高考数学二轮复习专项突破（全国版理）数列的递推关系

微重点8数列的递推关系

数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可

直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数歹J,再

利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用.

考点一构造辅助数列

例1(1)已知数列｛痣｝满足0=1,3%+|=2知斯+i(〃£N")，则下列结论不正确的是()

A.eq为等比数列

B.B”｝的通项公式为­

C.｛%｝为递增数列

D.eq的前〃项和T„=3"-n-1

答案C

解析因为-3dn+12aM〃+],

两边同除以a,tClnI1,

I3

可得一一=3十2,

a,计1On

所以士+1=30+)

又;+1=2WO,

所以｛2+1｝是以2为首项，3为公比的等比数列，故A正确；

所以7+1=2X3"),即x?-]T♦

所以｛斯｝为递减数列，故B正确，C不正确；

所以十=2X3"＞一1,｛曰的前〃项和为

7'„=(2X30-l)+(2X3,-l)4--+(2X3fl-,-l)

=2X(30+3l-|--+3,,_,)-n

I-3”

=2义丁彳一〃=3"一〃一1,故D正确.

I-3

(2)(2022・吕梁模拟)已知S”为数列｛斯｝的前〃项和，且8=1,a“+i+斯=3义2〃，则Soo等于()

A.2,(x)-3B.2KX,-2

C.2⑼-3D.2,0|-2

答案D

解析由小“+。〃=3><2"得,

小+i—2'm=一（斯—2"）.

又0-21=—1,

所以｛斯一2"｝是首项为一1,公比为一1的等比数列，所以小一2〃=(一1)。

即知=2叶(一1厂,

所以5100=2'+22+-+299+2,00+(-1)+(-1)2+•••+(-1)"+(-I)100

=2Gp+o=2ioi_2

规律方法(1)若数列｛小｝满足小+i=〃a“+q(〃W0,l,9W0),构造a〃+i+7=p(a〃+2).

(2)若数列｛斯｝满足4“+]=/w〃+y(〃)(pW0/)，构造a“+i+g(〃+l)=p[a〃+g(〃)].

跟踪演练1(1)在数列｛〃”｝中,m=3,〃+2(八22,〃eN),若3>980,则打的最

小值是()

A.8B.9C.10D.11

答案C

解析因为斯=2斯-1-〃+2(〃22,〃EN"),

所以an—n=2\an-\~(n~l)l(n^2,〃£N").

因为0=3,所以切一1=2,

所以数列｛/一〃)是首项和公比都是2的等比数列，则如一”=2〃，即仇=2"+〃，

rt_,

因为an—an-\=2+1>0,

所以数列｛斯｝是递增数列，

因为的=521<980,.0=1034>980,

所以满足斯>980的n的最小值是10.

(2)(2022・重庆质检)已知数列｛斯｝满足6=0,。*+1=。2〃+：，〈⑵+2=。2”+1一占(〃£1<),则数

歹打如)的第2022项为()

A.cqB.cqC.cqD.cq

答案C

解析a2n\2=ain\I\.

=侬+（一即道N*），

所以S022—«2020+J0I0-]011，

11

。2020=。2018升I（X）91010'

44=。2+1~y

累加得

+，，，+

«2o22=^+(i-5+54Toio-ToTT)

_^ioip

=o"+I1ion=ioir

考点二利用斯与s”的关系

例2已知5〃是数列｛m｝的前〃项和，«i=3,且当〃22时，S”，等，S〃T成等差数列.

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

9«9

(2)设数列｛九｝满足儿=1一煮若历历…也产珠，求正整数〃的值.

t<nI/O

解(1)方法一由题意知当时，

S“+S〃-尸〃斯，

；・S”+S”-i=〃(S”一

*JE/X〃+1

整理得S”=―;S”T,

n-1

+412433

〃

〃

1^〃z-/-

£•XxXX--

-42-3-42T2

z〃

-*1-〃

3

经检脸，5i=3也符合S”=/(〃2+〃).

・•・当〃三2时，un=Sn-Sn-i

33

=5(1+〃)一5〔(〃-1)2+(〃-1)]=3〃.

乙乙

=

〃1=3也满足alt3n,

，数列｛融｝的通项公式为斯=3〃.

方法二由题意知当〃22时，S“+S〃T=〃m,

*,•当〃23时，S〃-1+S”-2=(〃-1)4LI,

两式相减得〃“+〃”_[=〃〃”—(n—I)〃“_I(〃23),

即(〃一1)斯=〃。"-1,

.a„a-\

,・〃-n〃-衅3)，

，当〃23时，佛为常数列，

又由S?+Si=2a2得02=6,

同理可得s=9,

（2）（2022・济宁模拟）己知正项数列｛〃”｝的前〃项和为S”，若2斯S〃=l+屈，儿=log2弋，数列

｛5｝的前〃项和为Tn，则满足7；^3的〃的最小正整数的值为.

