高考数学一轮复习 立体几何与空间向量 重难点突破03 立体几何中的截面问题（八大题型）学生版

重难点突破03立体几何中的截面问题

目录

题型一：截面作图

题型二：截面图形的形状、面积及周

长问题

题型三：截面切割几何体的体积问题

题型七：截面图形有关面积、长度及

周长范围与最值问题

题型八：截面有关的空间角问题

方法技巧总结

解决立体几何截面问题的解题策略.

1、坐标法

所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问

题增添了一种代数计算方法.

2、基底法

所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其

理论依据是：若四点&F、G、”共面，P为空间任意点，削有:

结论1：若EG与不共线，那么£〃=/1忖G+//EH：

结论2：尸£=/IPF+"PG++7/4-77=1）.

3、几何法

从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面

几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而

得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明.

必考题型归纳

题型一：截面作图

例1.（2023・全国•高一专题练习）如图，正方体ABCO-ASG4的棱长为6,M是的中点，点N在棱

CG上，且CN=2NG.作出过点。，“，N的平面截正方体ABC。-A4GA所得的截面，写出作法：

例2.（2023•江苏•高一专题练习）如图，棱长为2的止方体人BCD-A4/C/。/中，E,尸分别是棱A4/,CC/

的中点，过E作平面a,使得。〃平面BDF.

（1）作出a截正方体4BCQ-A由/。力所得的截面，写出作图过程并说明理由;

⑵求平面夕与平面BDF的距离.

例3.（2023•全国•高一专题练习）（1）如图，楂长为2的正方体A8CQ-A4CQ中，M,N是棱4心，AQ

的中点，在图中画出过底面A3CZ）中的心。且与平面人仞*平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边

（2）作出平面PQR与四棱锥ABC"的截面，截面多边形的边数为

变式1.（2023・全国•高一专题练习）如图①，正方体ABCO-A6GA的棱长为2,P为线段BC的中点，。

为线段CG上的动点，过点A、P、。的平面截该正方体所得的截面记为S.

（1）若1<CQ<2,请在图①中借出截面S（保留尺规作图痕迹）;

（2）若CQ=1（如图②），试求截面S将正方体分割所成的上半部分的体枳匕与下半部分的体积匕之比.

变式2.（2023・全国•高一专题练习）如图，已知正方体ABCO-a4CQ,点七为楂CG的中点

（1）证明：AG〃平面用况:.

（2）证明：AC,1BD.

（3）在图中作出平面截正方体所得的截面图形（如需用到其它点，需用字母标记并说明位置），并说明理

由.

变式3.（2023・江苏•高一专题练习）已知正方体A8CO-AAGA是棱长为1的正方体，M是棱的中点,

过C、A、M三点作正方体的截面，作出这个截面图并求出截面的面积.

题型二：截面图形的形状、面积及周长问题

例4.（2023•全国•高三专题练习）如图，正方体A8CO-ABCQ的棱长为I,尸为KC的中点，Q为线段CG

上的动点，过点4,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（）

G

②当CQ=；时，S为等腰梯形；

③当CQ=3时，5与GR的交点与满足C内1

43

④当:vCQ<1时，S为六边形；

4

A.1B.2C.3D.4

例5.（2023・四川成都・高二双流中学校考期中）已知正方体相。。-4罔6。的棱长为1,",'为线段席,”1

上的动点，过点A，M,N的平面截该正方体的截面记为S,则下列命题正确的个数是（）

①当3M=0且OvCNcl时，S为等腰梯形；

②当M,N分别为8CCG的中点时，几何体A-RMN的体积为《；

③当“为区C中点旦CN-g时，S与GA的交点为R，满足G&-1；

46

④当M为8C中点且0WCNW1时，S为五边形.

A.1B.2C.3D.4

例6.（2023•全国•高一专题练习）如图正方体ABCQ-AgGA,棱长为1,P为BC中点，。为线段上

的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为复.若&=义&；,则下列结论错误的是（）

A.当时，Q为四边形B.当4=g时，Q为等腰梯形

C.当时，C为六边形D.当2=1时，。的面积为当

变式4.（2023•江苏镇江•高二扬中市第二高级中学校考开学考试）如图，在楼长为夜的正方体

ABCO—A'B'CT）'中，点E、F、G分别是棱ATT、BC.CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正

方体所得的截面多边形的面积等于.

