等腰三角形（讲义）-2024人教版八年级数学上册

专题15.3等腰三角形（举一反三讲义）

【人教版2024]

飕题型归纳

【题型1等腰三角形的定义】.....................................................................2

【题型2等边对等角】...........................................................................4

【题型3三线合一】.............................................................................7

【题型4等角对等边】..........................................................................11

【题型5找出图中的等腰三角形】................................................................14

【题型6格点中画等腰三角形】..................................................................18

【题型7直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形】............................................20

【题型8求与图形中任两点构成等腰三角形的点】.................................................23

举一反三

知识点1等腰三角形的性质

L定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形,相等的边叫做腰.

2.性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.

3.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）.

4.拓展：

（1）等腰三角形两腰上的空线、高分别相等.

（2）等腰三角形两底角.的平分线相等.

（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

（4）当等腰三角形的顶角为90。时，此等腰三角形为等腰直角三角形,它的两条直角边相等，两个锐角都是

45°.

知识点2等腰三角形的判定

判定等腰三角形的方法：

（1）定义法：有两边相笠的三角形是等腰一：角形；

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成”等角对等边”）.

数学语言：在中，VZB=ZC,，AB=AC（等角对等边）.

拓展：（1）“等角对等边“不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等.因为在没

有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰

（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由

三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.

【题型1等腰三角形的定义】

【例1】（2425七年级下•上海普陀•期木）已知两个全等的直角二角形，直角边长分别为3和4,癖边长为5.如

果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（）

A.16B.18C.16或18D.14或16

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的定义，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方

式：沿直角边3或4拼接，形成底边为6或8的等腰三角形，两腰均为斜边5；或者沿斜边5拼接，但此时无法

形成三角形.根据分析求出周长即可.

【详解】解：①沿直角边3拼接：将两个直角边3重合，形成底边为4+4=8,两腰为斜边5的等腰三角形.周

长=5+5+8=18.

②沿直角边4拼接：将两个直角边4重合，形成底边为3+3=6,两腰为斜边5的等腰三角形.周长=5+5+

6=16.

③沿斜边5拼接，但此时无法形成三角形.

综上，等腰三角形的周长为16或18,

故选：C.

【变式II】（2425七年级下•山东威海•期中）若方程组二舟的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰

（1%1—1U

三角形的周长为.

【答案】10

【分析】本题考资了一元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求解

方程组.

先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长.

【详解】解：方程组］:11;二］%,解得：］;二:.

•・•方程组二盘的解恰为等腰三角形的两边长，

・••当腰长为2时,

三边长为2,2,4,2+2=4,不能构成三角形；

当腰长为4时，

三边长为4,4,2,4+2=6>4,能构成三角形，

此时等腰三角形的周长为4+4+2=10,

故答案为：10.

【变式12](2425八年级下•山东青岛•期中)已知“，瓦c是△旃的三边,且满足(a-b)-c(b-a)=0,

则A48C的形状是.

【答案】等腰三角形

【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.将

(a-b)-c(b-a)=0变形为(Q-b)(l+c)=0,根据三角形的边长为正数，得Hla-b=0,即可得出a=

b,可得答案.

(详解]解：v(a—b)—c(b—a)=0,

•••(a-b)+c(a-b)=0,

/.(a—b)(l+c)=0,

「。、b、c•是△4BC的三边长，

Al+c>0,

*.a—b=0,

••a—b»

••・△ABC的形状为等腰三角形.

故答案为：等腰三角形.

【变式13】(2425八年级下•辽宁沈阳•期中)在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱斗拱

由多个小木块组成，它们之间通过样卯结构相互连接，形成了一种独特的美感.如图I,从正面观察斗拱可

发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形.如图2,若△力BC的周长为24,一边长为6,则此等腰三角形的

底边长是()

B

正面

ffll图2

BE+EF=CF+EF,

即8F=CE.

v/.BED=乙AFC,乙BED=4。+匕0,Z.AFC=+乙BAF,Z.B=Z.C,

•••乙BAF=乙D,

：.〉ABF三△DCE(AAS).

(2)解：•••△AB/EADCE,

•••/.DEC=LAFB=42°,

又/O=58°,

:.NB=Z<=180°-ZD-乙DEC=80°

又•••AB=4E,

•••Z.AEB=々B=80°,

：•^AED=100°-^LAEB-乙DEC=50°.

