高考数学二轮复习专项突破（全国版文）数列求和及其综合应用

第2讲数列求和及其综合应用

［考情分析］1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综合

问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证

明不等式等.3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等.

考点一数列求和

【核心提炼】

1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的

过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有：；^%=患一出)

4层—12^2/?—12n+1/

2.错位相减法求和，主要用于求｛〃,力〃｝的前〃项和，其中｛“〃｝,｛儿｝分别为等差数列和等比

数列.

考向1分组转化法

例1(2022•德州联考)已知数歹1」｛2卬｝是公比为4的等比数列，且满足s，田，的成等比数歹U，

an,〃为奇数,

工为数列｛九｝的前〃项和，且儿是1和的等差中项，若Cn=\i见佃蛤求数列｛C〃｝

b„,〃为偶数，

的前2〃一1项和.

解因为数列｛2%｝是公比为4的等比数列，

2/“

所以1丁=4,

所以an+\—an=2,

所以数列｛斯｝是公差为2的等差数列,

因为。2，04,成等比数列,

所以质=SS，

所以(41+6)'=31+2)(“1+12),

解得0=6,

所以。”=6+2(〃-1)=2〃+4,

因为S”为数列S浦的前〃项和，且儿是I和S”的等差中项，

所以S〃+l=2儿，

当“22时，有乂-1+1=2仇T,

两式相减得bn=2hn-2hn-iy

即bn=2bn-i,

当n=\时，有Si+1="+1=2"，

所以"=1,

所以数列｛九｝是首项为1,公比为2的等比数列,

所以d=2"」，

n=2k—\,

因为cn=\Z£N".

b”,n=2k,

所以数列｛金｝的前2n—1项和为

〃|+匕2+，n+力4+…+。2〃-1

=(0+。3~1-------FgLD+St+hiH------i■岳"-2)

〃(〃―1)2(1—4〃)

=6〃3-2-X44-i^4

2

=2好+4/1+彳(4"—1一1).

考向2裂项相消法

例2(2022.新高考全国1)记工为数列伍“｝的前〃项和，已知m=l,榭是公差为例等差数

列.

(1)求｛知｝的通项公式;

(2)证明：—+—H---1--<2.

''a\C12a,,

(1)解方法一因为0—1,所以那一I，

又榭是公差为;的等差数列，

所以3=1+(〃一1)X

因为当〃22时，a„=Sn-Sn-if

甑［、/&____&____〃+2

打九”一SLS,L13

SLS”T3

所以

S”一〃+2'

整理陪=胃

£二/S2s3Sn-1Sn45〃+1〃+2〃(〃+1)(〃+2)

所际贷…品汨LTX5X…〃—2n~16

〃(〃+1)(〃+2)

所以S=

n6

又S|=1也满足上式，

—〃(〃+1)(〃+2)*

所以5„=-----f---

=〃(〃-?〃+%小

则S〃-

所以斯=〃(〃+》〃+2)-依段〃+。

〃(〃+1)、

=2(〃12),

又41=1也满足上式，

所以D(〃WN“).

方法二因为0=1,所以乎"=1,

41

又｛资｝是公差为;的等差数列，

所以3=1+(〃一1)X7=^7^,

所以Sn=-~du.

因为当〃22时，

〃+2

%—Sn—Sn—\—30”-3%-1，

〃—1

所以-y-a,L1=~^—an.

所以言“+1

n—1

345

〃

"一

所以-X-X-X

123*

-b-2-

所以诙="〈〃2

又a\=\也满足上式,

所以”,尸吟1%£N').

(2)证明因为an=-2-，

〃〃一〃(〃+I)-2(〃〃+1)

所以

2

所吟+9…+3=[(T)+O9+…

)=磊<^=2.

故:----F~<2成立.

ci\。2Cln

考向3错位相减法

例3(2022•上饶模拟)从①岳一九=18历，②55=①一2,③log3e+】-1=log3〃”这三个条件中

任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知数列｛斯｝的前〃项和为当,数列｛〃”｝是正项等比数列，且2斯=%+1I%_](〃》2),S3=b3

=9,儿=a14,.

