高考数学二轮复习专项突破（新高考版）立体几何中的动态问题

微重点12立体几何中的动态问题

“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、

线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在,

也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问

题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.

考点一动点轨迹问题

例1（多选）（2021.新高考全国I）在正三棱柱中，A3=A4=1,点P满足崩=

庇+〃砒其中2"[0川,蚱[0,1],则（）

A.当7=1时，△ABiP的周长为定值

B.当"=1时，二棱锥"一A4C的体积为定值

C.当人=刎，有且仅有一个点P,使得

D.当"=；时，有且仅有一个点P,使得4出1.平面

答案BD

解析丽=2就+/,丽(0W2W1,O0W1).

对于选项A,当2=1时，点。在棱CG上运动，如图1所示，此时△4S尸的周长为AS+

AP+/田=啦+[11+（1—〃）2=6+41+"2+、2—2〃+42,不是定值，A错误；

对于选项B,当"=1时，点P在棱BiCi上运动，如图2所示，

图2

则VffBc=^A-PBC=«也顺义坐'=弋"538。=专~'J义1X1为定值，故B正确；

对于选项C,取4C的中点。，81G的中点。I,连接QQi,A山（图略），则当i=；时，点P

在线段。。上运动，假设AiP_L8P,则4P2+8P2=A^2,即Gg）+（i—"）2+（§2+笛=2,

解得〃=0或〃=1,所以当点夕与点。或5重合时，4PJ_8P,C错误；

方法一对于选项D,易处四边形4B当4为正方形，所以设斗囱与交于点

K,连接PK（图略），要使AB_L平面ASR需4B_LKP,所以点P只能是棱CG的中点，故

选项D正确.

方法二对于选项D,分别取8丛，CG的中点E,F,连接EE则当时，点尸在线段

E尸上运动，以点G为原点建立如图所示的空间直角坐标系CM*,则8（0,1,1）,«!（0,1.0）,

A|（坐,2,。），电，1T,；）,

所以布=（—乎，*1），瓦?=（0,—A,£）,

若4BJ_平面45P,则所以一彳+3=0,解得；1=1,所以只存在一个点P,使得

A^_L平面A®P,此时点P与尸重合，故D正确.

规律方法解决与几何体有关的动点凯迹问题的方法

（1）几何法：根据平而的性质进行判定.

（2）定义法：转化为平面枕迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算.

（3）特殊值法：根据空间图防线段长度关系取特殊值或位置进行排除.

跟踪演练1（多选）（2022•漳州质检）已知正方体A8CD-4囱的边长为2,M为CC,的中

点，P为平面8CGS上的动点，且满足AM〃平面482则下列结论正确的是（）

A.

B.CD〃平面4B?

c.动点P的轨迹长为斗亘

D.AM与A/i所成角的余弦值为坐

答案BC

解析如图建立空间直角坐标系,

则40.0,2),A/022),

5(0,0,0),Bi(0,2,0),

M(2,l,0),P(x,y,0),

所以乖=((),-2,-2),

BP=(x,)，,0),

/W=(2,l,-2),

由AM〃平面得病=〃屈+。沛，

0+/?x=2,

即・-2〃+处=1,化简可得31-2)，=0,

-2a=~2t

所以动点P在直线3A—2y=0上，

A选项,巍=(2,1,-2),而=(2,-1,0),

布•而=2X2+1X(一|)+(-2)X0=3#0,

所以AM与囱M不垂直，A选项错误；

B选项，CDI〃AI3,A8U平面48P,

COQ平面4由P,

所以C£)i〃平面4BRB选项正确：

C选项，动点P在直线3x—2y=0上，且P为平面8CC8上的动点,

则P在线段PiB上,2,0),

+22+0』平,

所以尸4=

C选项正确；

D选项，彳商=(0,0,-2),

-*--42

C°S=^^—=-=-,

体积为4铲肥=4铲*（水L）3=队同L兀，故B错误;

C选项，当BE=BF=^BC=1时,

A\E=A\F=3,EF=A/2,

4/+4尸一石尸

在△AiEf'中，cosZE4iF=

2A|EA|F

_32+32~(^2)2_8

=2X3X3=9*

近

AsinZE4|F=

9

则S3F=，4EA|ksinNE4]F

1-历

-2xJx3x92，

•*V\_EFD=VD_、EFA。

="X^^X4=¥亘，故C正确；

DU+DP-EF?