【变式21】(2425八年级下•辽宁丹东•期中)如图，将△力BC绕点4逆时针旋转42。得到△ADE,点C恰好落

在。E上，则48co的度数为.

【答案】42。/42度

【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可得£CAE=42。,

AC=AE,41cB=",再根据等腰三角形的性质可得乙4CE=ZE,由三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：由旋转得NC4E=42。，AC=AE,AACB=Z.E,

•••LACE=zF=1(180°-Z-CAE]=|x(180°-42°)=69°,

:.LACB=Z-E=69°,

•••LBCD=180°-Z.ACB-Z.ACE=180°-69°-69°=42°,

故答案为:42°.

【变式22】如图，钢架中，乙4=G，焊上等长的钢条P2P3,P3P4,P4P5…来加固钢架.若「】力=。止2,

且恰好用了4根钢条，则。的取值范围是.

【答案】180<a<22.5°

【分析】此题考查了等腰三角形的性质，一元一次不等式组，以及三角形的外角性质，掌握以上知识点是解

答本题的关键.

根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到NP3P5P4与乙4之间的关系，从

而不难求解.

【详解】解：：APi=P$2，P$2=P2P3，P3P4=P2P3,P3P4=P4P5,

二/A=匕「1「2人乙P2Plp3=4P2P3P1，3P2P4=4P3P4P2，4P4P3Ps=匕。4Psp3，

•••乙P3Psp4=444=4a,

•••要使得这样的钢条恰好焊上4根，

二/P5P48=5a,

由题意得:｛鬃.

:.180<a<22.5°,

故答案为:18°<a<22.5°.

【变式23](2425八年级上.浙江宁波・期末)如图，AB=AE,AC=AD,zB/E=ZC40,点C在DE上.

(1)求证：AB4C三△E40；

(2)若力E平分乙84，乙E4C=42°,求NBCE的度数.

【答案】(1)见解析

(2)42°

【分析】本题考杳了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质.

(1)根据SAS即可证明小BAC=△EAD；

(2)由角平分线的定义得N34E=^CAE=42°,由全等三角形的性质得AC=AD,^ACB=乙D,从而乙4cB=

ZD=Z.ACD,进而可求出乙BCE=4C/0=42°.

【详解】(1)证明：•••484E=404。

•••Z.BAE4-Z.EAC=乙CAD4-Z.EAC

•••Z.BAC=Z.EAD

•：AB=AE,AC=AD

BAC=△EAD(SAS}

(2)解：•.•?1£平分NB4C

AZ.BAE=/.CAE=42°

vZ.BAE=Z.CAD

乙CAD=Z,BAE=/.CAE=42°

BACEAD

AC-AD,^-ACB—乙D

•••Z.ACB=乙D=Z.ACD

vZ.ACD+NO+乙CAD=180°,LACD+Z,ACB+乙BCE=180°

Z.BCE=/-CAD=42°

【题型3三线合一】

【例3】如图，在中，4B=/C,40平分NB4C,DELAB,DF1AC,E,尸为垂足，则下列结论：(I)

BD=DC；(2)Z-BAD=Z-CAD；(3)AD1BCx(4)DE=DF,其中正确的个数有()

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题主要考杳了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的性

质可判断(1)(2)(3),根据角平分线的性质定理可判断(4).

【详解】解：*：AB=AC,4。平分4C,

；.BD=DC,^BAD=Z-CAD,AD1BC,

故(1)(2)(3)正确,

•••/I。平分力C,

：.DE1AB,DF1AC,

:・DE=DF

故（4）正确，

综上，一共有4个正确，

故选:D

【变式31】（2425八年级上•湖南衡阳•期末）如图，/-ACB=70°,CD是。4的垂直平分线，则乙4CD的度数

为•

【答案】55。/55度

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握以上知识点.

先求出NOC力=110°,再根据线段垂直平分线的性质可得OC=AC,CD1OA,然后根据等腰三角形的三线

合一即可得.

【详解】解：:乙4cB=70。,

:.Z.OCA=110°,

•••CD是。4的垂直平分线，

•••OC=AC,CD1OA,

••ZCD=55。，

2

故答案为:55°.

