高考数学一轮复习 立体几何与空间向量 重难点突破04 立体几何中的轨迹问题（六大题型）学生版

重难点突破04立体几何中的轨迹问题

目录

方法技巧总结

立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结:

1、定义法

2、交轨法

3、几何法

4、坐标法

5、向量法

・必考题型归纳

题型一：由动点保持平行求轨迹

例1.（2023♦贵州铜仁•高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）设正方体48CQ-A4GA的棱长为1，点、E

是棱4旦的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：

DiG

①如果AMJLB。，则点M的轨迹所用成图形的面积为由:

②如果〃平面4EG,则点M的轨迹所围成图形的周长为主叵；

③如果七例〃平面。田田。，则点M的轨迹所围成图形的周长为2+五;

④如果EM±BD、,则点M的轨迹所围成图形的面积为士区.

其中正确的命题个数为（

例2.（2023•辽宁沈阳•高一沈阳二十中校联考期末）在棱长为1的正方体A8CO-A4GA中，E在棱。。上

且满足％E=E。，点尸是侧面ABMA上的动点，且RF〃面AEC,则动点尸在侧面A阴A上的轨迹长度

为.

例3.（2023•福建福州•高一福建省福州屏东中学校考期末）如图所示，在棱长为2的正方体

中，E,F,G分别为所在棱的中点，P为平面8CG片内（包括边界）一动点，且。/〃平面EFG,则P点

的轨迹长度为

AEB

变式1.（2023・四川成都•高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，在正三棱柱ABC-ASG

中，=D,E分别为AA，AC的中点.若侧面瓦票:。的中心为。，M为侧面44,6。内的一个动

点，OM//平面BDE,且M的轨迹长度为34，则三棱柱人BC-ABC的表面积为.

GBI

A

变式2.（2023・江苏扬州•高二统考期中）如图，正方体A8CD-A4GA的楂长为2,点E是线段。，的中点,

点例是正方形48CG所在平面内一动点，若RM//平面A8E,则M点轨迹在正方形妫8CC内的长度

为.

变式3.（2023•江苏泰州.高二泰州中学校考阶段练习）正方体ABCO-A片GA的棱长为3,点E,产分别

在线段。R和线段AA上，且RE=2ED,AF=2F\,点M是正方形gBCg所在平面内一动点，若"M//

平面FBE,则M点的轨迹在正方形B.BCC,内的长度为.

变式4.（2023・全国•高三专题练习）在边长为2的正方体4比?。-4修GR中，点M是该正方体表面及其内

部的一动点，且8M〃平面4"C,则动点M的轨迹所形成区域囱面积是.

AB

变式5.（2023•全国•高三专题练习）如图，已知正方体ABCO-aqCQ的楂长为2,反尸分别是棱的

中点，点尸为底面四边形ABCO内（包括边界）的一动点，若直线。『与平面应力无公共点，则点尸在四

变式8.（2023・全国•高三专题练工）已知直三棱柱ABC-A同G的所有棱长均为4,空间内的点〃满足

9且则满足条件的〃所形成曲线的轨迹的长度为.

7F

变式9.（2023•四川成都•三模）如图,为圆柱下底面圆。的直径,C是下底面圆周上一点，已知乙40c=§,

0A=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动，且满足8。8=0,则点。的轨迹所围成图形的面积

为.

变式10.（2023・全国•高三专题练习）如图，AB为圆柱下底面圆。的直径，。是下底面圆周上一点，己知

Z40c=1,04=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动，且满足AC_LA。，则点。的轨迹所围成图

形的面积为.

4巳二^

C

变式11.（2023•浙江宁波・高一慈溪中学校联考期末）如图，在直三棱柱ABC-4MG中，BC=CG=3,AC=4,

ACJ.BC,动点P在△A4G内：包括边界上），且始终满足8P_LAq,则动点P的轨迹长度是.

变式12.（2023•山东枣庄•高一统考期末）M,N分别是棱长为1的正方体ABCO-AaGA的棱CG，A用的

中点，点尸在正方体的表面上运沟，总有MP_L3N,则点”的轨迹所围成图形的面积为.

变式13.（2023•四川广元•高二广元中学校考期中）如图，A3为圆柱下底面圆。的直径，C是下底面圆周

上一点，已知/AOC=1,OA=2,圆柱的高为5.若点。在圆柱表面上运动，且满足8CJ.AQ,则点。的

轨迹所围成图形的面积为.

变式14.（2023・陕西榆林•高二校考阶段练习）如图，正方体A8C。-的棱长为2,点M是棱8c的

中点，点户是正方体表面上的动点.若DM则〜点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（）

A.&+6B.2>/2+75

C.a+2石D.2&+2逐

题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹

例7.（2023・贵州贵阳•高三贵阳一中校考期末）在棱长为1的正方体中，点Q为侧面阴CQ

内一动点（含边界），若DO。,则点Q的就迹长度为.

