高考数学二轮复习专项突破（全国版理）三角函数中ω、φ的范围问题

微重点5三角函数中“，°的范围问题

三角函数中G，夕的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、

单调性、零点等求口，伊的取值范围，难度中等偏上.

考点一三角函数的最值(值域)与电3的取值范围

例I(1)若函数府尸$折加一纵心0)在［。，?上的值域是一零1,则3的取值范围是

()

A.cqB.cq

C.eqD.eq

答案B

解析因为①>0,所以当闻0,外时，

冗「兀conn

公丫一片［一不--4J.

又因为函数危)=$而(。.¥—5(①>0)在

0,外上的值的是一坐，1,

所以已等-台季

3

解得5辽口<3.

(2)已知函数/(x)=sinQ)x+acos①x(a>0,加>0)的最大值为2,若使函数人幻在区间［0,3］上至少

取得两次最大值，则①的我值范围是.

答案［京，+8)

解析人工)=sin3+acosCJX

1+a2sin(cwx+^),

因为4r)gx='I+『=2,«>0,

故a=①

原式为yU)=2sin(tox+W),

当段)取到最大值时,s甘=^+2E,kQZ,

当x£［0,3］,凡i)取得两次最大值时，女分别为0和1,当&=1时，s+号岩+2小尸善，

J/V/Ctz

此时需满足*W3,

解得①2噂.

规律方法求三角函数的最值（值域）问题，主要是整体代换cox±s，利用正、余弦函数的图象

求解，要注意自变量的范围.

跟踪演练I已知函数以尸sin（s+9）（①>0,磔4）的图象与直线尸1的相邻两个交点的距

离为兀，若对任意的低，与，不等式人此《恒成立，则8的取值范围是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案A

解析因为函数），=/（x）的图象与直线），=1的相邻两个交点的距离为兀，所以函数y=/U）的最

小正周期为T=兀，所以①=了=2,

所以人幻=sin（2x+u）.

当任’1）时,,+0<〃+夕<聋+8.

因为一李卬号

所以一五〈五+伊干，6^+^-

又因为不等式府）《对任意的.r（=信，§恒成立，

解得它W04

因此°的取值范围是［古，I.

考点二单调性与小伊的取值范围

例2（1）（2022•张家口模拟）已知函数yU）=sin（s+9）（30,|9区3，｛0）=乎且函数危）在区

间（金，目上单调递减，则①的最大值为.

答案10

解析因为/（0）=sin夕=半，

又I研q,所以0=彳,

所以fix）=sin（cox+；）,

当x®（金，且⑦川时，

71（0.71.71TUO.71

茁+于5+不言+不

因为加在区间岛方）上单调递减，

所以（记+不苏~+弓乳科2E,3~+2眄|（攵02）,

HCD.7T.7t.，―r、

16+^i2+2&兀伏£Z),

即V.

詈+*学+2E(AGZ),

、o■乙

解得4+32kW&W10+16碌WZ),

k20,

因为80,则,

32A+4W1&+10,

3

则OWZWd且左GZ,故&=0,从而4W@W10,

O

因此，co的最大值为10.

（2）（2022.柳州模拟）若直线x=々是曲线y=sin（s一为（M>0）的一条对称轴，且函数），=

sinQox-：）在区间［（）,上不单调，则⑴的最小值为（）

A.9B.7C.11D.3

答案C

解析因为直线x=亍是曲线丁=$而（3-%0>0）的一条对称轴，贝曲一全=仄+今，*£Z,即

①=4M+3,k^Z,

由一卜3—卜?得一言WxW瑞,则函数y=sin（coL：）在［-*；,瑞］上单调递增,

而函数y=sin（3-：）在区间0,上不单调，则言<韦，解得①>9,

所以s的最小值为11.

规律方法若三角函数在区间山，加上单调递增，则区间口，切是该函数单调递增区间的子集,

利用集合的包含关系即可求解.

跟踪演练2已知./U）=sii］（2x—9）（0<9司在［°，三上单调递增，且兀°在（°，竿）上有最小值，

解析因为_/（%）关于点3，i）对称，所以z?=i.

所以fix）=2sin（©r—看）+1（c»0）,

令危）=0,贝ij2sin（3r—5）+1=0,

„.（01

即nsin^.r-^J=—

因为x£[0,l],

所以31一短J,g一日，

因为人处在区间[0,1]上有且仅有3个零点，

七1、/1兀1兀J97t

所以入运①一匕十，

则27rW（y2^,

又/图=231190一目+1,

所谓W用普,

则一Kin管*）当,

所以一1W2sin（竽一5）+1〈小+1,

即一1W尼卜小+1.

规律方法已知函数的零点、极值点求①，⑺的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求

解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的

最大值、最小值点.

跟踪演练3（2022•湛江模拟）已知函数yU）=sin（s+Mm＞（）,侬/），/住+,=/（三一大），

/（一§=（），且外）在区间（病?

上有且只有一个极大值点，则3的最大值为.

答案T

7C.

3①十SkiTi,

兀冗由，幻EZ,

{?0+9=公兀+/，

3（2hH）

3=-4-，

1

=+,k,kez,

{^~k2~兀n4

其中左=欠一k,k'=依+心=2，一%,

当/=-1时，。=一：，k=2幻+1,卜5：

当A'=0时，w=£,k=2k?,k?GZ.

