高考数学一轮复习讲义：空间点、直线、平面之间的位置关系

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系

考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公

理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命

题.

I知识诊断,基础夯实

知识梳理

1.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

(2)公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有二±公共点，那么它们有且只有一条过该点

的公共直线.

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

3.平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相壬红.

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4.异面直线所成的角

(1)定义：设m〃是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线"〃。，b"b,

把"与〃'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与〃所成的角(或夹角).

(2)范围：(”1].

|常用结论，

1.公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.

2.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的

直线互为异面直线.

3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角

可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“义”)

⑴两个平面a，B有一个公共点A,就说a邛相交于过A点的任意一条直线.()

(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()

(4)若直线a不平行于平面且。，则。内的所有直线与a异面.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)X

解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

公共直线，故错误.

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.

(4)由于。不平行于平面a,且Ha,则。与平面。相交，故平面a内有与。相交

的直线，故错误.

2.如图所示，在正方体ABCO-A山iGQi中，E,尸分别是48,的中点，则异

面直线BiC与EF所成角的大小为()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案C

解析连接BOi,DC则故NDBiC或其补角为所求的角.又BOi

=B\C=D\C,AZDifliC=60o.

3.已知直线a和平面a,B，aCp=l,a。。，且a在a,夕内的射影分别为

直线〃和c,则直线和c的位置关系是（）

A.相交或平行B.相交或异面

C.平行或异面D.相交、平行或异面

答案D

解析依题意，直线方和c的位置关系可能是相交、平行或异面.

4.如图，aC0=LA,BEa,且。住/,直线ABn/=M,过4,B,C三点

的平面记作则/与片的交线必通过（）

A.点AB点B

C.点。但不过点MD.点C和点M

答案D

解析y,MWA3,/.MEy.

又an「=/,MG/,:.Mep.

根据公理3可知，M在y与夕的交线上.

同理可知，点C也在y与夕的交线上.

5.（2021・日照调研）若直线人和八是异面直线，人在平面a内，/2在平面夕内，/是

平面a与平面夕的交线，则下列命题正确的是（）

A./与/2都不相交

(1)D,B,F,E四点共面；

⑵若4C交平面OB庄于R点，则P,Q,R三点共线.

证明(1)・・・石尸是4。山|。的中位线，

：.EF//B\Di.

在正方体AG中，BIDT〃BD,：.EF//BD,

；・EF,8。确定一个平面，即D,B,F,E四点共面.

(2)在正方体AG中，设平面AMCG为a,平面BDEF为仇

•.・QWAiCi,

又QCEF,:.QGB，

则。是a与4的公共点，同理，尸是a与/?的公共点，

:.aCB=PQ.

又4Cn/?=R,UC

:・RCa,且Rep,

则R£P。，故P,。，R三点共线.

感悟提升共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经

过该点.

训练1如图，在空间四边形AAC。中，E,尸分别是4a和AC上的点，G,H分

别是CD和AD上的点.若EH与FG相交于点K.

求证：EH,BD,三条直线相交于同一点.

证明因为KSEH,EHu平面ABD,

所以K仁平面A5。，同理KW平面C33,而平面A30n平面。5。=3。，

因此KE3。，所以£77,BD,EG三条直线相交于同一点.

考点二空间两直线的位置关系

例2(1)(2022•全国名校我考)如图，在正方体中，M,MP分别

是GOi,BC,4Qi的中点，有下列四个结论：

①4P与CM是异面直线；②AP,CM,ODi相交于一点；③MN〃BD\：④MN〃

平面3囱。|。.其中所有正确结论的序号是()

A.①④B.②④

C.①③④D.②③④

(2)如图，点N为正方形A8CO的中心,△ECO为正三角形，平面ECD1•平面4BCD,

M是线段E。的中点，则()

A.8M=EM且直线8M,EN是相交直线

B.8MNEM且直线6M,£N是相交直线

C.BM=EN,且直线8M,EN是异面直线

D.BM乎EN,且直线3M,EN是异面直线

答案(1)B(2)B

解析(1)连接MP,AC(图略)，因为MP〃AC,MPWAC,所以AP与CM是相交

直线，

又面A\ADDiA面CIC£)£>I=D£)I,

所以AP,CM,QDi相交于一点，则①不正确，②正确.

③令ACnBO=。，连接。Di,ON.

因为M,N分别是an,3c的中点，

所以ON〃O1M〃CD,ON=D1M=：CD,

则四边形MNODi为平行四边形，所以MN〃ODi,

因为MM：平面BDiD,ODiU平面BD17),

所以MN〃平面86。，③不正确，④正确.

综上所述，②④正确.

