高三数学一轮复习讲义（标准版）基本不等式

§1.4基本不等式

【课标要求】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.

1.基本不等式：相经审

⑴基本不等式成立的条件：。>0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当时，等号成立.

(3)其小叫做正数小匕的算术平均数，叫做正数出)的几何平均数.

2.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正数，如果积型等于定值P,那么当，时，和x+y有最小值.

(2)已知x,)，都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当，时，积抄有最大值.

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(I的最小值是2.()

(2))，=x(2x)的最大值是1.()

(3)若心>0,)>0且x+y=xy,则的最小值为4.()

(4)函数产sinx+品，x£(0,］的最小值为4.()

2.若函数./U)=x+W#>2)在尸。处取最小值，则。等于()

A.1+V2B.1+V3

C.3D.4

3.(多选)下列命题正确的是()

A.若工<0,则X/W2

X

B.若,v>0,贝UJW2

C.若工£R且,tWO,则上+?22

D.x2-1

x2+l

4.已知x,ye(O,+8),若2x+3)=l,则是的最小值为,

I.灵活应用两个基本不等式的变形公式

(1年廿223,8同号，当且仅当“斗时，等号成立)；

竽W/4>0,当且仅当时，等号成立).

2.谨防两个易误点

（1）在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条

件必须相同，否则会造成错误.

（2）尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.

题型一基本不等式的理解及常见变形

例1（1）（多选）下列说法不正确的是（）

A.x+f的最小值是4

X

2

B.不等式（等）与G5W半成立的条件是相同的

cVF不1+7==的最小值为2

VX2+2

D.存在a,使得夕+22成立

a

⑵若（）<〃</?,则下列不等式一定成立的是（）

A.b>^>«>VabB.bB.b>y/ab>^Y'>a

C.b>^->yfab>aD.b>ci>^^->Vab

22

思维升华基本不等式的常见变形

⑴次（等）2嘤

审wj。；"（a>0,/?>0）.

跟踪训练1⑴已知P：»>（），/Q手〉（等）*，则〃是4成立的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（2）（多选）已知小人£R,则下列不等式成立的是（）

AAab^（a+b）2B.等W

2ab^a+b-.^a2+b2

C.-——D.abW--------

a+b22

题型二基本不等式的性质

命题点1直接法

例2(1)若实数x,y满足盯=1,则f+2)2的最小值为()

A.lB.V2C.2D.2V2

(2)当0<xvl时，3x(33x)的最大值为.

命题点2配凑法

例3(1)函数大为二心:十味，xe(L+8)的最小值为()

A.6B.8C.10D.12

⑵(2025・咸阳模拟)已知公>0,/»(!,且仁3=1,则a+8的最小值为

a+1o+l

■微拓展

与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型

如图，对于函数Ki）=x+：,k>0,x^[a,b],（a，切口0,+°°）.

⑴当死，历时，氏x)=x+62瓜小)隔=代向=网+*=2瓜；

⑵当、不<〃时，段)=工+£在区间,加上单调递增，./U)min=Jla)=4+：；

⑶当花功时，段)=工+；在区间[a，勿上单调递减，於)min=M)=〃+今

因此，只有当4W团，何时，才能使用基本不等式求最值，而当迎出。，加时只能利用对勾函数的单调性求

最值.

典例函数4x)=W+&的最小值是.

命题点3常数代换法

例4(多选)已知a,〃为正实数，且心1,/»1,(«1)01)=1,则下列结论正确的是()

A.-+-=I

Qb

B.ab的最大值为4

C2a+〃的最小值为3+2企

的最小值为2

a-lb-1

2.(1)2VP⑵毋

自主诊断

l.(l)X(2)V⑶J(4)X

2.C3.ACD4.5+2V6

探究核心题型

例1(l)ABC[对于A,当筋>0时，.什与21工=4(当且仅当x=2时取等号)，

当x<0时，A-+^=[(-X)+-卜2J(-x)S=4(当且仅当v=2时取等号)，故A错误；

对于B,必〈(一)恒成立，而而〈警成立的条件为〃>0">0,故B错误；

对于C,产后率1+7=222,等号成立的条件是衍眨二金，即丁+2=1,显然不能取到，故C错误；

vxz+2vxz42

对于D,存在a=\,使得"」<2成立，故D正确.]

a

⑵C[*/0</7</?,*.1h>a+b,

/.b>^->Vab.

