高考数学一轮复习：空间向量在立体几何中的应用（练理科专用）解析版

第04讲空间向量在立体几何中的应用

国练基础

一、单选题

1.如图所示，若正方体ABC。-A片GA的棱长为小体对角线AG与8R相交于点o,则

有（）.

222

A.484£=2片B.ABACqCaC.AB-AO=-aD.BCDAi=a

2

【答案】c

【分析】建立空间直角坐标系.利用向最坐标运算、数最积运算性质即可判断出结论.

【详解】如图所示，以。为坐标原点，以7）4、DC、OR分别为X、5、Z建立空间直角

坐标系：

由上图以及已知条件可知，0(0,0,0),A(a,0,0),即,a,0),Ai(a,0,a),0(0,a,

a),C(0,a,°),°修多3

因为八6=(0，a，0),4G=(-a,a,0),AB=a2,故人错误;

因为AC；=（-。，a,a）,所以A6AG=/,故B错误；

因为AO=（—R1£）,所以A8.A0=C,故c正确；

\222J2

因为8c=（-a，0,0）,必=5，0,a）,所以8CD4,=-/,故D错误.

故选：C.

2.已知向量。=（3,-1,2）,U（-l,3,-2）,c=（6,2,A）,若a，b，c三向量共面，则实数2=

（）

35

A.-B.2C.-D.3

22

【答案】B

【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可.

【详解】•・•£,b＞）三向量共面，

，存在实数〃?，〃，使得c=ma+，而，即（6,2,丸）=（3〃7,-〃?,2"7）+（-〃,3〃,一2〃），

3m-/?=6

53

/.3n-in=2,解得m=二，«=—,A=2.

22

2ni-2/2=A

故选：B.

3.如图，在平行六面体ABC。-ABC"中，E,产分别在棱和。"上，且。尸=；。。一

1BE

i^EF=xAB+yAD+zAAif若x+），+z=；,则丽=（）

【答案】B

【分析】设器=%，由空间向量的线性运算可得£〃=-AB+AO+（；-/l）M，由空间向

量基本定理即可求解.

BE、——————一

【详解】设丽二%，因为七”=仍+孙+4。+。产=一/154一48+4。+3。。］

=—/MA-A8+AQ+gA4=一"+80+仁一/A%,

所以工=-1,y=i,z=；-2.

因为x+y+z=7—2=:，所以4="7.故选：8.

244

4.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱

称为堑堵.已知在堑堵A8C-AqG中，ABC=90,A4=2,BC=2日若直线CR与

直线他所成角为60,则AA=()

A.73B.2C.272D.2>/3

【答案】B

【分析】以8为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出CA和A8夹角余弦值即可求

出A竖坐标，从而得到答案.

【详解】如图，以用为原点建立空间直角坐标系，

则8（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2>/2,0）,设A（2,0,z）,

则班二（2,0,0）,CA=（2-2x/2,z）,

cos（BA,C4,，=——j2=cos60,

解得z=2,故4A=?.改选：B.

二、填空题

5.如图所示，在四棱锥P/8CQ中，AB//CD,且NA1P=NC£>P=9O。，若

PA=PD=AB=DC,4尸0=90。，则二面角A-P8-C的余弦值为.

［和：C冬一冬=0,可取局=（w）

则"S/U"尸\而n•mf-7Ts，

由图可知二面角A-PB-C的平面角为钝角，

所以二面角A—9一。的余弦值为-立.

3

故答案为：-立.

3

6.下列结论中，正确的序号是.

①若a、b、c共面，则存在实数x、y,使得4=人力+yc；

②若a、b、2不共面，则不存在实数X、卜使得a=x〃+yc；

③若〃、b、c共面，匕、c不共线，则存在实数X、使得a=x"+），c；

④若a=人力+yc,则〃、b、c共面.

【答案】②③④

【分析】根据共面向量的基本定理逐一判断即可.

【详解】对于①，若5，2共线，且〃，方不共线，

则不存在实数x,y,使a=xb+yc,故①错误；

由共面向量的基本定理可知②、③、④均正确，

故正确的个数是②③④.

故答案为：②③④.

