高考数学二轮复习专项突破（全国版文）不等式

第3讲不等式

［考情分析］1.不等式的性质与解法常与集合、函数相结合，也可渗透在三角函数、数列、解

析几何、导数等题目中2线性规划主要考杳利用代数式的几何意义(如斜率、截距、距离等)

求目标函数的最值3基本不等式通常与其他知识综合考登求最值、范围等问题.4.此部分内容

多以选择题、填空题形式呈现，中等难度.

考点一不等式的性质与解法

【核心提炼】

判断关于不等式命题真假的常用方法

(1)作差法、作商法，作商法要注意除数的正负.

(2)利用不等式的性质推理判断.

(3)利用函数的单调性.

(4)特殊值脸证法,特殊值去只能排除错误的命题,不能判断正确的命题.

例1(1)(2022•黄冈中学模拟)己知a,b,c均为非零实数，且公6>c,则下列不等式中,一

定成立的是.(填序号)

Qac>bc；®a(r>b(r\③(a—A)，v(a—c)%

Aa~b

©In----<0.

a-c

答案②④

解析对于①，取特殊值口=2,b=\,c=-1,满足a>5>c,但ac<bc,故①不成立；

对于②，因为a,b,c均为非零实数，且所以d>0,所以ac?〉/7c\故②成立；

对于③，取特殊值。=3,6=2,。=一1,满足非零实数心此时3—3。=(3—2)「=1,

(a—cf=(3+l)'=4|=1,但(a—cf,故③不成立；

对于④，因为a,方，c均为非零实数，且a>b>c,所以iv—c,a—c>0,a-b>0,

n—ha—hn-h

所以0<〃一X〃一c,0<<1,所以In<ln1,即In<(),故④成立.

a-ca—ca-c

⑵若关于x的不等式av2+云+c>0的解集为(一1,2),则关于.1的不等式的解

人

集为.

答案(一8,0)

解析由题意，关于x的不等式加+纵+c>0的解集为(一1,2),

则一1,2是一元二次方程a*+法+c=0的两根，

b

K+2,

解得〃=—4,C=-2。，巨4V0,

则关于x的不等式—+c>必可化为三一2a>-or,即:一2v-x,

人人人

刀―2工+1(Li)?

<0,解得工<0,

2〃+〃

所以不等式一^+c>历:的解集为(一8,0).

人

易错提醒解不等式问题的易错点

(1)对参数讨论时分类不完整，易忽视4=0的情况.

(2)一元二次不等式中，易忽视开口方向，从而错解.

(3)分式不等式易忽视分母不为0.

跟踪演练1(1)(2022.临川模拟)若实数a,h满足ae<a5h.则下列选项中一定成立的是()

A.a<bB.a3Vb3

C.eflD.In1<0

答案D

解析因为。6<东儿

所以a6—a5b=a5(a—/?)<0,

显然“WO,所以a(a-b)v0,

a>0,[a<0,

所以，或.

q—b<()(d-/?>(),

即0<a<b或b<a<0.

若0<a<仇则护，e“r<e°=l,

In^<ln1=0；

若XavO,则/>/,e"f>e°=l,

In^<ln1=0,

则一定成立的是选项D.

(2)若关于x的不等式f一(加+2比+2〃?<0的解集中恰有4个整数，则实数机的取值范围为

()

A.(6,7]B.[-3,-2)

C.[-3,-2)u(6,7]D.[-3,7]

答案C

解析不等式A2—(6+21*+2/〃<0,即(x—2)(x—/〃)<(),

当〃?>2时，不等式的解集为(2,用)，此时要使解集中恰有4个整数，

这4个整数只能是3,4,5,6,故6<〃?<7；

当机=2时，不等式的解集为0,此时不符合题意；

当〃?<2时，不等式的解集为(切，2),此时要使解集中恰有4个整数，

这4个整数只能是一2,—1,0,1,故一3W〃?v—2.

综上所述，实数机的取值范围为[-3,-2)U(6,7J.

考点二线性规划

【核心提炼】

1.截距型：形如z=or+加求这类目标函数的最值常将函数z=ar+外转化为y=-%+水

(〃#0),通过求直线的截距光的最值间接求出z的最值.

2.距离型：形如z=(x—ap+G，一8)2,设动点p(x,)，),定点M(a,b),则z=|PM/.

v—b

3.斜率型：形如设动点P(x,y),定点W(〃，h),则Z="M.

