高考数学一轮复习：不等式选讲（练）解析版

第02讲不等式选讲

国练基础

一、解答题

1.已知函数/(x)=|x+2|+|2x+l|.

(I)求/(x)的最小值；

111Q

(2)若〃，b,°均为正数，且/(a)+/g)+/(c)=18,证明：±+______

【分析】(1)由绝对值不等式的性质可求解；

(2)由题意得a+0+c=3,再由基本不等式及不等式的性质可证明.

【详解】(1)〃幻=卜+2|+旧+”+；

2222

>3y.(当且仅当工=-；I时，取等号)

3

，函数7U)的最小值为；.

(2)因为“，b,。均为正数，

所以〃a)+/(")+/(c)=3a+3+幼+3+3c+3=18,

a+b+c=3.

.,,/、11L.aab.bcc.

由(〃+〃+(?)(—+—+—)=1+-+-+-+1+-+-+-+1

abcbcacab

=(/外(£+午铮竽3出

haacbc

得:.

abc

22

:(“+〃+cF=a+c+lab+2bc+lac+〃？+/),

.\f-+-+-l(t/2+/>2+c2)>9,

bc

2.已知函数〃x)=U-a|+|x+2].

⑴若a=l,求不等式/(”W5的解集：

⑵若〃x)>2a,求实数〃的取值范围.

【分析】(1)分别在44-2,-2<xWl,x>l条件下化简绝对值不等式，并求其解集；

(2)利用绝对值三角不等式得到/(力可。+2|,依题意可得|。+2|>2。，讨论。的正负，解

方程求。的取值范围.

【详解】(1)当a=l时，/(x)=|x-l|+|x+2|,不等式可化为卜-1|+,+2|«5,

当x4-2时，不等式化为一X+1-X-2K5,.r>-3,此时一3WxW-2：

当一2cxe时，不等式化为一X+1+X+2W5,因为3K5恒成立，所以一2<xWl；

当X>1时，不等式彳名为x—1+X+2K5,Ax<2,此时1<X£2,

综上所述，不等式的解集为卜3,2］：

(2)f(x)=\x-^+\x+2\>\x-a-x-2\=\a+2\,当且仅当(x-a)(x+2)M0时取等,

若/(工)>2〃，则|a+2|>%,

当。<0时，不等式恒成立：

2

当时，不等式|a+2|>2a,两边平方可得/+4〃+4>46,解得一5<。<2,・,・04。<2,

综上可得，a的取值范围是(e,2).

3.已知函数/(司=卜+1|+2k-1|.

⑴求不等式/(“<8的解集；

(2)设函数g(x)=/(x)TxT|的最小值为m,且正实数a,力,c满足〃+Z?+c=m,求证：

a2b~c2

——+—+—>2.

bca

【分析】(1)分段讨论去绝对值即可求解；(2)利用绝对值不等式可求得〃2=2,再利用基

本不等式即可证明.

3x-l,x>1

【详解】(1)由题意可得：/(x)=|^+l|+2|x-l|=-3-x-l<x<l,

—+1,xK—1

当JV21时，则/(x)=3x—l<8,解得2«X<3；

当一Ivxvl时，贝ij/(x)=3-x<8,解得

当xW—l时，则/(力=-3工+1<8,解得一；<xW-l；

综上所述：不等式,但<8的解集为卜尹).

(2)V^(X)=/(X)-|X-1|=|X+1|4-|X-1|>2,当且仅当xw［-U］时等号成立,

・・・函数g(x)的最小值为m=2,贝ija+b+c=2,

又・；b+%2，bx牛=2a，当且仅当人=苧，即时等号成M；

=»,当且仅当。=欧，即b=c时等号成立;

C

c、

a+——>="，当且仅当。=U,即。=。时等号成立;

a

/2\12/2'

上式和力「可得：|匕+丁+CH----+aH—>2a+2/?+2c.当」L仅当〃=/?="时等号成。，

Ih)I。八a)

.a2b1c2

.•F——+—>a+b+c=2.

bca

4.已知函数/(4)=卜-1|+卜+2|.