三、解答题

7.如图，在三棱柱ABC-A4G中，4Al•平面4BC,A4_LAC,A8=AC=A4,=1,M为线段

AG上的一点.

(1)求证：BM±AB.；

⑵若M为线段AG上的中点，求直线A31与平面BCM所成角大小.

【答案】⑴证明见解析，⑵:

4

【分析】(1)由题意可得A8，AC,AA两两垂直，所以以A为原点，分别以A8,AC,AA所在

的直线为xy，z建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，

(2)先求出平面8cM的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可.

(1)

证明：因为，平面ABC,A8,4Cu平面48C,

所以A411A及例_LAC,

因为A8J.4C,所以AB,AC,A4,两两垂直,

所以以A为原点，分别以A6,ACAA所在的直线为建立空间直角坐标系，如图所示,

则A(O,O,O),B(1,O,O),C(O,1,O)，A(O,O,1),3«,O,1)，G(OJ1).

设M(O,a,D,

所以8M=(-1,«1),AB}=(1,0,1),

所以•做=-14-0+1=0,

所以8M_LA4,

所以

(2)

因为M为线段AG上的中点，所以

所以8W=(—BC=(-l,10),

设平面BCM的法向量为ni=(x,y,z),则

rn-BM=-x+—y+z=0/."1、

<2，令x=l,则tl机=

wBC=-.r+y=0I2)

设直线4片与平面8cM所成角为巴则

sin0=8s(，"="72=①

因为夕6.仁］所以夕=?,

所以直线叫与平10cM所成角的大小%

8.如图，已知圆锥的顶点为P,点C是圆。上一点，N8OC=45,A4=2OP=4,点D是

劣弧4c上的一点，平面PC/）平面PW=/,且/〃A&

（2）求点。到平面PC。的距离.

【答案】（1）证明见解析⑵空

3

【分析】（1）由线面平行的判定和性质，推得A8〃CD,再由NBOC=45。和圆的对称性，

求出相关的角的大小，即可得证；

（2）建立空间宜.角坐标系，求出平面PCD的法向量，利用点到平面的距离公式计算可得所

求值.

（1）

证明：因为/〃A及/u平面PCZXA8（Z平面PCQ,

所以A8J平面PCD

因为A8i平面ABC。，且平面ABC。1平面PCD=CD,

所以/W〃CD

因为N8OC=45"，所以/30。=/08=/0。。=45,

所以NOOC=90,即OC_LOD.

(2)

解：如图，以。为坐标原点，以ODOCOP的方向分别为MFZ轴的正方向，建立空间直角

坐标系O-冷2,如图所示：

则。(020),0(2,0,0),P(0,0,2),PC=(0,2,—2),P£)=(2,0,—2),OC=(0,2,0).

设平面PCD的法向员为n=(乂)，,z),

h-PC=2y-2z=0,/、

则令二=1,得“=(1,1,1).

nPD=2x-2z=0,

OCn二2二G

因为cos(OC,〃

OC||n|~2x>/3-3

所以点。到平面PCD的距离为|OC|cos(0C,〃卜平•

9.如图所示，已知空间四边形A8CO的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是

A4,ADfCZ)的中点.设A3=a，AC=h»AD=c.

(I)求证石G_L/13

(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.

【答案】(1)证明过程见解析；

*

【分析】(1)作出辅助线，利用三线合•证明出从而得到线面垂直，进

而证明线线垂直；

(2)用a,b,c表达人G与EC，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余弦

值.

(1)

证明：连接DE,

因为空间四边形44co的每条边和对角线长都等于1,且E,G分别是A8,C。的中点，

所以AC=3C,4O=AO,

故CE_LAAQE_L4?,

又因为CEDE=E,CE,OEu平面。E,

所以AA_L平面CD£,

因为EGu平面CQE,

所以A81.EG.

(2)

由题意得：！ABC：.ACDJA4。均为等边三角形且边长为1,

所以AG=EC=^

2

AG=g仅+c),£C=g(BC+AC)=：(AC-A4+AC)=〃-；〃,

所以AG•EC=—(/?+€)•/»-—=—/?--ab+—cb--ac

2^f{2)2424

=---p/|•|/?|cos60°+；|(?|•|/?|cos600--pz|•卜cos60°

2424

11x11_1

-2-8+4-8-2J

设异面直线AG和CE所成角为0,

1

—2—^1

663

——x——

22

10.如图，在四棱柱48CD-中，44_1平面48。。，底面A8C。满足4D//8C,且

⑴求证：8。//平面4cR；

(2)求直线AB与平面B}CD}所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵修

6

【分析】C)由四楂柱的性质得到四边形是平行四边形.得到故证明出

线面平行；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.

