高考数学一轮复习题型突破：解析几何（综合练）解析版

专题9.8解析几何综合练

题号—二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.(2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试题)已知圆C的一条直

径的两个端点是分别是。(小)和43,3),则圆的标准方程是(〉

A.(x-2)2+(y-2)2=l

B.(x-2)?+(y+2)2=2

C.(x-2)2+(y-2)2=2

【答案】C

【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.

【详解】因为同C的•条宜径的两个端点是分别是0(1,1)和A(3,3),

所以圆心为M(2,2),直径为2/?={(3-1)2+(3-1)2=20，

所以圆的标准方程是(x-2)2+(y-2/=2.

故选：C.

2.(2021秋•高三课时练习)已知圆C与圆产+尸-2)，=。关于直线x-y-2=0对称，则圆C

的方程是()

A.(x+l)2+y2=lB.(x-3)2+(y+2)2=l

C.(x+3)2+(y-2)2=iD.(x+2f+()，-3『=l

【答案】B

【分析】设所求圆的圆心。(。力)，根据点关广直线的对称得到关于的方程，解出即可.

【详解】将圆f/-2y=0化成标准形式得x2+(y-l)2=l,

所以已知圆的圆心为(0,1),半径/=1,

因为圆C与圆V+产-2)，=0关于直线X—y—2=0对称，

所以圆C的圆心C与点(0,1)关于直线工-)』2=0对称，半径也为I,

\-b.

----二一]O

设C〃力可得二a,解得

0+41+力r八

-----------2=0h=-2

22

所以。(3,-2),圆C的方程是(..3)2+(y+2)2=1,

故选：B

3.（2021秋•高三课时练习）直线〃田+町，+3=0在），轴上的截距为-3,而且它的斜率是直线

=的斜率的相反数，则（）

A.tn=~\/3»n=\B.-。，〃=-1

C.m=6，n=—\D.〃i=6，n=1

【答案】D

（分析］根据已知表示出直线〃江十，“+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.

【详解】因为直线〃次+町，+3=0在），轴上的截距为・3,

所以，0-3〃+3=0,解得〃=1.

因为直线CL），=36的斜率为

由已知可得，直线，心+型+3=0的斜率为—石，EP--=-V3.

n

所以m=>/3.

故选：D.

*>

4.（2023秋・河南平顶山•高三统考期末）已知双曲线Cf一二=］（力>（））的焦点到渐近线的

b-

距离为近，直线/与C相交于A,3两点，若线段A8的中点为N（l,2）,则直线/的斜率为

（）

A.-1B.1C.72D.2

【答案】B

【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线/的斜率.

【详解】因为双曲线的标准方程为炉一£=13>0）,

b~

所以它的一个焦点为（。,0）,一条渐近线方程为〃x-y=o,

bel

所以焦点到渐近线的距离〃=7『二血，化简得从。2=2（/+1）,解得从=2,

\Jb-+\

所以双曲线的标准方程为/一£=1,

2

设4f,凹）,5（心力），所以记一.=1①，」2T=i②,

①-②得，（X：-）一g（城一%?）=。，

化简得（5+七）（%-工2）-；（%+，2）（X-）’2）=0③，

因为线段AB的中点为N（1,2）,所以％+七=2,y+%=4,

代入③，整理得M-%=Ji-%，

显然为工占明工必，所以直线/的斜率&二江2"=1.

Xl~X2

故选：B

22

5.（2023•河南开封•校考模拟预测）已知椭圆。:[+与=1（〃>〃>0）,A,8分别是。的左

a~b-

顶点和上顶点，尸是C的左焦点，若tanNE4B=2tanNFK4,则C的离心率为（）

A.；B.正

22

「3-6口>/5—I

22

【答案】C

【分析】根据椭圆的性质结合锐角三角函数，在RtZXAA。和RtZXBFO在求出N£4B,ABFO

的正切值，由两角差的正切公式求出NF朋的正切值，结合题目条件得“，c的美系，即求

出椭圆的离心率.

