勾股定理（章节复习）知识梳理+30个高频易错考点讲练 共60题（原卷版）-2024八年级数学上册（苏科版）

勾股定理（知识梳理+30个高频易错考点）

口税考点分类目录指引_________________________________________________________

考点讲练1：用勾股定理解三角形...........................................................4

考点讲练2：已知两点坐标求两点距离.......................................................5

考点讲练3：勾股树（数）问题..............................................................6

考点讲练4：以直角三角形三边为边长的图形面积.............................................7

考点讲练5:勾股定理与网格问题...........................................................7

考点讲练6：勾股定理与折叠问题...........................................................8

考点讲练7：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）...........................................9

考点讲练8：利用勾股定理证明线段平方关系.................................................9

考点讲练9：勾股定理的证明方法..........................................................11

考点讲练10：以弦图为背景的t-算题.......................................................12

考点讲练11：用勾股定理构造图形解决问题.................................................13

考点讲练12：勾股定理与无理数...........................................................14

考点讲练13：判断三边能否构成直角三角形.................................................14

考点讲练14：图形上与已知两点构成直角三角形的点.........................................15

考点讲练15：在网格中判断直角三角形.....................................................16

考点讲练16：利用勾股定理的逆定理求解...................................................16

考点讲练17：勾股定理逆定理的实际应用...................................................17

考点讲练18：勾股定理逆定理的拓展问题...................................................18

考点讲练19：求梯子滑落高度［勾股定理的应用）...........................................19

考点讲练20：求旗杆高度（勾股定理的应用）...............................................20

考点讲练21：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）............................................21

考点讲练22：求大树折断前的高度（勾股定理的应用）.......................................22

考点讲练23：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）.......................................23

考点讲练24：解决航海问题（勾股定理的应用）.............................................23

考点讲练25：求河宽（勾股定理的应用）...................................................25

考点讲练26：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）.........................................26

考点讲练27：判断汽车是否超速（勾股定理的应用）.........................................27

考点讲练28：判断是否受台风影响（勾股定理的应用）.......................................28

考点讲练29：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用）....................................29

考点讲练30：求最短路径（勾股定理的应用）...............................................30

nm知识梳理技巧点拨

知识点重点归纳常见易错点

1.文字语言:

直角三角形两直角边。、b的平方和等于斜边c的平方.

2.图形语言:

注意：勾股定理的使用条

件一一必须是直角三角

形，其他三角形是不能使

勾股定理

用的!

并且要确定好哪条边是斜

3.符号语言:边

在中，NC=90°

a2+62=c2

方法1：方法2：勾股定理的验证方法采用

ab拼图的方式，基本思想都

是利用两种不同的方式表

示同一图形的面积，建立

勾股定理

等式，化简之后得到

验证方法3：方法4:Q2+/=C2

b

应用1:求解三角形中未知边长;

应用2：网格中绘制无理数长度线段;

常见应用应用3：数轴上绘制无理数的点;

应用4：解决实际问题中的长度问题;

应用5：求解一些最值问题;

应用6：求解一些立体几何中的长度问题；

1.文字语言：我们习惯是用％6表示直

如果三角形的三边长久&C,满足〃2+/=。2,那么这个角边，c表示孤边，但真正

三角形是直角三角形.到习题或考试中不一

2口.图形语言：定表示直角边，C不一定表

示斜边

勾股定理

例如：（a+b）（a—b）=c2

逆定理

b此时化简后为：

a2-b2=c2

3.符号语言：即/+°2=Q2

在中，若三边长Q*,C满足：

所以。表示斜边

a2+b'2=c2

.•.△4BC是直角三角形，且c对的角为直角。

C/勾股定理、222

勾股定理7a、-----------"a24-62=c2

//、勾股逆定理

与逆定理正确理解二者的关系

AN-----------

关系b__直角三角形的性质、一

圆、____________________________1s

直角三角形的判定

1.概念：注意：a,6,。要成为勾

能够构成直角三角形的三边长的三个正圭数称为勾股股数必须满足两个条件：

数，即中，a,b,c为正整数时，称。，b,C条件1：满足/+〃=/；

为一组勾股数；条件2：a,b,c必须是

勾股数2.常用勾股数:如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等正整数；

3.用含字母的代数式表示〃组勾股数：这里最易被忽略的是条件

n2-{,2n,n~+1（”之2,〃为正整数）；2,千万要注意！

22

2n+\f2n+2n92n+2n+\（〃为正整数）

222

m-n92mnfm+♦（〃】＞〃，/〃，〃为正整数）.

