高考数学二轮复习（全国版文）专项突破 函数的图象与性质

第1讲函数的图象与性质

[考情分析]1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函

数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，

难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，

多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.

考点一函数的概念与表示

【核心提炼】

1.复合函数的定义域

(1)若凡6的定义域为[，〃，n],则在凡式工))中，由〃解得x的范围即为贝g(x))的定义域.

(2)若/(g(x))的定义域为[〃]，川，则由mWxWn得到g(x)的范围，即为J(x)的定义域.

2.分段函数

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集.值域等于各段函数值域的并集.

例1(1)(2022・西安检测)已知函数/U)=In工+d16—23则人2x)的定义域为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(0,4]D.(0,2]

答案D

----------[x>0,

解析要使函数段)=In16—2*.有意义,贝叶解得0々/4,则凡。的定义域

16—230,

为(0,4],由0<2xW4,解得04&2,则的定义域为02].

f+2。，x<l,

(2)已知实数a£R,函数/x)=J

—x,x>\,

若贝1—a)》(l+a),则实数。的取值范围是.

答案(-2,-l)U(0,+8)

解析由题意知，aW0.

①当a<0时，

—(1—a)>(l+a)2+2a,

化简得a2+3«+2<0,

解得一2va<—1,

又a<0,・••〃£(—2,—1)；

②当a>0时，1一4<11+〃>1,

/.(I—«)2+2«>—(1+a),

化简得/+a+2>0,解得a£R,

又a>0,+°°),

综上，实数。的取值范围是(一2,-1)U(O,+00).

规律方法(1)形如/(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.

x-3,戈210,

跟踪演练1(1)(2022・潍坊模拟)设函数段)=匚*则48)等于()

必工+4)),x<10,

A.10B.9C.7D.6

答案C

解析因为危)=[x烦—3-,4x力2103,。，则的=欢⑵曰9)=心⑶)=川。)=7

(2)设函数八。的定义域为D,如果对任意的x£。，存在,心。，使得7U)=-/(.y)成立，则称

函数7U)为函数”.则下列为“M函数”的是.(填序号)

®y=sinxcosx：

@y=\nxIer；

@y=2v；

@y=x1—2x.

答案①②

解析由题意，得“M函数”的值域关于原点对称.①中，y=sinxcosx=Jsin2x£—/

其值域关于原点对称，故①是“M函数”；②中，函数y=lnx+炉的值域为R,故②是“M

函数”；③中.因为>>=21>0,故③不是“M函数”：④中，y=x1—2x=(x—])2—]^—].

其值域不关于原点对称，故④不是“M函数

考点二函数的图象

【核心提炼】

1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、

伸缩变换、对称变换.

2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.

考向1函数图象的识别

例2(1)(2022・全国甲卷)函数y=(3x—3r)・cosx在区间[甘，,上的图象大致为()

答案A

解析方法一(特值法)

取

X-L贝Jny

取x=—1,则y=Q—3)cos(—1)

=一,cosIvO.结合选项知选A.

方法二令y=/(x),

则艮—x)=(3-r—3')cos(—x)

=一(3、-3A)cosx=-,

所以函数y=(3r-3-v)cosx是奇函数，

排除B,D；

取x=l,则y=(3—l，cos1>O,排除C,故选A.

(2)(2022.全国乙卷汝U图是下列四个函数中的某个函数在区间［—3,3］的大致图象，则该函数是

()

-?+3x『一x

A，尸f+lB.

-2xcosx2sin工

c-mD.产777

答案A

解析对于选项B,当x=l时，y=0,与图象不符，故排除B；对于选项D,当x=3时，y

=1sin3>0,与图象不符，故排除D；对于选项C,当04芍时，OVcosxCI,故产等宁

〈棒与图象不符，所以排除c.故选A.

考向2函数图象的变换及应用

(—2x(—1WxWO),

例3(1)已知函数7U)=<r则下列图象错误的是()

答案D

解析当一IWXWO时，"6=—2x,表示一条线段，且该线段经过(一1,2)和(0.0)两点.