⑴求不等式/(x)<13的解集；

(2)若的最小值为攵，fi—+—=l(/wz>0),求用+〃的最小值.

mn

【分析】(1)分类讨论去绝对值解不等式；

(2)根据|4+以•。-4求“X)的最小值，再根据题意结合基本不等式求〃Z+〃的最小值

(1)

2x+l,x>1

V/(x)=|x-l|+|x+2|=-3,-2<x<l，则有：

-2x—1,x«—2

当时，则2X+1V13,解得：\<x<6

当-2a<1时,则3<13,即一2«<1成立

当K«-2时，贝Ij-M-I<13,解得：-7<xV-2

综上所述：不等式/(力〈13的解集为(-7,6)

(2)

V/(x)=|x-l|+|x+2|>|(x-l)-(x+2)|=3,当且仅当-2<x<\时等号成立

1a

・•・/(X)的最小值为&=3,即上+不=1(〃心0)

则/〃+〃=(〃2+〃)(—+—!=—+—+10>2.1—?—+10=16,当且仅当—=—，即〃?=4,〃=12

\mnJmnvmnmn

时等号成立・•・加+〃的最小值为16.

5.已知函数/(力=卜+3卜小-1|.

(1)当。=-2时,求不等式/(X)<5的解集;

(2)若不等式/(x)."|x+7|的解集非空，求。的最大值.

3x,x>1

令g(x)=|x-l|+|2x+l|=«x+2,—<x<1,

2

-3x,x4—

2

当x21时，3x29=x23,

当一时，x+2N9=xN7,舍去，

2

当工石一!"时，一3工29=/4一3,即x23或x石一3.

2

综上所述，x取值范围为(-8,-3］33，+8).

国练提升

一、解答题

I.已知4>。>0,/=疔上

(1)求。的取值范围；

(2)若〃>：,证明：|l-«|<|l-b|<2|l-«|；

(3)求所有整数使得c(a+b)«e“+/«c+l)(a+»恒成立.注:e=2.71828…为自然对

数的底数.

【答案】(1)«>1；(2)证明见详解；(3)。的值可以是3,4,5,6.

【分析】(1)分类讨论〃=1.h>\.0<h<\,即可得出结果

(2)将原不等式证明转为证明-。与。之等，构造函数/(x)=xlnx,求导分析单调

性，只需证/(«)<〃2-方)与f(a)>/(一上|］可.

(3)由原不等式化为cs31工。+1,主要求得巴叱取值范围即可，由于

a+ba+b

e(,+eb2ea+b炉/+d

亦不(不了("石,构造困数即可求得取值范围.

----人ClI17

2

【详解】(1)当力=1时,有与相矛盾；

当Z?>1时，仃4>〃>1与<1而a">1,与a“=L矛盾;

当Ovbvl时,有-l<-b<0则1</尸</尸，由/=/产得］V/〈人，所以〃>1；

综上所述:a>\\

(2)设/(x)=xlnx,则f，(x)=l+lnx,当xe(；,+8)时，>0,则/(x)在(：,+幻)上

递增,

由J得alna=-Z?ln〃，即/(〃)=一/侬)，由(1)知a>l,又1,

故要证卜〃即邳2卜&即证a-ldH2a-2

即证a«2—Z?且士也

2

①要证a«2-b,需证/⑷4/(2-b),即证一f®«/(2-b)

需证〃2—3+〃/?”。，设g®=〃2-1)+f(。),需证g®由NO

由g")=lng又所以8'(〃)=仙自<0

乙一De2—p

单调减，则g(b)2g(l)=o,所以a«2—〃成立，则々一1«1—〃成立;

3-A13—〃

②要证〃之二产，由于则〃2二广>1

需证即证一/9)2/(一：

需证/(8)+/㈤40,设力(〃)=/(?)+/(〃)，需证M与a«0

由〃”卜一fn——g+=2eb2

又〃(g)=g]n—^<0,〃(l)=gln含>0

故有加(%)=0,1>%>L所以〃(〃)在(』,x』单调减，在(％』)单调增

又加卜/T砌=。

所以〃伍)四乂0,则〃之等，得1一〃乂25一1)

所以|l-a即-b归2|l-a|成立；

(3)因为c(a+b)We"+/<(c+l)(«+/7),a>Z?>0

所以c«5^«c+l

a+b

ce+e2e

ch------------<---------------<-------------

a+ba+ba+b

~T~

设)，=。由婷(二),得产色■在(0,1)上单调减，在(I，+8)上单调增

x~

又因为1<。+人<2则2<1

22

a+b

e2ea+eb2ea+b

IlirPJe<-----------<---------------<-------<e

'-a+ba+ba+b

2

由恒成立，所以。的值可以是345,6

a+b

3

2.已知/。)=1+耳+卜2x|.

(1)解不等式

217

(2)令/(x)的最小值为M,正数。，b满足。+劝=H，求证：a2b2+—>—.

ab4

3'

【答案】(1)\x-2<x<-\(2)证明见解析.