(2)取CO的中点。，连接。MEO,

因为△ECO为正三角形，所以EO_LCO,

又平面£CO_L平面A8CQ,平面ECOA平面ABCQ=CO,EOu平面EC。，

所以EO_L平面48CD

设正方形ABC。的边长为2,

则£0=馅，ON=l,

所以七町=石02+022=4,得EN=2.

过M作CQ的垂线，交CD于点P,连接BP,

则MP=S，CP=1,

所以BM2=MP2+BP2=+冏+22=7,得BM=巾,

所以BM于EN.

连接B。,BE,因为四边形ABC。为正方形，所以N为8。的中点，即EN,MB

均在平面BQE内，所以直线EN是相交直线，故选B.

感悟提升空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定.异面

直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线

的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理：垂首关系的判定往往利用线

面垂直或面面垂直的性质来解决.

训练2(1)已知空间三条直线/,"7,〃，若/与"7垂直，/与〃垂直，则()

A.m与n异面

B.m与〃相交

C.w与〃平行

Dm与〃平行、相交、异面均有可能

(2)(2021・宜宾质检)四棱锥P-ABCD的所有楼长都相等，M,N分别为PAfCD

的中点，下列说法错误的是()

A.MN与尸。是异面直线

B.MN〃平面PBC

C.MN〃AC

D.MN1PB

答案(1)D(2)C

解析(1)因为机_L/,n±/,结合长方体模型可知〃2与"可以相交，也可以异面，

还可以平行.

(2)如图所示，取尸3的中点“，连接M”，HC,

由题意知，四边形M”CN为平行四边形，且MN//HC,又HCu平面PBC,MNG

平面PBC,所以MN〃平面尸BC,设四边形MHCN确定平面a,又故M,

N,。共面，但P住平面a,D€MN,因此MN与PD是异面直线；故A,B说法均

正确.

若MN〃AC,由于则C”〃4C,

事实上ACAC〃=C,

C说法不正确；

因为PC=8C,"为PB的中点，所以CH_LPB,又CH〃MN,所以MN_LPB,D

说法正确.

考点三异面直线所成的角

例3(1)在长方体ABC。-431cl。中，AB=BC=\,AAi=小,则异面直线AOi

与QB所成角的余弦值为()

A5B.*C.当D.当

(2)

(2021•衡水检测)如图，在圆锥SO中，AB,为底面圆的两条直径，ABQCD=

O,且48_LCDSO=OB=3,SE*B,则异面直线SC与。上所成角的正切值

为（）

A埠B.W

答案(1)C(2)D

解析（1）如图，连接交08于0,取AB的中点M,连接。M,0M.易知。

为的中点，所以AD1〃0M,则/M。。为异面直线AA与。8所成角或其补

角.

因为在长方体ABCD-AiBiCD]中,AB=BC=\,AAi=小,

2

ADl=y]AD+DD^=21

DM=^J=坐，

DB\n'AB^+AA+DD+n小.

所以0M==1,0D=gDBi=

于是在△OMO中，由余弦定理,

故异面直线4A与。囱所成角的余弦值为害.

（2）如图，过点5作5尸〃OE,交A8于点尸，连接C/，则/CSF（或其补角）为异面

直线SC与OE所成的角.

E

•；SE=3B,:.SE=^BE.

又。8=3,：.OF=^OB=\.

・・・SO_LOC,SO=OC=3,・・・SC=3啦.

VSOIOF,・・・SF=[SO2+。产=麻

VOC±OF,：.CF=y[ib.

・•・在等腰asc尸中，

感悟提升综合法求异面直线所成角的步骤：

（1）作：通过作平行线得到相交直线.

（2）证：证明所作角为异面直线所成的角（或其补甭）.

（3）求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的

角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

训练3（1）（2021・全国乙卷）在正方体48。。-48此。|中，尸为3。1的中点,则直

线P8与A9所成的角为（）

716R—兀一兀

A.77B.TC.TD.T

2346

⑵（2021・湖北重点高中轶考）在直三棱柱ABC-A\B\C\中，底面ABC为等腰直角

三角形，且斜边8C=2,。是3c的中点，若AA产色,则异而直线AC与AD

所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案（1）D（2）C

解析（1）如图，连接CiP,

A.

B、

因为ABC。-481Goi是正方体，且P为BOi的中点，

所以CiP±BiDi,

又GP_La?i,BTDTCBBI=BI,B1D1,BBC平面BTBP,所以CP_L平面BBP.

又5Pu平面BiBP,所以有CiPJ_BP.

