高考数学二轮复习（全国版理）专项突破 抛物线的二级结论的应用

微重点15抛物线的二级结论的应用

抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础

知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅速、准

确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常

用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.

考点一抛物线的焦点弦

【核心提炼】

与抛物线的焦点弦有关的二级结论

若倾斜角为G君）的直线/经过抛物线尸=2〃*〃>0）的叁、点，且与抛物线相交于A3,>'0,

6（X2,两点，则

①焦半径依.二川十乡=/?

2=—2_

|3/*1=念+21+cosa'

②焦点弦长IAB|=r+0+，=肃^,

③为坐标原点），

2

④xi3=jyiy2=~p2,

区7丽T|8F|尸

⑥以48为直径的圆与准线相切，以M为直径的圆与y轴相切.

考向1焦半径、弦长问题

例1（1）已知/是抛物线C：尸=©的焦点，过点尸作两条相互垂直的直线八，h，直线八

与C相交于A,8两点，直线/2与C相交于。，£两点，则|A8|+|D£|的最小值为（）

A.16B.14C.12D.10

答案A

解析如图，设直线八的倾斜角为仇闻0,号，

B

17

则直线/2的倾斜角为E+仇

由抛物线的焦点弦弦长公式知

2〃4

网=siMe=布9

2〃4

口用=.伍锵=飘

snrl9+c？I

.44_______4

・・区身+1。£]—sin%+cos"-sinWcos%

一siR。》®

当且仅当sin28=1,即夕=彳时取等号.

・・・|A8|十|OE1的最小值为16.

（2）斜率为小的直线经过抛物线产=2/»（〃>0）的焦点小与他物线交于A,8两点，A在第•象

限且依尸1一4,贝1」人初一.

答案y

解析直线/的倾斜角a=60。，

由MQ=T^M=4

得p=4(l—cosa)=2,

・14冏2〃416

•­|^|-sin2«-3-3-

4

考向2面积问题

例2（2022・长沙模拟）已知抛物线C），2=13•，倾斜角为热直线/过焦点/交抛物线于A,

3两点，。为坐标原点，则△A3。的面积为.

答案64

解析方法一（常规解法）依题意，

抛物线CV=16x的焦点为R4。），

直线/的方程为]=小>，+4.

,1=小)，+4,

由I,消去K,

y=16乂

得)2—16，5y—64=0.

设A(xi,yi),8(X2,”)，

则yi+”=16小,MX=-64.

5皿8=热一刈0〃

=2、（yi+）、2）2―4州），2

=R（6V5）2-4X（-64）=64.

方法二（活用结论）依题意知,

抛物线V=16x,〃=8.

又I的倾斜角a弋.

所以S△。八产需^^三三二64-

zsin7

i12

考向3方+而T万的应用

例3（2022•“四省八校”联考）已知抛物线）2=叙,过焦点户的直线与抛物线交于4,3两点,

则2依月+出用最小值为（）

A.2B.2^6+3

C.4D.3+2点

答案D

112

解析因为〃=2,所以两+两=万=1，

所以2H回+日用

=（2|AQ+IBH）•（看+制

_2\AF]\BF]

一）十\BF\十|4F1

卬2^/^=3+*

当且仅当[8Q=^h4F|时，等号成立，

因此，2H用+|/办1的最小值为3+2，1

考向4利用平面几何知识

例4（2022・遂宁模拟）已知产是抛物线C：），2=2px（p>0）的焦点，过点F的直线/与抛物线交

,:AB=3FB

・•・尸为A8的三等分点，

令|wq=r,则依n=2/,

田|8月十|AF1p'