(1)

证明：在四棱柱48CQ-A隹CQ中，BB\〃DD\,故四边形BBQ。是平行四边形

所以B。〃用R,

因为平面与CR,BRU平面BCR,

所以8。〃平面4cA

(2)

因为A4,_L平面ABC。，AB,AOu平面A8C。，

所以"_LA8,A4,_LA。，

因为A3=AO=2,8D=2五所以+4。？=AD?，

所以ABJ_AO,

故A6,ARAV两两垂直，以A为坐标原点，分别以A及ADA4,为人轴，y轴,z轴建立空间直角

坐标系,

则A(O.O.O).^(2.0.0),C(Z4.0X与(2.0.2),R(0,2.2)

所以48=(2,0,0),B[C=(0.4,-2),4D)=(一2,2,0)

设平面B\C。的法向量为八=（x,y,z）

nB.C=04y-2z=0

—即《)。令1则y=l,z=2,.n。[,2)

=oS+2=

设直线A3与平面BCR所成角为0,

•—9.研湍#1品邛•

所以直线A8与平面8c。所成角的正弦值是在.

国练提升

一、单选题

I.在棱长为1的正方体ABCD-A/B/C/Q中，尸为正方体内一动点（包括表面），若4P=x.

+.VAQ+Z4A，且OVxVyVzVl.则点尸所有可能的位置所构成的几何体的体积是（）

A.1B.；C.-D.—

236

【答案】D

【分析】利用平面线性规划的方法，我们类比推理.，可得若0VXVJY1,则P点只能再现

在三棱柱ACO-AGD中.若"Z<1,则尸点只能再现在三棱柱84G中，进而确

定出满足条件的尸点只能再现在三棱徘4-AGA中，代入棱锥体积公式，即可得到答案.

【详解】解：若0<x<y〈i,则尸点只能再现在三棱柱4co-ACA中，

若kZ<1,则P点只能再现在三棱柱A4Q-因C中，

又三棱锥A-ACQ的体积v=94xixi)=J.

32o

故选：D.

2.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，A8_L8C,8A=8C=84=2,3AE=AC,点尸在棱CQ

上，点。在棱A片上.若8b_1_。七，则6=()

I93

A.JB.jC.1D.-

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可得.

【详解】以8为坐标原点，分别以8A3c64所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，则3(0,0,0),展.0.

设。(〃?,0,2)(噫红2),尸(0,2,〃)(怎加2),"=(0,2,2).

因为4尸_1_/汨，

一4?2

所以B尸•式＞=一一+2/7=0,解得〃=二，即。/=二.

333

故选：B

3.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边

形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，

这是一个棱数为24,棱长为近的半正多面体，它的所芍顶点都在同一个正方体的表面上,

可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点石为线段8C上的动点，则直线

OE与直线/1F所成角的余弦值的取值范围为()

【答案】C

【分析】将半正多面体补成正方体并建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，设

6后=2以7=(-440),/1目0,1],利用向量夹角的坐标表示及二次函数性质求所成角的余弦

值的取值范围.

【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.

z

因为半正多面体的棱长为故正方体的棱长为2.

所以A(2L0),尸口2,1),B(l,O,2),C(O,l,2),D(l,2,2),AF=(O,l,l),BC=(-lJ,O).

设BE=/IBC=(-Z40),2G[0.I],则石(1-442),。£=(一九％-2,0).

所以cos（AF,O£）=AFDE_A2

|AF||Z)E|~V27A2+(A-2)2

=-lI(—2—=111

2

2^(2-2)+2(/l-2)4-221+22.