D选项，设点4到平面EFO的距离为人，则在△EFQ中，cosZ£DF=-2DEDF-

_52+52-(^2)2_24

―2X5X5=25,

7

：

.sinZEDF=25T

则S^EFD=^DEDFsinZEDF

=；X5X5X_7_=7

25=2,

25

・Vv/:=^X-X

,,A^-EFD=^-5AEFD-/I=3

即〃=耳亘，故D正确.

规律方法画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、

不变的数量关系.

跟踪演练2（多选）（2022・南通模拟）己知菱形ABC。的边长为2,NABC=全将△D4C沿着对

角线AC折起至△力’AC,连接B。'，设二面角。'一4。一8的大小为仇则下列说法正确

的是（）

A.若四面体Q'A8C为正四面体，则〃=中

B.四面体O'A8C体积的最大值为1

C.四面体O'A8C表面积的最大值为2（小+2）

D.当夕=与时，四面体ABC的外接球的半径为军

答案BCD

解析如图，取AC的中点O,连接OS,OD',

则OB=OD',OBA-AC,

OD'.LAC,

/BOD，为二面角O'—AC—B的平面角，

即N8。。'=0.

若O'44c是正四面体，则40=0'0N4。'，

△OBD'不是正三角形，灯与，A错误；

四面体O'4BC的体积最大时，BO_L平面AC。'，

此时B到平面AC。’的距离最大为8。=小，

而S/.ACD'=坐乂22=代，

所以V=gx45x小=|,B正确；

S^ABC=SAACD=小，

易得△84。'dBCD，,

S^BAD=S/\BCD="2^22sinBCD'

=2sinZBCD,,

未折叠时8。’=8。=2小，折叠到8,D'重合时，BD,=0,故中间存在一个位置，使得

BD'=2小，

此时BC2+O'C^B。'2,NBO。’与

此时以网）=S^co=2sinZBCD/取得最大值2,

所以四面体。’A8C的表面积最大值为2（小+2）,C正确；

当6=竽时，如图，设M,N分别是△"/）'和△/?"的外心,过点M.N分别作平面AS',

平面84C的垂线，两垂线交于一点P,连接P&则。是三棱锥外接球的球心，P8即为三棱

锥外接球半径，

由上面证明过程知平面与平面ABC、平面O'人C垂直，即P,N、O,M四点共面，

因为〃=,，则NPON=?

ON《X坐义2=坐时9曰X2=¥，

PN=OMlan胃=*X小=1,

P8=、PM+W=弋12+（2^=粤,

D正确.

考点三最值、范围问题

例3（多选）（2022•梅州模拟）如图，在长方体A5CD-A向CQ中,AB=AD=l,例尸2,动

点P在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（）

A.当P为8A的中点时，NAPC为锐角

B.存在点P,使得8Q|_L平面APC

C.AP+PC的最小值为2•近

D.顶点8到平面APC的最大距离喈

答案ABD

解析如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

设丽=2丽(04W1),

则A(l,0,0),仅1,1,0),

C(0,l,0),。|(0,0.2),

则丽=(一1,一1,2),

故丽=7丽

=(—T,22),

则方>=油+而=(0,10)+(一九一九22)

=(T,IT,22),

CP=ch-|-«P=(l,0,0)+(-2,-2,2A)

=(1—2,—2,22).

对于A,当P为/犯中点时，唱1,1),

则前=e，_I,_)1=(w2*一)

P4.PT1

所以COSZAPC=±±LS-=^>0,

血的

所以NAPC为锐角，故A正确；

当B"J_平面4PC时，

因为AP,CPU平面APC,

所以3Qi_LAP,BOi_LCP,

BD；JP=2+A-1+4A=O,

则:

BD\-&=k-1+2+42=0,

解得％=1,

故存在点P,使得BQiJ•平面4PC,故B正确；

对于C,当BG_LAP,BQiJLCP时，A尸+PC取得最小值,

由B得，此时2=看，

则办=(七I),CT=g,-I-9,

所以|—AP|=_|CPA1/=5O%，

即4尸+尸。的最小值为亭，故C错误；

对于D,施=(0,1,0),AC=(-1,1,0),

设平面APC的一个法向量为〃=(x,)，，z),

〃.公=_%+y=0,

则有<

.〃行=一八+（1—冷），+2贬=0,

可取〃=(2；.,22,2A-1),

则点8到平面APC的距离为

|A8|.|cos<AB,n>L

|2z|

r⑵2一以十「

当2=0时，点8到平面APC的距离为0,

当0<2Wl时，

|2月I

__.1_爽

一

当且仅当4=3时，取等号，所以点8到平面APC的最大距离为坐，故D正确.

