案】（1）见解析；（2）-1.

【解析】

（1）由已知,尸（五）=，（工一〃），

XG（8,a）时，f\x）＜0；x«a,18）时，＞0,

①当时，/（x）在［L2］上单调递增；

②当1＜々＜2时，〃X）在［1M］上单调递减，（〃,2］上单调递增；

③当时,/（X）在［1,2］的单调递减；

（2）由已知e、（x—o—l）一色20恒成立，

e

令g（x）="（x—a—l）—g则乳@疝?。，

由（1）知：g（x）在xe（Yo,a）上单调递减，在X£（a,+oo）上单调递增，

则g（x）min=8（。）之。即e"（。-。-1）-720

整理得a+i+aWO,

令力(力=67+工，/2'(X)=*I+1>O恒成立，即力(司=6川+工在我上单调递增，

而/?(-!)=e',+1-l=o,/?(«)=d用+aK0=/?(-1),

所以。工一1，即4的最大值为一1.

2.(2019•全国高考真题(文))已知函数f(x)=2sin*—xcos*一人f,(%)为/'(>)的导数.

(1)证明：『(%)在区间(0,支)存在唯一零点：

(2)若[0,天]时，f(x)求a的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)t/G(-oo,0].

【解析】

(1)f(.v)=2cosx-cosx+xsinx-l=cosx+xsinx-1

令g(x)=cosx+xsinx-l,则g'(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx

当工e(0,i)时，令g1R)=0,解得：工=：|

当xi啜享时，，(入)>0;当xw仁，，时，“(引<。

\式久)在(0,事)上单调递增；在左)上单调递减

又g(0)=l-l=0,^[^=y-l>0,^(^)=-1-1=-2

即当x西费算计，g(x)>0,此时g(x)无零点，即/'(X)无零点

・,g-送(乃)<。3x0G-,7T,使得g(x0)=o

\J'乙)

又g(x)在■，1J上单调递减.“二乙为g(x),即/(X)在1上的唯一零点

综上所述：/'")在区间(0,乃)存在唯一零点

(2)若xw[0,句时，/(x)>ar,即/(力一公20恒成立

令M%)=/(x)-av=2sinx-^cosx-((7+l)x

则/?'(x)=cosx+xsinx-1一。,〃"(x)=xcosx=g'(x)

由（1）可知，〃（x）在o,g上单调递增；在万上单调递减

\27k27

且力'(())=一〃，/(1=­f~~a'//(^)=-2-tz

.'"(x)min="(乃)=_2_々，

①当。4一2时,〃（%）由="（万）=一2—，之0,即日（X）之0在［0,句上恒成立

.•/（力在［0,句上单调递增

\h(x)?h(O)0,即/(x)-ar>0,此时/(力之⑪恒成立

//(o)>o,"图>0,

②当一2<aK0时,”(万)<0

・•.七/9]

，使得“(x)=o

(2)

MM在［o,%）上单调递增，在（不可上单调递减

又力（0）=（）,〃（%）=2sin;r—乃8s〃一（。+1）〃=-4"之0

.,.力（620在［0,开］上恒成立，即/（x）2ax■恒成立

“—2

③当0<。<-----时,^(0)<0,a>0

2⑴2

.,.加£（0微，使得力'（超）=°

.」（另在［0，Z）上单调递减，在［2，1）上单调递增

.•.X£（0，W）时，力（%）〈川0）=0,可知/（力之⑪不恒成立

④当心十时,力'（心、=力'图二言一八°

••・〃（”在（0，上单调递减\秋x）v力（°）=0

IAJ

可知/（X）之初不恒成立

综上所述：4«YO,0]