得

9

・・・|A8|=3f=Zp,

9n

又|48|=—V,

11sin-«

.2〃9f.2^/2

'in2a=7=涧。=3,

又5型。8=%阴，・,.^^邛忸叫

9

-

2

（2）已知抛物线Cf=4），，焦点为"，过点尸的直线与抛物线交于A,8两点，该抛物线的准

线与），轴交于点M，过点A,8作准线的垂线，垂足分别为〃，G,如图所示，则下列说法不

正确的是（）

A.线段人8长度的最小值为2

B.以AB为直径的圆与直线），=-1相切

C.ZHFG=900

D.ZAMO=ZBMO

答案A

解析如图，取48的中点为C,

当线段48为通径时长度最小，为2P=4,故A不正确;

•・•直线y=-1为准线，

・•・3+15G|)=如|,

故以AB为直径的圆与准线＞，=-1相切,

故B正确；

又|8Q=|BG|,：・/BFG=4BGF,

又BG//FM,

NBGF=NMFG,

/.ZBFG=NMFG,

同理可得ZAFH=ZMFH,

又NBFG+ZMFG+ZAFH=180。,

：.FGLFH.

即N"FG=90。，故C正确；

设4(xi,yi),8(X2,J2)»直线AB：y=Ax+l,

[y=心，+l,

由一

Lr=4y,

得x2—4日一4=0,

••X1A'2=-4,X|+12=4攵,

yi+1+"+1

k.AM~\~kl,M=

X2

丘]+2।止+2

X\

AL

=2女+2.=。,

・・・/AMO=NBMO,故D正确.

考点二定点问题

【核心提炼】

抛物线方程为1y过(2p,0)的直线与之交于4,B两点,则OALOB,反之，也

成立.

例5如图，已知直线与抛物线f=22v交于A,8两点，MOAA.OB,OQ_LA8交43于点

D,点。的坐标为(2,4),则〃的值为()

35

-

2民4C-

A.2D.2

答案D

解析如图，令AB与y粕交于点C,

・•那/?过定点C(0,2p),

又52,4),

/.CD=(2,4-2p),(90=(2,4),

TOD上A3,

.\cbdb=o,

即4+4(4—2〃)=0,解得〃=楙.

易错提醒要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需

证明该结论.

跟踪演练2已知抛物线『=44,A,3为抛物线上不同两点，若O4_L08,则△A04的面积

的最小值为.

答案16

解析如图，・・・0AJ_08,

・•・直线48过定点(2p,0),

即点C坐标为(4,0),

设直线AB：x=(y+4,A(xi,yi),8(x2,”),

x=fv+4,

联立，=>r-4^-16=0,

y^=4x

2

zf=16/+64>0,yi+”=4f,y（y2=—16,

，S^oB=^OC\\y\-y2|=2|>'i

=2^/16/2+64,

・••当f=0时，5min=16.

专题强化练

1.（2022•黄泽模拟）设坐标原点为O,抛物线炉=以与过焦点的直线交于A,8两点，则殖•弗

等于（）

33

A.TB.一不C.3D.—3

答案D

解析方法一抛物线）?=4x的焦点为/（1,0）,

\x=ty~\-1

设直线"的方程为』），+、Ag），D，Wd如，由;炉=优得>2—4）—4=0,

/=16»+16>0恒成立,

yi4-y=4/,

则MI2

bw=-4,

所以OA•。8=xiX2+yi”

=籽+）仍=聆+（-4）=_3.

方法二因为A8过抛物线的焦点,

设A（xi,9），8（x2,儿），

2

则3匹2=彳=1,巾”=一〃2=-4,

所以0AO8=xiX2+yiy2=-3.

2.如图，过抛物线）2=8xE勺焦点尸的直线/与抛物线交于A,B两点,与抛物线准线交于C

点，若3是AC的中点，则凶8|等于（）

A.8B.9

C.10D.12

答案B

解析如图所示，令用用=/,

则出夕|=八

又B为AC的中点，

：.\AA'\=\AF\=2t,

・••阳C|=\AB\=\AF]-^-\BF]=3/,

又△C8B's/\CFE,

.\BC\_\BB'|

^\CF\~\FE\*

3/I3

即Mr1京=产片种

3.倾斜角为前勺直线/交抛物线C：)2=2pMp>0)于4,B两点、,且。A_LO&SMOB=$&

则抛物线C的方程为()