(I)求数列｛诙｝和｛bn｝的通项公式；

⑵若Cn=anbn，求数列｛金｝的前〃项和Tn.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解⑴选①.

设数列｛瓦｝的公比为式9>0),由乩一儿=18方2,得/一片=18,

即日-3)(炉+2q+6)=0,解得9=3.

由2%=%+1+如_](〃22)知数列(小｝为等差数列，

设等差数列｛小｝的公差为d,由邑=①=9,儿=04,

得3a2=3(m+d)=9,。3=匕©2=9,9夕=3+124,

所以0=/%=1,d=2,

故数列｛6｝和｛乩｝的通项公式分别为小=2〃-1,九=3"？

选②.

由2%=知+|+m7(〃22)知数列(如｝为等差数列，

设数列｛的｝的公差为d,数列｛仇｝的公比为以4>0),

由§3=历=9,/?4=。14,Ss=b«-2,

得3a2=3(m+d)=9,例=/?/=9,9夕=3+12d,

5〃i+IOd=9q—2,所以〃]=6=1,d=2,q=3,

故数列｛为｝和｛/,)的通项公式分别为小=2〃-1,6=3门

选③.

设数列｛九｝的公比为q(q>0),

由log3MH—1=log协J,得智'=3,则q=3.

由2%=如+i+a,i(〃22)知数列(m｝为等差数列，设等差数列｛斯｝的公差为d,

由S3=〃3=9,仇=414,得3。2=3(。1+67)=9,

历=。|/=9,9夕=3+12d,所以《="=1,d=2,

n]

故数列｛斯｝和｛瓦｝的通项公式分别为小=2〃-1,bn=3-.

⑵由⑴知c〃=4力“=(2〃-1)X3"一1,

0,2,,-2M_,

所以7]J=lX3+3X3+5X3+-+(2n-3)X3+(2/7-l)X3,①

3〃=1X3l+3X32+5X33+…+(2〃-3)X3”-l+(2〃-l)X3".②

①一②得一25=1+2X(31+32+33+…+3厂】)一(2〃-1)X3"=1+2X^^1~^一(2〃一

l)X3n=-2-(2n-2)X3",

所以1+(〃-1)X3".

规律方法(I)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差.

(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项.

⑶用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“SJ和“qS〃”

的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“£一4£”的表达式.

跟踪演练1(1)(2022•湛江模拟)已知数列｛%｝是等比数列，且8a3=俏，s+a5=36.

①求数列｛斯｝的通项公式；

②设仇=m“+l)；k+l)，求数列｛瓦｝的前〃项和力”尹证明；7；；＜1.

解①设等比数列｛m｝的公比是小首项是0.

由88=恁，可得夕=2.

由。2+的=36,可得〃同(1+43)=36,

所以。1=2,所以“〃=2".

②因为b=

n(斯+1)(即+1+1)

I1

2//+l-2//t|+l,

21+1-22+1)+(2?+1-2,+11

所以7；=〃i+力2H----卜bn=+…+2"+12,,+'+1

_I1_1_1

—21+1-2""+1=?-2〃”+「

又所以八＜1・

(2)(2022・南通调研)已知正项等比数列｛.”｝的前〃项和为S”，满足。2=2,。“+3Sn+2=an+.Sn.

①求数列｛%｝的通项公式；

②记〃”=七」，数列｛仇｝的前〃项和为〃，求使不等式7；《一号2成立的〃的最小值.

解①设等比数列的公比为q(q＞0),

因为42=2,

9

所以。同=2=41=1

—=

由«M+3Sn+2On+1—Slt

=。〃+3—〃〃+1=S〃+2-S”

=%+3-4"+1=%+2+%+1

=3-m+2-2a”+1=0

=a〃+i(g2—q—2)=0,

因为斯+i#o,所以'—4—2=0,

因为“>0,所以解得q=2,

?