当时，凡丫)=5，表示一段曲线，函数ZU)的图象如图所示.

J(x—1)的图象可由火x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；大一.1)的图象可由/U)

的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于./U)的值域为［0,2］,故.Kx)=［/U)|,故l/Uil的图

象与人幻的图象完全相同，故C正确；很明显D中贝国)的图象不正确.

『+2x+l,x〈0,

(2)已知函数次X)=j若存在汨，及，用。1<1243)，使/(即)=_/52)=火即)，则

2■,A>0,

—X2I》)的取值范围是1)

cosx+2cosx+2

一ox2一队+c-or2+以+

解得〃=0,

3

由图象可得,八0)=擀<0,得c<0,

由图象可得分母aF+c=0有解,

所以f=一标有解,

所以一呆0,解得eO.

考点三函数的性质

【核心提炼】

I.函数的奇偶性

(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有

./U)是偶函数。八-x)=fix)=fi\x\):

共幻是奇函数-x)=一©.

(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数X奇函数是偶函数).

2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.

3.函数的周期性

若函数於)满足於+〃)=段-a)或危+2〃)=於)，则函数>=凡¥)的周期为2\a\.

4.函数图象的对称中心和对称轴

(1)若函数凡丫)满足关系式<〃+x)+H。一#=26则函数)二儿》的图象关于点(a,3对称.

⑵若函数7U)满足关系式4《+k)=/(》-X),则函数y=/U)的图象关于直线对称.

考向1单调性与奇偶性

例4(2022・广东大联考)已知函数八r)=eH—cosx,则/g),/(0),/(一§的大小关系为(

A.AO)<f

B.

c/朗/㈢a

D.

答案B

解析•・7U)=ekl—cosx,

:・R-x)=-cos(-x)=ehl-cosx=j{x),

・・,/u)为偶函数，

当x>0时，/(x)=eA—cosx.

则/'(幻=^+$m占

・••当x£(0,+8)时，，(x)=e、+sinx>0,

・•・函数段)在(0,+8)上单调递增，

.VAORQX，1

即的</(一加倒

考向2奇偶性、周期性与对称性

例5设函数«r)的定义域为R,人工-1)为奇函数，«r+l)为偶函数，当工£[1,3]时，艮x)=kx

+〃?，若10)-/(3)=-2,则<2022)等于()

A.-2B.0C.2D.4

答案C

解析因为yu—i)为奇函数，所以八一彳一口二一心一^①；又凡「H)为偶函数，

所以y(—x+l)=/U+l)②；令X=l,由②得犬0)=*2)=22+〃?，又,*3)=3%+〃?，

所以人0)一/(3)=2&+/〃—(34+加)=一〃=一2,解得k=2.

令x=0,由①得4-1)=一式-1),即/—1)=0;

令x=2,由②得劣一1)可3)=0,所以火3)=3%+/=0,即机=一6.则当x£[l,3]时，

/(A：)=2A-G,

结合①②得，/(x+2)=-/U-2),即“r+4)=-/C0,所以人工+8)=—41+4)=人外，

所以7=8是函数火力的一个周期，所以火2022)=/(252><8+6)=逃6)=-/(2)=—(2乂2—6)=2.

二级结论(1)若/U+〃)=-/U)(或,七'+幻=看)，其中无0#0,则应¥)的周期为21al.

(2)若夫此的图象关于直线x=a和对称，则7U)的周期为2\a-b\.