4x

【分析】(1)分类讨论解不等式，再取并集；

(2)分类讨论求出函数的最小值，可知。+»=2,利月基本不等式知0<，必工；，再利用

柯西不等式及不等式的性质即可证得结论.

33173

【详解】(1)当xv—三时，/(X)=-X-^--2X+1=-3X-^<4-X,得一2Kxv—；；

22222

3I35731

当——KxK—时，f(x)=.t+——2x+\=-x+—<——x,得——<x<—；

2222222

I317I3

当x>—时，/(X)=x+—+2x-l=3x+—<——x,得一<xW—,

222224

3

综上，原不等式的解集为4汇一2£人士弓.

4

31

(2)由(1)可知，当X〈一不时，/(x)=-3x-->4；

22

当一时，/(x)=-x+|>2；当%时，/(x)=3x+1>2.

22222

故f(x)的最小值M=2,则a+%=2.

于是2=a+2bN2j5^,则当且仅当a=l,人=g时，等号成立.

•2+，/+-L+Lj3M=+-U2=U

abSab8ab4abV8。》8ab4ab44ab444

当且仅当"=2即a=l,〃=,时取"=”

22

所以，/从十二21.

ab4

3.已知函数/(幻=卜+1|+2卜-1|.

(I)解不等式/(x)M2x+2；

(H)设函数/(x)的最小值为若。>0,〃>0,且a+〃=i,证明：—+—>1.

a+\b+\

【答案】(I)•%：«%«3卜(II)证明见解析.

【分析】(I)利用绝对值的几何意义，分。或[“<：：；c或1产：.r

-3x+l<2.r+2[-x+3<2.v+2[3x-\<2x+2

求解；

(H)求得最小值。法一：转化为分段函数求解：法二：利用绝对值三角不等式求解；证

明不等式，法一：通过选分变形为‘一+上一=1上三,利用基本不等式证明；法二：利用

a+1b+\ab+3

柯西不等式证明.

一或一「或JI0

-3x+\<2x+2[-x+3<2x+2[3x-I<2x4-2

解得xw0或;Wx<1或1&X&3.

所以不等式/(x)«2x+2的解集为卜;

(«

-3x+l,x工-1

(H)法一：由/(%)=<r+3,Tvx<l知,当x=l时，/(4加=/⑴=2,

3x-l,x>1

即〃+Z?=2.

法二：/(x)=|x+l|+2|x-l|=(|x+l|+|x-l|)+|x-l|>|x+l-x+l|+|l-l|=2,

当且仅当x=l时，取得等号，则,⑶的最小值为2,即“+8=2.

a2b2a2(b+\)+b2(a+I)ab(a+b)+a2+/?2

法一:_______|_____________________________—__________________________

a+1b+\(a+1)(/?+1)ab+(a+h)+\

(〃+“4

-------2

ab+3ab+3

当且仅当。=b=l,不等式取得等号，所以金+W-21.

a+\b+\

a2b2a+\+b+\(a2b2Y1,,

法二:由柯西不等式可得:---+=+\>-(a+byx2=1.

a+\b+i4(a+1b+\)4

当且仅当。=b=l,不等式取得等号，所以金+互21.

4+1b+\

4.己知函数/(x)=/a-2|x+3(awR).

(1)当。=1时，画出函数y=/(x)的图象：

(2)当x>0时，/(x)>x恒成立，求。的范围.

【详解】⑴当3时，函数的解析式可化为“⑶弋;；：；大故函数图象如

(2)①当〃=0时，/(x)=2x+3>x在％>0时显然成立；

②当°<。时，由jx:>0,ax-2<0,f(x)=~ax2+2x+3,f(x)>x<=>ax2-x-3<0,令

g(x)=ax2-x-3,对称轴x=(<0,开口向下，g(0)<0,即在x>0时，成立;

2

③当。>0时，当。—时、/(x)=-ax2+2.r+3,f(x)>x<^>ax'-x-3<0,令

a

g(x)=ap_x-3,对称轴x=4e(0,21,开।।向上，当xe0,；]时函数减，xc-!-，―

2a\a)\2aJ\2aaJ

时函数增，g(0)<0,g(-2、=—23<0,解得：«>24；

\aja3

2

当x>—时，f(x)=ax2-2x+3,f(x)>x<=>ax2-3x+3>0,令#(x)=a--3x+3,对称轴

a

3?2，八44

x=^-<-,开口向上，此时函数在为增函数，需g-=—+3>0,解得：

2aaa\a)a3

2

综上可知，当aWO或时，满足条件.