即0=7=1,

所以数列伍“｝的通项公式为

%=1义2'门=2'口

②由①可知斯=2"I

r.2"—12〃-1

所6以p/b——'

na”z

所以7；=1+|+/~1----卜："，(*)

，制+奈+各—（**）

由（*）_（**尾7；=］+2X［；+*+*+…+亍*）一矢」

2〃+3

-3-2〃，

所以。尸6—；厂］,

.134〃+7上

代入■—2”中，

2〃+3134〃+7

得62«-i&2-2〃

=2">2=〃>1,

因为〃WN*,所以〃的最小值为2.

考点二数列的综合问题

【核心提炼】

数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数

关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前〃项和，再利用数列或数列对应的函教解决

最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.

例4(1)已知4(0,0),8(5,0),C(l,3),连接△ABC的各边中点得到△AiSG，连接△4&G

的各边中点得到△A2B2C2,如此无限继续下去，得到一系列三角形：△/IBC,△4SG,

△42&C2,…，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数()

A.yB.5C.10D.15

答案C

解析因为SAASC=1X5'3=亏，

An1

△/AIBICI£\ABCt48=T

所以也皿=1

*^AASC

所以SAABC,S^A禺CJS^A@G，…成等比数列，其首项为与，公比为，

"所以聿这一系列"三角-形的明面积之和为

无限趋近于10.

(2)在各项均为正数的数列｛%｝中,0=1,后+|—2小+期,一3届=0,S〃是数列｛“〃｝的前〃项和,

若对〃eN,不等式小a—2S〃)W27恒成立，则实数2的取值范围为.

答案(一8,17]

解析:晶+1—2。〃+1斯-3舄=0,

••(4"+1++1—3。〃)-0,

•1••4”+1,又(11I*

・•・数列｛”“｝是首项为1,公比为3的等比数列，

***4〃=3"1,

-3〃y_i

-

SL1-32_2,

2727

・••不等式如a-2S.)W27即AW2S.+亍=3〃+浙一I对〃WN*恒成立，

Cln3

•••3"十品》2、j3〃义品=18,

27

当且仅当3"=—,

即〃=2时，仪+品）min=18,

・・・次17,

・•・实数人的取值范围为（-8,17].

易错提醒求解数列与函数交汇问题要注意两点

（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集（或它的有限子集），在求数列最值或不等关

系时要特别注意.

（2）解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.

跟踪演练2（1）我国占代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：

“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日

相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对打洞穿墙，大、小鼠第一

天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对

数列问题的研究，现将墙的厚度改为1200尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（）

A.12B.11C.10D.9

答案B

解析设大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列｛为｝,｛九｝,由题意知，它们都是等比数列，

且0=〃1=1,数列｛“”）的公比为s=2,数列｛/?〃｝的公比为佻=；,

|一2"]=2"+1―*,

则（。]+。2+…+斯）+（0+岳+…+儿）=]_2T

1-2

当〃=10时，2"+1一册=1025—200,

当”=11时，2〃+1一击=2049—抬1200,

因此需要11天才能打穿.

（2）（2022•青岛模拟）在抛物线f=%第一象限内一点（。“，为）处的切线与x轴交点的横坐标记

为为+1,其中“£N・,已知公=32,S”为｛m｝的前〃项和，若加2s“恒成立，则〃？的最小值

为（）

A.16B.32C.64D.128

答案D

解析:y=2F,y1=4x,；・切线的斜率攵=4%,

；・切线方程为y—2a7,=4a/x—alt）,

令），=0,得x=?,即斯+i=£,

又。2=32,则=64X0,一=5,

a”乙

•••｛④｝是以64为首项，3为公比的等比数列,

则J上纥“X

凯

-5

又。<（£良，

•—<128.

・・・〃12&恒成立=62128,即机的最小值为128.

