高考数学一轮复习讲义：基本不等式（二）

§1.4基本不等式

【课标要求】1.了解基本不等式的推导过程2会用基本不等式解决简单的最值问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.基本不等式：咛“eWZ

(I)基本不等式成立的条件：心0,后0.

⑵等号成立的条件：当且仅当丘立时，等号成立.

(3)其中号称为“，〃的算术平均值，板称为“，人的几何平均值.

2.利用基本不等式求最值

(I)若x+y=s(s为定值)，则当且仅当x=y时，孙取得最大值宁；

(2)若xy=p(p为定值)，则当且仅当x=y时，工+y取得最小值2标.

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

【常用结论】

几个重要的不等式

(1)屏+乂22«力3，/?eR).

(2,+得22(a,b同号).

(3)油《三)2(小/?GR).

(4)巴芦b^R).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

【自主诊断】

1.判断卜列结论是否止确.(请在括号中打"J”或"X”)

(I)不等式"W(空)2与心石忘等等号成立的条件是相同的.(X)

(2)y=x+1的最小值是2.(X)

X

(3)若x>0,)>0且x+)，=,vy,则不，的最小值为4.(V)

(4)函数y=sinx+-,x£(0,与)的最小值为4.(X)

SIDA\乙)

2.若函数_/U）=A4：3>2）在x="处取最小值，则。等于（）

A.14-72B.1+小

C.3D.4

答案C

解析当x>2时，x-2>0,儿6=。一2）+±+222\/。-2）.三+2=4,当且仅当x-2

=±（x>2）,即x=3时，取等号，即当儿t）取得最小值时x=3,即。=3.

•XZ

3.已知（Xx<l,则N1-X）的最大值为（）

A4B8C16D.1

答案A

解析因为0<r<I,所以1—x>0,

I

/i+l一4-

所以.双1一刈—2—）4

当且仅当x=l—x,即时，等号成立，

故Ml-X）的最大值为

4.（2023・重庆模拟）已知第>0,）>0,x+y=1,则的最小值为_______

xy

答案4

解析由x+y=1得：+|=6+加+），）=2+）+¥2+2寸1=4,

当且仅当x=y=；时，等号成立，即:+：的最小值为4.

/xy

■探究核心题型

题型一基本不等式的理解及常见变形

例I⑴若0<〃<力.则下列不等式一定成立的是()

A.

B.b>\]ab>-^~>a

4+bi-

C.b>~^—>\lab>a

4+〃I-

D.b>a>2Xab

答案c

解析*.*0<a<b,2b>a+b,

a-\~bi—

:.b>2

Vb>a>0,ab>a2,y[cib>a.

故b>^-Y->y[ai)>a.

（2）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依

据，通过这•原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现

有图形如图所示，。为线段A8上的点，且BC=b,。为/W的中点，以为直径

作半圆，过点。作AB的垂线交半圆于点。，连接0/Z4。，BD,过点。作。。的垂线，垂

足为点E,则该图形可以完成的无字证明为（）

Ay[ab(a>(),h>0)

B.a2~\~b2^2ab(a>0,/?>0)

2

C.ylab^T^-r(a>0,Z?>0)

_T

a+b

/+Z;2a+b

D.——2-^—(a>0,b>0]

答案c

解析根据图形，利用射影定理得

C^DEOD,

又0/）=18=3（4+力），CD2=ACCB=ab,

…、，reCD2ab

所以DE=

OD4+〃

由于OD^CD,

“।b

所以二一2，^反〃>0,/?>0I.

4

由于CD2DE,

所以厢*=m

l1

---()

a

+■pJ

思维升华基本不等式的常见变形

(a+〃)2—(a—b)八口n-,）（a+b）22ab1a+b工、

C选项，当a+历＞0时，lab22-WO,即-—,后工・一］一怛戌区,

m+力A—(a—，户W。，即2"〈呼‘第2等,故C选项错误;

当a+AO时，lab22

苏+从

D选项,由重要不等式可知，4,R,—恒成立，故D选项正确.

题型二利用基本不等式求最值

命题点1直接法

例2（1）（多选）下列代数式中最小值为2的是（）

A.X--B.2'+2。

x

答案BC

解析选项A中，当xvO时，函数），=%—：单调递增，无最小值,

不符合题意;

选项B中，2、+2一工22隹声=2,当且仅当x=0时，等号成立,满足题意;

选项C中，f+922、^=2,当且仅当^=±1时，等号成立,

满足题意;

选项D中，-\/^+2+-j===2,当且仅当4不时，等号

女+2

成立，但此方程无实数解，不符合题意.

