高考数学二轮复习（新高考版）空间向量与距离探究性问题

第4讲空间向量与距离、探究性问题

［考情分析］1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距

离，属于中等难度2以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在

的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考杳，难度中等偏上.

考点一空间距离

【核心提炼】

⑴点到直线的距离

直线/的单位方向向量为%A是直线/上的任一点，P为直线/外一点，设淳=氏则点P

到直线/的距离d=yla2—(au)2.

(2)点到平面的距离

平面a的法向量为〃，A是平面a内任一点，P为平面a外一点，则点P到平面a的距离为4

\AP-n\

=I心

考向1点到直线的距离

例1(1)(2022・广州模拟)如图，在四棱锥P-48CD中，PBJ_平面4BC。，ABLBC,PB=AB

=2BC=2,则点C到直线PA的距离为()

A.eq

C.eq

答案A

解析因为。3_L平面48CQ,ABU平面ABC。，6CU平面A3。。,

所以PB1BC,

如图，以8为坐标原点，建立空间直角坐标系，

D

则C(1,O,O),A(0,2,0),

P(0,0,2),

斤=(1.0,-2),或=(02-2),

即正丽=4.

正在画上的投影向量的长度为

生户=*=g，故点C到直线以的距离为、/|丽］2—(啦)2=小

\PA\272

(2)如图，已知正方体ABCD-AIBIG。的棱长为1,则线段AOi上的动点P到直线4。的距

离的最小值为()

A.1B.eq

C.eqD.eq

答案D

解析如图建立空间直角坐标系,则A(l,0』)，C,(0,1,1),

B

设P(x,0,1-X),OWxWl,

则病=(.1一1,0,-X),4口=(-1,1.0),

・•・动点尸到直线4G的距离为

A\PA\C\i

|A>I2-

|A<,|

当且仅当时取等号，如线段4n上的动点P到直线4G的距离的最小值为坐.

考向2点到平面的距离

例2（1）（2022.湖北联考）在底面是菱形的四棱锥P—A8CO中，ZABC=60°,PA=PC=\,

PB=PD=p,点E为线段夕。上一点，且PE=2ED,则点。到平面ACE的距离为

答案噜

解析如图，连接AC,8。交于点。，连接OP,以OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z

轴，建立空间直角坐标系，

设48=2小贝ijOA=mOB=g,

因为R^2-OA2=PB2-OB\

所以1一f=2一3〃,

解得。=乎，则OP=乎，

所以A（0,一孝，0）,40,坐，0），

《o,o,乎）,4-里°»o）,《-坐o’9）,

则危=（0,V2,0）,

码普,来嗡

AP=（0,乎,嗡,

设平面ACE的一个法向量为〃=（.*y,z）,

n-AC=,\/2y=0,

则

n-AE=一坐、+坐y+#z=0,

取x=l,得〃=（1,0,2小），

所以点。到平面ACE的距离

,|〃•崩|布遍

"=川=k13-

⑵（2022・沈阳模拟）如图，若正四棱柱A8CO-ABIGDI的底边长为2,/8小8=三，E是。。

（2）求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积

法.

跟踪演练I（1）（2022•邢台联考）孙，PB,PC是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角

均为60。,%=PB=PC=1,若M满足丽=诙+2诵+3元，则点M到直线AB的距离为（）

A.eqB.3

C.24D.3^2

答案D

解析/而=丽一萩=2而+3元,

则由/i=q（2丽+3正产

=、4两?+12而.记+9元?2

=44+12X1XIx）+9=皿，

则病病=（2崩+3元）（前一前）

=2丽2-2而.萩+3元.而一3元.诙

=2-2X1XIX^+3X1XIx|-3X1X1x1=1,

।嬴i=q（丽一丽雨一2而国+启2

=^l-2X!Xlx|+l=l,

则点用到直线48的距离

|A;W|2-

（2）（2022・茂名模拟）如图，正方体/WC。-AIBIGOI的棱长为I，中心为0,BF=^BC,ME=

次4,则四面体OEB/7的体积为（

A.eqB.eqC.eqD.eq

答案D

解析如图，以。为坐标原点，分别以D4,DC,£>“所在直线为“,>•,z轴建立空间直角

坐标系,

则噌，I，£),5(1,1.0),£(1,0,0建，1，0),

1OB=^.一号,

T

诟=G，­1»g,

则屈$।加1=坐।眼="

OBOE

cosNBOE=

\OB\\OE\

111式11

----X-

222--24近

近

3--9

X-

24

：.ZBOE(=(^,冗)，则sinN8OE=4^.