勾股定理1.将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型；关键在找到直角三角形，

解决问题2.确定所求线段所在的直角三角形；设出适当的未知量，表示

(2)请问点。满足什么条件时，AC+EC的值最小，并求出最小值:

【任务二】

由、GE+J(x—3)2+4=J(x-0)2+1+J(x—3)2+22可得代数式的几何意义;如图②，建立平面直

角坐标系，点P(x,0)是x轴上一点，则J(x—0)2+1可以看成点。与点A(0,l)的距离,J(x—3)2+22可以看

成点〃与点B(3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最

小值.

(3)求代数式J(x+1)2+9+一x)2+1的最小值.

图①图②

4.(24-25九年级上•河南郑州•期中)如图，从点M(0,3)发出一束光，经x轴反射，过点N(6,5),则这束

光从点M到点N所经过的路径的长为()

A.8B.9C.10D.12.5

考点讲练3:勾股树（数）问题

5.（24-25八年级上-陕西榆林-阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（）

A.V3,"V5B.4,5,6

C.0.6,0.8,1D.9,12,15

6.（24-25八年级上•江苏镇江•期中）小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5：5、

12、13：7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的止整数组成.

⑴小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41,这是一组勾股数吗，请给出证明.

（2）为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为/〃、小n+1（/〃为大于1的奇数，且

m<n）,他猜想是否可以用/〃表示出〃.若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由.

⑶当奇数m=17时，请直接写出这组勾股数.

考点讲练4：以直角三角形三边为边长的图形面积

7.（24-25八年级上•全国•课后作业）如图，以内△ABC的三力为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜

边AB=3,求图中阴影部分的面积.

A

8.（24-25八年级上•广东深圳•期中）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作

正方形，面积分别记为SI，S2,S3,若S3+S2—S]=20,则图中阴影部分的面积为

考点讲练5:勾股定理与网格问题

9.（24-25八年级上•吉林长春•期中）图①、图②均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,

其顶点称为格点，4ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保

留作图痕迹.

(2)在图①中，在AC上确定一点〃连接BD,使S4ABD=S^BCD；

⑶在图②中，在△ABC内确定一点反连接AE、BE、CE,®SAABE：SABCE：SAACE=1:1:2.

10.(24-25八年级上•江西抚州•期中)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶

点叫做格点，△ABC的顶点在格点上.请用无刻度直尺按要求作图：

（2）在图2中，找一格点〃使ADJ.AC且AD=AC.

考点讲练6:勾股定理与折叠问题

11.（24-25八年级下•北京•期中）如图,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=4,D是AC的中点,E

是BC上一点，连接BD、DE.将ACDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE的长是（）

12.（24-25八年级上•江西抚州•期末）如图，在长方形ABCD中，AB=2,AD=4,将此长方形沿EF折

叠，使点〃与点笈重合，则AE的长度为.

考点讲练7:利用勾股定理求两条线段的平方和（差）

13.（24-25八年级上•陕西西安•期中）爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活，增强

身体素质，计划要在道路m上建立一个体育器材放置点E,同时向C,D两栋教学楼提供器材.已知：D到道

路m的距离DA=20m,C到道路m的距离CB=10m,A,B两地距离AB=50m.现要求放置点E到C、D两栋

教学楼距离相等.

D

iC

（1）请利用圆规与直尺在直线m上作出点E（不写作法，保留作图痕迹）:

（2）计算器材放置点E到A处的距离.

14.（24-25八年级上•四川雅安•期中）如图，在Rt^ABC中，AB=AC,zBAC=90°,点D、E为BC上两

点，DAE=45。，点F为△ABC外一点，且FBIBC,FA1AE,则下列结论：①CE=BF；®BD2+CE2=D

2222

E；@CE+BE=2EF；④S^ADE=%D•EF,其中正确的是()

A.®®@B.①②③④

C.®®®D.①②④

考点讲练8：利用勾股定理证明线段平方关系

15.（24-25七年级上•山东烟台•期末）【问题提出】

如图1,在Rt/iABC中，AB=AC,D为BC边上一点（不与点B,（:重合），以AD为直角边在AD右侧做等腰直

角CADE,连接EC.

(1)4ECD的度数为；

(2)线段BC,DC,EC之间有怎样的数量关系，写出并说明理由；

【类比探究】

如图2,若点D在BC边的延长线上，其他条件不变，

(3)试探究线段BD,DC,DE之间满足的数量关系，并说明理日.