例8.（2023・湖北武汉•高一湖北省水果湖高级中学校联考期末）已知正方体A8CO-A4cA的棱长为3,

动点/，在VA%C内，满足〃户=E，则点/＞的轨迹长度为.

例9.（2023•河北邯郸•高一大名县第一中学校考阶段练习）已知正方体A8C。-AQCTX的棱长为1,点、P

在该正方体的表面A8'C»上运动，且Q4=后则点P的轨迹长度是.

变式15.（2023•贵州铜仁・统考模拟预测）已知正方体A8CD-A4GA的校长为4,点P在该正方体的表面

上运动，且24=40,则点P的轨迹长度是.

变式16.（2023•黑龙江齐齐哈尔・统考二模）表面积为36兀的球拉表面上有A,8两点，旦./W3为等边三

角形，空间中的动点P满足|恻=2归3],当点P在一AM8所在的平面内运动时，点P的轨迹是；当尸

在该球的球面上运动时，点P的轨迹长度为.

变式17.（2023・全国•高三专题练习）已知正四楂柱ABC。-A4CQ的体积为16,E是棱8C的中点，尸是

侧棱AA上的动点，直线C/交平面于点a，则动点P的轨迹长度的最小值为.

变式18.（2023・全国•高三专题练习）己知棱长为8的正方体A8CO-A4G。中，平面A8CO内一点E满足

=点尸为正方体表面一动点，且满足|产耳=2&,则动点尸运动的轨迹周长为.

变式19.（2023•全国•高三专题练习）如图，已知棱长为2的正方体AECTr-zWCnM是正方形8BCC

的中心，P是△/VC。内（包括边界）的动点，满足PM二尸。，则点P的轨迹长度为.

变式20.（2023•河南许昌•高三统考阶段练习）三棱锥A8C的体积为46，底面三角形A8C是边长为

的正三角形且其中心为Oi,三棱锥尸-ABC的外接球球心O到底面A8C的距离为2,则点P的轨迹长度

为•

变式21.（2023・全国•高三专题练习）在三棱锥尸-ABC中，PA_LA3,PA=4,PC=2,A8=3,二面角

P-AB-C的大小为30,在侧面二叩内（含边界）有一动点满足到E4的距离与到平面ABC的距离相

等,则动点M的轨迹的长度为.

题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹

例10.（2023•山东•高三专题练习）如图所示，在平行四边形A8CO中，E为A8中点,DEJ.AB,DC=S,

DE=6.沿着。石将V4OE折起，住A到达点A的位置，且平面A'OE_L平面AOE.设P为..ADE内的动点,

若NEPB=/DPC,则P的轨迹的长度为.

例11.（2023・全国•高三专题练习）在棱长为6的正方体ABCO-AAGA中，点M是线段AC的中点，?是

正方形。CCA（包括边界）上运动，且满足/4PD=NMPC,则q点的轨迹周长为.

例12.（2023•湖北省直辖县级单位•统考模拟预测）已知正方体ABC。-A/©。的校长为2,M为楂，C的

中点，N为底面正方形A8C。上一动点，且直线MN与底面ABC。所成的先为则动点N的轨迹的长度

为•

变式22.（2023•陕西•高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知正方体A8CO-AMGR的棱长为2,点E

为平面AB。内的动点，设直线AE与平面人产。所成的角为。，若sina=£处,则点E的轨迹所围成的周

变式23.（2023・全国•高三专题练习）已知点尸是极长为2的正方体AB8-AACQ的表面上一个动点，若

使AP=2的点P的轨迹长度为〃；使直线A尸〃平面80c的点户的轨迹长度为岳使直线/1P与平面人8C。

所成的角为45。的点P的轨迹长度为c.则小b,c的大小关系为.（用“V”符号连接）

变式24.（2023・全国•高三专题练习）已知正方体中，A6=2百，点E为平面ABQ内的动

点，设直线人石与平面AB。所成的角为。，若sina=孚，则点E的轨迹所围成的面积为.

变式25.（2023・山西大同•高一统考期中）已知ARC,P是半径为2的球面上的四点，且

AR=AC=7.tAR^AC.二面角尸—BC—A的大小为三，则点。形成的轨迹长度为.

变式26.（2023•贵州铜仁・高二统考期末）粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁的粽子不仅馅料丰

富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方体形、圆锥形等，但最常见的还是“四角粽子”，其外形近似于

正三棱锥.因为将粽子包成这样形状，既可以节约原料，又不失饱满，而且十分美观.如图，假设一个粽

子的外形是正三棱锥尸-A8C,其侧棱和底面边长分别是8cm和6cm,。是顶点P在底面ABC上的射影.若

。是底面A8C内的动点，且直线PO与底面A8C所成角的正切值为季，则动点。的轨迹长为.