专题强化练

一、选择题

1.数列｛3｝满足24”+[=出+〃〃+2，且M。4040是函数«r）=W—8x+3的两个零点,则“2022

的值为（）

A.4B.-4

C.4040D.-404（）

答案A

解析因为出，OI（MO是函数8x+3的两个零点，

即。4,3040是方程/一8x+3=0的两个根，

所以。4+。4040=8.

又2a“+i=a〃+a〃+2,

所以数列｛斯｝是等差数列，

所以。4+。4040=2。2022=8,

所以02022=4.

2.已知函数_/U）=L的图象过点（4,2）,令斯=火〃+；）+加）（〃向N"）,记数列｛〃“｝的前〃项和为

S”则S2022等于（）

A.、2022+18.^2023-1

C.V2022-1D.、2023+1

答案B

解析函数7U）=./的图象过点（4,2）,

则4a=2,

解得得京

_]___[

/+I)+fin)1+5

=、〃+1—g,

则S2022=(g一1)+(小一心)+…+«2023r2022)=一1+山023.

3.(2022•衡水模拟)已知数列｛为｝的前〃项和为S”，若如-2=一小，且《尸1，2=2,则S2O23

等于()

A.0B.IC.2D.3

答案C

解析由%+2——斯，

得%+4=­。"+2=。”，

所以数列｛斯｝是周期为4的数列，

所以由0=1,。2=2得。3=—1，。4=-2,

所以。1+42+〃3+。4=0,

所以S2023=(m+a2+43+a4)X505+4i+a2+a3=2.

4.(2022♦涪陵模拟)在数列伍”｝中，斯=(一1)”1(4〃-3),前〃项和为S”则S22一$1为()

A.-85B.85C.-65D.65

答案C

解析由题意得

S22=〃i+々2+03+…+〃2i+々22=(4—3)—(8-3)+(12-3)-…+(84-3)—(88—3)=-44,

Si1=0+42+43+…+〃io+〃i1=(4—3)—(8-3)+(12—3)一…一(40—3)+(44—3)=21,

S22—5||=-44—21=-65.

5.已知”是椭圆*+*=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点RG=1,2,3,…)，使得

乙JIU

|FPi|,\FP2\,此P3I，…组成公差为或冷0)的等差数列，财公差d的最大值为()

、2-2〃3「3

A-7B5CWD7

答案C

解析由椭圆的方程和定义知a=5,b=4,c=3,

又•・・a-cW|f'Pi|Wa+c,

A2C|FP,|C8,

令尸Pil，IFP2I，IFP3I，…组成公差为/上0)等差数列公

・・・0=|尸Pi|22,

“Wl。力max=8,

.一一8-2663

,•n~1、〃一1n—1^21—110,

3

/.OvdW而

3

即公差d的最大值为行.

6.(2022•西南四省名校大联考)数列｛“〃｝的前〃项和为S”，且m+3s+…+3"「"产〃・3〃，若

对任意〃£N*,5〃2(-1)”成恒成立，则实数2的取值范围为()

A.[-3,4]B.[-2^2,2啦]

C.[-5,5]D.[-2-72-2,2^2+2]

答案A

解析当〃22时，3〃一%”=m3"一(〃一1)3"」

=⑵?+1)3"),

.•・。〃=2〃+1,当〃=1时，0=3符合上式，

〃(3+2〃+1)1,

2

，%=2〃+1,/.Sn=--2-------«+2/?.

当〃为奇数时，大二一辞=一(〃+2),

令8(〃)=一(〃+2),

当n=l时，g3)max=-3,

%2-3,

当〃为偶数时，入4=〃+2,

令人(〃)=〃+2,・・・2WA(2)=4,

•••-3W/IW4.