考点四：利用导数证明、解不等式问题

57

Yrrfii13

【典例7】（2019•山东高考模拟（文））已知函数/（x）=l+x—工+二一二+二—二十=，则使不等

35791113

式成立的x的最小整数为（）

A.-3B.-2C.-1D.0

【答案】D

【解析】

r3r5r7r9r11r13

根据题意，函数/（制=1+工一工+乙一乙+匕一二+3_,其导数

35791113

f'（x）=1-X2+X4-x6+x8-X10+X12,

XHO时，,尸（x）可以看成是1为首项，为公比的等比数列，

1Iy14

贝|J有f\x)=1-x2+x4-x6+x8-xl0+x12=———>0,

1+X

函数/(X)在R上为增函数，

又由/（_i）=i+（_i）+（!_!）+（：_：）+（：_，）＞（）,

/JXIX

(您啖、(911)13、

/(-2)=1+(-2)+++<0,

(79；1113

则函数/（X）在上存在唯一的零点，设其零点为L

/(x-l)>0=>X-l>/=>%>/4-1,

乂由一2＜，＜—1,则一1＜，+1＜0,

故不等式/*-1）＞0成立的％的最小整数为0；

故选：D.

【典例8】（2021•黑龙江佳木斯市,佳木斯一中高三三模（理））已知函数

/（X）=—OX2+（々+1）汇+111耳4工0）.

（1）讨论/（x）的单调性；

3

（2）当avO时，证明/（工）工一2—丁.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先对函数求导，然后分。>0和。<0判断导数的正负，从而可求得其单调区间；

（2）要证明/（“工一2-3，只需要使/（月的最大值小于等于一2一3，而由（1）可知

2a2a

（iAi（iA

/（X）心=T-五+m[一再构造函数g（x）=lnx-x+l（x>0）,利用导数可得

（1I

lnx<x-l,从而可得始一—<——I,进而可证得结论

ka）ci

【详解】

解：（】）r（x）=ar+g+i）+L（3i）（a%>0）,

•XX

当〃>0时，户"）>0，〃X）在（0,+8）上单调递增，

X+I1

当〃<0时，-->0,令解得：0<犬<一一，

x―a

令r（x）<o,解得：x>—，

a

故f（x）在0,—）递增，在■,+<»递减，

综上：当。>0时，“X）在（0,+功上单调递增，

当〃V0时，“X）在（（）,一：递增，在（一：,+8）递减.

（1AI（1A

（2）证明：由（1）知，当avO时，f（x]x=f\一一—+ln一一,

kci）2aVa）

令g（x）=lnx-x+l（x>0）,则=J-,

X

令g'（x）>0,解得：Ovxvl，令g'（x）<0,解得：x>\,

故g（x）在（0,1）递增，在（l,y）递减,

故g(x)的最大值是g⑴=0,故g(x)《。即InxWx-l,

(1A]

故In—<----1,

故“兀)2=-1

故当〃<0时，/(x)<-2--.

【规律方法】

利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法

(1)若F(M与冢X)的最值易求出，可直接转化为证明r(x)min>虱X)m；

(2)若f(x)与g(x)的最值不易求可构造函数力(x)=F(x)—g(x),然后根据函数力(x)的单调性或最值,

证明力(X)>0.

【变式探究】

1.(2019•北京高考真题(文))已知函数/(幻=,/一公+工

4

(I)求曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程；

(H)当工£［-2,4］时，求证：x-6<f(x)<x；

(HI)设/")=|/a)-(x+a)|3£R),记/")在区间1—2,4］上的最大值为w(力当时(a)最小时,

求a的值.

【答案】(I)x-y=0和27.丫-27〉-64=。.

(II)见解析：

(HI)a=-3.

【解析】

(I)f\x)=-x2-2x+\,令/'(工)=?12—2工+1=1得x=o或者”=2.

443

当上=0时，/(o)=o,此时切线方程为y=x,即％—>=0；

QQQ64

当工=一时，/(-)=—,此时切线方程为y=x-房，即27上一27丫-64=0；

综上可得所求切线方程为X-y=0和271一27)，-64=0.