又段）在区间儒，9上有且只有一个极大值点，

gr|、建_匹一2如T也f

所以210-5^~（o

得OvcoWlO,即（X吟山W10,

所以一gvkW?

当&=6时，口=苧，0=；,

此时拳•十：£］答，华），此时有2个极大值点，舍去；

当&=5时，口=苧，9=一；，

此时竽（瑞，平），此时有1个极大值点，成立，所以①的最大值为苧.

专题强化练

1.（2022・开封模拟）已知函数_/U）=sin（s+9）（加>0,0<g<9的图象过点（0,；）,现将）=,小）

的图象向左平移］个单位长度得到的函数图象也过点P,则（）

A.①的最小值为2

B.①的最小值为6

C.co的最大值为2

D.co的最大值为6

答案A

解析依题意./（O）=sin0=3，0<9君，9=2，

/U）=sin（s+目的图象向左平移方个单位长度得到

)?(A)=sin4+T)+*]=sin(sx+却+g，

,fitI兀\1

g(O)=sin(j①+0=2,

所以$o+聿=2氏m+点或*”+会=2痴+沼

«-•vzvzJVf\J

即⑦=63或①=6的+2,其中女|,公£Z,

由于①>0,所以①的最小值为2.

2.（2022・湖南六校联考）将函数yU）=3sin（x—§的图象向右平移夕（0<0〈兀）个单位长度后得到

g（x）的图象.若g（x）在倡引上单调递增，则8的取值范围为（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案B

解析g（x）=3sin（x一5—J,

.7C5n.Ttlit

当U不时H，―不一然方一如

由0<9<兀，得一夕£（一兀，0）,

2冗（n2兀、

万一9气一§,yj,

得狂应.

3.已知①耳，函数於尸sin（2s+；）在区间像为内没有最值，则co的取值范围为（

A.cqB.cq

C.eqD.eq

答案C

解析由23丫+4=*n+白，kC7,,得戈=4%,、I，kCZ,

42060

因为函数y（x）=sin（2a）x+野在区间（去冷）内没有最值，

所以对任意上z,都有需旭像:），

当①==2=1时，号），故选项A,D不正确；

当①=天时，存在&=1使得喏==誉£体等），故选项B不正确.

（SCOII\.Z乙./

4.（2022•邵阳模拟）设函数段）=sin（①x+%>0）,己知府）在一去向上单调递增，则4r）

在（0,2兀）上的零点最多有（）

A.2个B.3个

C.4个D.5个

答案A

解析由一^+2EWtox+今W5+2E,AWZ,

27i.2kli--TC,2依、

得za一丁+—丁+—,kWZ,

3coco3coco

取2=0,可得一空

J（y5（o

若加）在H，用上单调递增，

兀

-

6*

4

-

3

兀

6一£

设

/-+-7C

1一

则2@江十5）,

因为2物+狂备剧，

所以函数丁=$由/在e，2s:+g上的零点最多有2个.

所以八丫）在（0,2兀）上的零点最多有2个.

5.己知函数/（x）=sin（3+8）（M>0,刷<。/（一方）=。，©W/传）恒成立，且人工）在区间

（一自，点）上单调，那么下列说法中正确的是（）

①存在仍使得凡r）是偶函数；

颤。）=/（引；

③口是奇数；

®M的最大值为3.

A.①②③B.@@

C.②④D.②③

答案D

解析由yu）w|f（m，知工="为函数凡r）图象的一条对称轴,

所以的）=/（七）

又/（-0=。,

所以7=普_（4=宗〃£Z）,

加2〃+12兀兀_

即F-•77=5（〃£Z）,

即①=2〃+l（〃£Z）.

因为於）在（一自，立）上单调，

所以〉公/_（_1;）一会

所以①W8,所以①max=7.

因为lwl《，

所以oW^+E/WZ）,

所以不存在如使得凡I）是偶函数.

6.（2022•萍乡模拟）设函数儿0=siu（2AI亨）在区间a,aIT上的最大值为M，最小值为，〃，

则M-m的最小值为（）

A.eqB.eq

J?

C.1—2Deq

答案B

解析当xja,a+1时，

2a+1空,

jrIT

令2x4-4=/,2a+w=〃，

则问题转化为g（/）=sinz在［/?,〃+用上的最大值是M,最小值是相，

由正弦函数性质，可知g"）=sin/的周期是2兀，要使得M—"I最小，则g⑺的最大值或最小

值点是区间［〃，〃+用的口点，

由周期性，不妨取力+力+竽=兀或〃+/?+华=3兀，即/?章或仁孝

当/?=*时，M=l,m=sin/=；,

<i/77tI1i,・7兀1.।

当"f=不时，/??=—1,M=sin^=~29Mf—机=£・

7.已知函数段）=用”一—3（加＞0）在[（）,方|内有且仅有1个最大值点和3个零点，则

0）的取值范围是.

答案厚用

解析氏0=小sincox—coscox

=2sinf（yx—7）,

兀)71XDTt7T

不

（a）n兀、/

T一胪2冗,

入13116