7.如图,在四边形ABCD中,E,(〃£N")为边BC上的一列点,连接AF“交B。于G„,点G”(〃WN*)

满足胃石+2(1+%)嬴•=%+1比瓦其中数列｛〃”｝是首项为1的正项数列，S”是数列｛斯｝的前

〃项和，则下列结论正确的是()

A.内=5

B.数列｛斯+3｝是等比数列

C.。”=4〃-3

n+,

D.Sn=2~3n

答案B

解析由题意可知

2(1+4；)

GC,

%+1n

因为3,F„,C三点共线,

所以一।2(1+%)

1,

(In-(ln+\

即1+2+2a”=an+\,

即斯+1=3+2。”，

4〃+]+3=2(a“+3),

所以数列｛%+3｝是以m+3=4为首项，2为公比的等比数列，

于是m+3=4X2"r=2"+l

所以斯=2.|-3,

所以43=24—3=13,

所以B选项正确，A,C选项不正确；

又§2=0+42=1+5=6,而22+1—3X2=2,

所以D选项不正确.

8.(2022・潍坊检测)如图，在边长为〃的等边△ABC中，圆口与△A8C相切，圆6与圆Pi

相切且与48,4c相切,…，圆。”+1与圆。“相切且与AB,AC相切，依次得到圆小，。4,…,

设圆5,S，…，。”的面积之和为X”(〃£N"),则X”等于()

A各।

B和[1一枷

D.乐de〉--停A+L

答案B

解析等边三角形内心、重心、外心、垂心四心合一,所以圆n的半径为《X坐

面积为为兀

圆6的半径为:X*“，

面积为青尹，

圆。3的半径为G）2x*〃，

面积为令）兀，

以此类推，圆&的面积为出门的心

所以各圆的面积组成的数列是首项为含兀，公比为4的等比数列,

=菰｛1-朗

二、填空题

9.在数列｛%｝中,。1=3,对任意机，〃£N'，都有而+产即+斯,若ai+e+a3T--卜诙=

135,则攵=.

答案9

解析令加=1,由alfl+n=a,n+小可得，

a〃+]=ai+a”,

所以。“+1—。"=3,

所以｛斯｝是首项为3,公差为3的等差数列，

4=3+3（〃-1）=3〃,

所以s+az+sT---卜以

k（4i+，〃））（3+3左）

2215），

整理可得3+4—90=0,

解得左=9或4=一10（舍去）.

10.已知数列｛诙｝满足小=〃2+而，〃WN",若数列｛〃“｝是单调递增数列，则人的取值范围是

答案（一3,+8）

解析•・•｛〃“｝是单调递增数列，

・••当时，4〃+]—〃“=（〃+1）2+©〃+1）—〃2一力?=2〃+1+2>0恒成立,

即2>-2〃-1,Vn>l,二（一2〃-l）max=-3,

.*.z>—3.

/,〃为奇数,

11.已知函数flri)=且4〃=/(〃)+42+1),则。|+。2+。3T---」48=

—“2,〃为偶数,

答案8

解析当〃为奇数时，〃+1为偶数，

则斯="—(〃+1)2=-2〃-1,

所以41+43+45+0=—(3+7+11+15)=-36.

当〃为偶数时，〃+1为奇数，

则斯=—〃2+(〃+1)2=2〃+1,

则々2+44+46+48=5+9+13+17=44,

所以+。2+。3+…+。8=—36+44=8.

12.(2022・聊城质检)某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数歹J中相

邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.加图，第一

行构造数列1,2；第二行得到数列1,2,2；第三行得到数列122,4,2,…，则第5行从左数起第

6个数的值为.用A”表示第〃行所有项的乘积,若数列｛&｝满足％=log认“，则数

列｛&｝的通项公式为.

解析根据题意，第5行的数列依次为1,224,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2,

从左数起第6个数的值为B.

Ai=2',

42=22=*°

A3=25=2",+，

I4I+3+3，+32

A4=2=2°

I+3+3+32+33

^5=24i=20'

1-3—1+3".

故有4=2"30+3、32+33+…卡=2+==F

1+31]+3〃一i

则B〃=log/〃=log222=——

三、解答题

13.(2022・烟台模拟)已知等差数列他“｝的前〃项和为S〃，恣