图1图2

16.(24-25八年级上•上海松江•期末)已知：在ABC中，zACB=90°,CA=CB.点D、E在线段AB

上.

cc

(1)如图1,如果CD=CE,求证：AD=BE.

(2)如图2,如果々DCE=45。，求证：DE2=AD2+BE2.

考点讲练9:勾股定理的证明方法

17.（24-25八年级上•河南南阳•阶段练习）在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形

和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示.设直角三角形较长的直角边长为b,较短的直角边长为a,

大正方形边长为c.请你写HM,b,c之间的关系式是.（化到最简）

18.（24-25八年级上•福建泉州•期末）勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力.它是用代数思想

解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷.我

国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股

定理.

图3

(1)如图1,用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为4b,斜边长为c.

①请写出勾股定理的表达式：.

②如图2,正方形边长为c,请你在图2中，将图1的四个三角形拼成一个能证明勾股定理的图形.

(2)如图3,将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，使点反反。在同一直线上，三角形的短直

角边记为a,长直角边记为4斜边记为a请连结AD,试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定

理.

考点讲练10：以弦图为背景的计算题

19.(24-25八年级下-天津河北•期中)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一

个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12,大正方形的面积是169,则小正方形

的面积是________

20.（24-25八年级上•河南郑州・期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的

大正方形.赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国

古代以形证数形数统•、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.

图1图2

（1）如图1,是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板.

①设AH=a,BH=b,AB=c,请你利用图1验证：a2+b2=c2；

②若大正方形ABCD的边长为13,小正方形EFGH的边长为7,求直角三角形两直角边之和为多少？

（3）如图2,小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48,OB=6,

求这个图案的面积.

考点讲练11:用勾股定理构造图形解决问题

21.（24-25八年级上•河南郑州・期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是

一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a,b（a<b）,斜边长为c.

G

C

图①图②

（D请利用图①证明:a2+b2=c2；

（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重置地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH,若该图形的周

长为80,OB=5,求该图形的面枳.

22.（24-25八年级上•四川成都•期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾,

另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年一公元295年）将勾股形分割成一

个正方形和两对全等的直角二角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定埋.如便2所示的长

方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC=6,CD=2,则长方形的面积为

图2

考点讲练12:勾股定理与无理数

23.（22-23八年级上•江苏淮安•阶段练习）如图，在数轴上点A表示的实数是.

r-------、

2；\、'

iiiI\41■\i*A*i।、

-4-3-2-101234

24.（24-25八年级上•吉林长春•阶段练习）如图，在边长为1的4x4正方形网格中，画出三个同时满足

以下三个条件的三角形.

①所画三角形的顶点都在格点上的直角三角形；

②所画三角形的三边长度至少有两边长度是无理数;

③所画的三个直角三角形互不全等.

考点讲练13:判断三边能否构成直角三角形

25.（24-25八年级上•宁夏中卫,期中）如图，在△ABC中，CA:CB:AB=3:4:5,它的周长为36cm.点2

从点/1出发沿AC边向点C以每秒1cm的速度移动，点。从点a出发沿CB边向点8以每秒2cm的速度移动.

B

Q

c

⑴ZiABC是直角三角形吗？请说明理山.

(2)如果点八。同时出发，那么经过3秒，CQ=_cm,CP=_cm,则AQCP的面积为多少?

26.(24-25八年级上•重庆•期中)如图，已知等腰△ABC中，AB=AC,BC=10cm,D是边AB上一点,

且CD=8cm,BD=6cm.

(1)求AD的长；

⑵求△ABC中BC边上的高.

考点讲练14：图形上与已知两点构成直角三角形的点

27.(20-21八年级上•浙江•期末)如图，4BOC=60。，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm,动点P

从点A出发沿AB以3cm/s的速度移动，动点Q从点。出发沿OC以lcm/s的速度移动，如果点P,Q同时出发,

用t（s）表示移动的时间，当｛=S时，APOQ是等腰三角形；当1=S时，APOQ是直角

三角形.

28.（20-21八年级上•陕西榆林•阶段练习）下列叙述中，正确的是（）

A.直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方

B.如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

C.△ABC中，ZA,NB,NC的对边分别为a,b,c,若a2+b2=c?,则/A=90°

D.△ABC中，ZA,ZB,N。的对边分别为a,b,c,若NB=90°,则c2-a2=b2

考点讲练15:在网格中判断直角三角形

29.（2025•山东滨州•模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，则NPAB+4PBA=（点A,B,P

是网格线交点），请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出解决该题的关键思路的连线.

AB

30.（24-25八年级上•江苏无锡•期中）如图所示，在每个边k都为1的小正方形组成的网格中，点力、

B、〃均为网格的格点.