（2）已知x,y为正实数，且满足41+3），=12,则冲的最大值为.

答案3

解析由已知，得12=41+3y2244r3），,

即122244.»3丁,

解得x），W3（当且仅当4x=3y时取等号）.

命题点2配凑法

例3(1)(2023・许昌模拟)已知a,〃为正数，4/+分=7,则Z1+/的最大值为（）

A.<7B.V3

C.2^2D.2

答案D

2222

解析因为4a2+/=7,则a\j\+bX2aX^/l4-/?=j\/4«(l+/?)^^X^£Li_!_L_2

当且仅当4“2=l+b2,即〃=1,〃=小时，等号成立.

（2）已知Q1,则普的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

答案A

解析因为x>l,所以x—1>0,

5+3(x—I)?+2(x—1)+4।।4、।l"y~„

-=■=x-l+2+7^2+2A/(X—I)-~=6,当且仅当x~1

X—1X—1X—1\JX—1

4

—7,即x=3时，等号成立.

X—1

■微拓展A

与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型

如图，对于函数Kt)=x+&k>0,b],[a,句q(0,+~).

⑴当弼［〃，例时，J(x)=x+>2#,段)min=A也)=#+戈=2#;

_Lb

(2)当时，yu)=x+;在区间S,加上单调递增，./U)m=_Aa)=a+7；

人C411

⑶当时，段)=x+1在区间[a,加上单调递减，凡"=加)=〃+，.

因此，只有当也£[〃，加时，才能使用基本不等式求最值，而当｛法修，时只能利用对勾函

数的单调性求最值.

典例函数4f)=f+M的最小值是.

人I.

答案|3

33

解析由凡6=/+不。=r+2+=—2,

3

令9+2=«32),则有/(。=/+7—2,

3

由对勾函数的性质知，,也)在[2,+8)上单调递增，所以当1=2时，,/(f)min=2,

3

即当X=0时，加端尸]

命题点3代换法

例4⑴已知正数小〃满足8/，41,则8a+〃的最小值为()

A.54B.56C.72D.81

答案C

解析8a+b=(8a+磁+§

、八［64a4b，

=丁64a+।丁4/?+,4…022y于7+40…=72,

〃

当且仅当6詈4=吃4/7，即。=6,。=24时取等号.

延伸探究已知正数外人满足8a+4b="，则8〃+%的最小值为

答案72

84

--

解析・・・8a+4Q",。＞0,bX),*力+-«

・・・8〃+b=(8a+W+$

64a।4〃，…-64a4b，…

=丁+—+4022、/丁・一+40=72,

ba\jba

当且仅当华=学，即。=6,〃=24时取等号.

19

(2)已知正数〃，〃满足a+2b=3恒成立，则本+半的最小值为(

39

A，2B.1C.2D.3

答案B

解析由。+20=3得(a+l)+2b=4,

12

是--2-A)+2/?

A，

T-a+1-4

1「……2(〃+1),2b

j+4+—y-+币

》$5+2/尹褊号,

当且仅当中=脩,且公。，。＞。，即2揖等号成立.

29

所

以--

〃4

命题点4消元法

例5已知正数小〃满足屋一2a〃+4=(),则〃一：的最小值为()

A.1B.V2C.2D.2^2

答案B

解析Vii>o,解0,标—功力+4=0,则8=3+5，，〃一?=（+%2、/怨=啦,

41<14LC•IIC\1114

当且仅当A*即4=2小时，等号成立，此时〃=乎.

命题点5构造不等式法

例6若a>0,b>0,且时=。+力+3,则时的最小值为］）

A.9B.6C.3D.12

答案A

解析因为。乂），比>0,所以。+622的，当且仅当。=力时，等号成立.

又必=。+〃+3,所以/=。+〃+322屈+3,整理可得而一2四一320,

解得/初23或，—I（舍去）.

所以我23,所以"29.所以当〃=匕=3时，岫的最小值为9.

思维升华（1）前提：“一正”“二定”“三相等”.

（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的彩式，然后再利用基本不等式.

（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“I”代

换的方法；三是消元法.