【变式32］（2425七年级下•山西太原•阶段练习）补全过程或依据：如图，在△A8C中，A8=AC,点。为8c

边的中点，E为21。上一点，连接CE,使得CE=/1E.若乙8=55。，求4ECD的度数.

BDC

解：•.•在△218。中，AB=AC,

...Z®=zfi=55。，（等腰三角形两底角相等）

•••点。为BC边的中点

•••AD1BC（0）

•••£ADC=90°

:.Z.CAD=90°-Z,ACB=@°

AE=CE,

:.LACE=Z.CAD=35。（©）

:.乙ECD=乙ACB-Z.ACE=0c

【答案】①AC&②三线合一定理；③35：④等腰三角形两底角相等：⑤20

【分析】本题主要考查了三线合一定理，等边对等角，根据三线合一定理，等边对等角和已给推论过程求解

即可.

【详解】解：•••在△4BC中，AB=AC,

・・・"C8=ZB=55。，（等腰三角形两底角相等）

•••点。为BC边的中点

•.AD±BC（三线合一定理）

AZ.ADC=90°

Z.CAD=90°-/.ACB=35°

-AE=CE,

£ACE=Z.CAD=35。（等腰三角形两底角相等）

•••2ECD=乙ACB-Z,ACE=20°.

【变式33］（2425八年级上•福建南平•期末）如图，在△ABC•中，40_L8c于O,CELAB^'E,40与CE相

交千点尸，且4。=。。.

(1)求证：AB=CF；

(2)若{求4840的度数.

【答案】(1)详见解析；

(2)22.5°.

【分析】(1)根据等角的余角相等得出NB4D=4FCD,然后证明△力BD三△CFO(ASA),根据全等三角形

的性质即可求解；

(2)由(1)得：AB=CF,=^AE=\AB,从而证明CE垂直平分48,则有C4=CB,由等

腰三角形的三线合一定理可得MCE=^ACE=\LACB,再由等腰三角形的性质即可求解；

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用

是解题的关键.

【详解】(1)证明：,：AD1DC,CELAB,

：.LADC=Z-ADB=Z-AEF=90°,

AzFCD+乙DFC=90%乙BAD+Z.AFE=90°,

XVz/lFF=乙DFC,

：.LBAD="CD,

在A7180和△CFO中，

(/.BAD=Z.FCD

AD=CD,

{/LADB=乙FDC

:,AABD三△CTD(ASA),

：,AB=CF；

(2)解：由(1)得：AB=CF,乙BAD=^FCD,

'：AE=\CF,

2

：.AE=-AB,

2

*：CE1AB,

・・.CE垂直平分43,

：.CA=CB,

：,LBCE=Z-ACE=-Z-ACB,

2

V/iD=CD,/.ADC=90°,

：.LACD=/-CDA=45°,

：.z.BAD=^z.ACB=22.5°.

【题型4等角对等边】

【例4】（2425八年级上•广东广州•期中）如图，A4BC的周长为27,乙48。和乙48的平分线相交于点?，过

点F作DEIIBC交力B于点。，交力C于点E,若8C=8,BF=6,CF=4,那么△AOE的周长是（）

A.18B.19C.21D.23

【答案】B

【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可

得上DBF=4BC,由平行线的性质可得=498C,WUDFF=^DFB,所以=。尸，同理CE=EE

然后由△48C的周长，BC=8,可得力8+4。=27—8=19,最后由△4DE的周长=48+4C即可求解，

熟练掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】解：・.・2尸平分

LDBF=乙FBC,

〈DEIIBC,

:•乙DFB=Z.FBC,

LDBF=乙DFB,

:,BD=DF,

向理：CE=EF,

：A718c的周长=71C+/18+8C=27,BC=8,

：.AB+AC=27-8=19,

VAADE的周长为=AD+DE+AE

=AD+DF+FEAE

=AD+BD+EC+AE

=AB+AC

=19,

，AADE的周长是19,

故选:B.

【变式41】（2425八年级下,陕西•期中）如图，△48C中，4A=zB&4,将△48C沿直线8c平移到△DCE的

位置（使点8与点C重合，点B、C.E在一条直线上），连接BZ）,求证：BC=CD.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平移的性质证明，等角对等边，根据平移性质得到AB=CD,根据等角对等边得到48=

BC,进而得到结论.