A.y1~2xB.)r—4x

C.9=4如D.y2=8x

答案B

解析•・・OA_LO3,・,•直线过定点(2p,0)

设直线/的方程为x=y+2〃，

设4汨，yi),8(.3,y2),

x=y+2p,

联立｛,f得），-2pv—4P2=0,

[y—2pxf

』=4"—4X（—4/r）=20/r>0,

・』+”=2〃，）V2=14p1

SAAOL；.2P.i

=八/（卜+3）2-4yly2

=P74P2+16P2=2\[5p*12=3B4,

.•.p=2,

・•・抛物线。的方程为）2=4X.

4.直线/过抛物线>2=6X的焦点立交抛物线于A,B两点,且|AQ=3|BF|,过A,8分别

作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为A',B',则四边形A8"A'的面积为（）

A.4小B.8小

C.16^3D.3入口

答案C

解析不妨令直线/的倾斜角为仇

则|A/H=[/Z="i

1——cos81—cos7

\BF\=----B----=----------

1+cos0l+cos。'

又依/]=3|打1，

・33

,,1—cos01+cosO'

解得cos0=；,

又问0,兀），.・・。=卡

33

|AF|="7=6»\BF]=.।7=2,

1—cos01+cos0

：.\AA'|=6,\BBf|=2,

/.\A'8'|=|A8|sin9=8X坐=44，

:・SE边形ABB'A,=5X（24-6）X473=16^3.

5.（2022•聊城模拟）已知抛物线C：）2=2px（pX））的焦点F到准线的距离为2,过户的直线/

交抛物线C于A,3两点，则（）

A.C的掂线方程为工=-2

B.若［44=4,则10Al=24

C.若依印|防=4科则/的斜率为W5

D.过点A作准线的垂线，垂足为”，若x轴平分NHF8,则|AQ=4

答案D

解析对于A,因为抛物线C：y2=2〃x（p>0）的焦点尸到准线的距离为2,所以〃=2,

2

所以抛物线方程为1y=4右则焦点尸（L0）,准线为犬=-1,故A错误;

对于B,若l/4F|=4,则以=3,所以）4=4XA=12,

所以|04=、嵬+）疚=立1,故B错误；

对于C,设直线48的倾斜角为a,«E（0,7t）,

则lAFIIBQ="jL、/=j2〃=4〃2,

1—cosa1+cosasina1

所以sin2a=（,

所以sina=1,

所以a=30。或150°,

所以tana=q^,故C错误；

对于D,若x轴平分N”PB,则NOFH=NOF4,又轴，

所以NO"/,NOFB=NHAF,

所以NA”"=N/MF,

所以HF=AF=AH,

所以忍受=白，即以=3,

所以依£1=必+1=4,故D正确.

6.(2022・武汉模拟)斜率为k的直线l经过抛物线C产=2〃"〃>0)的焦点凡且与抛物线C

相交于A,8两点，点A在x轴上方，点M(—1,—1)是抛物线。的准线与以A8为直径的圆

的公共点，则下列结论不正确的是()

A.p=2

C.MFLAB

D椽H

答案D

解析由题意知，抛物线C的准线为4=一1,

即g=1,解得〃=2,故选项A正确；

J抛物线C的方程为V=4x,

其焦点为尸(1,0),

由已知可得以A8为直径的圆与准线相切，

・••点M(-l,-1)为切点，

，圆心的纵坐标为一1,即A83点的纵坐标为一1,

设48：1=)+1，

x=(y+l,

联立

ly-=4x,

得4()?—4=0,

J=16/2+16>0,

Ayi+y2=4/=-2,

A/=-I，即％=—2,故选项B正确；

-1—01

,k2,kMF—_।_।2，A.Mf"]♦

：.MF±ABt故选项C正确;

过A作AA]±x轴于点Ai,过8作BB\±x轴于点B),

设抛物线的准线交x轴于点C,NBFBi=8,

又p=2