X1^2(02)2

令/=―!—e_1,一!，则costA/^OE)=.=

4-2L2」''2y]2r+2t+\

因为2-十2i十l£g,l

「16

故直线OE与直线所所成角的余弦值的取值范围为

故选：C

4.如图，在四棱锥P-A8C£）中，?A_L平面A8CO,ZBAD=90°,PA=AB=BC=-AD=1,

2

BC//AD,已知。是四边形ABC。内部一点（包括边界），旦二面角Q-PD-A的平面角大

小为£,则△AOQ面积的取值范围是（）

4

p

【答案】B

【分析]建立空间宜角坐标系，利用向量求得Q运动轨迹，进而求得△AR2面积的取值范

围

【详解】以4为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，

由二面角。-9-A的平面角大小为工，可知。的轨迹是过点D的•条直线，

4

又。是四边形48CD内部一点（包括边界），则Q的轨迹是过点D的一条线段.

设Q的轨迹与），轴的交点坐标为G（0,加0）。＞0），由题意可知＞4（0,0,0）,D（2,0,0）,*0,0,1）,

ULM113

所以OP=（-2,0,1）,DG=（—2也0）,AQ=（2,0,0）.

易知平面4P。的一个法向量为4=（0,LO）,

设平面PDG的法向量为也=（W，/2，Z2），

,.fn,-DP=0[-2%，4-z=0

则4"，即42,

|/22DG=O[-2/+分2=0

令4=2,得”1,必=|，所以［=1，Q）是平面尸DG的.个法向量,

则二面角G-叨-八的平面角的余弦值为

V2

解得力;之叵或力=_述（舍去），

55

所以。在。G上运动，所以△AOQ面积的取值范围为［，平］故选：B.

二、填空题

5.化学中，晶体是由大量微观物质单位（原子、离子、分子等）按一定规则有序排列的结

构.构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞.已知钙、钦、氧可以形成如图所示的立方体晶

胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点），则图中

原子连线4F与eE所成角的余弦值为

【分析】构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并求BF、gE的坐标，利用空间向量夹角

的坐标表示求BF与8g所成角的余弦值.

【详解】如图示，以。为原点，OA,DC,所在直线分别为x,y,z轴，建汇空间直

角坐标系，

设立方体的棱长为〃，则8("0),尸(Oga)BNa,a,a),

・・・8尸二卜/一号〃}B/=(()V，o}

2

.3B/BE―Bi:J

’H时/不再飞，

，原子连线BF与用七所成角的余弦值为g.

故答案为：!

6.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形

构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，

即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体48CQEF

的梭长都是2(如图)，尸，。分别为极A6,AD的中点，贝l」CP/Q=.

【答案】1

【分析】根据给定条件，利用空间向量的•个基底表示CP,/Q,再利用数量积运算律计算

作答.

【详解】正八面体ABCQE/中，CAC6,。。不共面，而RQ分别为极A8,4。的中点，

有C4CO=G4C8=|C4||C8|cos60=2,CBCO=0，则CP=；CA+1C8,

--1.

FQ=FC+CD+-DA=EA+CD+-(CA-CD)=CA-CB-CD+CD

1--3--1

+-(CA-CD)=-CA-CB——CD,

222

CPFQ=(-CA+-CB)(-CA-CI3--CD)=-C^--CB+-CACB--CACD--CBCD

222242444

=-X22--X22=1.

42

故答案为：1

三、解答题

7.如图所示，在四棱锥尸-人BCD中，24_1底面人8。。，45,4),AB+AD=4,CD=母,

ZCZM=45°.

(I)求证：平面平面Q4。；

(2)设A8=AP,直线qB月平面PCQ所成的角为30。，求线段AB的长.

4

【答案】(1)证明见解析(2)A3

【分析】(1)根据线面垂直的性质与判定证明AZ>_L'F面尸/包即可；

(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设A4=AP=/(O</<4),再根据直线与平

面尸CD所成的角为30°,结合线面角的向量求法求解即可.

(1)

因为"_1_底面48。。，AOu平面ABCD,故必_L4O,又AB_LAD,PAAB=A,PA,ABu

平面£45,故AD_L平面弘

又AOu平面Q4£>，故平面E4Z)_L平面E4B

作CEJ_AD于E,因为CD=X/5，NCD4=45°,故。七=VLCOS450=1.