变式5.（2023・河南信阳•高二信阳高中校考阶段练习）在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木

块截去一角，要求截面经过面对角线AC上的点尸（如图），且与平面BCR平行，已知A%=10cm,”=6cm,

则截面面积等于cnr.

变式6.（2023•江苏泰州•高一泰州中学校考阶段练习）正方体的棱长是“，其中E是C。中

点，厂是4A中点，则过点ERK的截面面积是.

变式7.（2023・全国•高三专题练习）已知直三棱柱ABC-ABC的侧棱长为2,AB1BC,AB=BC=2,

过AB,8耳的中点石，尸作平面。与平面AAC。垂直，则所得截面周长为.

变式8.（2023・全国•高三专题练习）棱长为1的正方体A3。。-中，点E为棱8c的中点，则过四,

E,£）三点的平面截正方体的截面周长为.

变式9.（2023・四川泸州・四川省泸县第二中学校联考模拟预测）如图，在楼长为2的正方体ABC。-A4CA,

中，点E为CQ的中点，则过点C且与片£垂直的平面a被正方体A8CQ-44CQ截得的截面周长为

题型三：截面切割几何体的体积问题

例7.（2023・广东广州•高一统考期末）在棱长为〃的正方体A8CD-A4CQ中，E,尸分别为棱BC,CG的

中点，过点儿凡厂作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体积较小的多面体的体积为.

例8.（2023•辽宁锦州•校考一模）在正四棱锥S-A8CD中，例为SC的中点，过AM作截面将该四棱锥分成

上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为匕，匕，则看的最大真是.

例9.（2023•浙江•高二竞赛）在正四棱锥S-/WCO中，M在棱SC上且满足SM=2MC.过4M作截面将此

y

四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为匕，V,,则同的最大值为.

变式10.（2023・上海•高二专题练习）如图，正方体A8CO-ASGA,中，及尸分别是棱48、BC的中点，

过点A、反广的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为匕匕，记K＜匕，则M:匕=

变式11.（2023・全国•高一专题练习）如图所示，在长方体A8CQ-AB'C'D中，用截面截下一个三棱锥

C-AQ7）,则三棱锥C-AD'D的体积与剩余部分的体积之比为.

变式12.（2023.贵州贵阳•贵阳六中校考一模）在三棱柱人AC-中，AA，底面A8C,

/15=8。=。4=3的，点尸是棱AA上的点，AP=2PAit若截面80G分这个棱柱为两部分，则这两部分

的体积比为.

变式13.（2023・广东揭阳•高一普宁市华侨中学校考阶段练习）如图，正方体ABCO-ABCA中，反尸分别

是棱44、CR的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比匕：％=.

题型四：球与截面问题

例10.（2023・湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCO-A4c.中，M,N

分别为棱4A，DR的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（）

例”.（2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形ABC。中，AB=3,AD=4f将△48。沿