2

*/b>a>0,ab>a2,\[ab>a.

故b>^>\/ab>a.]

跟踪训练1(1)A

(2)ABD[A选项,4ab(a1h)2=(ab)2^O,即4ab^{a1Z?)2,故A选项正确；

B选项，当a+b>0时，手>0,

2

则段)2(再)

=M+庐+2：-2a2-2M=卓廿w()恒成立,即等在产手恒成立，当4+bW()时，原不等式恒成立，故B选

项正描；

C选项，当。+〃乂)时，2a心誓二4Ywo,即2abW更等,能W修恒成立，当〃+从0时，

222a+b2

2“屏吟二葺处WO,即2即噌~,瑞,故C选项错误；

D选项，由重要不等式可知，a,b^R,嘤恒成立，故D选项正确.]

例2⑴D［方法一由工尸1得f+2)，2,2jx2•2y2=20,

当且仅当f=2)，2,

即jr=V2,y2=号时，等号成立，

『+29的最小值为2立.

方法二f+2户立詈二铲§22&，当且仅当x2=29，即*=近，V#时，等号成立，占2寸的最小值为

2V2.]

嫉

解析由题意及基本不等式可知

3M33.兴厂+(广邛弓,当且仅当户汉，即.门孑时取等号.

例3(1)B[因为xW(l,+8),

则1+1>0,

贝1]外)=©+京

=4(x+1)+^4

22小(x+l).乎124=8,

9

当且仅当4("+1)=履工，

x>-1,

即广；时,等号成立,

故函数/(x)=4x+言,.re(l,+8)的最小值为8.]

(2)272+1

解析由心0">0,缶+岛二1,

得a+b=(a+1)+S+1)2

二岛+言)SD+31)]2

4+2(Hi)+]

Q+1b+1

,2户逅i+1

\]a+lb+1

=2&,

当且仅当安=半学，即a=V2,bg\时取等号，所以a+b的最小值为2V2+1.

微拓展

典例|

解析由/u）二f+3

X2+2

3

=f+2+2,

X2+2

令f+2=K彦2),

则有财*2,

由对勾函数的性质知，/⑺在［2,+8）上单调递增，

所以当t=2时，々）min三，

即当X=0时，於）minV

例4ACD［因为,历＞1,所以al＞0,从＞0.

对于A,因为(al)(〃l)=l,所以ab=a+b,得,A正确；

ab

对于B,由ab=a+b,得a〃=a+力2当且仅当a=b=2时取等号），所以,ab^4,

所以加的最小值为4,B错误；

对于C,2〃+/尸（2〃+呢+/3咛弓23+2企（当且仅当a=l+孝，匕=1+及时取等号），C正确；

对于D,因为(al)(/")=l,所以」高西产（当且仅当〃4=2时取等号），D正确.］

a—1b—1

例5B［因为实数x,）'满足3炉+9=1,y＞0,所以产子，

3y

则二叶产甯力甘栏

*考

当且仅当盘专，即厂或时，等号成立，

所以2x+y的最小值是竽

例6BC［对于人，/+从=］+4辰1用丝，当且仅当听/?时等号成立，则〃2+62W2,故人不正确；

对于B,由（等JwQ/,当且仅当。4时等号成立，得,即。+力＜2，故B正确；

对于C,由争春二第二嘿二金叶二仁+丁；，因为0＜曲4,所以吃21,

a2b2a2b2a2b2a2b2ab\ab2/4ab

当卷=1时，春玲取得最小值为2,故C正确；

对于D,因为0＜abWl,所以lg〃+lgb=lg（"）WO,当且仅当a=b=\时等号成立，故D不正确」

跟踪训练2(l)BCD［对于A,l=a+/G2而=时蜡，当且仅当〃=//•时取等号，故A错误；

42

对于B，3卜(；+£)("+与=5+%£》5+2^^=9,

力_4a

当且仅当£=了’即斫;，时取等号，故B正确；

a+b=l,33

对于C,。2+/力”些4,当且仅当带时取等号，故C正确；

____(a_4b

对干D,9辿二例誓图=2+三322+29竺=6,当且仅当B"丁’即匕二；,时取等号，故D正确.］

abaababaylba,>33

N(CZ+b=14,

⑵BCD［对于选项A,由〃+加8=^W(早)2,当且仅当a=h时等号成立，不妨设a+b=t,

则『