由(1)可得ARAB,A。两两互相垂直，故以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设

AB=AP=f(O<f<4),依题意有B(Z,O,O),尸(0,0/),E(0,3-/,0),C(l,3-/,0),

UUlUIU

D(0,4-/,0),故P4=(/,0,T),CD=(-1J,O),PQ=(0,4T,T).

设平而PCD的一个法向量为〃=(HRz),

n-CD-0-x+y=0

则1Jl（4-；）y-/z=0设x=f贝!|刀=（，",4T）,

n-PD=0

n-PB2r-4ri,

由8s60OU-P_=>/I_1I—=:，即4（2/—4）=2/（3/—81+16）,收

闻PB/+/+（4T）2.仔2V7V）

A4

2（2—4）-9=3/—8/+16,即5/-24f+16=0,解得f=g或/=4（舍去）.所以48=三.

JJ

8.如图.在四棱锥P-/WC7）中.底面ABC。为平行四边形,以I平面包/?。。.M为PC中

点.

（1）求证：抬〃平面M8D：

（2）^AB=AD=PA=2,ZBAD=\20%求二面角8-4M-。的正弦值.

【答案】（1）证明见解析⑵亚

7

【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质，可得答案；

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求的两平面的法向量，由向量

夹角的计算公式，可得答案.

（1）连接AC交8。于点0,连接0M,可知。为AC中点，"为PC中点，所以0M〃以，

且OMu平面PA0平面MBD,所以附〃平面历BD

(2)由题意可得平行四边形ABC。为菱形，建立如图坐标系，如下图:

在菱形ABCQ,AH=AI)=2fZ/M/>!20°,:.AC=2、0B=6

所以：B(x/3,0,0),C(0,l,0),D(-^,0,0),A(O,-1,O),M(O,O,1)

所以8A=(-后-1,0),BM=(-x/3,0,l),。4=(6-1,0),威=(60,1),

>/3x-y=0y=-y/3x

设平面MBA的法向量而=(x,y,z),则，信得

"瓜x'

)'=一£则面MM的法向量〃?=(1,-6,6),

令x=l,则

z=v3

同理可得：平面MD4的法向量〃=(1,6-G),

所以8s5/川、=i丽n•ft=京1-3"-=3一15所以sin〈〃?,〃)=平n/Z

故二面角5-AM-O的正弦值为生5.

7

9.如图所示，多面体A3CDEV中，AO〃E/〃8C,平面4)M_L平面8CE/"ADA.EC,

且A£)=CL>=2,CB=EF=\,/BCD」.

3

DA

(1)证明：BFA.DE；

Q)若FB=®,求直线OC与平面A3”所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)好.

10

【分析】⑴由题意可得四边形EFBC为平行四边形，利用即〃£C,由AD//EF,AD1EC,

可得8尸JLEF,平面4无产JL平面BCM,得8/JL平面AOE尸，即可证明所_LZ)£.

(2)由题意可证明故771FE，阳两两垂直，建立坐标系，利用空间向显求解即可.

(1)

证明：・・・石尸〃8。且所=8。，所以四边形由。为平行四边形，

所以BF〃EC,

又AO〃E厂，AD1EC,

BF工EF,

又平面4)所J_平面BCEF,且平面ADEFi|平面BCEF=EF,

工BF1平面ADEF,DEu,PifilADEF,

FBIDE.

(2)

解：连接80.DF，

7T

因为CD=2CB=2,ZBCD=-,

所以4O=G，

又CD'CB'BD?,所以BC上BD,

因为BC_L8b,WBD\}BF=B,

所以8C_L平面8H)，

因为赦〃8C,所以'L平面8E£),

又因为_L平面ADEF,

所以反)_Lm,

故FD,FE,尸8两两垂直，

因为=FR=人,所以尸£)=1.

如图所示建系，“(0,0,0),>4(-2,0,1),B(0,V2,0),C(l,V2,0),。(0,0,1),

DC=(l,5/2,-l),M=(-2,0J),FB=(0,V2,0),

设平面八3厂的法向量为〃=(x,y,z),

+z=0

取〃=。,0,2),

U=0

直线。C与平面/所成角正弦值为:

10.如图，在四棱锥P—/SC。中，底面48co为菱形，^DCB=60.ABLPB.