【详解】由题意作出图形，如下图所示：

在RtZXAAO中可得：tanZ«AO=tanZE4«=1,

在RlZkBFO中可得：tanZ.BFO=,

hh

tanZ.BFO-tan/.FAB

月〒以tanZFBA=tan(ZBTO-NFAB)=

1+tanZ.BFOtan/FAB［工bh

ca

化简得：lanNFBA=b(a-?

ac+b~

因为tanN/iXB=2tanNFfiA,所以。=2•幺^~~?①,

aac+b'

又加=,所以①整理可得：c2+a2-3ac=0,

则IzAI-16A1=次，故田A|=4a怛4=2a,

由于双曲线C的离心率为「3则c一二3三，即c=3『,

2a22

\F.Ai1+\FFf-\AF|2*_V+4c2-16fl2

在jAEZ中，cos乙46G二]2}

2\F2A\-\FiF2\-~22a-2c

22a-2^-a4

2

故选：B

8.（2。23.安徽六安.安徽省舒城中学校考模拟预测）已知椭畤+J的左右焦点分别为£

|尸川

与尸2，点P在直线/:X-豆丁+4+6=0上.当/片夕鸟取最大值时，比身的值为（）

A.且B.巫C.V2-1D.V3-1

22

【答案】D

【分析】由米勒最大张角定理确定尸点位置，利用正弦定理计算即可.

【详解】补充：米勒最大张角定理，已知点A8是NMCW的边ON上两定点，点、P为边OM

上一动点，则当且仅当三角形A8P的外接圆与边相切于点。时，NAPB最大.

证明：如下图所示，当三角形A8P的外接圆与边OM相切于点P时（圆心为Q）,取OM上任

一点产，连接产8交圆。于C,显然NAPB=NAC82/A户8，当且仅当。、P、C重

合时/4PB取得最大值.

线,相切于夕时，此时夹角/耳2鸟最大，设其圆心Q（。"）,

r+（8>/3+6）/-（8x/34-7）=0解之得Z=1或

z=-8x/3-7,由圆的性质知：tanN^P鸟=tan幺譬，

显然f=1Wtan3PF?=tan幺普=6,张角最大为60%

也

而此时=750^=45,则得=篝=^|^=凤1.

4

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分..在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分

9.(浙江省新阵地教育联盟2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试题)已知圆的方程

为犬+/一44+2=0,下列结论正确的是()

A.该圆的面积为4兀B.点(也1)在该圆内

C.该圆与圆W+y2=］相离D.直线彳+)，-4二。与该圆相切

【答案】BD

【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于A,根据圆的面积公式

即可判断；对于B,将点(及」)代入(x-2)2+〉*,判断与2的大小，即可得出结论；对于C,

求出西圆心之间的距离，判断是否大于两圆半径之和：对于D,根据点到更线的距图公式，

求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断.

【详解】x2+y2-4x+2=(x-2)2+y2=2,可知圆心为(2,0),半径,公拉：

对于A：由圆的半径,•=&,得该圆的面积为冗产=2几，故A错误；

对于B：因为(血-2-+尸=7-4&<2,所以点(a1)在该圆内，故B正确：

对于C：圆/+,2=］的圆心为(0,()),半径为1,

因为两圆心距离为J(2-O)2+(O-O)2=2v0+1，且2>&-1,所以两圆相交，故C错误:

对于D：圆心（2,0）到直线工+），-4=0的距离d二驾二，=夜二厂，

Vl2+12

所以直线x+）=4=0与该圆相切，故D正确，

故选：BD.

10.（2021秋・广东深圳•高三深圳中学校考期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实

轴的双曲线与原双曲线互为共规双曲线，以下关J：共枕双曲线的结论正确的有（）

）0

A.=1（〃/>0）共扼的双曲线是与=\(a,b>0)

!ra-

B.互为共辗的双曲线渐近线不相同

C.互为共辄的双曲线的离心率为《勺，则早2之2

D.互为共规的双曲线的4个焦点在同一圆上

【答案】CD

【分析】根据共扼双曲线的定义可判断A；分别求得互为共辄的双曲线的渐近线判断B：根

据双曲线离心率定义可得4+3=1,即即可结合基本不等式推得“e2A2,

e\e2

判断C；求得四个焦点坐标，即可判断D.