跟踪训练2（1）（多选）下列四个函数中，最小值为2的是（）

A.产加x+熹（0〃0

4

B.y=2-x--(x<0)

人

f+6

产许

D.),=4、+4)

答案AD

解析对于A,因为0<4/，所以0<sinxW1,则），=sin当且仅当sinx=-r-,,

Nol114oil!人

即sinx=\时取等号，符合题意；对于B,因为K<0,所以一x>0,-A-+2

44

=4,当且仅当一x=--，即x=—2时等号成立，所以y=2—x—-22+4

川(*(-?AX

4JC"+6/‘1

=6,即y=2一不一不又<0）的最小值为6,不符合题意；对于C,y=在十［7X?+5

设Z=V?+5,则小，则），>小+古=竽，其最小值不是2,不符合题意；对于D,y

=4r+4*=4'+/22共，407=2,当且仅当x=0时取等号，故y=4'+4'的最小值为2,符

合题意.

（2）（多选）己知正实数小〃满足血+。+〃=8,下列说法正确的是（）

A.必的最大值为2

B.的最小值为4

C..+2。的最小值为S△一3

D1的最小值制

答案BCD

解析对于A,因为ab+a+b=82ab+2\[iiL,

即（，^）2+2^^—8W0,解得一

又因为。>0,/?>0,所以0q/^W2,

则MW4,当且仅当〃=力=2时取等号，故A错误；

对于B,a/?+a+>=8,+（〃+5）,

即3+力2+43+力一3220,解得〃+力五一8（舍）或〃+匕24,当且仅当〃=力=2时取等号,

故B正确；

对于C,由题意可得"a+l）=8—〃，

8-a

所以〃=F7>°，解得

a~\~1

所以a+21=4+2X*;=a+-2-2

a-\-1a-\-1

=。+1+~^7-3

a十1

22ym+1）搭-3=6伉-3，

1Q

当且仅当a+l=£,即a=3地一1时取等号，故C正确；

对于D^加仍+1）+勿={2+告+用卜卜（2+2）4,

当且仅当标晶=誓2即〃=4,时取等号，故D正确.

课时精练

IY知识过关

一、单项选择题

1.已知心0,〃>0,小〃=81,则/〃+〃的最小值是()

A.9B.18C.973D.27

答案B

解析因为心0,心0,

由基本不等式得，

加+〃218,当且仅当加=丹=9时，等号成立，

所以加+〃的最小值是18.

2.已知G>0,bX),且］+、1，则4。+外的最小值是()

A.23B.26C.22D.25

答案D

解析由题意得心0,b>0,1.

故4a+9b=©+{)(4a+9£)=?+与+13/2^^+13=25,

9b。

当且仅当弓=华4，即a号5,人号5时取等号，

aD23

故44+9〃的最小值是25.

3.若正数x,y满足x+3y=5町，则3x+4.y的最小值是()

A.2B.3C.4D.5

答案D

解析对原条件式转化得：+：=5,

三y

则3x+4y=舞+§(3x+4y)

即x=l,时取等号.

故3x+4y的最小值为5.

4.“Dx£（l,4],不等式产一〃a+〃?>0恒成立”的充分不必要条件是（）

16

A.〃?>4B.加C.m<4D.tn<2

答案D

解析已知W]£（1,4],由不等式N—〃a+〃令。恒成立，得号>小恒成立，

X1

因为舌=（f+2（「H-1+++222、/（1）.++2=4,

X—1X—1X—17X—1

当且仅当X—1='7,即尤=2时取等号，

X—1

所以w<4,

所以m<2是in<4的充分不必要条件.

5.若心>0,)>0,x+3y=l,则工工、的最大值为()

A—R—r—[)—

入9012c1620

答案C

解析因为x>0,y>0,x+3y=l,

=（鸿）（心）

即x=y=:时，等号成立，

所以此^^上，

3x+y16

即就;的最大值为七

12

6.已知x>）>0且4x+3y=l,则不不西的最小值为（）

A.10B.9C.8D.7

答案B

解析由x>y>0得2x—y>0,x+2,Z),

令a=2x—y,b=x+2y,则a+2Z?=4x+3y,

由4x+3y=1得a+2b=1.

故土+急=g+l)g+2b)

=5+”+与25+2、股=9,

ab\lab

当且仅当一=与，且。+26=1,

即。=。=!时取等号，

也即2x—y=1,x+2)，=g,

即’'=£时，等号成立，

故丁」+一六了•的最小值为9.