规律方法在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解

题思路是

⑴直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值.

(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求

目标函数的最值.

跟踪演练3(2022・荷泽质检)如图，等腰RCA班:的斜边A5为正四面体A—3C。的侧棱，

AB=2,直角边4E绕斜边回旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E-BCO体积的取值范围

是.

A

解析如图，令尸为CO的中点，。为AB的中点，则点E在以。为圆心，1为半径的圆上

运动，

由图可知当F,O,E三点共线，且。在尸，石之间时，三棱锥E-BCO的体积最大，当运动

到E的位置时，E—BCO妁体积最小，

在尸中，BO=1,BF=，5,OF=y[2,

A

sinZBFO=\,FE=V24-1,FE尸小T,

J

设E,昂到平面BCD的距离分别为小，力2,则

]~\/^+小

人尸小=3

V2-1V6-V3

h2=小=3

5ZXBCD=]X2X,\/3=-\/3,

所以三棱锥E-BCD体积的最大值为小X逅步=吟也

三棱锥E-HCD体积的最小值为gx小x乖;小=咛2,

所以三棱锥£一58体积的取值范围为[咛」，闿1]

专题强化练

1.（多选）（2022•佛山模拟）在棱长为3的正方体A3CD-A151c出中,M是43的中点,N在

该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（）

A.存在点N,使得MN〃BG

9

B.三楂锥M-A由G的体积等于工

C.有且仅有两个点N,使得MN〃平面48G

D.有且仅有三个点N,使得N到平面48G的距离为小

答案BC

解析对于A,显然无法找到点N,

使得MN〃8G,故A错误；

对于B,匕夕一八BC=匕-AMC~T^AAMC，

nl/«|OV।£>jVJV..।o/MJVJV|I

I139

=3X2X2X3X3=4,故B正确；

对于C,如图所示，分别为BiB,81G的中点，有MM〃平面446,加电〃平面44©,

故C正确；

对于D,易证8。_1_平面ABC,平面ACQi,且&Oi=OiO2=QO=g8iO=，5,

所以有点小，人，C,小四点到平面48G的距离为小，故D错误.

2.（2022・芜湖模拟）已知四棱锥尸一4BCO的高为、俗，底面ABC。为矩形，BC=3,AB=2,PC

=PD,且平面PC'。J_平面AAC'D现从四棱锥中挖去一个以CO为底面直径，。为顶点的半个

圆锥，得到的几何体如图所示.点N在弧&上，则PN与侧面布8所成的最小角的正弦值

为（）

A5

76-72

。4

答案A

解析如图所示，分别取,48,CQ的中点为&F,连接EF,EF与睇交于点、H.

记点N到侧面AW的距离为乩PN与侧面以8所成的最小角为"由于PN的长为定值，因

此当且仅当4最小时,PN与侧面粗8所成的角最小，此时点N与，重合

由平面尸。。_1_平面48C。易知尸凡LEF,

后1

又尸尸=小，EF=3,所以（an。=为-,即sin

3.（多选）如图是四棱锥尸一ABC。的平面展开图，四边形ABC。是矩形，EDLDC,FD_DA,

DA=3,DC=2,/"。=30。.在四棱锥尸一ABC。中，M为棱PB上一点（不含端点），则下列

说法正确的有（）

A.OM的取值范围是［粤，行）

B.存在点M,使得。

C.四棱锥尸一48CD外接球的体积为等

D.三棱锥用一以。的体积等于三棱锥“一PCD的体积

答案AD

解析把平面图形还原得到原四棱锥，如图，

由ED工DC,FDVDA,

可知P/?_LOC,PDLDA,

又DSDA=D,DA,OCU平面ABC。，

所以。。_1_平面ABCD.

在RtZSAQP中，ZE4D=3O°,D4=3,

故PD=3lan30。=小，

连接08,在矩形A8CD中，D4=3,DC=2,

D3=、22+32=6,

在RtAPDB中,

PBKPADB?=43+13=4,

^3X^13^39

所以点。到直线08的距离为

4-4

故。M的取值范围是［零，虫），故A正确；

对于B,假设QM_L8C,

因为J_平面ABCD,BCU平面ABCD,

所以PQ_LBC,

因为POGQM=O,所以8C_L平面P8O,

因为/3OU平面P/3Q,所以3CJ_8。，与已知条件矛盾，故B错误；

对于C,将此四棱锥可以补形成一个长方体，为长方体的一条体对角线，同时也是四棱锥

P一ABCQ外接球的直径，所以半径为2,

其体积V=与X23=苧，故C错误；

在工nrnMPVM-PCDMP

对于D'因为可荔=丽’刀蒜F

而VB-R\D=Vp-BAD=Vp-BCD=VB-PCDI

所以VMPAI）=VM-PCI）＞故D正确.