变式27.（2023・广东佛山・高二校联考期中）如图，正方体48。。-4860的棱长为I,点P为正方形八温6。

内的动点，满足直线8P与下底面48co所成角为60。的点P的轨迹长度为（）

D}G

^,mn

AB

A.B.C.g

变式28.在正方体ABC。-44c.中,动点M在底面ABC。内运动且满足NDRA=/DD\M,则动点M

在底面A8CO内的轨迹为（）

A.圆的一部分B.椭圆的一部分

C.双曲线一支的一部分D.前三个答案都不对

题型五：投影求轨迹

例13.（2023•安徽滁州•高三校考阶段练习）如图，在58C中，NA8c=90。，AB=\,BC=2,/）为线段

8C（端点除外）上一动点.现将△48。沿线段AO折起至VA8O,使二面角8'-AO-C的大小为120。，则

在点。的移动过程中，下列说法错误的是（）

A.不存在点。，使得C&_LA3

B.点9在平面ABC上的投影轨迹是一段圆弧

C.&A与平面A5C所成角的余弦值的取值范围是（半,1

D.线段C8'的最小值是75

例14.（2023•江苏徐州•高二徐州市第一中学校考阶段练习）如图，在等腰向AA8C中，ABJ.AC,BC=2,

M为8C的中点，N为AC的中点，。为线段8M上一个动点（异于两端点），AABD沿4。翻折至用。J_QC,

点A在平面4C。上的投影为点0,当点£＞在线段8M上运动时，以下说法不正确的是（）.

A

A.线段NO为定长B.ZAMO+Zfi1Z)A>180°

C.COe(L>/2)D.点。的轨迹是圆弧

例15.（2023•江西赣州•高二南康中学校考阶段练习）在等腰直角.ABC中，AB1AC,BC=2,M为BC

中点，N为AC中点，。为8c边上一个动点，.ABD沿4。翻折使BD_LDC,点A在平面8CD上的投影为

点。，当点。在8c上运动时，以下说法错误的是（）

A.线段NO为定长B.NAMO+/ADB>180

C.线段CO的长|CO|e[l,血）D.点。的轨迹是圆弧

变式29.（2023・全国•高三专题练习）如图，己知水平地面上有一半径为4的球，球心为0、在平行光线的

照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O.如图，椭圆中心为。，球与地面的接触点为£,OE=3.若光线与地

面所成角为<9，椭圆的离心率e=.

变式30.（2023•浙江嘉兴・高三嘉兴一中校考期中）如图，在-48c中，AB=出,AC=W，8c=3.过AC

的中点M的动直线1与线段AB交于点N.将AMN沿直线1向上翻折至AA'MN,使得点4在平面BCMN内

的投影H落在线段4c上.则点4的轨迹长度为.

变式31.（2023•北京•高三专题练习）如图，在矩形A8CO中，AB=I,BC=0E为线段BC上一动点,

现将A/WE沿AE折起得到WE,当二面角2'-AE-O的平面角为120。，点8'在平面A8C上的投影为K,

当E从8运动到C,则点K所形成轨迹的长度为.

题型六：翻折与动点求轨迹

例16.（2023•全国•高三专题练习）在矩形A8CO中，E是/W的中点，4。=1,48=2,将VADE沿折

起得到-ADE，设A'C的中点为若将一4£>£绕OE旋转90,则在此过程中动点例形成的轨迹长度

为.

例17.（2023・全国•高三专题练习）矩形A8C。中，AB=2,AD=6七为4/3中点，将沿。石折起至

△A'Qf,记二面角A'-QE-C=。，当。在［0，句范围内变化时，点A'的轨迹长度为

例18.（2023・全国•高三专题练习）如图所示，在平行四边形A8CO中，E为A3中点，DEJ.AB,DC=8,

DE=6.沿着。石将VAOE折起，使A到达点A的位置，且平面A7）E_1_平面BCDE.若点P为^A'DE内的动点,

且满足NEPB=NDPC,则点P的轨迹的长度为.

变式32.（2023・仝国•高三:专题练习）己知菱形八〃C7）的边长为2,NA8C=60。.将菱形沿对角线4c折叠成

大小为60。的二面角&-AC-O.设石为8C的中点，F为三棱锥9-ACD表面上动点，且总满足AO,

则点尸轨迹的长度为.

变式33.（2023•江苏连云港•高二校考阶段练习）在矩形A8CO中，AB=BAO=1,点E在CD上，现

将△A£D沿AE折起，使面4石。_1面48（7,当E从。运动到C求点。在面A8c上的射影K的轨迹长度

为（）

2x/2n

AaD.

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变式34.（2023・全国•高三专题练习）已知菱形A8C。的各边长为2,/。=60.如图所示，将“CD沿AC折

起，使得点。到达点S的位置，连接S8,得到三棱锥S-ABC,此时S8=3.E是线段SA的口点，点尸在

三棱锥S-48C的外接球上运动，且始终保持£