高考数学二轮复习专项突破（全国版文）平面向量

ZHUANTIER

专题二三角函数与解三角形

第1讲平面向量

［考情分析］1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题

中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向

量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查，中低等难度.

考点一平面向量的线性运算

【核心提炼】

共线定理及推论

(1)已知向量。=(乃，yi),“WO,b=(x2,yi),

则。〃力。力=2。。汨”—X2ji=O.

⑵若H&+〃应?，

则4,B,C三点共线u»l+〃=l.

例1(1)(2022,德州模拟)如图1,蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的

六边形开口，可记为图2中的正六边形A8COEF,其中。为正六边形的中心，设0

=〃，AF=b,若而=证，济=3的，则疝等于()

解析由正六边形的性质可知嬴=历=反，AF=OE=BO,因为百力=庆，EF=3EN,

-aI-►—>—►-►—>"►2~►2~~»2~~1—►

所以OM=5（OB+oa,ON=。/+FN=OF+^FE=。r+彳（。£-OF）=QOE+QOF,

4JJ。J

(2)在△A8C中，AE=~2CE,〃为边A8上一点，BE与CF交于点、0,若超=拗+.\最:,

则丁等于()

123

A，2B.]C.[D.2

答案A

解析如图所示，•・•恁=一2%，则公=泣，

.\AO=^AB+yAC=^AB-^-^yAE,

VO,B,石三点共线，，；+|y=l,

解得y={

规律方法向量线性运算问题的求解方法

(1)进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平

行四边形法则、三角形法则求解.

(2)应用平面几何知识，如三角形的中位线、相似三角形的性质等，可以简化运算.

(3)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，

不能盲目转化.

跟踪演练1(1)(2022.石家庄模拟)在平行四边形A4C。中，M,N分别是A。，CO的中点，

若痂BN=h,则访等于(

=a,)

A.：a+能22

B下+能

23

昂+%D.Qa+a

答案B

解析如图所示，设危=血，AD=n,且而=M+)力,

则BD=xa+）仍=6〃—初）+）（〃—%，=&+）'）—（x+

因为BO=〃一〃z,

3'

解得s所以8。=¥+下.

〔尸亨

(2)(2022.张家口检测)已知向量。=(1一25，1),向量6=(3”?+1,2),若a//b.则实数m=

答案|

解析因为。〃力，所以3腐+1=2—4〃?，所以机=：.

考点二平面向量的数量积

【核心提炼】

1.若a=(x,y),则同="7^=>*+)2.

2.若4(即，)，i),B(X2,”)，

则|48|=7(X2—V)2+(户一)1)2.

3.若。=(汨，yi),b=(X2,yi),。为a与方的夹角，

,.八ab片一+为及

"hC°S丽=向京+成

例2(1)(2022・新高考全国H)已知向量。=(3,4),3=(1,0),c=a+tb,若例c)=例小,

则/等于()

A.-6B.—5C.5D.6

答案C

解析由题意，得。=。+出=(3+八4),

所以ec=3X(3+f)+4X4=25+3f,

"c=lX(3+1)+0X4=3+f.

因为〈。，c)=(h,c).

所以cos(a,c)=cos(b,c),

如0£=旦,

即闷|c|一步||c|'

即在爱=3+3解得，=5.

(2)(2022・益阳调研)如图,已知等腰△A8C中，AB=AC=3,8c=4,点尸是边BC上的劲点,

则崩•(赢+危)()

则⑷=.

答案3

解析由已知可得〃=—/>—c,则(。一/>)•(“一c)=(一26一c>(—2c)=(2)+c)0+2c)=O,

22

即2b-\-2c-\-5bc=Ot

因为g—c|=9,贝ij店+c2—2〃・c=81,所以后+。2=45,力P=一18,

因jlt|a|2=a2=(—C)2=^24-C2+2/>-C=9,故|。|=3.

考点三平面向量的综合应用

【核心提炼】

向量求最值的常用方法

(I)利用三角函数求最值.

(2)利用基本不等式求最值.

(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值.

例3(1)(2022.临川模拟)在△ABC中，点。在线段AC上，且满足|八。|=>1。，点Q为线段

8。上任意一点，若实数x,1y满足双=岳+)欣:，则的最小值为()

Ay

A.4B.45C.8D.4+2小

答案D

解析由题意知点。满足病=数，由恁=.届+)府=K崩+3)脑，由点Q在线段8D上，

结合向量的三点共线定理可得x+3y=l,x>0,y>0,贝吐+：=g+：)a+3y)=4+学+彩4

+25，当且仅当乎=・，即尸也尸人尸彳叵时等号成立，即D选项正确.