答案10

解析因为2。〃5"=1+晶，。户0,当〃=1时，2als1=1+。?,解得Si=l,

当〃22时，a“=Sn-SnT，即2（S〃一Si）S〃=l+（S〃-Si）2,

整理得求一S1|=1,所以数列（S3是首项为仪=1,公差为1的等差数列，

所以忌=l+（〃-l）Xl=〃，又正项数列｛如｝的前〃项和为S”所以S“=5，

由。23,即二一1+1082（〃+1）（〃+2）］23,化简整理得后+3〃-12620,

当〃=9时，92+3X9—126=—18<0,当八=10时，102+3X10—126=4>0,

所以满足的〃的最小正整数的值为10.

专题强化练

1.（2022•哈尔滨模拟）已知数列｛斯｝的首项为10,且2如+1+如=3,则满足不等式|斯一1|〈春

的〃的最小正整数的值为（）

A.9B.1（）C.IID.12

答案D

31

-

解析由2a〃+i+a”=3,2?小

所以数列｛册一1｝是以9为首项，一3为公比的等比数列,

所以斯一1=9X（—所以|斯一1|〈春，即为9x（一/卜<春,

即9乂(;｝一七*，即2"r>1125,〃£N",所以〃212.

2.已知数列｛〃”｝满足〃%+1=(〃+1)斯+2(〃£柏，且0=1,则42023等于()

A.6065B.6067

C.4044D.4043

答案B

解析因为“+1=(〃+1)斯+2,

gr［、］+1_&J2

所以〃+|一〃+〃(〃+1)，

即署.华=2(1系)

即“”=3〃-2,当〃=1时也成立，

则。2023=6067.

3.（2022.焦作模拟）已知数列｛%｝的前〃项和*=（一1）%+/（〃£N‘），则Sioo等于（）

A.—yrooB.0C.eqD.eq

答案B

解析由题意知S］（＞2=aio2+亦L

所以5102-^102=5101—yi02»

.I

XSioi=—〃ioi十^TUT,

所以。101=初夜，

故Sioo=Sioi—0oi=O.

4.（2022•衡阳模拟）已知数列｛〃”｝满足〃尸号2斯+L«0+I=1，则下列结论错误的是（）

II

A.。2=勺

B.数列上士|为等差数列

c.小的最小值为:

D.斯的最大值为3

答案C

解析由2斯+1—«浦”+1=1,

得知+|=士?

所以11_।一一]_2_I___J_=1L

a”+i—1an—\I]an—\an—\an—\'a\—\2'

2—a”

故数列为以学为首项，―1为公差的等差数列，则一4=¥+(〃一”(一i)=?一〃,

I。”1乙斯—1z2

故诙=l+yj®—,。2=募，数列｛斯｝的最小值为47=-1,最大值为46=3.

~2~n

5.(2022•洛阳模拟)若数列｛4｝和｛仇｝满足m=2,2=0,2al+i=3a〃+儿+2%”+1=4〃+3”,一2,

贝0。2023+5023=.

答案22023

解析因为2a”+i=3。〃+儿+2,2b”+i=a”+3b”-2,

所以2a„4-14-2bn+!=3a„4-4-2+r/n4-3h„—2=4(«,f4-h„),即an+1+bll+)=1(cin+bn),

又0+济=2,

所以｛斯+6｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

n

所以an+bn=2t

所以C12023+bl023=22023.

6.(2022•河南省重点高中联考)已知数列｛3｝中，斯：”=士,则满足〃”＞焉;的

a〃〃十幺。〃+]n~r11vuv

n的最大值为.

答案5

解析根据题意，

(〃+1)斯—2(〃+l)a”+]=a〃+2a〃+i,

。”+1〃

化简得

瓦-=2(〃+2)，

所以京n—1

=2(〃+1)，

an-\n-2

。〃-2-2〃

7=2X3("N2)，

运用累乘法计算得

aHn—1n—2〃-32、，1

a\2(〃+1)2〃202-1)2X42X3

=2〃-2.〃(〃+1)522),

且«i=4»

所以""=2"・/2(〃+1)‘〃22,ai=W符合该式，

当“”>1(；()0时,2"团(〃+1)<1000,

当〃=5时，2"•小〃十1)=950<1000,

当〃=6时，2"(〃+1)=2688>1000,

所以满足条件的〃的最大值为5.

7.(2022・邯郸模拟)已知数列｛斯｝满足桂科

⑴证明：数歹胆辿为等比数歹小

un

(2)己知bn=an(an+l1),求数列｛〃”｝的前〃项和S”.

⑴证明