对角线8。翻折至二A8D的位置，使得平面48。_L平面8cO,则在三棱锥4-38的外接球中，以A'C为

直径的截面到球心的距离为（）

V435

RN/239Vn3

10

例12.（2023・海南•高三校联考期末）已知某球的体积为〒，该球的某截面圆的面积为3元，则球面上的点

到该截面圆圆心的最大距离为（）

C.2+73

变式14.（2023•江西南昌•江西师大附中校考三模）已知正方体48。。-4印"［的校长为2,E为棱CG上

的一点，且满足平面平面380,则平面A/。截四面体A8C石的外接球所得截面的面积为（）

变式15.（2023•四川内江•四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正

三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=6>，八8=夜，点E是线段8C的中点，过点£

作球O的截面，则所得截面面积f勺最小值是（）

A.史B.如C.色D.色

4324

变式16.（2023•福建原门•厦门外国语学校校考模拟预测）已知半径为4的球。，被两个平面截得圆。卜。?，

记两圆的公共弦为A8,且QQ=2,若二面角Q-A5-U的人小为］兀，则四面体Ab。。?的体积的最人值

为（）

A.8\/3B.—\/2C.—>/2D.—\/3

变式17.（2023•全国•高三专题练习）已知球。和正四面体4-8CO,点&C、。在球面上，底面8C。过球心

O,棱4区4cA。分别交球面于匹G、A，若球的半径R=g，则所得多面体8cQ-8C。的体积为（）

A9&R9夜r23夜n13>/2

84126

变式18.（2023・天津红桥•统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为兀，则球的体枳

为（）

AR4x/2

A.------71B.------jt

33

r8x/3n8>/2

33

题型五：截面图形的个数问题

例13.（2023♦全国•高三专题练习）过正四面体P-AAC的顶点P作平面a,若a与直线外，PR,PC所

成角都相等，则这样的平面的个数为（）个

A.3B.4C.5D.6

例14.（2023・陕西榆林•陕西省榆林中学校考三模）过正方体ABCQ-AAGA的顶点A作平面”，使得正方

体的各棱与平面。所成的角都相等，则满足条件的平面。的个数为（）

A.1B.3C.4D.6

例15.（2023・全国•高三专题练习）设四棱锥P-/WC。的底面不是平行四边形,用平面a去截此四棱锥，使得

截面四边形是平行四边形，则这样的平面夕

A.有无数多个B.恰有4个C.只有1个D.不存在

变式19.（2023•浙江•模拟预测）过正四面体A8CZ）的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与

底面BCO所成的角为75。，这样的截面有（）

A.6个B.12个C.16个D.18个

变式20.（2023・上海杨浦・高二上海市控江中学校考期中）空间给定不共面的A,B,C,短四个点，其中任

意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面a：A,B,C,。中有三个点到的距离相同，另一个点

到a的距离是前三个点到。的距离的2倍,这样的平面a的个数是___________个

题型六：平面截圆锥问题

例16.（多选题）（2023•广东•高二统考期末）圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以从圆锥中截取获

得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用

一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角9不I可时，可以得到不问的截口曲线，它们分别是

椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与。和圆锥

轴截面半顶角。有如下关系当夕〉。时，截口曲线为椭圆；当e=a时，截口曲线为抛物线：

当时，截口曲线为双曲线.（如左图）

现有一定线段A8与平面夕夹角。（如上右图），3为斜足，/上一动点P满足N序=设P点在/的运

动轨迹是「，则（）

7T7F

A.当'=时’「是椭圆B.当8=^,7=［时，「是双曲线

36

c.当°=£,7=£时，「是抛物线D.当夕=£,7=£时，「是椭圆

4434

例17.（2023•辽宁阜新•校考模拟预测）比利时数学家丹德林（GerminalDandelin）发现：在圆锥内放两个大小

不同目.不相切的球使得它们与圆锥的侧面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截线是椭圆.这

个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为20,底面半径为4的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及

侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱侧面所得的截线为一个椭圆，则该椭圆的短轴

A.12B.4C.25/5D.8

例18.（2023・安徽安庆・安徽省桐城中学校考一模）.如图是数学家GenninalDandelin用来证明一个平面截圆

锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别

与圆锥的侧面、截面相切，设图口球球。2的半径分别为4和1,球心距四。2|=6,截面分别与球。一

球。2切于点E，“，（E,尸是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（）

A叵B.如C.—D.-

9326

变式21.（2023・上海•高二专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何

的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家G"加加也（1794-1847）的方法非常巧妙,

极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切

于瓦尸，在截II曲线上任取一点A,过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C,4,由球和圆的几何性质，

可以知道，AE=AC,AF=AB,于是AE+4/=A8+AC=8C.由优C的产生方法可知，它们之间的距离

8C是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以反尸为焦点的椭圆.

如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源尸，则球在桌面上的投影是椭圆，已知A4

是椭圆的长轴，尸从垂直于桌面且与球相切，9=5,则椭圆的焦距为（）

A.4B.6C.8D.12

变式22.（2023・全国•高三对口高考）如图，定点A和B都在平面。内，定点、P金a.PBLa,C是。内异于

4和B的动点，且PCJLAC.那么，动点C在平面。内的轨迹是（）

B

a

A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点

C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点

变式23.（2023•全国•学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线4、/?异面且垂直，平面。〃4且6ua,