(3)若_/(X)的图象关于点3,0)和直线对称，则7U)的周期为41a—夙

跟踪演练3(1)若函数九t)=eX+〃er(a£R)为奇函数，则不等式mn川In乂)的解集为

答案(0,1)

解析易知./U)定义域为R,

又人幻为奇函数，.\A())=(),得〃=-1,

：.fix)=e-e~\

・・孙)为奇函数且在R上单调递增，

又川nx)</(|lnA|),

/.Inx<|lnA|,

/.Inx<0,

(2)(2022•全国乙卷)若7U)=ln1人+。是奇函数，则a=______,b=

答案-gI112

I,(ti4-1)eb-aehx

解析+0=hi~+lne=,n-r;-

•・/x）为奇函数,

二那一力+危）

3+1铝”一oW

=ln1^?=0,

.,.|(a+l>e"—a2c2记=|]一/|

当(a+D%”'—a%劝『=1一x2时，

[(£/+1^e2^—1]+(1—a^yx2=0对任意的x恒成立,

(4+1)%”—1=0,

则

1一82〃=0,

〃=一；,

解得

b=\n2.

当3+1)2©2〃一时，

[3+1%"+H-(«2e2,,+1*=0对任意的x恒成立,

(a+l)2e»+l=0,

贝丁无解.

l/e劝+1=0,

综上，a=-3，b=\n2.

专题强化练

一、选择题

1.（2022•哈尔滨检测）下列既是奇函数，又在（0,+8）上单调递增的是（

A.y=sinxB.y=lnx

,=

C.3tanxD.y=—~X

答案D

解析对FA,_y=siii人是奇函数，且在（0,十一）上有增有减，故不满足;

对于B,y=ln%的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故不满足；

对于C,），=tanx是奇函数，且在（0,+8）上只有单调递增区间，但不是一直单调递增，故

不满足；

对于D,y=一：是奇函数，且在（0,+8）上单调递增，故满足.

A/4—

2.（2022・烟台模拟）函数的定义域为（）

I1人4I1”I

A.[-2,2]B.(-1,2]

C.(一1,0)50,2]D.(-1,1)U(1,2J

答案C

(4——0,—2WxW2,

解析由已知可得卜+1>0，

即，x>一1,

Un(x+l)^0,

、/4-，

因此函数的定义域为（一1.0）U（0.2].

11人I1J

2x+i—1,xW3,

3.（2022•西安模拟）设7U）=।\若"丫）=3,则x的值为（）

log2（X~—1）,x>3,

A.3B.1

C.-3D.1或3

答案B

解析当入W3时，令2日—1=3,解得x=l,

当心>3时,令log2（『一l）=3,

解得x=±3,这与x>3矛盾，

•.x=1.

4.（2022・常德模拟）函数人刈=普”的图象大致是（）

vIC

答案C

解析函数｛0=空等的定义域为R,

CIv

sin（一兀I）-sin（兀r）

A

/（--）=e-A+ex=eA+e-x=-AM

即兀0是奇函数,A,B不满足；

当（0,1）时，即0v心yg

则sin（7tx）>0,而ev+e-v>0,

因此_/U）>0,D不满足，C满足.

5.（2022广州模拟）若函数），一八0的大致图象如图，则｛x）的解析式可能是（）

A.y（-v）=e2r_|_

-1

於）=

B.j2e'

c.府尸制

e-r-l

D.（）

yx=人Vv

答案D

解析由图可知函数的定义域为{小WO},故排除A；

由图知该函数图象关于原点对祢，则该函数为奇函数，需满足“丫）+A—X）=O,

对于B,危）+_A—x）WO故排除B；

C和D均满足“v）+_/（—x）=O,

Or2

对于c,,A-t）=2A_I=p，

V1r

e?

当x-*+8时，白-*0,

V

故yu）-*3，

V

•••y=F增长的速率比y=e）增长的速率慢，

••孙）一£一O'

即图象在X轴上方且无限接近于％轴正半轴，与题意不符，故排除C.

6.（2022•张家口检测）已知函数人6=三），则（）

A.函数/U）是奇函数，在区间（0,+8）上单调递增

B.函数风”是奇函数，在区间（一8,0）上单调递减

C.函数寅X）是偶函数，在区间（0,+8）上单调递减

D.函数人r）非奇非偶，在区间（一8,（））上单调递增

答案A

1-一

ex—1e，

解析一/(一工)=一广门=一再］

er-l

^+]=人工)，

故/U)是奇函数.

er+1-22

又人工)=1

ev+leZH,

由复合函数的单调性可知7U)在R上单调递增.