.xa

x+)，22,

例2(1)(2022.全国乙卷)若工，)，满足约束条件上+2)W4,则z=2x—y的最大值是()

j20,

A.-2B.4C.8D.12

答案C

解析方法一由题意作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示,

转化目标函数z=2x—y为y=2x—z,

上下平移直线z,可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大,

所以Zmax=2X4—0=8.

规律方法含参数的线性规划问题，参数位置一般有两种形式：一是目标函数中含有参数，

这时可以准确作出可行域，这类问题的一般特征是其最优解是可知的，因此解题时可充分利

用目标函数的斜率特征加以转化；二是在约束条件中含参，可行域的边界线中有一条是动态

的，所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理，有时还需分类讨论.

2x~y^0,

跟踪演练2（1）（2022•宁波模拟）若实数X,），满足，/达且z=3x+y的最大值为8,

jW-x+2〃?，

则实数利的值为（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

2（一），20,

解析画出不等式组所表示的可行域（含边界）如图所示，。（0,0）,A（m,

jW-x+2/〃

由图中直线斜率关系知，

当直线），=—3x+z向上平移时，依次经过点。，B,4.

故经过点A时，z有最大值4加，

由4/〃=8,得m=2.

3x—2y+620,

⑵(2022・榆林模拟)已知实数x,y满足，ZL3y-6W0,则目标函数z=(x+l)2+(y+2)2的

/+2y+220,

最小值为.

9

答案5

3x-2)，+620,

解析作出不等式纸2r-3.v-6^0,表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示,

j+2y+2N0

函数z=(x+l)2+G，+2)2表示可行域内的点与点(一1,一2)的距离的平方.

由图知，/=4(x+1)2+3+2)2的最小值为点(一1,一2)到直线x+2.y+2=0的距离，

|—1—4+2|3^5的防旦।估工9

即---忑----=小一，所以z的最小值为宁

考点三基本不等式

【核心提炼】

基本不等式求最值的三种解题技巧

(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值.

(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用

基本不等式求最值.

(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，

A

即化为>'=/7?4-——+8g(x)[4B>0),g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式枭求最值.

V*/

x+1

例3(1)已知Q0,)>(),且2x+y=l,则丁的最小值为()

A.9B.12

C.2^64-5D.#+5

答案C

解析因为x>0,>>0,且2x+y=1,

（2）（2022•全国甲卷）已知△人8c中，点。在边8c上，ZADB=\20°,AD=2,CO=2BD当宣

/\lJ

取得最小值时，BD=.

答案V3-1

解析设BD=k（k＞。）,则CD=2k.

根据题意作出大致图形，如图.

在△A3D中，由余弦定理得442=4>+8。2—24。友允05乙4。8=22+左一2X2女义(一乡=太

+2及+4.

在△4CQ中，由余弦定理得AC2=4)2+CD2-24/).cZ)cosN4OC=22+(2k)2—2X2X2kxT=

4F一软+4,

AC243―42+4

则折斤+2左+4

4(4+24+4)—12々一12

=S+2&+4

12(%+1)12(A+I)

_4_标+22+4=4_(&+if

12

=4---------.

3

...&+1+户2小

（当且仅当欠+1=/，即上=小一1时等号成立）

・••轰2-徐=4-2小=（小一1）2,

•••当器取得最小值5一1时，

BD=k=y/3~l.

规律方法利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件

（I）一正二定三相等，三者缺一不可.

（2）若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取入到.

〃4+4/?4+1

跟踪演练3⑴若〃，〃£R,R»0,则一益—的最小值为（）

A.6B.4C.272D.2

答案B

a4+4/+l、2W447+l4。2/+1,1、l~~

解析・・・时>0,:.—记——=F^=4ab+标》2\14%

/=4/,

当且仅当<1即，=2〃=当时取等号.

[4"=%，

(2)(2022•新高考全国H改编)若满足1,则x+y的取值范围是

/+)?的最大值为.

答案[-2,2]2

解析由.P+y2—xy=1可变形为

(x+)?)2-1=3;i)W3(甘叶，

解得-2Wx+yW2,

当且仅当人---1时，人+,=一2,

当且仅当x=y=l时，x+y=2,

所以x+y的取值范围为[-2,2].