(1)证明：为等腰三角形.

⑵若平面双，平面48四48=2,求二面角A-心-。的余弦值的取值范围.

【答案】(1)证明见解析(2(-1,一£|

【分析】(1)取。C的中点E，连接PE,8E,B。，由题意可得8E_LOC,C0_LP8,根据

线面垂直的判定定理可得。CJ■平面夕初，再由线面垂直的性质定理可得答案；

(2)设尸E=/">0),以点E为坐标原点，分别以EB,EC,EP所在直线为x,y,z轴建立空间直

角坐标系，求出平面R$、平面P8C的法向量，由二面角的向量求法和x的范围可得答案.

（1）

如图，取。C的中点E,连接PE,BE,BD,

因为四边形A8c。为菱形，ZDCZ?=60%所以△BCD为等边三角形，则8E_LOC,

因为所以CQJ.P3.

因为P8BE=B,PB、BEu平面PEB,

所以。C_L平面尸£8,尸Eu平面庄8，所以。CJ•尸E,

故△PDC为等腰三角形；

（2）

设PE=«经0）,以点E为坐标原点，分别以EAECEP所在直线为MFZ轴建立如图所示的

空间直角坐标系，则/（0,0/）,A（6-2,0）,3（G0,0）,C（0J,0）,

>4fi=(0,2,0),BP=(-V3,Ci/),BC=(->/3J,0),

mBP=0-\/3x+/z=0

设平面尸AB的法向量为〃?=（x,y,z）,则・

m-AB=02y=0

令x=5则机=瓜o；

-VJx*+厅=0

设平面P8C的法向量为〃=（E设z）,则〃

n-BC=0-V3/+y=o

二面角的人小等于二面角A-P/S—七与二面角的人小之和,

因为二面角为直角，所以二面角4一尸8-。为钝角，

故二面角A-PB-C的余弦值的取值范围为.

11.如图多面体A3。。律中，四边形A8CD是菱形，ZABC=60°,£4_L平面ABC。，EA//BF,

AB=AE=2BF=2

(I)证明：平面E4CJ■平面£/C；

⑵在棱EC上有一点M,使得平面M8D与平面A8CO的夹角为45。，求点M到平面3c尸的

距离.

【答案】(1)证明见解析⑵且

4

【分析】(1)取EC的中点G,连接80交AC于N,连接GN,G/7,证明G产〃8N,利用BN_L

平面以C,证明GFJ■平面E4C,从而平面EFCJL平面以C；

(2)建立平面直角坐标系，设EM=2EC，求出二面角，再求得义的值，即可得到M的坐

标，再利用空间向量法求出点到面的距离.

(1)

证明：取EC的中点G,连接8。交AC『N,连接GN,GF,

因为ABC。是菱形，所以ACJL3D,且N是AC的中点，

所以G/W/AE且=XAE//BF,AE=2BF=2,

所以GNHBF且GN=阴"所以四边形BNGF是平行四边形，

所以GF/1BN,

又E4_L平面A8CQ,BNu平面A8CQ,所以E4_L8N,

又因为AC'|E4=A,AC,£4u平面E4C,

所以N8_L平面"C,所以GF_L平面"C,

又GFu平面EFC,所以平面EFCJ•平面E4C；

(2)

解：取CD的中点〃，由四边形48co是菱形，ZABC=60°,则N4DC=60。,

AQC是正三角形，.•.47_LCO,.d""LAB,乂4T_L平面A8CO.

所以以A为原点，A”,AB,AE为坐标轴建立空间直角坐标系，

设在棱EC卜.存在点M使得平面M8O与平面A8CO的夹角为45。，

则。(G,-叫，5(0,2,0),C(瓜1,0),E(0,0,2),F(0,2,1),A((),(),0),

贝IJ设£M=4EC=/l(8J—2：|=(石九尢一2%),.,.M(&./l,2—24，

所以0M=(75/1—6+1.2-2/i),6例=(75儿4-2,2—22),Z?C-(>/5,-1,0),=(0,0,1),

设平面D8W的•个法向昼为〃=。，y，z),

n-DM=0(&-石)x+(%+l)y+(2-2%)z=0

即《令x=6y=i,

nBM=0&x+(2-2)y+(2-2Z)z=0

得〃=(可得)

平面A8CD的法向量可以为〃7=(0,0,1),

2%-1

繇下语「多解得4T

所以M(苧则CM1-曰,

设平面反才的一个法向量为〃=(〃力,C),

it-BC=O6"b=0,取〃=],得“=（],△（））,

则-,即

u-BF=Oc=0

\U-CM\J3

所以点M到平面BCF的距离d=^-rr^=^-.

