高三数学一轮复习讲义（基础版）向量法求空间角（二）

§7.8向量法求空间角（二）

【课标要求】1.能用向量法解决平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研

究空间角问题中的作用2弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角

的计算问题.

平面与平面的夹角

如图，平面。与平面力相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。的二面角称为平面a

与平面夕的夹角.

若平面。，口的法向量分别是小和〃2，则平面a与平面用的夹角即向量和小的夹角或其补角.设平面

a与平面B的夹角为仇则cos6=|cos<wi,〃2）1=.

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“Y”或“x”）

（I）二面角的平面角为（）,则两个平面的法向量的夹角也是打（）

（2）两个平面的夹角的余弦值大于0.（）

（3）二面角的范围是（0,兀）.（）

（4）若二面角。一/一夕的两个半平面a，夕的法向量n\,〃2的夹角为0，则二面角a-/一夕的大小是n—

。（）

2.已知二面角aT一夕的大小为仇平面a,0的法向量分别为5=（0,小0）,〃=（（）,1,1）,则。为（）

Anr»3n

A'B彳

C.-PJC-D.-n£-

4424

3.（2024・酒泉模拟）设。=（1,1,0）,b=Q,0,。分别为两平面的法向量,若两平面的夹角为60。,则［等

于（）

A.lB.-lC.-1或1D.2

4.（2024.安康模拟）如图，四边形A8CO是边长为1的正方形，AE_L平面A8C。，若AE=1,则平面与

平面BCE的夹角为.

1.二面角的范围是［0,兀］,两个平面夹角的范围是［0,?

2.若平面〃与平面A的夹角为夕，平面。内的直线/与平面4所成角为〃2,则〃12打，当/与。和尸的交线

垂直时，取等号.

题型一平面与平面的夹角

例1(2024•新课标全国I)如图，四棱锥P-A8C。中，PA_L底面ABC。，PA=AC=2,BC=1,AB=

V3.

(1)若AOJ_P8,证明：A。〃平面P8C；

(2)若4Q_L。。，且二面角4—CP—。的正弦值为手，求AD

利用法向量的方向判断二面角

二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指

向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m,n“一进一

出”时，山，〃的夹角就是二面角的大小；当法向量m,〃“同进同出”时，加，〃的夹角就是二面角的补

角.

典例在长方体ABC。-481Goi中，AO=A4]=1,A8=2,点七为棱43的中点，则二面角-EC-D

的余弦值为.

思维升华利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法

(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大

小.

(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后

通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小.

跟踪训练1(2025・南通检测)如图，在三棱柱ABC-481G中，侧面A&Mi，8CGB均为正方形,

AB=BC=2,AB±BC,。是AB的中点.

⑴求证:〃平面4DC；

⑵求平面AOC与平面AMC夹隹的余弦值.

题型二折叠问题与空间角

例2(2024•新课标全国II)如图，平面四边形/WC。中，48=8,CD=3,AD=5^3,ZADC=90°,

NB4D=30。，点E,尸分别满足屈=|而，AF=^AB,将尸沿破翻折至△尸■,使得尸C=4VI

(1)证明：EFLPD；

(2)求平面PC。与平面尸所成的二面角的正弦值.

思维升华三步解决平面图形的折叠问题

跟踪训练2(2024.济宁模拟)图1是由正方形A8C。和两个正三角形△ADE,△C。尸组成的一个平面

图形，其中A8=2,现将△AOE沿A£＞折起使得平面AOE_L平面A8CD,将△C。/7沿CO折起使得平

®CDF±T®ABCD,连接ERBE,BF,如图2.

⑴求证:后户〃平面ABC。：

答案精析

落实主干知识

凡加2|

|ni||n2|

自主诊断

L(1)X(2)X(3)X(4)X

2.C[V/7i-(0,1,0),n-(0,1,1),

*.mn=\,|/«|=1,|川=企,

贝Acos〃|=|cos(m,n)\

_|mn|_V2

-|m||n|~~2，

又夕£[0,扪，或任J

44

3.C[因为法向量。，力的夹角与两平面的夹角相等或互补，

所以3]。修,】)=±；

>/2-Vl+t22

得/=±1.]

4.45°

解析因为AEJ_平面ABCO,且四边形A8C。为正方形，

C

如图建立空间直角坐标系，

则8(1,0,0),

C(1,1.0).

F(0,0,1),

所以正=(0,1,0),而=(-1,0,1),

设平面BCE的法向量为n={x,y,z),

(n-BC=y=0,

(n•BE=-x+z=0,

®11=(1,0,1),

又平面AOE的一个法向量为m=(l,0,0),

设平面AQE与平面BCE的夹角为0,则cos〃=-=g,又0°W9<90°,所以。=45。.