(1)线段AB的长度等于__________；

(2)以点从B、尸为顶点的4ABP面积为__________；

(3)仅用无刻度直尺在线段AB上作一个点0,使得点0满足NPQA=45。.

考点讲练16:利用勾股定理的逆定理求解

31.如图，某中学有一块四边形的空地ABCD,学校计划在空地上种植草皮，经测量NA=90。，AB=3m,

BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？

32.(24-25八年级上•福建漳州•期中)已知：四边形ABCD中，4A=90。，AB=3,AD=4,BC12,

CD=13：

c

AB

⑴求BD的长:

（2）求四边形ABCD的面积.

考点讲练17:勾股定理逆定理的实际应用

33.（24-25八年级上-广西百色・期末）综合与实践：

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知

识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意性.测得支架

AC=80cm,BC=60cm,两轮轮轴的距离AB=100cm（购物立车轮半径忽略不计），DG,EH均与地面平

行.

请按要求完成下列任务：

AB

⑴判断支架AC与BC的位置关系，并说明理由：

（2）如图2,作图提示：过点F作FN1AB交AB的延长线于N,延长DG交FN于M,请按作图提示添加辅助线,

若FG的长度为80cm,2EHG=60。，求购物车把手F到AB的距离.（结果精确到1cm,V2«1.414,百”

1.732）

34.（24-25八年级上•吉林长春•期末）图①是某品牌婴儿车，图②是其部分结构示意图.根据安全标准

需满足AB_LBC,己知AB=60cm,BC=45cm,AC=75cm,请通过计算说明该车是否符合安全标准.

A

C

图①图②

考点讲练18：勾股定理逆定理的拓展问题

35.（22-23八年级上•贵州•期中）如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路

AB上的〃处建一座桥梁到达C处，已知点。与公路上的停靠站力的直线距离为9km,与公路上另一停靠站B

的直线距离为12km,公路49的长度为15km,且CD1AB.

ADB

（1）求证：AC1BC；

⑵求修建的桥梁CD的长.

36.（20-21九年级上•江苏苏州•阶段练习）阅读下列内容：设a,b,c是一个三角形的三条边的长，且

a是最长边，我们可以利用a,b,c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2=b2+c2,

则该三角形是直角三角形：②若a2>b2+c2,则该三角形是钝角三角形；③若a2Vb2+c2,则该三角形是

锐角三角形.例如：若一个三角形的三边长分别是4,5,6,则最长边是6,62=36<42+52,故由③可

知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：

（1）若一个三角形的三边长分别是7,8,9,则该三角形是三角形.

（2）若一个三角形的三边长分别是5,12,X.且这个三角形是直角三角形，求X2的值.

（3）当a=2,b=4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c?的取值范围.

考点讲练19:求梯子滑落高度（勾股定理的应用）

37.（24-25八年级卜•吉林长春•阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”，某校八年级（1）班的

小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图1）,进行了如下操作：

①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离AB为1.5米；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线CB的长为17米；

③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离BD的长为8米.

图1图2

（1）求风筝的垂直高度CE；

（2）如图2,小明想让风筝沿CD方向下降9米到点"处，则他应该往回收线多少米?

38.（24-25八年级上•江苏苏州•阶段练习）在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男孩拽着绳

子另一端向右走，绳端从。移动到其同时小船从力移动到8且绳长始终保持不变.

⑴根据题意可知：AC______BC+CE（填“>”、“<"、"="）.

⑵若CF=5米，AF=12米，AB=9米，求小男孩需向右移动的距离.（结果保留根号）

考点讲练20:求旗杆高度（勾股定理的应用）

39.（23-24八年级上•广东深圳-阶段练习）学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB

的高度，得到如下信息：

①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；

②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另•端的手到地面的距离CD为3米，到旗杆的距离CE为米（如图

2）.

根据以上信息，求旗杆AB的高度.

40.（24-25八年级上-陕西铜川・期中）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的

绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这

个问题的方案如下：

小明：①测量出绳子垂直落地后近剩余1米，如图1:

②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AC=4米，如图2.

小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处（BD=BC）,作DF垂直AC于点F,

DF=EC.

（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度BC；

⑵在（1）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离DE=4.5米，求此时绳结到地血的高度DF.