由f+V一孙=】可变形为

2

『+)?-1=出忘f+话y\

解得f+)2W2,当且仅当x=)，=±l时取等号，

所以『+)2的最大值为2.

专题强化练

一、选择题

4

I.不等式MWx-2的解集是()

A.(一8,0]U(2,4]B.[0,2)U[4,+叼

C.[2,4)D.(一8,2)U(4,+8)

答案B

解析当x—2〉0,即心>2时，。-2)224,即x—222,

解得x24；

当x—2<0,即x<2时，(A—2)2<4,即一2WL2<0,解得0WX<2.

综上，不等式的解集为[0,2)U[4,+8).

2.（2022・衡水中学模拟）已知定产0,则下列结论一定正确的是（）

A.cr>trB.g+£v2

C.\a\a<\a\hD.\ga2<\gab

答案D

解析由^<^<0,可得/?<6<0,则a+/?<0,a—b>0,ab>D,

A中,由o2一丛=3+8）（0—卜）<0,得a2V力2,所以A不E确;

B中，由£>0，系>0，且、琮，得'+齐2'^1=2,所以B不正确；

C中，当间=1时，俳=14=1，此时间“=1才，所以C不正确；

2

D中，由1ga2—]gab=1g3=lg*且b<a<（）,得0<|<1,

所以怛%。，可得怛fl2<lg"，所以D正确.

3.（2021.全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（）

4

A.），=f+2x+4B.y=|sinx|+j^^i

4

C.J=2A+22-XD.y=Inx+市

答案C

解析选项A,因为y=f+2k+4=（x+1>+3,所以当x=-1时，y取得最小值，且以而

=3,所以选项A不符合题意；

选项B,因为），=卜市川+而飞22ylsin升至丽=4,当且仅当|sin川=鬲『还即|sinM=2时

取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sinx|=2不可能成立，因此可知）>4,所以迄项B

不符合题意（或设Isin川=九则，£（0,1],根据函数尸/+宁在（0,1]上单调递减可得加亩=1

4

+y=5,所以选项B不符合题意）；

选项C,因为y=2*+22r》2正声=4,当且仅当不二??—”,即1=2—乂即x=1时取等号，

所以），min=4,所以选项C符合题意；

4

选项D,当（Kx<l时，lnj<0,y=ln^+j^<0,所以选项D不符合题意.

x-120,

2v—2

4.（2022•河南省名校联盟联考）若X,），满足约束条件<x一/0,则z=」「取得最大

人

.x+y—4W0,

值的最优解为（）

A.（1,3）B.（1,1）C.4D.0

答案A

解析由约束条件可得如图中阴影部分（含边界）所示的可行域，又2=牛工表示可行域中任

意一点与40,I）所在直线斜率的2倍,

所以牛2取最大值相当于三取最大值，即可行域中任意一点与A（0,1）连线的斜率取最大值,

人.Vv

x+y=4,

由图可知，可行域中只有旧的交点3）与4。一）所在直线的斜率最大,艮最大

值为1^=2

所以2=三二的最大值为明取得最大值的最优解为（|,3）.

人

5.（2022•宜宾质检）已知。£[-1,1],不等式『+3—4优+4—2〃>0恒成立，则x的取值范

围为（）

A.2)U(3,十一)

B.一8,I)U(2,+8)

C.(—8,l)U(3,+8)

D.(1，3)

答案C

解析令./U0=（x—2）〃+/—4x+4,

则不等式亡+（。-4）4+4—24>0恒成立转化为儿?）>0在[-1,1]上恒成立.

(.A-D>o,

则

一(x—2)+/一4x+4>0,

即

X-2+f—4x+4>0,

X2—5x+6>0,

整理得，

A2—3,v+2>0,

解得Ml或x>3.

故x的取值范围为（一8,1）U（3,+8）.

6.（2022.开封模拟）已知（2,1）是椭圆C：「+£=13>於0）上一点，则连接椭圆。的四个顶

点构成的四边形的面积（）

A.有最小值4B.有最小值8

C.有最大值8D.有最大值16

答案B

解析因为（2,1）是椭圆C：，+$=1上一点，

41______

所以示+布=1,即/=4〃+/,所以=4/+422244=2.42=4〃仇所以"24.

连接椭圆。的四个顶点构成的四边形的面积为5=：X24X2〃=2"22X4=8.

即面积有最小值8.