7.(2022・衡水中学调研)已知人工)是偶函数，且对任意内，为£(0,+8),管三警>0,设a

=/©)，b="”，e=yi—00),贝lj()

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

答案B

解析•・•对任意乃，为£(0,+8),於"凶>0,

«A|X2

工函数火x)在(0,+8)上单调递增.

又函数_/U)为偶函数，

・•次v)在(―8,0)上单调递减.

・\Alog37)>/e)M-0用3),即c<a<b.

ln(x+l),x20,

8.已知函数人外=«「2c则不等式7U+2)勺(f+2x)的解集是()

—2尸，x<0,

A.(-2,1)

B.(0,1)

C.(-8,-2)U(1,+8)

D.(1,+8)

答案C

ln(x+1),x20,

解析由函数Ax)=「2八可得当x20时，/U)单调递增；

—2x~,.r<0,

当xvo时，./U)单调递增，而且当x=o时函数连续，

所以>U)在R上单调递增，

不等式7U+2)勺m2+2x),

可化为x+2Vf+2x,即P+x—2>0,解得x>1或xV—2,

则原不等式的解集为(-8,-2)U(1,+8).

9.设定义在R上的函数危)满足贝x)外+2)=13,若川)=2,则人99)等于()

A.1B.2

C.0D.eq

答案D

解析依题意义工)贸x+2)=13,

13

人’+2)=而'

13

所以｛K+4)=/&+2+2)=万百

13

=亘=/5)，

於)

所以人幻是周期为4的周期函数，

所以_A99)=/(25X4-1)=4-1)

13

10.(2022•福州模拟)定义在R上的函数7U)满足火2—x)=2-/(x).若凡t)的图象关于直线彳=

3对称，则下列选项中一定成立的是()

A.人-3)=1B.贝0)=0

C.<3)=2D.X5)=-I

答案A

解析函数4r)的图象关于直线x=3对称，则必有43—灯=/5+3),所以人0)=/(6),

兵1)=贝5),贝2)=人4),又因为兀0满足大2一劝=2—为%),取％=1,所以41)=2—/0),则用)

=/(5)=1,取x=5,则火-3)=2—45)=1,A对.

11.已知函数人幻是定义在(一8,0)U(0,+8)上的偶函数，且当A->o时，J(X)=

(x-2)2,0<\<4,

'I

手十-4),A>4,

则方程7U)=1的解的个数为()

A.4B.6C.8D.10

答案D

解析由题意知，当Q0时，

Q—2>,0<xW4,

函数凡r)=«l

加一4),工>4,

作出函数/(工)的图象，如图所示,

方程yu)=i的解的个数，即为函数,，=儿1)与)，=i的图象交点的个数，

当Q0时，结合图象，函数幻与)，=i的图象有5个交点，

又因为函数y=/U)为偶函数，图象关于)，轴对称，所以当大＜0时，函数y=/5)与y=l的图

象也有5个交点，

综上可得，函数)，=热力与y=l的图象有1()个交点，即方程凡。=1的解的个数为10.

12.(2021・新高考全国H)已知函数外)的定义域为R,人工+2)为偶函数,/(2x+l)为奇函数,

则()

A・/'(一£)=0B-犬7)=0

C.火2)=0D.44)=0

答案B

解析因为函数/5+2)为偶函数，则12+.i)=/(2—幻，可得«x+3)=＞(l—力，

因为函数＜2x+l)为奇函教，则＜1—Zt)=—«2x+l),所以＜1一%)=-yU+l),

所以7U+3)=-/(x+l),即«r)=/U+4),

故函数«r)是以4为周期的周期函数，

又大1)=0,故人-1)=/(5)=/(1)=0,其他三个选项未知.

二、填空题

13.(2022・泸州模拟)写出一个具有下列性质①②③的函数人幻=.①定义域为R：

②函数y(x)是奇函数；

答案sin2x(答案不唯一)

14.已知