连接BG,贝所以NPHG为直线P3与ADi所成的角.设正方体ABC。

一AIBIGOI的棱长为2,则在RtZXGPB中，CiP=：BiD尸®BCi=2啦，

sinNPBGM^1：^,所以

oCl2O

(2)如图，取的中点。，连接4OI,则AOZMQ,NC4D(或其补角)就是

异面直线4c与AD所成的角.连接0c

・・・48i=4G,AAiDilBiC),

又4QJ_CG,BICIDCCI=CI,

・・・4Oi_L平面BCGBi,

•・・£>Cu平面8CG8,AAiDilDiG

•••△AQC为直角三角形，在RtZXAiC。中，AiC=2,CD产木,

/.ZCA।Di=60°.

微点突破/截线、截面问题

利用平面的性质确定截面的形状是解决问题的关键.

⑴作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直

线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

⑵作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平行

的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

一、截面问题

例1(1)在正方体43。£＞一4囱GOi中，M,N分别是棱。Qi和3囱上的点，MD

=|DDi,NB与Bi,那么正方体中过M,N,G的截面图形是()

A.三角形B.四边形

C.五边形D.六边形

⑵已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。所成的角都相等，则。截此

正方体所得截面面积的最大值为()

州生建立

/1.•4D.3L・42

答案(1)C(2)A

解析(1)先确定截面匕的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与

几何体的棱的交点.

AiD,

设直线CM,CQ相交于点P,直线GMC3相交于点Q,连接尸。交直线A。

于点E,交直线A3于点F,则五边形GME/W为所求截面图形.

(2)如图，依题意，平面a与棱BA,BC,3历所在直线所成角都相等，容易得到

平面ABC符合题意，进而所有平行于平面4BC的平面均符合题意.

由对称性，知过正方体A8CO-A山IGDI中心的截面面积应取最大值，此时截面

为正六边形EFGHIJ.

易知正六边形的边长为坐，将该正六边形分成6个边长为坐的正三角形.

故其面积为6X乎Xpg)=乎.

二、截线问题

例2(1)(2020・新高考全国I卷)已知直四棱柱ABCD-A\B\C\D\的棱长均为2,

NB4O=60。.以Di为球心，小为半径的球面与侧面BCCB的交线长为

(2)已知正方体的棱长为3啦，E,尸分别为BC,CQ的中点，P

是线段AxB上的动点，GP与平面DiEF的交点。的轨迹长为.

答案(1浮(2)713

解析(1)如图，设的中点为E,球面与棱BBi,CG的交点分别为P,Q,

连接。B,DB,D\P,DiQ,DiE,EP,EQ,由NBAD=60。，AB=ADf知△ABD

为等边三角形，.••出Bi=DB=2,•••△Di31cl为等边三角形,则。/=小且D\EL

平面8CGB,・・・E为球面截侧面所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为

r,则r=7RLDE=小与=巾・

可得EP=EQ=y12,・,・球面与侧面BCC\B\的交线为以E为圆心的圆瓠PQ.

又DiP=市,：.H\P=^D\P2-D\B\=1,同理CQ=1,

・・・P,。分别为88i,CG的中点，

；・NPEQ=T，知忿的长为"啦=冬.

(2)如图所示,

连接E凡4B,连接4G,Bi0交于点'，连接办E,8G交于点N,

由E尸〃BOi,即E,F,Bi,。1共面，

由尸是线段4B上的动点，当P重合于4或B时，Ci/41,CiB与平面DiEF的交

点分别为M,N,

即Q的轨迹为MN,

由棱长为3啦，

得CiM=zAiCi=3,则BCi=6,

BE_BN

乂玩L记

则A^CI=|BCI=4,

由A\B=BC\=AiCi>

得N4GB=60。，

则MN=

二分层训练•巩固提升

A级基础巩固

1.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面：③有三个公共

点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的

序号是（）

A.①B.①④C.②③D.③④

答案B

解析显然命题①正确.

由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.

命题③中，两个平面重合或相交，③错.

三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.

2.在正方体ABCQ-Ai的CQ中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与。。所成

角的正切值为（）

A啦R近MD近

/A•2D.22u♦2

答案c

解析如图，连接3E,因为A3〃C£>,所以异面直线4E与。。所成的角等于相

交直线4E与所成的角，即为NEAR不妨设正方体的棱长为2,则CE=1,BC

=2,由勾股定理得

D.

又由ABJ_平面BCCIBI可得AB1BE,

丝二更

所以tanNE4B=AB=2.

3.mb,。是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（）

A.若直线4,匕异面,b,C异面，则4,。异面

B.若直线4,。相交，b,C相交，则4,。相交

C.若a//b＞则a,b与c所成的角相等

D.若q_Lb,b_Lc,则〃〃c

答案C

解析若直线4,异面，〃，C异面，则4,C相交、平行或异面；若4,人相交,

b,c相交，则mc相交、平行或异面；若。_L〃，b_Lc,则mc相交、平行或异

面；由异面直线所成的角的定义知C正确.

