高三数学一轮复习（基础版）向量法求空间角（一）

§7.7向量法求空间角（一）

（分值:80分）

阈知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.若直线/的方向向量与平面Q的法向量的夹角等于13（）。，则直线/与平面。的所成的角等于（）

A.40°B.5O0

C.130。D.以上均错

2.（2024.呼和浩特模拟）如图，在四棱锥/MAC。中，P4_L平面ABCD,底面88CQ为正方形，PA=AB,则

直线PC与平面所成角的余弦值为（）

3.已知正方体A8CD4由Ci。，。为上底面所在平面内的动点，当直线。。与所成的角为45。

时，点。的轨迹为（）

A.圆B.直线C.抛物线D.椭圆

4.如图，在四棱锥ABODE中，DE//CB,8EJ_平面A8C,BE=3,AB=CB=AC=2DE=2,则异面百线OC与

AE所成角的余弦值为（）

.\<130

A.------R型

1313

D.巫

C雪

1326

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，41,0,0）,8（1,2,2）,C（0,0,2）,则（）

A.OCAB=4

B.异面直线OC与A8所成角等于三

«5

C.平面AOC的一个法向量可以是（0,1,0）

D.直线。8与平面AOC所成角的止弦值为:

6.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,ZABC=60°,PAJ_平面A3CD,PA=AB=2,M,N分别

为PB,C。的中点，£为棱AD上一动点.若NMEN为钝角，则AE的长可能为（）

A3D.V2

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.（2024•福州模拟）若异面直线的方向向量分别是a=（0,1,2）,b=（4,0,2）,则异面直线H与。所成

角的余弦值为.

8.（2025•张家口模拟）在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P（xo,）o,r）且法向量为加=5，B,O的平面方程

为4皿）+8（»o）+C（zzo）=0,经过点尸（即，加zo）.且一个方向向量为〃=（〃，u,①）（〃伏"金0）的直线/的方程为

三*二匕江二二电，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面。的方程为2x+z7=0,经过点（0,0,0）的直

VG）

线/的方程为如看j则直线/与三面a所成角的正弦值为_________.

32—3

四、解答题（共28分）

9.（13分）（2024・贵阳模拟）如图，在三棱台A8C4必G中，9C」平面ABC,AC1BC,BC=4,

A|C[二B[C]=CG=2.

（1）求异面直线48与BG所成角的余弦值；（6分）

（2）求直线AjB与平面AiSC所成角的正弦值.（7分）

10.（15分）（2025・咸阳模拟）在正四棱柱ABCD4/CQ中,AB=lfE为3切的中点,直线SG与平面4。/

交于点F.

⑴证明:广为囱G的中点；（6分）

（2）若直线AC与平面AQiE所成的角为g求AA的长.（9分）

10能力拓展

每小题5分，共10分

11.在正方体ABCD48GG中，点P在侧面8CG囱（包括边界）上运动，满足APJ_8Oi.记直线GP与平面

AC囱所成的角为原则sina的最大值为（)

A6D平

A三B.—若

4

12.（2024・重庆模拟）已知正三棱柱A8C4囚G的所有棱长均相等，E,产分别是棱4向，CG上的两个动点,

且B、E=CF,则异面直线BE与AF所成角的余弦值的取值范围是

J%2+y2+ix板2'

化简可得

所以点。的轨迹为抛物线.]

4.A[如图所示，取BC的中点尸，连接4尸，DF,

可得。尸〃8E,

因为BEJ_平面ABC,所以，平面ABC,

又由A8=C8=4C且尸为8C的中点，所以Af_L3C,

以厂为坐标原点，A尸，8尸，。尸所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(V3,0,0),E(0,1,3),

C(0,-1,0),D(0,0,3),

故而=(0,1,3),

AE=(-y/3,1,3),

io_]