AyLo

⑵已知在菱形A8CO中，AC=2，5,BD=2,点E为CQ上一点，且CE=2EO,贝Ij/AEB

的余弦值为()

A型M。D近

答案D

解析设AC与8。交于点，以O为坐标原点，AC,B。所在的直线分别为工，)，轴建立平

面直角坐标系如图所示，则人(陋，0),8(0,1),

《一率J)，

则或=(平,3'丽=(乎'&则c°sNAEB=gg=第=坐.

规律方法用向量法解决平面几何问题，通常是建立平面直角坐标系将问题坐标化，然后利

用向量的坐标运算解有关问题，这样可以避免繁杂的逻样推理，同时加强了数形结合思想在

解题中的应用.

跟踪演练3(1)在平面四边形ABC。中，/=(一2,3),丽=(6,4),则该四边形的面积为()

A.^52B.2寸52C.13D.26

答案C

解析VACRb=-12+12=0,：.AC±BDt

・•・平面四边形ABCD的面积为本花而|=Jxd4+9><d36+16=13.

(2)(2022.漳州质检)已知△八8c是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则

而•正的取值范围为()

A[42]B.[d4

C.[0,2]D.[0,4]

答案A

解析取线段AB的中点。，连接CO,则OC_LAB,

以点O为坐标原点，OB,OC所在直线分别为4,)，轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设P(a.0),则一iWaWl.8(1.0),C(0,事).PB=(\-a,0).PC=(~a,/),

故两辰=々3_1)=(〃_；)2_；£[一土，2].

专题强化练

一、选择题

1.(2022•全国乙卷)已知向量。=(2,1),1=(-2,4),贝IJM一例等于()

A.2B.3C.4D.5

答案D

解析由题意知〃一人=(2,1)一(一2,4)=(4,-3),所以|"一力|=442+(—3)2=5.

2.（2022・山东联考）已知a,力是互相垂直的单位向量，若c=a—2b,则"c等于（）

A.-2B.-1C.0D.2

答案A

解析bc=b（a-2b）=ba-2b2=0-2=-2.

3.（2022・新高考全国I）在△ABC中，点。在边48上，BO=2D4.记cb=n,则无

等于（）

A.3m-2HB.-2m+3n

C.3〃z+2〃D.2/w4-3w

答案B

解析因为8O=2D4,所以初=3箭），所以油=匿+赢=占+3病=3+3（诙一己）=

—2CA+3CO=—2〃?+3〃.

4.已知向量a,力满足⑷=3仍|=2,ab=I,若一a+2力与〃地+38共线，则向。+3力|等于（）

A.2B.4C.-V22D.22

答案A

23

--

解析因为一。+2〃与"地+3》共线，所以32

3/93

又同=3步|=2,ab=1,所以|〃加+3例=一呼+3b=A/^|2+W~2X^X3a-^=

/9：4

^ZX4+9X--9=2.

5.（2022•保定模拟）已知向量。=（2,1）,|。|=回，|。一。|=5,则。与力的央角为（）

A.瓦-4八B3兀C八T27r〜DT37c

答案D

解析Va=（2,l）,；・|。|=（\/4+1=4,

\a—b\2=a2—2ab-\-b2=|a|2—2|a||Z>|cos〈a,b）+|Z>|2=15—lO^cos（a,b）=25,

解得cos（a,b）=一乎，

又Q,b）e[0,句，・•・3,b）=苧，即。与》的夹角为苧

6.（2022•南昌模拟）已知向量晶=（1,1）,将向量晶绕原点。逆时针旋转90。得到向量5k将

向量晶绕原点。顺时针旋转135。得到向量次，则下列结论正确的个数是（）

®5A+5B+OC=0：②»2|=131；③d・5A=0：®CAAB=~2.

A.IB.2C.3D.4

答案c

解析由题意得苏=（i』），5B=（-I,I）,5C=（O,一事）,

所以万1+m+n=（0,2-啦）WO,故①错误；

|砌=|已尸、4+2陋,故②正确；

以.为=1X（-1）+1X1=0,故③正确；

CA-/iB=（l,l+V2）-（-2,0）=-2,故④正确.

7.（2022•深圳模拟）四边形ABC。为边长为I的正方形，M,N分别为边CD,BC的中点，则

下列结论正确的是（）

A.AB=2MDB.AD-\~MC=MA

C.AMLDND.AMBC=^

J

答案c

解析A项，AB=2DM=-2MDt故A错误；

B项，忌=而+筋=一而一病=南一病，故B错误；

以。为原点，DC,OA所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系（图略），

则0（00,0）,40』），或，0）,C（1.0）,8（1,1）,11,g,

・,•俞=（；,-1）,K=（l,号，BC=（O,-1）,

.••赢.苏=3—3=（）,ATU/IDJV,故C正确；

AMBC=1,故D错误.