H4

国练真题

一、解答题

1.（2022・天津・高考真题）直三棱柱ABC-A4G中，A4,=A8=AC=2,A4,_LAB,AC1AB,

。为A片的中点，石为AA的中点，尸为。的中点.

⑴求证：律〃平面43C；

⑵求直线的与平面CG。所成角的正弦值;

⑶求平面4C。与平面CC.D所成二面角的余弦值.

（解析】（I）证明：在直三棱柱ABC—A4G中，AAJ•平面44G，且AC_LA8,则AG，44

以点A为坐标原点，AA、4瓦、AG所在直线分别为上、5\z轴建立如下图所示的空间

则A（2,0,0）、8（2,2,。）、C（2,0,2）、4（0,0,0）、鸟（0,0,2）、C,（0,0,2）,O（OJO）、E（l,0,0）、

（I,；,）则£户=（0,：,1）,

2

易知平面ARC的一个法向依为m=（1.0,0）,则E尸.〃?=（）.故后/_!_〃?，

•.所a平面ABC,故EF〃平面48c.

(2)

解：C,C=(2,0.0),CQ=(0,l,-2),班=(1,2,0),

设平面CG。的法向量为“=(和y,zj,则〃?二=2升；0

[U'C}D=y]-2zj=0

iEBu4

取y=2,可得”=(0,2,1),c°s<EB,〃>=^pp=k.

因此，直线跖与平面CG。夹角的正弦值为

(3)

解：*=(2,0,2),人。=(0,1,0),

v-A^C=2X+2Z=0

设平面4C。的法向最为>=(&,%,zj,则,22

v-A,D=y2=0

uv1\/u)

取Xg,可得X(U)I),则cos—丽“行一而，

因此，平面AC。与平面CCQ夹角的余弦值为巫.

10

2.(2022•全国•高考真题(理))如图，四面体ABCD中，AO_LCD,AD=CD,ZADB=NBDC,

E为AC的中点.

A

(1)证明：平面BED_L平面AC。；

(2)设AB=BD=2,NAC8=60。，点?在8。上，当△APC的面积最小时，求C尸与平面人也

所成的角的正弦值.

【解析】(1)因为AO=CD,E为AC的中点，所以ACLDE；

在△48。和，CBO中，因为AD=CD,ZADB=/CDB,DB=DB,

所以△ABZ注△C8。，所以4B=C8,又因为E为AC的中点，所以AC_L3石；

乂因为。E.AEu平面BED,DECBE=E,所以ACL平面BED.

因为ACu平面ACD,所以平面阴”>_L平面ACD.

（2）

连接石/，由（1）知，ACJ•平面8EO,因为所u平面8EO,

所以4CJ.砂，所以工布日斗^防，

当•_1_加时，E/最小，即△4FC的面积最小.

因为△A8Z注△C5D,所以C8=A8=2,

又因为48=60。，所以，A8C是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=g,

因为AO_LCQ,所以DE=』AC=1,

2

在二OEB中，DE?+BE2=BD，所以

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,

则A（l,0,0）,B（0,"0）Q：0,0,l）,所以A£>=（-1,0,1）,AB=（—1,6。）,

设平面ABD的一个法向量为〃=（x,y,z）,

n-AD=-x+z=（）--/l\

r，取y=G,则〃=（3,疯3）,

{nAB=-x+xl3y=0'7

又因为c（-l,o，（"（o。：），所以CF=卜亨,

3.(2022・浙江・高考真题)如图，已知八5c。和。瓦'都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=\,/班。=NCDE=60。，二面角产一。。一8的平面角为60。.设

M,N分别为AE,BC的中点.

(1)证明：FN工AD；

(2)求直线BM与平面AOE所成角的正弦值.