【详解】解：•••△ABC将沿直线BC平移到ADCE,

AAB=CD,

vZ.A=Z.BCA,

•••AB-BCi

:.BC=CD.

【变式42］如图，AO是△ABC的角平分线，乙B=2乙C,将△力3。沿力。所在直线翻折，点8在AC边上的落

点记为点E，若AC=8,AB=5,则B0的长为.

A

0Dc

【答案】3

【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键.先根据折叠

的性质可得4E=718=5,DE=8D,4/1EO=NB,从而可得CE=3,再根据等腰三角形的判定可得0E=

CE=3,由此即可得.

【详解】解：由折叠的性质得：AE=AB=DE=BD.LAED=Z.J9,

*：AC=8,

：,CE=AC-AE=3,

■:乙B=2-C,

LAED=24C,

XVz/lFD=乙C+乙CDE,

:.乙C=乙CDE,

:,DE=CE=3,

：,BD=3,

故答案为：3.

【变式43】(2425八年级下•广东深圳•期中)某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了

分析，如图，△48C为主梁框架，44BC是桥墩支撑角度的2倍，即工程师计划在乙8"的角

平分线处安装钢架4。，交底梁BC于点。，为确保稳定性，必须过点8焊接加固钢索8E,使得8E1AD,分

别交力。，4C于点凡E.

(I)求证：加固后的△48E是等腰三角形；

(2)经测量，主梁全长4C为13米，关键节点间距8。为5米，求原始支撑段48的长度.

【答案】(1)见解析

(2)原始支撑段48的长度是8米

【分析】(1)由垂直的定义得到乙1FE=ZL4FB=90。，由角平分线的定义得到匕£;42=乙84心根据三角形

的内角和得到乙4EF=418F,得到AE=AB,于是得到结论；

(2)连接DE,根据等腰三角形的性质得到垂直平分BE,得到8。=ED,由等腰三角形的性质得到/DEF=

乙DBF,等量代换得到=于是得到结论.

【详解】(1)证明：•••8E_L4D,

:.Z.AFE=Z.AFB=90°,

又•；40平分484C,

:.Z.EAF=乙BAF,

又••在△AEF和△A8F中

Z.AFE+Z,EAF+LAEF=180°,LAFB+乙BAF+乙ABF=180°

•••zXEF=ILABF,

:.AE=48,

△48E为等腰三角形:

(2)解：连接。E,

•：AE=AB,AD平分N84C,

•••力0垂直平分BE,

:.BD=ED,

Z.DEF=乙DBF,

vZ.AEF=乙ABF,

•••乙AED=^ADD,

又•.4ABC=2LC,

:.Z.AED=2zC,

又•・•△CEO中，Z.AED=^C+Z-EDC,

:.Z.C=Z.EDC♦

:.EC=ED,

CE=BD.

:.AB=AE=AC-CE=AC-BD=13-5=S.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性

质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键.

【题型5找出图中的等腰三角形】

【例5】(2425八年级上•北京•期中)如图，已知△4BC中，AB=3,AC=5,BC=7,在A/IBC所在平面

内间一条直线，将△48C分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画

C.5条D.6条

【答案】B

【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知混，利用图形分类讨论是解题关键.

根据等腰三角形的性质分别利用4B为底以及48为腰得出符合题意的图形即可.

【详解】解：如图所示，当4J=4F=3,BA=BD=3,AB=AE=3,BG=AG,都能得到符合题意的等

【变式51］如图所示，共有等腰三角形（）

A.2B.3C.5D.4

【答案】C

【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和

定理求解即可.

【详解】解：VAEBC=/.ECB=36。，

・・・AE8C是等腰三角形，乙BEC=180°—乙EBC—乙ECB=108°,

・•・Z.AEB=/.DEC=180°-108°=72°,

/.Z.AEB=Z.A,Z.CED=Z.D,

C.LABE.ACED是等腰三角形,

'：LABC=180。一44CB—4力=180°-72°-36°=72°,乙BCD=180°-zD^C-zD=180°-72°-

36c=72°,

Z.A=乙ABC,乙D=乙BCD,

：.LABC.△BCD是等腰三角形，

故图中共有5个等腰三角形，

故选:C.