2x-yx-v2y

二、多项选择题

7.已知x,y是正数，且%+y=2,则()

A.x(x+2y)的最大值为4

B.Iog2x+log2y的最大值为0

C.2'+2，的最小值为4

I73

的最小值为打也

D5人+?y4

答案BCD

解析由％,y是正数，且x+y=2,可得04<2,0<)<2,

x(x+2y)=(x+y__y)(x+y+y)=(x+y)2->,2=4—>,2,

由0<y2<4可得0<4—/<4,

所以Mx+2y)无最大值，故A错误；

由x+y=222、历，得Oq)Wl,当且仅当x=y=l时，等号成立,

所以logix+log2)»=log2Xy<log21=0,故B正确；

由基本不等式可得2』+2，22产»=2死耳=4,

当且仅当％=y=l时取等号，故C正确；

活=照+乳+月出3+；+支•(3+2韭田亭啦，

当且仅当x=2啦一2,y=4—2陋时取等号，故D正确.

8.(2022・新高考全国1【)若x,y满足r+y2一盯=I,则()

A.x+)WlB.x+y^—2

C.D.f+yei

答案BC

解析因为RK停铲｝(a,b£R),

由f+y2一孙=】可变形为

(x+y)2-I=3./3代4，

解得-2Wx+yW2,

当且仅当x=y=—I时，x+y=-2,

当且仅当尸y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确;

由好+产一xy=1可变形为

/+y2

(f+V)-1=xy^~2^,

解得炉+VW2,当且仅当x=y=±l时取等号，所以C正确;

因为f+)2—xy=1可变形为

攻x-<=cos〃，~T_y=sin0,

2.2•

所以x=cos。+坐sinOy)，="&jin8,

因此x2+j2=cos2^+zsin26+^^sin比os6

JJ

=1+坐sin2夕一；cos2夕+；

=„sin(20-ge1,2,所以D错误.

三、填空题

9

9.若x<2,则x+言的最大值为—

答案一4

99

解析"7行=1+工工+2,

由于x<2,所以2—x>0,

故2-叶六川")胃)=6,

9

当且仅当2—工=广，即1=一1时，等号成立,

2—x

所以厂2+号=—(2-+公1—6，

99

故x+--=r-2+—T+2<-4,

x-2x-2

9

所以x+弋的最大值为-4.

x~2

10.函数於)=2；二:]在(1，+8)上的最大值为.

3

答案7

3x—3

解析因为儿r)=2r；_r+i，%£(1，+8),

令x—1=/,则/>0,

3/3/333

则<1=2"+1)2—"+1)+1=2产+31+2=工;*2土—=T

''2/+3+72%2八7+3

2

当且仅当2/=*，=1,即x=2时，等号成立.

3

故人工)在(1,+8)上的最大值为

14

11.已知”>1,b>2,a+b=5,则r+;―^的最小值为_______.

a—1b~2

答案\9

解析因为〃>1,b>2,

所以。一1>0,/?-2>0,

又。+/?=5,

所以3—l)+S-2)=2,即;[(〃-1)+3—2)]=1,

所以即+&=；"—)+(D]•(士+言=犯+胃/

_S+H分隼?]=京(5+4)号，

当且仅当上彳=竽*即。=知仁冬时取等号，

a~1/?—233

149

所以—的最小值为・

a—71+b:~~~225

12.已知正数a,匕满足3+5力(2a+8)=36,则〃+2/7的最小值为.

答案4

解析因为a>0,b>0,所以36=5+5勿(2〃+加W"*""⑷+2》岩(，―？加2,所以。

。+58=2。+仇8)

+2624,当且仅当,,一/即。=枭/>=?时，等号成立，所以。+2〃的最小

1(〃+53)(%+8)=36,33

值为4.

四、解答题

13.已知x>0,y>0,x+2y+xy=3O,求：

(I)xy的最大值；

(2)右+)，的最小值.

解(1)因为4>0,j>0,

根据基本不等式，30=x+2.y+xy22啦3+孙(当且仅当工=2丁=6时取等号)，

令而=々>0),则产+2//-30W0,

解得一5^WZW345,又/>0,

所以OvW3®即0<后<3也,

所以04)W18,故町的最大值为18.

30—x30—x32

⑵由x+2y+用，=30可知，y=>0,0<x<30,2x+y=2x+*,'=2(x+2)+T^T~一

/IA/I人乙I人

522q2(x+2)•条一5=11,

32

当且仅当2(x+2)=M，即工=2时取等号，

4I人

所以Zr+y的最小值为II.

14.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措•，作为中欧铁路

在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧

原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室