【详解】对于A,根据共扼双曲线的定义可知，与与-y2

=1（4力〉0）共规的双曲线是

a~记

A错误;

对于B,二—5=1（。,/?>0）的渐近线方程为y=±-x,

a~b-a

5=1（〃,人>0）的渐近线方程也为y=±\x,二者相同，B错误;

对于C,由题意可得e

1

+----c-r--+-b-~—1,.,.e；+e；=e；

4/+从

由于故e；=e；+G22y]e「e；=2qq,即.022,

当且仅当q=。2=及时等号成立，C正确;

11

对于D,匚上l（a,方〉0）的焦点坐标为（±V«2+/?2,0），

a2b2

〕［-共加双曲线工"——r—1（6Z,/?>（））的焦点坐标为（0.±y/（l'+/?，）»

b~a~

显然这4个焦点在以原点为圆心，，款+从为半径的圆上,D1E确,

故选：CD

11.（2023秋・广东•高三华南师大附中校考期末）已知曲线C：〃V+政2=1,则（）

A.若〃=〃=4,则曲线C是圆，其半径为2

B.若〃>〃>0,则曲线C是椭圆，其焦点在），轴上

c.若线。过点（-©6）[半，应1则C是双曲线

D.若〃〃?=0,则曲线。不表示任何图形

【答案】BC

【分析】对于A,曲线。可化为炉+9=3,表示圆，可求半径，判断A;

.21-|11

对于B,〃>〃>（）时，曲线C可化为了十了―，0<一<一可判断表示椭圆，判断B:

mn

tnn

对于C,将点（-正,百），,孚,血），代入曲线C：，加+而=1,求得曲线方程，

判断C;对于D,可举特例进行说明，判断D.

【详解】对于A,m=〃>0时，曲线C可化为Y+y2=L其半径为;=1,故A错误;

n\!n2

.21-1ii

对于B,〃〉心0时，曲线c可化为TT—表示的是椭圆，而0<一<一,

inn

mn

所以其焦点在y轴上，故B正确；

对于c,将点卜平,夜），代入曲线c：，加+〃），2=i,

2m+3/2=1m=1

有，迦+2〃=尸1，mn<0,所以曲线。是双曲线，故C正确;

n=—

33

对于D,若〃i=l,〃=0,满足条件，此时曲线C：/=],表示两条直线,

故D错误，

故选：BC.

12.（2023・全国•高三专题冻习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABC。四边所在直线与x

轴的交点分别为（。,0）,（1,0）,（2,0）,（4,。），则正方形ABCD四边所在直线中过点（0,0）的直线

的斜率可以是（）

A.2B.2D.

24

【答案】ABD

【分析】假设AB所在的直线过点(0,0),分类讨论CD所在的直线所过的点，结合图象分析

运算.

【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点(0,0),

设直线A8的倾斜角为。£(()，］),斜率为k,

①若CO所在的直线过点(1,0),如图，可得4C=sina,CO=2cosa,

因为6c=8,即sina=2cosa,则％=师。=2；

②若CO所在的直线过点(2,0),如图，可得8C=2sina,CD=3cosa,

3

因为BC=CD.即2sina=3cosa,贝UZ:=tana=—；

③若C。所在的直线过点(4,0),如图，可得8C=4sina,C£>=cosa,

因为BC=CD、即4sina=cosa,则A=tana=1；

31

综上所述：欠的可能值为呵彳

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：假设A8所在的直线过点（0,0）,分类讨论C。所在的直线所过的点，数

形结合处理问题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.（2022秋•高三课时练习）已知实数。，力满足a+加=1：则直线⑪+3y+〃=O过定点.

【答案】（：,一!）

26

[2x-l=0

【分析】根据题意化简直线方程为。+3），）一"2x-1）=0,联立方程组°A，即可求解.