【变式52］如图，四边形ABCD沿对角线力C对折后重合，连接8。交AC于点E,若48IICD,则图中等腰三角

形的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三角

形；

【详解】解•：由对折后重合得，AD=AB,CD=CB,

Z.DAC=Z.BAC,Z.BCA=Z.DCAt

••・△4。8和4BCD为等腰三角形，

vABWCD,

二Z.BAC=Z.DCA,

:.Z.DAC=Z.DCA,Z.BCA=Z.BAC,

:.AD=CD,BA=BC,

.••△40C和为等腰三角形，

因此共有4个等腰三角形，

故选：D.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键.

【变式53](2425七年级上•山东淄博•期中)(1)如图,已知ZMBC三△48C，D,Di分别是BC,81cl上的

点，且80二%劣.4D与必为相等吗？为什么？

(2)如图，在△48c中，乙ACB=90。,8£平分4A3C,交AC于点E,OE垂直平分48于点0.试说明：BE+DE=

AC.

C

E

AB

D

(3)如图，在△ABC中，=3:1:1,4D,4E将484c三等分，点D,E在8c上.

①求乙4DE的度数;

②写出图中所有的等腰二角形.

（2）见解析（3）①72。②AADE,△4EC,AABC，AABE,

△XCD

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂宜平分线的性质定理，等腰三角形的判定；

(1)根据全等三角形的性质得到==利用SAS证明△48D三A/hBiDi，根据全等三角形

的性质即可得解：

(2)由线段垂直平分线的性质得到力E=BE,再由角平分线的性质得到。E=CE,即可得出结论；

(3)①根据已知条件和三角形的内角和得到=108°,乙B=36°,“=36°,由于4D,/1E将M/1C三

等分，于是求得/口/。==/E4C=36。，然后计算解题：

②根据外角的性质和三角形的内角和得到44。£=LAED=LBAE=Z.CAD=72。，于是得到结论.

【详解】(1)解：力。与45相等，理由如下：

,•♦△力BC=△AiBiCi，

•••AB==乙Bi,

在A48。和4力/iDi中，

(AB=A1B1

|£.3=4口1,

(BD=B]Di

ABD三△AiB]Di(SAS),

•••AD=A1D1；

(2)证明：・・・DE垂直平分AB,

AE=BE,

VZ.ACB=90°,

••・AC1BC,

〈BE平分Z-ABCfDELAB,

•••DE=CE,

BE+DE=AE+CE,

即BE+DE=AC；

（3）解：①•••△B/IC:4=3:1:1,Z.BAC+z5+zC=180°,

：,LBAC=108°,48=36。，ZC=36°,

*：AD,/IE将4B4C三等分，

：,LBAD=Z.DAE=Z.EAC=36°,

：,LADE=+乙BAD=72°；

②丁43/40=L.DAE=乙EAC=36°,

•LADE=LAED=Z.BAE=^.CAD=72°,

：,AD=BD,AD=AE,AE=CE,AB=AC,AB=BE,AC=CD,

：.LABD,LADE,△NEC,AABC,△4BE,△4CD是等腰三角形.

【题型6格点中画等腰三角形】

【例6】（2425八年级上•福建福州期末）如图的止方形网格中，像点小点B这样网格线的交点称为格点.以

为边的等腰三角形ABC的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（）

A.10个B.8个C.6个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分48为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解

题的关键.

【详解】解：如图所示，分以下情况讨论：

①当48为等腰△48C底边时，符合条件的C点有6个：口、Q、。3、品、G、6；

②当AB为等腰△4BC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个：C?、6、CrGo；

・••点C的个数是6+4=10个，

故选：A.

【变式61】（2425八年级上•云南曲靖・期末）如图，在3x3正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点

4、B在格点上，若点P也在格点上，并使得以点4、B、。为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的

【分析】本题主要考查等腰直角二角形的性质.结合图形，分两种情况讨论：①力y为等腰直角二角形力8,的

底边；②为等腰直角三角形4BP的一条腰；接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点P的个数，然

后相加即可得到答案.