若点P到乙、4距离相等，则点P在平面。内的轨迹为（）

A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线

变式24.（2023•宁夏银川•校联考二模）已知线段4B垂直于定圆所在的平面，伉。是圆上的两点，H是点8

在AC上的射影，当C运动，点”运动的轨迹（）

A.是圆B.是椭圆C.是抛物线D.不是平面图形

变式25.（2023•四川广安•高二广安二中校考期中）美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）

和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习索描的重

要一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆

柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若

切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是一个底角为6。。的直角梯

变式26.（2023・全国•高三专题练习）如图，正方体AC-。为平面与内一动点，设二面角4—P的

大小为a，直线与平面4田。所成角的大小为夕.若cos//=sin。，则点P的轨迹是（）

A.圆B.抛物线C.椭圆D.双曲线

变式27.（2023•四川广安•高二统考期末）己知四棱锥尸-A3CQ,AOJL平面附8,平面以B,底面

ABC。是梯形，AB=AD=2,BC=4,NAPD=NCM,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨流是（）

A.椭圆B.椭圆的一部分C.圆D.不完整的圆

变式28.（2023•全国•校联考模拟预测）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当微面与圆锥的轴央角不

同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.我们通常把I员I、椭圆、抛物线、双

曲线统称为圆锥曲线.已知某圆锥的轴截面是正三角形，平面”与该圆锥的底而所成的锐二面角为则

平面a截该圆锥所得椭圆的离心率为.

题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题

例19.（2023•西藏林芝•统考二模）在三棱锥A-8CQ中，AB=AC=BD=CD=BC=4,平面i经过AC的

中点E,并且与6C垂直，当a截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥A-68的外接球的表面枳

为（）

80G70八人“80

AA.------7TBD.—,兀C.20兀D.—7C

333

例20.（2023・贵州•高二校联考阶段练习）已知圆锥的母线长为2,其侧面展开图的中心角为&心则过圆

锥顶点的截面面积最大值为（）

A.1B.75C.2D.2x/3

例21.（2023・全国•高一专题练习）若球。是正三楂锥A-BCD的外接球，3c=3,=26，点E在线段84

上，BA=3BE,过点E作球。的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（）

A.粤B.2兀C.?D.兀

33

变式29.（2023・高一课时练习）在三棱锥A-8C。中，AB=BC=CD=DA=2>l2^ADC=^ABC=90,

平面ABC/平面AC。，三棱锥A-8C。的所有顶点都在球。的球面上，反厂分别在线段。及8上运动（端

点除外），/?/?=也U从当三棱锥E-AB的体积最大时，过点尸作球。的截面，则截面面积的最小值为（）

「3

A.兀B.V3nC.-JiD.27r

2

变式30.（2023•江西・高一宁冈中学校考期末）棱长为1的正方体ABCO-AAGA的8个顶点都在球。的表

面上，E,尸分别为棱AB,AR的中点，则经过£”球的截面面积的最小值为（）

A.-7tB.-C.一五D.-K

8288

变式31.（2023・全国•高三对口高考）如图，正方体ABCQ-AMC。的楂长为2石，动点尸在对半线上，

过点P作垂直于8。的平面a,记这样得到的截面多边形（含三侑形）的周长为y,设=则当xe[l,5]

时，函数）'=/（"的值域为（）

A.[3倔6伺B.[瓜2闷C.（0,伺D.仅,3卡]

变式32.（2023・全国•高一专题练习）如图所示，在长方体中，点E是棱CG上的一个动点,

若平面8E0与棱AA交于点产，给出下列命题：

①四棱锥B「BEZ）厂的体积恒为定值;

②四边形BE。尸是平行四边形；

③当截面四边形BEQ尸的周长取得最小值时，满足条件的点E至少有两个；

④直线。港与直线OC交于点P,直线。尸与直线OA交于点Q,则尸、B、。三点共线.

其中真命题是（）

A.①②③B.②③©C.①②④D.①③④

变式33.（2023・高一课时练习）正方体48CQ-A4GA中作一截面与AC垂直，且和正方体所有面相交,

如图所示.记截面多边形面积为S,周长为C,则（）

A.S为定值，C不为定值B.S不为定值，C为定值

C.S和C均为定值D.S和C均不为定值

变式34.（2023・四川内江•高二统考期末）如图所示，在长方体中，BB产BR,点E是棱CQ

上的一个动点，平