1尻

：•S.oEB=5OB,OE・sin/BOE=%.

设平面OEB的一个法向量为〃=(x,y,z),

〃OE=5-3+(z=0,

由＜取z=l,

->1II

〃。8=/+jy一呼=0,

得〃=(不不1),又8尸=(-2»0»0),

|〃协yj26

工产到平面的距离

OEBh=间52'

・•・四面体。丽的体积v=g义噜乂警=点

考点二空间中的探究性问题

【核心提炼】

与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位笈关系；另一类是探究线面

角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入

参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满

足要求，从而作出判断.

例3（2022.汕头模拟）如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，人E为底面直径，AE=

AD,ZSABC是底面的内接正三角形，且。。=6,尸是线段。。上一点.

⑴是否存在点P,使得依_L平面P8C,若存在，求出的值；若不存在，请说明理由;

（2）当PO为何值时，直线EP与平面P4C所成的角的正弦值最大.

解（1）存在，由题意得人。=/人后=,八。，

因为A/）2=OO2+AO2,

所以AD1=36-\-^AD1,

所以AO=4小，AO=2小，

因为△ABC是底面圆的内接正三角形，

所以瑞=2X2^

所以AB=6t

又由题意得以之二口+尸。?，

假设附_1平面PBC,则PALPB,

所以482=以2+。82,

所以BGMIZ+HA+IZ+PO2,所以20=%，

此时必_1_尸。，PALPB,PBC\PC=P,

PB,PCU平面「8C,

所以当20=训时，附_1_平面。3c.

（2）如图所示，建立以点。为坐标原点的空间直角坐标系.

设0<x<6,

所以P（0,0,x）,E（一小，3,0）,B（小,3,0）,

。（一2小,0,0）,

所以办=（小，-3,x）,丽=（小，3,一幻，

斤=（一2小，（），-x）,

设平面PAC的法向量为〃=3，b,c）.

nPB=y[3a-\-3b—cx=O,

所以，

n-PC=-2小4—cx=O,

所以〃=(X，—小x,—2弋3).

设直线EP与平面P8C所成的角为仇

|小x+3小x-2小|x_________2sx______

由题意得sin0=

d3+9+A2.\x2+3x2+12412+神々412+12

当且仅当PO=x=#时等号成立，此时直线EP与平面PBC所成的角的正弦值最大.

规律方法解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条

件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.

(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.

跟踪演练2(2022.武汉质检)如图，在四棱锥P-A3C。中，四边形48CQ为平行四边形，PA

=PD=®A4=l,AD=2,PDLAB.

(1)证明：平面「。。_1_平面以&

的夹角的余弦值为平.

⑵若PB=木,试在棱夕。上确定一点E,使得平面RW与平面E4C

(I)证明因为21=尸力=爽，AD=2t

所以用2+PD2=AD2,所以尸

又因为PDLAB,AB,以匚平面附8,

且/WGH=A,

所以尸。1_平面PAB,

又因为。。＜=平面PCD,

所以平面PCO_L平面PAB.

⑵解因为以=也，AB=\,PB=小,

所以南2+AR2=尸产，所以AB1附，

又因为PDLA8,PA,POU平面以。，

且PDOPA=At

所以AB_L平面PAD,

因为AOU平面PAD.

所以48_LA。，

所以四边形A6co为矩形.

以A为原点，AB,而分别为*轴、1y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示,

则40,0,0),8(1,0,0),(7(120),0(0,2,0),P(0,l,l),

所以元=(120),4>=(0,1,1),而=(0,l,-1),

由PO_L平面%B,可得向量而=(0,1,—1)是平面%B的一个法向量.

设访=血，0«1,

则E(0,2—2,2),

所以而=(0,2—2,z).

设平面E4C的一个法向量为〃=(x,y,z),

〃AE=0,(2—2).y+=0,

则1所以

x+2y=0,

令)，=—1,可得x=2,

所以〃=(2,—1,予")，

所以|cos〈PQ,〃》|=

\PD\\n\

可得⑵2-7+i=o,

解得%=：或2=1,

即当点E满足访=；而或前)=：而时,平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为半

专题强化练

1.(2022・山东联君)如图，在正四棱柱ABCD-Ai囱GR中，A5=1,《为CQ的中点.

⑴当44=2时，证明：平面平面4归|£

⑵当A4=3时，求4到平面BDE的距离.

(1)证明当A4i=2时，BiE=®BE=®

所以8|E2+8序=8祈，所以BiE±BE.

