高考数学二轮复习专项突破（全国版文）不等式选讲

第2讲不等式选讲

［考情分析］本部分主要考查绝对值不等式的解法、含绝对值的函数的最值，以及绝对值不

等式恒成立问题和证明等，难度中等.

考点一含有绝对值的不等式的解法

【核心提炼】

(1或段)<—a.

(2)收)|〜3>0)。-a<J(x)<a.

(3)对形如|x—H+|x—)|Wc,k—al+k—加2c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.

例1(2022・包头模拟)已知函数,")=年一1|+3,+1|.

y

一_/10一一/

9

1J__

8VM

■_」____

7

6

・.r

I***r""r""5•"n

-----♦.r一一r

4

3

一一一L■一一___

2

・一，■_」

1

-4-3-2-1o1234X

(I)画出y=/(x)的图象；

(2)求不等式1)的解集.

解(1)当时,贝力=x-l+3(x+l)=4x+2,

当一1a<1时,人幻=<一；r)+3(x+l)=2x+4,

当xW—l时，«r)=(l—x)—3(x+l)

=—4x—2,

4x+2,

即yu)=<2A'+4，781,

4x—2,xW—1,

如图，画出函数的图象，

（2）将），=/（%）的图象向右平移一个单位长度就得到函数），=/0•—1）的图象，如图，画出两个函

数在同一坐标系下的图象,），=一以一2向右平移一个单位长度得到函数），=一4（工一1）-2=一

4x4-2,

y=2x+4,解得,t=一；,10

联立，产亍

j=—4x+2,

如图，当一；时，,

所以不等式的解集是（一；，+8）.

规律方法含绝对值不等A.的解法

（1）用零点分段法解绝对值不等式的步骤

①求零点；

②划区间、去绝对值符号；

③分别解去掉绝对值的不等式：

④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.

（2）用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂,

又简洁直观，是一种较好的方法.

跟踪演练1（2022•临川模拟）已知府）=母一1|一小+”.

（1）若a=l,解不等式V》）W1；

（2）若不等式无解，求实数。的取值范围.

解（i）va=i,••・解不等式就是解不等式卜一“一k+”wi.

当XV—1时，原不等式可化为1—x+x+lWl,

AxeO.

当一iWxWl时，原不等式可化为1—x—x—1W1,—JwxWL

当x>l时，原不等式可化为x—I—x—lW1,

工原不等式的解集为［-g，+8）

(2)・・・/)=仅一1|一小+”,

(a-l)x+a+l,J<-1,

：.f(X)=<(—«—1)A—67+1,—1WxW1,

(1—a)x—1,J>1.

当aW—1时,y(A)min=/(-1)=2>1,

・•・原不等式无解成立.

当一1<4<1时，./U)min=/U)=-2a,要使原不等式无解，则一2a>1,

即4<一；，

-1<a<一~2,

当时，火0)=1—4・0,

・•・原不等式一定有解.

综上，实数。的取值范围是(-8,一g.

考点二含绝对值不等式的恒成立(有解)问题

【核心提炼】

定理1:如果。，〃是实数，则|a+臼W|a|+|M当且仅当他20时，等号成立.

定理2:如果a,b,。是实数，那么|。一c、|W|a—〃|十|力一d,当且仅当(〃一〃)(〃一c)20时，等

号成立.

例2已知函数./U)=|x—11+|A+2|,g(x)=|x+1|—|A—a|+a.

(1)当a=l时，求不等式负x)+g(x)v6的解集；

(2)若对任意实数为，X2,不等式《rD2g(X2)恒成立，求实数a的取值范围.

解⑴当。=1时，不等式化为|x+2|+|x+l|<5.

—1,f—2<A<—1,[x<—2,

则《,或彳或彳

[2x+3<51<5l-2.r-3<5.

即一1WX<1或一2Wx<—1或一4<x<一2,

即一4<i<l,

所以不等式的解集是(一4,1).

(2)因为yU)=k—l|+|x+2|2|(x-l)—(x+2)|=3,

当且仅当(x-l)(x+2)W0,即一2WxWl时取等号，

所以7U)min=3.

因为g(%)=|x+1|—|x—o|+aW|(x+1)—(x—a)|+a=|a+l|+a,

当xemax{a,—1}时取等号，

所以g(X)max=|〃+11+%

定理4：(一般形式的算术一几何平均不等式)如果fl|,6,…，斯为〃个正数，则…

2301。2…斯,当且仅当41=42=3=4“时，等号成立.

例3(2022•全国甲卷)已知4,b,C均为正数，且〃2+6+4/=3,证明：

(l)a+〃+2cW3；

(2)若b=2c,则；+93.