4.如图所示,A8CQ—是长方体,O是的中点，直线4c交平面ABIOI

于点则下列结论正确的是（）

A.A,M,。三点共线

B.A,M,O,4不共面

C.A,M,C,O不共面

D.B,BT,O,M共面

答案A

解析连接4C,AC（图略），则4G〃AC,・・・4,Ci,A,。四点共面,

JAiCu平面4CG4,

VMe^iC,.•・MW平面ACG4,

又平面A3IOI,

:・M在平面ACCiAi与平面AB\D\的交线上，

同理A,0在平面ACG4与平面的交线上.

・・・4,M,。三点共线.

5.下图中，G,N,M,H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或

所在棱的中点，则表示直线G4,MN是异面直线的图形有（）

A.①③B.②③C.②④D.②③④

答案C

解析图①中，直线G”〃MN；

图②中，G,H,N三点共面，但平面GHN,NqGH,因此直线GH与MN异

面；

图③中，连接MG,GM〃HN,因此G"与MN共面；

图④中，G,M,N共面，但“©平面GMN,G^MN,因此G”与MN异面.

所以在图②④中，GH与MN界面.

6.在各棱长均相等的四面体A8CD中，已知M是棱AO的中点，则异面直线。M

与AC所成角的余弦值为（）

送

答案C

解析设四面体48C。的棱长为2,取CO的中点N,连接MN,BN,

♦・・M是棱4。的中点,

：.MN//AC,

・・・N3MM或其补角）是异面直线8M与AC所成的角.

BM=BN=«22T2=小,

MN=：AC=1,

・••在△8MN中，

BM+MM—BM3+1—3

cosZBMN=_2RMMN-=2X^X1=6'

・•・异面直线BM与AC所成角的余弦值为*.

7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且48〃CQ,则直线

E厂与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.

答案4

解析因为A8〃CO,由图可以看出E77平行于正方体左右两个侧面，与另外四

个侧面相交.

8.如图，已知圆柱的轴截面ABBA是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，Ci

是圆柱上底面弧A山।的中点，那么异面直线AC\与BC所成角的正切值为

答案^2

解析取圆柱下底面弧A8的另一中点。，连接G。，AQ,

因为C是圆柱下底面弧A3的中点，

所以AO〃BC,

所以直线AG与A。所成角等于异面直线AG与8C所成角.

因为G是圆柱上底面弧48的中点，所以GQ_L圆柱下底面，

所以C\DA.ADy

因为圆柱的轴截面A884是正方形，所以CiD=pAD,

所以直线ACi与AD所成角的正切值为也，

所以异面直线AG与3C所成角的正切值为也.

9.在正方体ABC。一中，E是8C的中点，平面a经过直线8。且与直线

CiE平行，若正方体的棱长为2,则平面a截正方体所得的多边形的面积为

答案|9

解析如图，过点B作用0〃CE交于点M,过点M作B0的平行线，交

GDi于点、N,连接。M则平面8DW即为符合条件的平面a,

由图可知M,N分别为BG,CiDi的中点,

故8。=2啦，MN=®

且BM=DN=事,

・••等腰梯形MNO3的高为

人々(小)2-外平,

・•・梯形MNDB的面积为;义(也+2^2)X呼=|.

10.如图，平面A8E凡1_平面A8CQ,四边形尸与四边形A8C7)都是直角梯形,

NBAD=NFAB=90。,BC//ADJIBC=^AD,BE//AFMBE=^AFfG,“分别

为以，尸。的中点.

(1)证明：四边形8C”G是平行四边形；

(2)C,D,F,E四点是否共面？为什么？

⑴证明由已知八7=64,FH=HDt

可得GH统

又BC统)。，；UBC.

；・四边形BCHG为平行四边形.

(2)解共面VBEG是杼1的中点，「.BE统/G,・••四边形为平

行四边形，J.EF//BG.

由(1)知3G标C"，:・EF〃CH,

:・EF与C77共面.

入DRFH,：.C,D,F,石四点共面.

11在正方体43。-4为。。|中，

(1)求异面直线AC与A\D所成角的大小；

(2)若E,b分别为A8,4。的中点，求异面直线由G与E/所成角的大小.

解(1)如图，连接BC,ABi,由ABCO—43GD1是正方体，易知4。〃小。，

从而BiC与4。所成的角就是异面直线AC与4乃所成的角.

在△ABC中，AB\=AC=B\C,

所以NBCA=60。.

故异面直线4。与4c所成的角为60。.

（2）连接BD,在正方体中，ACLBD,AC//A\C\,

因为E,E分别为AB,A。的中点，

所以E尸〃BD,所以E/LLAC

所以EFLA\C\.

故异面直线4G与E/所成的角为90。.

B级能力提升

12.平面Q过正方体A3C3—AIBCQI的顶点A,G〃平面COIOI,aAT®ABC