【详解】由实数满足。+必=1,可得4=1-2》，

代入直线方程冰+3），+人=0,可得（x+3y）-应2x-l）=。，

[2x-l=011

联立方程组｛q八，解得x=—y=Y，

[x+3y=O20

所以直线如+3），+人=0过定点（上一，）.

26

故答案为：（；,-》.

14.（2023春•江西景德镇•高一景德镇一中校考期中）如图，一个光学装置由有公共焦点

的椭圆。与双曲线C'构成，一光线从左焦点匕发出，依次经过C与C的反射，又回到点%,

历时〃?秒；若将装置中的C'去掉，则该光线从点4发出，经过C两次反射后又回到点6历

时〃秒，若C'的离心率为。的离心率的4倍，则」=.

n

【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线

路程之比即得.

【详解】设椭圆长轴长为2%,双曲线实轴长为2a2,焦距21

c

依次经过C'与C的反射，又回到点B,则有图一|M=24,|町|+忸制=24，

两式相减得忸用一|伍|+怛制+|前|=|阴+忸制+|前|二%一物,

将装置中的C去掉，则有|班|+归）+|用=%,

i_l

所以'=|4/+|人"|+忸耳=2q-2%=___fl|_=-4=3

♦一|£制十|P周+但]-4《-2"_-8

3

故答案为：—.

O

15.（2023春・贵州遵义•高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知抛物线。：），2=2/"（〃>0）的

焦点为尸，直线/过/与C交于A,8两点，过点4,8分别作抛物线准线的垂线，垂是分

别为A，B,,则NA/4的大小为.

【答案】

2

【分析】联立直线/与抛物线。的方程，利用设而不求的方法求得»/4=0,进而得到

幺亚的大小.

【详解】抛物线c：/=2PM〃>o）的焦点为F（1,O）,

设直线/的方程为4-5=吗：

令4内,y）,B5,%），则A（-§y）闰（/，力）,

I-——=>nv

又，2,整理得y2-2piny-p2=0,

V=2px

则乂乃二一〃2，y+）’2=2〃而，

又%=（-p,y）,尸4二（一p,%），%/4=〃2+x%=p2-p2=。，

则则幺皿=]

故答案为：

16.（2023春•上海徐汇•高三上海市徐汇中学校考期中）已知圆的方程为f+），2-12x-16y=0,

该圆过点（3,4）的最长弦和最短弦分别为AC和4。，则四边形43CQ的面积为.

【答案】100百

【分析】根据给定条件，求出过定点的圆的最长、最短弦长，再求出四边形面积作答.

【详解】依题意，圆（x-6『+（y-8）2=100的圆心M（6,8）,半径r=10,

点Q（3,4）与圆心M（68）的距离=J（3-6>+（4-8）2=5<10.

则点。（3,4）在圆内，过点Q（3,4）及圆心的直线与圆相交，得最长弦长Mq=2r=20,

当QM_L4O时.网）|最短.过Q（3.4）的最短的弦长忸=21尸一|QM『=2,00-25=1。6.

所以四边形ABC。的面积SA8m=；ACBO=gxl06x20=100>/5.

故答案为：10（）6

四、解答题：本题共.6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.（2022秋•高二课时练习）已知两直线4：x-2y+4=0,/2：4x+3y+5=0

（I）若直线公+2y-6=。与可组成三角形，求实数〃满足的条件;

⑵设4-1,-2）,若直线/过4与4的交点尸，且点A到直线/的距离等于1,求直线/的方程.

8

【答案】⑴"-2且"-1且

⑵4.r+3y+5=0或％+2=0

【分析】（1）先求得的交点P（-ZD,根据三线不共点和仟意两直线不平行，列出不等式,

即可求解;

（2）根据题意，当直线/的斜率存在，设直线/的方程为）」1=&*+2）,结合点到直线的距

离公式，列出方程求得k的值；当直线/的斜率不存在，直线/的方程为％+2=0,验证符合

题意，进而得到答案.