【解析】(1)过点E、。分别做直线。。、的垂线EG、OH并分别交于点G、H,由

平面知识易得FC=BC,再根据二面角的定义可知，NBb=60,由此可知，FN工BC，

FNA.CD,从而可证得五NJL平面ABCD,即得在N_LAD；

(2)由(I)可知FN_L平面ABCD，过点N做人4平行线NK,所以可以以点N为原点，NK,

NB、NF所在直线分别为％轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系N-方2,求出平面AOE的

一个法向量，以及8M，即可利用线面角的向量公式解出.

(1)

过点E、。分别做直线A8的垂线EG、OH并分别交于点G、H.

•・•四边形A8CO和瓦CD都是直角梯形，ABUDC,CD"EF、AB=5,DC=3,EF=\,

NBAD=NCDE=0)。,由平面几何知识易知，

DG=AH="EFC=NDCF=NDCB=Z4BC=90。，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩

形，・•・在Rl.EG。和RhD/M，EG=DH=26

•.•OC_LC£OCJ_C8,且CFcC4=C,

・・・£>CJ_平面BCENBC尸是二面角尸-DC-B的平面角.则NBC尸=60,

•••△BCF是正三角形，由。Cu平面ABCQ,得平面平面BC产，

〈N是8C的中点，「.EV_L8C,又DC_L平面3CF\FNu平面BCF,用得FN工CD,

而3CcCD=C,・•・/W_L平面A8CD，而/Wu平面/W_LAO.

(2)

因为网_L平面4BCO,过点N做AB平行线NK,所以以点N为原点，NK,NB、NF所

在直线分别为x轴、丁轴、z轴建立空间直角坐标系N-.，

设A[5,75,0),8(0,也,0),D(3,-x/3,0),£(1,0,3)，则M[3,g,

BM=,A。=(-2,-2>/3,0),DE=(-2,瓜3)

22

设平面AOE的法向量为〃=a,y,z)

n-AD=0-2x-2>]3y=0

由，,得取〃=(G,-1,G),

n-DE=0-2x+V3y+3z=0

设直线BM与平面AOE所成角为0，

3&E

sin0=卜os〈小BM)|=53_5出

~V7-25/3~14

V3TTT3.

4.(2022・全国♦高考真题)如图，PO是三棱锥P—A8C的高，PA=PB,ABVAC,E走PB

的中点.

(1)证明：OE//平面尸AC；

(2)若NA8O=NC8O=30。，P0=3,PA=5,求二面角C—4E—A的正弦值.

【解析】(I)连接8。并延长交4c于点。，连接。4、PQ,根据三角形全等得到。4=。8,

再根据直角三角形的性质得到AO=DO,即可得至IJ0为BD的中点从而得到OEHPD,即可

得证；

(2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同

角三角函数的基本关系计算可得.

(1)

证明：连接3。并延长交AC于点。，连接PD,

因为尸0是三棱锥P-A8C的高，所以201.平面ABC,AO,8Ou平面48C,

所以尸O_LAO、POLBO,

又PA=PB、所以△PQ43△POB,即。4=04,所以NOW3=NO4A.

又A8_LAC,即ZBAC=90。，所以NQ4B+N01D=90"N03A+NOQA=90。，

所以NOZM=NOA。

所以AO=DO,即4O=DO=OB,所以。为8。的中点，乂E为m的中点，所以OE//PO,

乂OE(Z平面PAC,PDu平面PAC,

所以OE〃平面尸AC

（2）

解：过点A作上〃0P,如图建立平面直角坐标系，

2

因为P0=3,AP=5f所以O4=JA2-QO=4,

又NO8A=NO8C=30。，所以80=20A=8,则AD=4,AB=40

所以AC=12,所以0（2布,2,0）,B（4x/3,0,0）,尸（2百,2,3）,C（0,12,0）,

所以七（3石』,日｝

则AE=，G』,|）,48=（46,0,0）,4C=（O,12,O）,

a

n-AE=3>/3x+y+—z=O

设平面的法向量为〃=（x,y,z）,则<"2，令z=2,则丁=一3,刀=0,

n-AB=4Gx=0

所以〃=(O,-3,2)：

3

.,mAE=3\/3a+