证明(1)方法一(平方转化基本不等式证明)

因为/+/+4。2=3,

所以(a+b+2c产=a2+b2+4c2+2(ab+2bc+2ac)W3+(a2+b2)+[b2+(2c)2]+[a2+(2c)2]=3

+252+从+(20)2]=9,

当且仅当a=b=2c=\时夙等号，

又a,b,。均为正数，所以a+b+2cW3.

方法二(柯西不等式证明)

因为/+/+4/=3,

所以根据柯西不等式有3X3=(t72+^+4c2)-(l2+l2+l2)>(«+^+2c)2,

当且仅当a=b=2c=\时取等号.

又mb,c均为正数，所以〃+b+2cW3.

(2)因为b=2ct

所以根据(1)有。+4cW3,

所此+A1G+5

当且仅当a=b=2c=\时取得等号.

规律方法(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明.

(2)对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式.

(3)对于含有根号的不等式,在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数).

(4)如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以考

虑反证法.

333

跟踪演练3(2022•全国乙卷)已知小b,。都是正数，且/+后+曰=1,证明：

⑵力+，+°+（;+〃+广2A/^?

333l-33_T__

证明（1）因为a,〃，c都是正数，1=4+/?2+C*a23Vo?=3y[abc,

所以abcwf,

2

当且仅当a=b=c=时等号成立.

⑵因为/?＞0,c＞0,所以。+c22亚Z

又因为eO,所以&W品，

同理得£乏忐,焉冠施.

利用不等式的性质得

a.h.ca.b.c

b+ca+ca+h^2y[hc2y[ac2y[ab

2\[abc2\[abc2\jabc

333

_/+/?2+°2_]

14abcijcibc'

2

当且仅当a=A=c=(gj时等号成立.

专题强化练

1.（2022・合肥模拟）已知函数_/U）=|2A+4|+|X-1|.

（1）当。=4时，求不等式人》）＜6的解集：

（2）若人幻2/一年一1|对任意的x£R恒成立，求a的取值范围.

解（1）当a=4时，不等式段）＜6可化为白+4|+以一1|＜6,

当入＜一2时，不等式yU）v6可化为一2¥一4一。-1）＜6,解得一3＜¥＜一2；

当一2WxWl时，不等式/x）＜6可化为2_丫+4—（工-1）＜6,解得一2Wx＜l；

当人＞1时，不等式/U）v6可化为2x+4+x—l＜6,无解，

综上所述，当。=4时，不等式./U）v6的解集为（一3J）.

⑵由凡外2后一|.1一1|得/或2'+4|+3-2|,

因为2I+〃|+|2K—2|2|(2r+〃)一(2x—2)|=|〃+2|(当且仅当(2x+a)(2x—2)W0时，等号成立),

又因为屋W|2r+a|+|2x-2|对任意的x£R恒成立，所以/W|a+2|,

当。+2W0,即2时，有后在一〃一2,即a^+a+ZWO,此不等式无解，

当。+2>0,即。>—2时，有/Wo+2,即/—a—2WO,解得一1Wa《2,

综上所述，。的取值范围为一1W〃W2.

2.(2022•酒泉模拟)已知函数加)=|不一2|+氐+/|(>0),^(x)=k+3|-|x-l|.

(1)若1/U)的最小值为3,求)的值;

(2)在(1)的前提下，若於+。)2g(x)，求a的取值范围.

解(1求工)=k一2|+田+/|2|/+2|=/+2=3,

当且仅当一fW*W2时，等号成立，

所以工=1.

—4,x<—3,

(2)^(A)=<2X4-2,-3<XCI,

.4,x>\,

—2x~2a+1,x<~a—1,

於+〃)=«3,

,2,v+2«—1,x>2~a,

«x+a)2g(x)恒成立.

3.(2022・汉中模拟)已知函数贝X)=LL4〃?|+X+(.

(1)当〃?=1时，求不等式扉幻>7的解集；

(2)证明：当心1时，危)一言一《28.

—2x+3,1,

⑴解当阳=1时，y(x)=&-4|+|x+l|="5,—l<x<4,

2x—3,124,

当xW—l时，-2x+3>7,解得xv—2；

当一1令<4时，5>7,显然不成立;

当x24时,当一3>7,解得Q5.

综上，当m=1时，不等式儿0>7的解集为(-8,-2)U(5,+8).

加+却

(2)证明y(x)=|x—4词+x+~2x—4m-G+9IT

当且仅当一AwxW4〃?时，等号成立,

'•'/«>1,:.4m+-=4w4-m-,

••小处十/一524，〃+5+尚一5=4〃?+禺，

4〃2+^77=4(/〃-1)+^77+422皿+4=8,

当且仅当4(机-1)=一」

in—1

3

即〃时，等号成立，

故段)+春—

4.已知函数y