则cos(CD,AE)=就蒜710x71313--J

5.ACD[VA(1,0,0),8(1,2,-2),C(0,0,-2),02=(0,0,-2),

A3=(0,2,-2),

J沆漏=(-2)X(-2)=4,故A正确；

设OC与48所成的角为0,

则cos()=■科=，一=上

人JCOS"画画।2x2迎21

且同0,j],：.0=^,故B不正确；

设平面AOC的法向量为n={x,y,z)t

V04=(1,0,0),OC=(0,0,-2),

..终.n=0,即产0,

(OCn=0,1-2z=0,

解得f=Q

(z=0,

・•・〃=((),1,0),故C正确；

OB=(\,2,-2),设直线08与平面AOC所成的角为0,

则"繇­故正确

3x1D

6.AB［由题意得△A8C为等边三角形，

以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，尸为8C的中点，

则P(0,0,2),F(V3,0,0),

B(V3,-1,0),C(V3,1,0),D(0,2,0),

••・”停，41)，噬，A)，

令AE=«0WfW2),

，E(0

.•・EM=0,~2~tf1)，

前=(4,>30)，

依题意NMEN=(EM,£W>为钝角，

J丽而

解得0</<1.1

7I

解析设/|与，2所成的角为0,因为4=(0,—1,—2),力=(4,0,2),所以cos0=|cosQ,万〉1=鲁整=

回1例

1-4|_2

VsxVzo5'

8

*110

解析由题设知，平面a的法向量加=(2,0,1),直线/的方向向量〃=(3,2,—3),

且平面。与直线/相交，

所以直线/与平面〃所成角的正弦值为|cos〈川，〃〉1=黯=忘%=需,

9.解⑴依题意，以点。为坐标原点，CA,C8,CG所在直线分别为x,)，，z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，

在三棱台ABC—481G中，因为4G=8iG,

所以AC=8C=4,

所以C(0,0,0),4(4,0,0),8(0,4,0),

因为AIG=8IG=CG=2,

所以4(2,0,2),51(0,2,2),

G(0,0,2),

所以乖=(一2,4,-2),

电=(0,-2,0),

所以cos〈力以,B1C；〉=

^—4x(-2)__V6

l/hBHBiCil276X23'

设异面直线A由与氏G所成的角为a,则。£(0,于，

所以cosa=|cos〈彳了，瓦C；〉|=当，

即异面直线48与8G所成角的余弦值是手.

(2)设直线48与平面ABC所成的角为“，则”e[o,皆，

设平面AiSC的法向量为

〃=(x,y,z),

石瓦=(-2,2,0),中=(一2,0,-2),

n-AB=-2x+2y=0,

所以11

n•AXC=-2x-2z=0,

令x=1,贝ijy=l,z=—1

所以"=(1,1,一1),

所以sin夕=|cos〈〃，4了〉|

_M初I=4=V2

|川|江面-V3X2V6-3'

即直线48与平面A8C所成角的正弦值是年.

10.⑴证明如图，连接BG,FE,FDi,在正四棱柱

A8CZ)-48CQ中，

由48与G"平行且相等，得四边形ABGQi是平行四边形，所以BGZ/ADy,

又8GQ平面ADiE,ADC平面ADiE,所以BG〃平面AD{E,

又8Gu平面BCCB,平面AOECI平面BCGB尸EF,

所以BG〃EF,因为E是的中点，所以“是81G的中点.

⑵解以。A,QC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

设AAi=m(mX))，则A(1,0,0),C(0,1,0),

。1(0,0,m),

Eg1W

AC=i~\,1,0),和=(-1,0tm),荏=(0,1,y),

设平面AOiE的法向量是，=(x,y,z),

t-ADi=-x+mz=0,

则

t-^E=y+yZ=0,

取z=l,得f=(m,,1),

因为直线AC与平面AOg所成的角为三，

所以Icos</,砌尸耦

=±2^=sinK

3

解得汨=2（负值舍去），

所以AA的长为2.

11.C［建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为1,

则8(1,1,0),

Di(0,0,1),

G(0,1,1),

41,0,0),

由题可设P(x,1,z),

则西=(一1,一1,1),

AP=(x—\,1,z),

・••西.Q=1-.L1+Z=0,

即x—z