ABAC疣=。,且豆鱼

8.（2022・东北师大附中检测）若非零向最后和危满足4

2，

、而I|Aq>ICAI\CB\

则△A8C一定是（）

A.钝角三角形

B.等腰直角三角形

C.等边三角形

D.有一个内角为第勺锐角三角形

答案B

—>

解析•・•丝表示与瀛同向的单位向量,CACB

根据向量的性质可得

\AB\\CA\\CB\

A

・・・丝+冬•在N8AC的角平分线上（设角平分线为AO）,

\AB\\AC\

・・

*-BC=(),

l|A6|\AC\)

：.AD1BC,从而有AB=AC,即C=8,

..CACB=互CBCACB

cosC=,且-1.cosC-

乂•一.一212，

\CA\|CB|\CA\\\\CB\\CA\\CB\

又OvCvjT,・,.C=；,寸则A=],

•••△ABC为等腰直角三角形.

9.(2022•石家庄模拟)如图，在△A8CU」，NH4C=90°,/W=3,AC=4,点、D,E为边BC

上两个动点，且满足OE=2,则而•危的最小值为（）

、49

A-25

c-f

答案B

解析如图，取OE的中点M,连接AM,则而=屐/+而，AE=AM+ME,则病•病=（病

^MDy（AM+ME）=AM1-Mb1=AM1-1,易知AM的最小值为点A到8c的距离，则AM的

最小值为W，即历•崩的最小值为*.

10.（2022・商丘模拟）已知。为△ABC所在平面内一点,4。交8C于点E,且6万）=2诵+3就,

沁等于（

则)

）△A3。

123

A5B2C15DT0

答案c

解析如图，AD交BC于点、E,

设Ak=Mb=^AB+^AC.

由3,E,c三点共线可得狂乂1,解得尸今

则］(AE—AB)='4C—A£),

JJJJ

:.2BE=3£C.设S^ECD=2y,贝1S"ED=3.y,

又病=柒5,则而=55k

J

・・・SZM9=5S△皿=15)，，・^=念=卷

11.已知四边形4BC。是矩形，AB=2AD,DF=XDC,BE=uBC,i+"=l,AE1AF,则祟

f\U

等于()

近53妪65

C・3D.9Lz・3LDx.9

答案c

解析如图，以A为坐标原点，A3所在直线为工轴，AO所在直线为)，轴建立平面直角坐标

系，设48=2AD=2,则4(0,0),B(2,0),0(0,1),C(2,l).

.•・矗=(2,0),Ab=(o,i),正=(o,i),5b=(2,o).

：.DF=ADC=(2X,0),读=〃比=(0,〃).

•••危=赢+第=(2,〃)，

而=而+而=(22,1).

：.AEAF=O,即2X22+〃X1=0.

又3+"=1,

14

所以2=_g,〃=g.

£F=AF—I，一§.

.EF_yj65

*：AD=\t•・而—3•

12.已知后,OB,历均为单位向量，且满足后+2油+2衣=0,则矗仄2的值为（）

、3「51n19

A.gB.gC.gD，Y

答案B

解析由于晶，OR,5b沟为单位向量，则|后|=|/|=|八|=1,

由a+2^+2沆=0,可得2加+2沆=一近，

所以4（加+5b）2=5V,

即4（OB2-\-OC2-\-2OBOC）=1,

所以加・拉?=一1,

O

由方+2加+2充=n.可得（万1+2而+2丞¥=0

即后2+4加2+4元2+4近.加+4届•公+8加・女=（）,解得苏•加+殖灰=一）

—►—►—►—►—>—►—>—►—►—►—>—►—►/I5

所以A8AC=（O3—。A）（OC-（M）=O8OC—（。408+04。。+042=—3+5+1=[.

oZo

二、填空题

13.（2022•全国甲卷）已知向量。=（加，3）,b=（l,机+1）.若a_Lb,则m=.

答案~1

3

解析•.,。_1_仇••・。力=〃?+3（〃?+1）=4机+3=0,解得“=一不

14.（2022.芜湖模拟）在梯形46co中，43〃CO且A4=4CO,点。在边4c上，若宿=短

+屈），则实数7=.

答案\

一2一3—

解析如图，延长A。，BC交于点、E,则从P,E三点共线，于是可得AP=?4B+?4E,

囚为A6〃CO且A5=4CO,所以能

,f34f?-*4f4

所以4P=548+5乂¥。=548+?。，故％=q.

JJJJJJ

15.已知平面向量。与力的夹角为120。”在〃方向上的投影为一1,且满足（2a+〃）_L（a-3〃）,

贝ij|a+2b|=.

7

答案

解析因为平面向量。与b的夹角为120。，力在。方向