7.已知关于x的不等式〃LV2-6工+3〃?<0在（0,2］上有解，则实数〃?的取值范围是（）

A.（-8,小）B.（-8,牛）

C.（小，+°°）D.（呈+8）

答案A

2

解析由题意得，"LV—6.x+3〃?〈0,x£（0,2］,即6Vx2,3,

故问题转化为〃心磊在（0,2］上有解，

设g（］）=詈？

则g（x）=^^5=-^5，K£（°，2］，

xd^一

x

因为小，当且仅当工=小£（0,2］时取等号，

所以g（T）max=,

故〃?（小.

8.已知太考，4i）=x+T中则下列说法正确的是（）

A.人丫）有最大值一WB.人幻有最大值一；

117

C.凡r）有最小值3D./U）有最小值弓

答案B

3

3-

解析VA<7,2

343

4--X-

•\/U)=x+—3232

-X-

x—2-2

卜一yWO,

9.（2022・嘉兴质检）已知实数x,y满足约束条件x+yW2,则z=|x-2），+6］的最大值

.3x—y+220,

是（）

A.10B.7C.5D.2

答案B

x—）W0,

解析画出不等式组＜x+）W2,所表示的平面区域，如图阴影部分（含边界）所示,

区一丁+2，（）

设机=x—2y+6,贝1y=5+3—

当直线经过点时,

y=%+3—3A目标函数加=x—2.y+6取得最小值,

当直线y=5+3—?经过点时,

B目标函数W=A—2y4-6取得最大值,

x+y=2,

由，3，一），+2=。，解得40'2）'

x-y=（）,

又由，T)，

3L），+2=。，解得8（T,

所以目标函数的最小值为2,最大值为7,

所以z=b—2），+6]的最大值是7.

10.（2022・石家庄模拟）设正实数〃?，〃满足〃?+〃=2,则下列说法正确的是（）

A.《+%勺最小值为4

B.〃?〃的最小值为1

C.51+由的最大值为2

D.m2+〃2的最小值为总

答案C

解析Vm>0,n>0,m^-n=2t

.$+2,”+”）6+3

斗产+能如2商=2,

当且仅当2=5,即m=〃=1时，等号成立，故A不正确；

m-\-n=2^2\[mfi,/.rnn^1,当且仅当〃?=〃=1时，等号成立，故B不正确；

,.,（5i+m）Y2[（5；尸+（5）2]=4,・,•赤+由小/5=2,当且仅当〃?=〃=1时，等号成立,

故C正确；

♦〃2+〃峰"〃："）=2,当且仅当〃?=〃=1时，等号成立，故D不正确.

11.（2022・滁州质检）若实数&。满足2a+〃=3（e*则狭昌的最小值为（）

A.6B.4C.3D.2

答案A

解析令2a—1=加，b—\=n,则加>0,/?>0,

*.m-\rn=2a-\rb-2=1,

・仔+六也=2+W

2a~1b—1mntnn

=2+（5+务”+〃）

一〃im

=4+—+—

inn

2+2、席=6,

I33

当且仅当机=〃=5，即a=36=彳时取等号.

病+小

12.（2022,杭州模拟）已知小b,c£R且a+〃+c=0,a>b>c,则「―的取值范围是（）

A.[2,+8)B.(一8,-2]

5a5n

--

-D2J

2?

答案C

解析由a+/〉+c=0,〃>$>（:,可得a>0,c<0,b=-a—c,

Q|

则〃>一〃-c>c,贝!|一2<^v—

令片点贝・2<，<V，亲=»,+!（—2<，<一》

又w）=f+：在（一2,—1）上单调递增，在（一】，一外单调递减,

A-2)=-2+—

55卜

--C-2

22<■C

二、填空题

13.（2022・安庆检测）能够说明“设a,〃，c是任意实数，若/+〃>洛则。+0"”是假命题

的一组整数a,b,c的值依次为.

答案一3,一1,1（答案不唯一）

解析令〃=—3,〃=—1,c=I,则/+〃2=]o>[=/,此时。+6=—4<1,所以该命题是

假命题.

d+5

14.已知关干x的不等式心2+/zr+，X）（"./?•c£R）的解集为{巾0y4}.则石石的取值范国

为•

答案[4小，+oo）

f-^=3+4=7,

解析由不等式的解集知”0,由根与系数的关系知J

1>3X4=12,

/.b=Ta,c=12a,则']：=口4"J5=—