①为等腰直角三角形4BP的底边时，符合条件的P点有2个；

②为等腰直角三角形48P的一条腰时，符合条件的P点有4个.

所以使得^ABP为等腰直角三角形的点P有6个.

【变式62】（2425七年级下•上海杨浦・期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），

在这个4x4方格纸中，找出格点P使△MNP为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（）

M

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论.

【详解】解：如图，

MPA

由图得满足条件的格点。有5个，

故选：C.

【变式63】(2425八年级上•吉林・期中)如图，在8x6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位.

图①

(1)在图①中画出一个以8c为一边，面积为12的三角形；

(2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及等腰三角形的定义即可求解，解题的

关键就是对图形性质的理解.

(1)根据三角形的面积为12,由BC=6,可先构造高为4的三角形力BC,即可；

(2)直接取格点C,使4c=48或BC=48即可.

【详解】(1)解：如图，△4BC即为所求作的三角形；(答案不唯一)

(2)解：如图，△48C即为所求作的三角形.(答案不唯一)

【题型7直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形】

【例7】R3A3C中，MC8=90。，财=60。，在直线3c上取一点。使得△出3是等腰三角形，则符合条件

的点。有一个.

【答案】4

【分析】分别以A、8为圆心，以A8为半径作圆，再作A8的垂直平分线，即可得出答案.

【详解】解：以A为圆心，以44为半径作圆，与直线8C有一个交点；

同理以B为圆心，以A8为半径作圆，与直线5c有两个交点；

作A3的垂直平分线与8c有一个交点，

即有1+2+1=4个，

故答案为4.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操

作能力.

【变式71］如图，在矩形48CD的边上找到一点P,使得△力EP为等腰三角形，请画出所有的点P.

【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点.

【详解】解：如图，

AE=P£AP2=AE,APS=EP3,AE=EP4,人尸5=石汽，

则共有5个点P,使得△AEP为等腰三角形.

【点睛】此题.主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键.

【变式72］如图，点。在直线/上，点A在直线/外.若直线，上有一点P使得△AP。为等腰三角形，则满足条件的

点P位置有个.

【答案】4

【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案,

利用分类讨论的思想解决问题是关键.

【详解】解：如图,

①以。为圆心，0A长为半径画弧，与直线1交于点P1、P2,

此时0A=OP[=0P2,△力鸟0和4/1。2。为等腰三角形，

②以A为圆心，。/1长为半径画弧，与直线，交于点P3,

此时。力=。「2，△AP?。为等腰三角形,

③作。力的垂直平分线，与与直线/交于点尸4,

此时。尸4=4P4，△4&。为等腰三角形,

即满足条件的点P位置有4个,

【变式73]如图，已知//。8=30。，点加，N在边。4上，0M=x,0N=x+2,点P是边。8上的点，若使

则x的取值范围尾

【答案】3>4或％=2

【分析】本题考查等腰三角形的判定.根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可.

【详解】解：①如图1，当％=2时，即0M=MN=2,以M为圆心，以2为半径的圆交0B于点P,此时MP=

PN=MN=2,

则点P,M,N构成的等腰三角形的点P恰好只有一个.

②如图2.当％=4时，即，过点亚作MP108于点P,

：,MP=MN=2,

作MN的垂直平分线交。8千点P,则P'M=P'N.

此时，以点P,M,N构成的等腰三角形的点恰好有2个.

则当％>4时，以P,V,N构成的等腰三角形恰好只有一个.

综上，当％>4或％=2时，以P,N构成的等腰三角形恰好只有一个.

故答案为：％>4或％=2

【题型8求与图形中任两点构成等腰三角形的点】

【例8】如图，在A/IBC中，AABC=75°,N8/1C=30。.点P为直线8C上一动点，若点P与△/8C三个顶点

中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（）

A.4个B.6个C.8个D.9个

【答案】C

【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形

的情况，得到满足条件的点P的个数.熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键.也考查了三角形内角和

定理.

【详解】解：如图,

•・•在△48C中，Z.ABC=75°,LBAC=30°,

：,£ACB=180°-Z.ABC-Z-BAC=180°-75°-30°=75°,

当，C4P=Z.CPA=-x750=37.5。时，△尸为等腰三角形;

当484P=^BPA=|x(180°-75°)=