4.（多选）（2022♦潍坊模拟）已知四面体ABC。的4个顶点都在球0（0为球心）的球面上，如图，

△44C为等边三角形，M为底面48C内的动点，A4=3D=2,4。=啦，且4cL3D,则（）

A.平面ACO_L平面A8C

B.球心。为△人8C的中心

C.直线0M与CO所成的角最小为生

D.若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分

答案ABD

解析如图，设△A8C的中心为G,取AC的中点E,连接BE,DE,则BE_LAC.

•・・AC_LB。，BEC\BD=B,BE,BQU平面8QE,

，4C_L平面BDE,又OEU平面BDE,

则八C_L/)E,

又△ABC为等边三角形，

AB=BD=2,AD=®

：.AE=\,DE=\,BE=y[3,

:・D碎+RF^=Rr>2.即nFIBE,

XBELAC,ACODE=EtAC,QEU平面4。。,

・・・8E_L平面AOC,又BEU平面ABC,

J平面ACQ_L平面A3C,故A正确；

又,.・GE=W，GB=GA=GC=¥，

故G为四面体A8CD的外接球的球心，即球心。为aABC的中心，故B正确；

JT7T

当0MzMc时，NOCA尤直线。历与CD所成的角，由上知/。。4=不可，故C错误；

由平面人C7）J_平面ABC可知，动点M到平面人C。的距离即为动点用到直线人C的距离，

由抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.

5.（多选）如图1,在矩形A8CO与菱形A8E尸中，AB=2BC=4,ZABE=120°,M,N分别

是BF,AC的中点.现沿44将菱形ABEF折起，连接FQ,EC,构成三棱柱4”。一6£匕

如图2所不，^ADIBF,记平面AMNP半山JA。/=/,则（）

A.平面43CO_L平面A3EF

B.MN//1

C.直线E尸与平面AOE所成的角为60。

D.四面体£48。的外接球的表面积为14阮

答案AB

解析对于A,由于矩形ABC。，贝

又因为AO_L8P,而A8nBF=8,

A8,8rU平面八8七〃，

所以AO_L平面

又AQU平面A8C£）,

所以平面人8CQ_L平面人BEE所以A选项正确；

对于B,因为M,N分别是8F,AC的中点，四边形A8E/是菱形,

则用也是A£的中点，由三角形中位线的性质，可知MN〃EC,

由于三棱柱A〃Q-4EC,

则平面8EC〃平面ADFf

又ECU平面BEC,

所以EC〃平面ADF,

而平面AMND平面ADF=l,

则EC〃/,所以MN〃/,所以B选项正确；

对于C,由于四边形A8瓦是菱形，则AE_L8F,

又因为而AEnA£>=A,AOU平面4OE,

所以BF_L平面ADE,

所以/尸EM为直线七户与平面AOE所成的角，

又因为NA4E=120。，

则NBE户=60。，所以N/TM=30。，

故直线即与平面4OE所成的角为30。，所以C选项不E确；

对于D,由题可知43=28C=4,N44E=120。，

则在a/W石中，

AE=2AM=2Absin^ZABE

=2X4Xsin60°=473,

由正弦定理可得AABE的外接圆半径

1；AE1、，4小/

r=2XsinZ/A^=2Xsin120。=%

由A选项可知，AO_L平面A8EF,

所以四面体EABD的外榜球半径

R=q户+&£>>=也4

故四面体EABD的外接球的表面积S=4兀&=4兀X17=68兀，所以D选项不正确.

6.（多选）（2022•德州模拟）在棱长为1的正方体A8CQ-A，G。]中,已知E为线段81c的中

点，点〃和点尸分别满足万方=）.万百，而二屈,其中九"£[0,1],则下列说法正确的

是（）

A.当2=3时，三棱锥「一£尸。的体积为定值

兀

B.当〃=；I时，四棱锥吁ABC。的外接球的表面积是9咛

C.PE+尸产的最小值为平

D.存在唯一的实数对(2,4),使得EP_L平面PDF

答案ABD

解析对于A,当2=3时.

尸为