49

5.(1)已知a+b+c=l,证明：3+2)2+(b+2)2+(c+2)2N一;

3

(2)若对任意实数x,不等式仅-。|+|2工+12|恒成立，求实数〃的取值范闱.

【答案】(1)证明见解析；(2)(-oo,-2]u[l,+oo).

【分析】(I)利用/+/+，=(«+Z?+c)2-2(ab+bc+ca)>(a+b+c)2-2(a'+b2+/)

证明/+〃+。2之_1即可.

3

3

(2)对。进行分类讨论，使得/(初由2]即可.

【详解】(I)证明：因为a+Hc=l,

所以(a+2尸+(b+2)2+(C+2)2=a2+b2+c2+4(a+b+c)+\2

=a2+b2+c2+16-

40

所以要证(。+2)2+1+2)2+9+2)2之才,

只需证片+〃+。2之；.

因为。？+〃+/=(a++c)2-2(ab+be+ca)

>(a+b+c)2-2(a2+b24-c2).

所以3(/+Z/+c?)2(a+b+cf.

因为a+b+c=l,所以/+从+。22g

40

所以(a+2)2+S+2)2+(c+2)2>y.

3

(2)解：设/(x)=|x-a|+|2K+l|,则“对任意实数上,不等式|x—〃|+|2x+l|Z：恒成立”

3

等价于“/“焉

一3%+a-l,x<a

当〃<一:时,

/1)=-x-a-\,a<x<—,

2

3x—a+l,x>—

2

413

要使|x-a|+|2x+ie]怛成立，^)[---a>-,解得。4一2.

222

当.=-《时，f(x)=x+；+|2x+l|=3x+T21,即/+显然不恒成立.

-3x+a-l,x<--

2

x+a+\,-^<x<a,此时/(x)min=/

当〃>一5时，f(x)=■+〃,

3x-a+\,x>a

313

要使1X一。1+|21+12二恒成立，必须大+。2]，解得〃21.

222

综上所述，实数。的取值范围为(-8,-2]=[1,内).

6.已知a,b,c都是正数,J@La2+Z?2+c2=l»用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,

M-max<a4--,Z?+—,c+—>.

hca

(1)证明！+」+二29；

crb'e

(2)求M的最小值.

【答案】(1)见解析；(2)更.

3

【分析】⑴由已知利用力的代换”结合基本不等式证畤+》»；

(2)由题意，M2a+!，M>b+-fM>c+~,把三个式了一平方作和，再由均值不等式求

hca

最值.

【详解】(1)证明：•,〃2-/+/=1,

111+b2+c2a2+b2+c2a2+Z?2+c2

.'/+3+/=Y+—^—十——

当且仅当a=b=c时等号成立,

故***9；

(2)解：由题意，A/>a+—,M>b-^—,M>c+—,

/.3M2>(a+-)2+(Z?+-)2+(c+与

当且仅当a=〃=c=且时上式等号成立.

3

...M2这，即M的最小值为勺叵.

33

修练真题

1.（2022•全国•高考真题［理））已知a,b,c均为正数，且/+^+4c?=3,证明：

（\）a+b+2c<3；

（2）若〃=2c,则

ac

【分析】（1）方法一：根据/+/+4。2=/+6+（左）、利用柯西不等式即可得证；

（2）由（1）结合已知可得0va+4cW3,即可得至I」--22,再根据权方和不等式即可

a+4c3

得证.

（1）

［方法一］:【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有［/+〃+（2c『］（］2+产+］2”（a+〃+2c）2,

所以a+b+2c43,当且仅当a=b=2c=l时，取等号，所以a+b+2c43.

［方法二］:基本不等式

Fha1+b2>2ab^b~+4c~>4bc>a2+4c2>4ac»

(a+〃+2c)'=a~+b~+4c'+2ab+4bc+4ac«3s+/)-+4/)=9.

当且仅当。=〃=2c=l时，取等号，所以a+〃+2rW3.

(2)

证明：因为〃=2c,67>0,Z>>0,c>0,由(1)得〃+Z?+2c=a+4cK3,

即0v〃+4cW3,所以一!一2,，

a+4c3

由权方和不等式知■1+」=4+或之0+2)2=-_23,

aca4ca+4ca+4c

12I

当且仅当±=;，即。=1,c=；时取等号，

a4c2

所以

ac

2.(2020•山东•高考真题)已知函数〃同=(，rA.

JT+2Kx<0

(1)求/[/⑴]的值；

(2)求/(|。-力<3,求实数”的取值范围.