[338

(H)设g(x)=f(x)-工二一丁一^r(x)=-x2-2x,令/(工)二二12-2x=0得x=0或者%=一,

4443

QQ

所以当2,0]时，g'(x)20,g(x)为增函数：当xe(0q)时，g'(x)〈O,g(x)为减函数；当xw《,4]

J•J

时，g\x)>0,g(x)为增函数;

而g(0)=g(4)=0,所以g(x)WO,即/(x)Wx；

同理令〃*)=/*)-工+6=，工3-/+6,可求其最小值为力(-2)=0,所以版幻之0,即/(©之工一6,

综上可得％-6S/(X)£X.

(Ill)由(H)知-6W/(x)一工《0,

所以M(a)是同,卜+6|中的较大者，

若向何。+6|,即〃W-3时，M(a)=\a\=-a>3；

若同<,+6],即。>一3时，M(a)=|a+6|=a+6>3；

所以当M(a)最小时，M(a)=3t此时3〃.

2.(2021・辽宁实验中学高三其他模拟)已知/(x)=21nx+O¥-g,其中”0.

X

(1)讨论函数/(X)的单调性；

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)求得导数/'(幻=竺土芸H,根据△<()和A>0两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解;

(2)由(1)得到当〃=-1时，f(x)在(0,+8)是减困数，求得21nx-x+L$o,进而得到

,得出In,即可作出证明.

2v?-1〃+1,

【详解】

(1)由题意，函数〃x)=21nx+av—4的定义域为(0,+8),

.V

可得/*）=2+。+==竺咛1£,其中av0,x>0,

当A=4—4/《0.即/21,即。（一1时，r（x）<0,/（x）在（O,y）为减函数；

当A=4-4Q2>0，即。2<1，即一1<〃<0时，

由f'（x）=O得演=二1地亘,电=上也亘.

aa

2

且&<%2，52=1，玉+&=——>0,

a

在（。,不）上，/w<o,/（力为减函数;在（和苍）上，r（x）>o,f（x）为增函数,

在（毛,+00）上，ff（x）<0,/（»为减函数,

综上可得，当1时，/（外在（0,+8）为减函数;

_1+J\-a2||-1-J\-a2

当一1<。<0时，/（力在0,----------和-------------,+8上为减函数，在

'-1+Jj2

为增函数

（2）由（1）知，当〃=一1时，F（x）=21nx-x+，在（0,+e）是减函数,

X

所以当XN1时，/(%)</(1)=0,即21nx-x+:«0,

所以InxV’fx-L

,所以InId——1H--

2(xIn-)2(犷/J+1,

£]=UJ_____j___________i_IpQ

其中T1-/+"21/n1+\)n2n2-1

212V!-1n+\)

11

所以贯+虱<1<A

2123nn+\J12

5

所以1扑巫

高频考点五：利用导数解决生活中的最优化问题

【典例9】（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径

为I的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底

面平行，则小圆柱体积的最大值为.

【解析】

由题意,设小圆柱体底面半径为COS0,

则高为1+sinO,0e0,—,

<2）

小圆柱体体积K=〃・cos26〈l+sin。）,

设sin8=hr€（0,1）,

则］7=万.（1一/）（1+7）=4.（一/一/+/+］）

则丫'=）.（_3/2_21+1）=笈・（_3/+1）（1+1）

当1=1时、v=—

3max27

故答案为：—

27

【典例10】（2020•江苏省高考真题）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷

底。在水平线.邮上，桥48与，眦平行，00'为铅垂线（。‘在18上）.经测量，左恻曲线力。上任一点〃到

期V的距离4（米）与〃到OO'的距离a（米）之间满足关系式％;右侧曲线加上任一点U到柳的距离

40

也（米）与〃到OO,的距离从米）之间满足关系式4=--//+6/7.已知点6到OO'的距离为40米.

800

（1）求桥力求的长度;

（2）计划在谷底两侧建造平行于00'的桥墩切和牙；且四为80米，其中C,E在/国上（不包括端点）.

3

桥墩〃•每米造价-万元）、桥墩锻每米造价二攵（万元）（A>0）.问O'E为多少米时，桥墩必与哥'的总造价