X—2y+4=0

【详解】（1）解：由方程组4»3尹5=。,解得—2,日，所以//的交点为2）,

①当直线必十2y-6=0过4与4的交点产时，不能构成三角形,

所以ax（—2）+2xl-6工。，解得々¥-2；

②当直线ar+2y-6=0分别与44平行时，不能构成三角形，

a2a2

则nilT'H丁3

Q

所以"工―1且。工*

Q

综上可得，实数。满足的条件。工-2且aw-1且〃工才

（2）解：若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y-l=k（x+2）,即依-y+（2k+l）=0,

因为点4-L-2）到直线/的距离为1,可得卜*/2：2-I|二I,解得左=一:,

H3

即所求直线/的方程为4x+3y+5=。；

若直线/的斜率不存在，即直线/的方程为*+2=0,

因为点4-1，-2）到直线//+2=0的距离为1,所以直线x+2=0也满足题意

故所求的直线/的方程为4x+3），+5=。或八十2=0.

18.（2023・全国•高三对口高考•）已知抛物线C：V=4x的焦点为R过点K（-1,0）的直线/

与。相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D

（1）证明：点厂在直线8。上;

一Q

⑵设=求▲BDK的内切圆M的方程.

【答案】（1）证明见解析.

（1\24

⑵圆M的方程为：x--+/=-.

【分析】（I）利用斜率相等即可证得结果；

（2）利用向量数量积和内切圆的性质即可求得结果.

【详解】（1）设A（千方），8（亨,乃），已知点A关于；v轴的对称点为D,

2另二乃

则点。的坐标为（受v-.一）\）,由hx=k8K，可得yjy2

4---F1-2--F1

44

整理可得（凹必-4）（力-卯=0,即y%=4.

16

_4%—

=⑥卜，

T-14-斤4一（今一司二J

4

%

由&OF=A'BF，可知点/在直线BDI-

Q22Q।x

（2）由FAFB）,可得（』1一1）（2£一1）+另％=°,即可得y+），2=±<，

944-93

由于A,8在抛物线上，门=，，所以左=上二&=^^=±。,

卜2=4々%—％2〕1+必4

3

不妨设A,8在“轴上方,则配=“可知,勺直线方程为—町

________AHk=_Xr二一3

而L-X=>/（M+%）2_4）［义故BDyL_yLy2-x=下，

,44

则。3的直线方程为J7y-3x+3=O,由于x轴是NAKZ）的角平分线，可知内切圆的圆心必

然在x轴上，

故设圆心坐标为（取0）,由于角平分线上的点到角的两边距离相等，

则」痴7尸—解得吁、或〃?=9（舍），则可得r=J,

4593

以（2022秋福三课时练习）已知点M1，2）,过点N的直线交双曲线人/1于A,B

两点，且ON=g（Q4+O8）.

（1）求直线A8的方程；

（2）若过点N的直线交双曲线于C,。两点，且CQ.44=0，那么A，B，C,。四点是否共

圆？为什么？

【答案】（l）y=x+l

⑵四点共圆，原因见解析

【分析】（1）设直线A8的方程为尸女（工一1）+2,代入双曲线方程，设A（N，y）,8（9,为），

根据ON=g（0A+08）得N是AB的中点，利用韦达定理求出k可得宜线AB的方程为:

（2）直线4B的方程代入双曲线方程解得工可得A,8坐标，根据CD.AB=0得CD垂直AB,

求出CO所在直线方程代入双曲线方程，令。（知为），八（％乂）及CD中点必伍,为），根

据韦达定理得弦长|8|及|加0|=|用。|=3|8|=2/历，|八例二|例同=2而可得A、B、C、D

四点共圆.