【答案】(1)3；(2)-3<a<5.

【分析】(1)根据分段函数的解析式，代入计算即可；

(2)先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到/(卜-力<3的具体不等式写

法，解不等式即可.

【详解】解：(1)因为1>0,

所以/(l)=2xl_S=_4,因为_3<0,

所以/[/0)]=/(-3)=(-3『+2x(—3)=3.

(2)因为|a-l|20,

则川4川=2|〃7卜5,

因为所以2|a-l|-5v3,

即|a-l|v4,解得一3<a<5.

3.(2021・全国・高考真题[文))己知函数/")=卜-2|*(用=|2"3|-|2'-1].

y

(i)画出)，=/("和y=g("的图像；

(2)若/。+a)Zg(x),求〃的取值范围.

【答案】(1)图像见解析；(2)a>y

【分析】(1)分段去绝对值即可画出图像；

(2)根据函数图像数形结和可得需将y=/(x)向左平移可满足同角，求得y=/(x+a)过

4(；，4)时。的值可求.

,[2-x>x<2

【详解】⑴可得/*)邛-2=一,画出图像如下：

x-2,x>2

g(x)=|2x+3|-|2x-l|=^4x+2,-1<x<p画出函数图像如下:

4,x>-

2

（2）f（x+a）=\x+a-2\.

如图，在同一个坐标系里画出/（x）,g（x）图像，

y=是），=/（x）平移了时个单位得到，

则要使『。+。）。（幻，需将）=/（6向左平移，即。＞0,

当y=/（x+G过A［：，，］时，|2+4.2|=4,解得4=?或一《（舍去）,

4.（2021•全国・高考真题［理））已知函数/（四=卜-。|+卜+3|.

（1）当。=1时，求不等式/（x）之6的解集；

（2）若求“的取值范围.

（a、

【答案】⑴［2,+00）.（2）-；,+8.

1/Z

【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

(2)利用绝对值不等式化简/(x)>-。，由此求得。的取值范围.

【详解】(1)［方法一］:绝对值的几何意义法

当〃=1时，/(x)=|x-l|+k+3|,|x-l|+k+3|表示数轴上的点到1和-3的距离之和,

则/(x)>6表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6,

当％=T或x=2时所对应的数轴上的点到1,-3所对应的点距离之和等于6,

・••数轴上到1,-3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是三-4或

x>2,

所以/(626的解集为(-co,-4］U［2,+co).

51

―1----1------।-----------------------------

_6-5-4：-3一2」；°12345

［方法二］【最优解】：零点分段求解法

当。=1时,/(x)=|x-l|+|x+3|.

当xM—3时,(l-x)+(-x-3)>6,解得xW-4：

当-3vxvl时,(l-x)+(x+3)>6,无解；

当时，*-1)+。+3)26,解得xN2.

综上，|x-l|+|x+3E6的解集为(F,-4］U［2,M).

(2)［方法一］:绝对值不等式的性质法求最小值

依题意即卜一4+卜+3A一。恒成①,

|x-a|+|x+3|=|«-x|+|x+3|>p+3|,

当且仅当(a-x)(x+3)N0时取等号，

故|〃+3|>一〃，

所以。+3>一々或〃+3<a,

3

解得心；.

所以〃的取值范围是卜■!，”).

［方法二］【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由|x-a|是数轴上数％表示的点到数4表示的点的距离,得〃x)=|i|+|x+3以a+31,

故|a+3|>-a,下同解法一.

［方法三1：分类讨论+分段函数法

当时，

-2x+a-3yx<

/(x)=«-a-3,a<x<-3,

2JV-a+3,x>-3,

则"(X)lmin=-〃-3,此时一a-3>-a,无解.

当。＞一3时,

/(A)=

3

则"（X）L“n=。+3,此时，由。+3＞-。得，。＞一：.

3

综上，4的取值范围为。＞-5.

[方法四]:函数图象法解不等式

由方法一求得f（X）.=k+3|后，构造两个函数yTa+31和y=TJ

—ci—3,4/＜一3,

即产（。）和）'=",

a+3,。之一3

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点/（一5[}

3

由图易知S+3»-a,则4＞一：.

5.（2020♦全国•高考真题〔理））已知函数/（幻=卜-/卜次_2〃+1].

（1）当。=2时，求不等式的解集；

（2）若〃X）",求。的取值范围.

3ill

【答案】（1）或xZj，；（2）（―[3,+a）].

【分析】（1）分别在x«3、3cx＜4和1