又4H_L平面BCCB,则48]_L5E

因为人由IC8|E=AI,48,BiEU平面4BiE,

所以BE_L平面AiBiE,

又8EU平面BDE,

所以平面8。月，平面AxBxE.

⑵解以。为原点，。4DC,。。所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系，

则。(0,0,0),5(1,1,0),

4(103),《0,1,|).

所以命=(1,1,0),DE=(0,1,号，^41=(1,0,3).

设平面BQE的一个法向量为〃=(x,)，，z),

[〃痂=0,卜+)'=0，

则〈即〈,3

ln-DE=0t卜+梦=0,

不妨令z=2,则y=-3,x=3,

得〃=(3,-3,2).故4到平面8QE的距离

n-DAi__2__

d~IT一亚一22・

2.(2022.聊城质检)如图，在正四楂柱AACO-A/iGQi中，AA|=2A8=2,E,F分别为棱A4,

CG的中点，G为棱。。上的动点.

A

(1)求证：B,E,Di，尸四点共面;

⑵是否存在点G,使得平面GEF_L平面8EF?若存在，求出OG的长度：若不存在，说明理

由.

⑴证明如图所示，连接DE,DiF,取8用的中点为M,连接MG,ME,

因为七为A4的中点，

所以EM〃A\B\〃C\D\,

且EM=A\B\=ClDit

所以四边形£A/GA为平行四边形，所以。名〃MG,

又因为F为CG的中点，

所以凡且8M=。e

所以四边形厂为平行四边形，

所以所以〃/〃小旦

所以B,E,Di,/四点共面.

⑵解以。为坐标原点，DA,DC,。。分别为x轴、y轴、2轴建立空间直角坐标系，如图

所示，

假设存在满足题意的点G(0,0,/)(0W/W2),

由已知5(1,1,0),E(l,0,l),尸(0,1,1),

则际=(-1,1,0),丽=(0,1,-1),

EG=(-l,0,r-1),

设平面BEr的一个法向量为〃|=(笛，yi,zi),

[«i-£F=O,f—xi4-yi=0,

则《即

[nrEB=O,)LZ尸0，

取xi=l,则〃i=(l,1,1)；

设平面G£F的一个法向量为〃2=(X2,”，Z2),

n->-EF=0,一及+1y2=0,

则.即

—X2+0-1)Z2=(),

,«2EG-O,

取M=L1,则〃2=(L1,r—1,1).

因为平面GEF_L平面BEF,

所以«1/12=0,

即f—1+/—1+1=0,解得

所以存在满足题意的点G,使得平面GEF_L平面BEEDG的长度为宗

3.(2022・湖北七市联考)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面48CO为正方形，布1底面

ABCD,PA=AB,E,产分别为线段夕从4c上的动点.

⑴若月为线段P8的中点,讦明：平而AERL平面PBC

⑵若BE=gF,且平面AM与平面PBC夹角的余弦值为*,试确定点F的位置.

⑴证明由以_L底面A3QZ可得以_L8C,

又在正方形人8c。中，BCA.AB,

且%A4B=A,%，ABU平面以&

则8C_L平面PAB,

又4EU平面PAB,

所以BC1.AE.

由以=A8,E为P8中点，可得AE_LP8,

又PBCBC=B,PB,BCU平面PBC,

则4从L平面P8C,又4EU平面AE凡从而平面AE/LL平面P8C.

(2)解以A为坐标原点，AB,AD,AP分别为A,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设

A8=l,

则A(OOO),B(1,O,O),C(11,O),0(0,LO),P(O,OJ).

由(1)可知〃i=e，o,为平面PBC的一个法向量.

由BE=yf2BF,可知

设际=2正，BE=ABP,

则际=(0,2,0),砺=(-2,0,A),

可得能=Q+砺=(1,九0),

恁=初+砺=(1一九0,A).

设平面AE尸的一个法向童为〃2=(x,y,z),

〃2•赤=0,%+肛=0,

即

»(1-2'ix+xz=0,

./i2・4E=0,

取y=l,则x=-i,z=l—A,

即〃2=(一九1J-A).

从而，*|cos5,小〉1=艇

_[—24_S

~yj2-y/2A2-2A+2~⑷

12

解得2=彳或7=：,即产在3C的三等分点处.

JJ

4.(2022・长沙十六校联考)如图，在四棱锥P-/WCD中，△外。是以人。为斜边的等腰直角三

角形，BC//AD,ABLAD.AD=2AB=2BC=2,PC=小,E为PO的中点.

(1)求直线PB与平面南C所成角的