考点讲练21:求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）

41.（24-25八年级上•江苏宿迁•期末）如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m,另一杆高20m,

两杆相距50m.现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上£处浮起一条小鱼，于是以同样

的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼.则两杆底部距小鱼£处的距离各是多少？

42.（24-25八年级上•四川•期中）如图，学校操场上有两棵树AB和CD（都与水平地面AC垂直），大树AB

高8米，树梢〃到树AB的水平距离DE（DElAB）的长度为8米，小树CD高2米，一只小鸟从树梢〃飞到树

梢8,则它至少要飞行的长度为（）

A.8米B.10米C.12米D.16米

考点讲练22：求大树折断前的高度（勾股定理的应用）

43.（24-25八年级上•吉林长春,阶段练习）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面6m

处折断，树尖夕恰好碰到地面，经测量AB=8m,则未折断前这棵树高为m.

C

44.（24-25八年级上•河南南阳•期末）如图，一根直立的旅杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B

着地目图旗杆底部A的距禽为4m.

c

⑴求旗杆在距地面多高处折断；

⑵工人在修玛的过程中，发现在折断点c的卜•方1.25m的点P处，有一明显裂痕，若卜.次大风将旗杆从点p处

吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？

考点讲练23:解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）

45.（24-25八年级上-吉林长春・阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池

方一丈，葭（jia）生其中，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深儿何？"（丈、尺是长度单位，1丈10

尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为1。尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB,它高出水面1

尺（即BC=1尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处.问水的深度

是多少？则水深DE为尺.

46.（24-25八年级上•广东茂名•阶段练习）如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为12cm,

高5cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为力，则S的取值范围是（）

h

A

A.h<19cmB.h>13cm

C.11cm<h<19cmD.13cm<h<19cm

考点讲练24：解决航海问题（勾股定理的应用）

47.（24-25八年级上•四川宜宾•期末）在海平面上有儿B,C三个标记点，。为灯塔，港口力在灯塔。

的北偏西55。方向上，港口力与灯塔C的距离是40海里；港口£在灯塔C的南偏西35。方向上，港口8与灯

塔。的距离是30海里，一艘货船将从月港口沿直线向港口8运输货物，货船的航行速度为10海里/小时.

⑴货船从港口力航行到港口夕需要多少时间;

⑵为了保障航行的安全，。处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港

口,4向港口8运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行

安全标准.请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？

48.（24-25八年级上•四川达州•期末）如图，在海平面上有A,B,C三个标记点，其中A在C的北偏西52。

方向匕与C的距漓是40海里，B在C的南偏西38。方向上，与C的距离是30海里.

A

N

\/S

B

⑴求点A与点B之间的距离；

（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处

航行，轮船航行的速度为每小时20海里.轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？

考点讲练25:求河宽（勾股定理的应用）

49.（24-25八年级下•内蒙古乌兰察布­期中）宜角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为

a、b,斜边长为c,则a?+b2=c2.

图2

(1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式.利用以上所得的

直角三角形的三边关系进行解答;

(2)如图2,在一条东西走向河流的一侧有一村庄G河边原有两个取水点力、B,其中AB=AC,由于某种

原因，由。到力的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点〃(/1、4在一条直

线上)，并新修一条路CH,且CH1AB.测得CH=6千米，HB=4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？

(3)在第(2)问中若ABHAC时，CH1AB,AC=8,BC=10,AB=12,设AH=x,求才的值.

50.(23-24八年级上-全国・单元测试)著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形

中，较短的直角边为a,较长的直角边为〃，斜边为。，则大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4x

lab+(b-a)2,由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a,b,斜边为c,则a2+b2=c2.

图1图2图3

⑴图2为美国第2()任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理.

(2)如图3,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点4B,其中AB=AC,由于某种

原因，由。到力的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点〃(4//,占在同一

条直线上)，并新修一条路CH,且CH1AB.测得CH=2.4千米，HB=1.8千米，求新路CH比原路CA短多少

千米.

(3)在第(2)问中，若ABwAC,CH1AB,AC=4千米，BC=5千米，AB=6千米，求AH的长.

考点讲练26:求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)

51.(24-25八年级上•江西吉安•期末)某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完

全盖住.楼梯台阶剖面图如图，已知乙C=90。，AC=3m,AB=5m.

4

CB

（1）求a'的长;

⑵若已知楼梯宽2.8m,需要购买m2的地毯才能铺满所有台阶.

52.（24-25七年级上•山东东营•期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5,3和1,力和

6是这个台阶的两个相对的端点，点力上有一只蚂蚁，想到点8去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点

夕的最短路程长是多少？

考点讲练27:判断汽车是否超速（勾股定理的应用）

53.（24-25八年级上•河南郑州-阶段练习）如图所示，A点装有一车速检测仪，它到公路边的距离AN