【详解】（1）由题意知直线AB的斜率存在，

设直线A3：丫=心7）+2,代入21=1,

2

^（2-k2）x2-2k（2-k）x-（2-k）2-2=0（*）,

设A（X[,y），5（孙力），则X,S是方程（*）的两根,

2k(2-k)

/.2-k2工0且$+赴=

2-k2

•・・ON=g«M+O8),.・.N是A3的中点，=

：.k（2-k）=-k2+2,解得k=l,

二直线A5的方程为y=*i；

（2）共圆，理由如下，

将4=1代入方程（*）得Y-2X-3=0，解得X=-1或X=3,

AA（-1,O）,8（3,4）,•・・CQM3=o，，仁。垂直A3,

・•・CD所在直线方程为y=—（x—1）+2,即），=3-工，

代入双曲线方程整理得V+6x-11=0，

令。（毛,％），。（冗，然）及C。中点”（/，%），则&+七="6，x3x4=-11,

.•・^A=-3,%=6,即M(-3,6),

\CD\=J（七—4『+（月一乂）2=历F/七十七了一你匕=4屈，

所以|历€|=|何。=5。£>|=2西，|加4|二网刊=2西,

即4、B、C、3到M的距离相等.・・・A、B、C。四点共圆.

20.（2023春・上海黄浦・高三上海市大同中学校考期中）已知?是椭圆C:[+2=l上一个

a-b'

动点，尸是椭圆的左焦点，若归目的最大值和最小值分别为3+逐和3-6.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵M（（）,〃?）是y轴正半轴上的一点，求的最大值.

5

O<<

2-

5

m>—

2

【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解:

（2）设尸（xy）,根据两点间距离公式和二次函数的图像与性质即可求解.

fl+c=3+V5a=3

【详解】（1）由题意可得「，解得f-,b-=a--c-=4.

a-c=3-V5c=J5

所以椭圆的标准方程为《+£=i.

94

(2)设P(x,y),

则|PM|2=x2+(y-in)2=x2+y2-2my+w2=9-+y2-2my+m2

'4'

二…2华斗+口+99“+2,2]

4-5

当"W时，一⑼,|PM『《+9

去引时,4/小

当mw--77Ze,

21.（2023秋•贵州铜仁•高三统考期末）在平面直角坐标系xQv中，已知圆

。1：/+、2+12X-1"+60=0.设圆a与工轴相切，与圆。外切，且圆心a在直线0~6上

⑴求圆。2的标准方程；

⑵设垂直于。。2的直线/与圆。1相交于8,C两点,且忸C|=3x/j,求直线/的方程.

【答案】⑴（1+6）2+（（-1）2=1

12349

（2）y=6x+——或y=6x+—.

*2^2

【分析】（1）由题意求出圆0,圆。2的圆心和半径，由两圆外切，可得7—〃=5+〃，即可

求出答案.

（2）山但［=3行，可求出圆心。到直线/的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即

可.

【详解】（1）圆。［：x2+y2+12A-14>'+60=0,

则圆。।的标准方程为（X+6）2+（），-7）2=25,

即圆。1的圆心坐标为（-6,7）,半径为5,

因为圆。2与X轴相切，与圆。/外切，则圆心。2（-6,〃），〃>0,

则圆。2的半径为〃，

则7—〃=5+〃，解得〃=1,

即圆。2的标准方程为（1+6）2二1：

（2）由（1）知02（・6,1）,则女必=-A7，

所以直线/的斜率为6,

设直线/的方程为k6»加,

历

因为忸。=3々,则圆心。/到直线/的距离4=

~T

口15-6x6-7+〃?厉123T49

所以J——==一-］=~—,解得机=—1或〃?=-；-,

V367T222

12349

所以直线/的方程为Y=6K+〒或y=6x+?.

22.（2021秋广东深圳•高三深圳中学校考期中）己知椭圆十m=的右焦点

是尸（2/0）,过点尸的直发交椭圆C于A,B两点,若线段AB中点。的坐标为［苧，3

⑴求椭圆。的方程；

⑵已知P（0,一8）是椭圆C的卜,顶点，如果直线广收+1（上0）交椭圆C于不同的两点M,N,

且M,N都在以夕为圆心的圆上，求A的值；

⑶过点。（微，01乍一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A,8为椭圆的左右顶点，记

直线AR、BS的斜率分别为Q、七，则》是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明

理由.

【答案】⑴