探究核心题型

例1⑴证明因为P4J■平面

ABCD,

而4Z)u平面ABCD,

所以PAJ_A。，

又,PBC]PA=P,PB,尸4u平面PAB,所以AO_L平面PA8,而ABu平面PAB,

所以AD_LA8

因为区2=802,

所以BCA-AB,

根据平面知识可知AO〃BC,

又AOC平面PBC,

8Cu平面PBC,

所以AO〃平面PBC.

(2)解以。为原点，万？，说的方向分别为x轴、)、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=p,

DC=q,

满足p2+q2=AC2=4.

贝I]A(p,0,0),P(p,0,2),

C(0,夕，0),。(0,0,0).

设平面APC的法向量为

机=(用，y\,zi),

因为Q=(0,0,2),

AC={­p，4，0),

所以"m=2「。，

AC-m=-px、+qy1=0,

取m=(q,p,0).

设平面OPC的法向量为

n=(xi,yi,z2),

因为而=(p,0,2),

DC=(0,4,0),

DP-n=px+2Z=0,

所以22

DC,n=qy2=0,

取〃=(2,0,一p).

所以3",〃〉l=S

2q

y/p2+q2-VP2+4

又因为p2+q2=4,

所以东=&

解得P=V5(负值舍去)，

即AD=V3.

微拓展

典例.

解析建立如图所示的空间直角坐标系，

由A0=A4i=l,AB=2，得七(1,1,1),C(0,2,1),D)(0,0,0),

则章=(1,1,1),庭=(0,2,1),

设平面QiEC的法向量为

n=(x,y,z),

典您…

(DjC-n=0,

即,+y+z=0,

⑵，+z=0,

令z=—2,得〃=(1,1,—2),

易知平面。EC的一个法向量为

m=(0,0,1),

则3"〃〉=就

-2__V6

-

7BT

由法向量的方向为同出，

得二面角。一石。一。的余弦值为圣

跟踪训练1

(1)证明如图，连接AG,交AC于E,连接。E.

在三棱柱中，侧面ACG4是平行四边形，故E是AG的中点，

又因为。是A4的中点，

贝JDE//BC\.

因为DEu平面AOC,8GC平面AOC,故BG〃平面AQC

⑵解因为侧面4881Al,8CGE均为正方形，

贝I」BB\LAB,BB」BC

又因为A8,BCu平面ABC,

ABQBC=B,故88i_L.平面ABC.

如图，以3为坐标原点，以｛布，瓦乙西｝为一个正交基底建立空间直角坐标系.

以

因为AB=BC=2,

侧面ABBA,BCCB均为正方形，

故AK=2.

由CQ,。，0),

。(0,1,0),

4(0,2,2),

可得而=(—2,1,0),

币=(0,1,2).

设平面4DC的法向量为

n=(xty,z),

则..有.(n-_CD.=-2x4-，y=0,

(n•ArD=-y-2z=0,

故可取〃=(1,2,—1);

又40,2,0),所以正=(2,-2,0),丽=(0,0,2),设平面4AC的法向量为〃2=(x',y',z),

m-^C=2x/-2y/=0,

则有

m-AA^=2zf=0,

故可取帆=(1,1,0).

设平面4QC与平面4AC的夹角为0,

则C6SO=|C°S"'〃〉T=SS

3_V3

-V2x>/6一'2'

所以平面4QC与平面AMC夹角的余弦值为第.

例2⑴证明由A8=8,

AD=5V3,

AE=lAD,AF=^AB.

得A£=2V5,AF=4,

又NBAQ=30。,在△AE产中，

由余弦定理得EF=>1AE24-AF2-2AE-AFcos^BAD

=J12+16-2X2A/3X4Xy=2,

所以A层十七产=人尸，

则AE1EF,即EFLAD,

所以E凡LPE,EFlDE,

又PEC\DE=E,PE,

DEu平面PDE,

所以ERL平面PDE,

又PZ)u平面PDE,

故EF1.PD.

⑵解连接CE,由Z4DC=90°,

ED=3如,

CD=3,

贝ljEC2=ED2+CD2=36,

在中，PC=4痘,

PE=2y[3,EC=6,

得Ed+PE^PC2,

所以PE±EC,由⑴知PE1EF,

又ECC\EF=E,

EC,即u平面ABCD,

所以PE_L平面ABC。，

又EOu平面ABCD,

所以PE工ED,

则PE,EF,EO两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则E(0,0,0),P(0,0,2V3),

0(0,3V3,0),C(3,3V3,0),

F(2,0,0),A(0,-2V3,0),

由尸是AA的中点，

得B(4,2V3,0),

所以正二(3,3遮，-2V3),

丽=(0,3V3,-2V3),

PB=[4,2V3,-2V3),

PF=[2,0,-2V3),

设平面PCQ和平面P8尸的法向量分别为

n=(xi,y\,zi),m=(xz,yi,zi),贝U

(n-7C=3X1+3>/5yi-2\[3z1=0,

(n-RD=3V3yi-2>j3z1=0,

(m♦丽=%+2x/3y2-2V3z2=0>

Im•PF==0,

2X2-2A/3Z2

令yi=2,X2=V3,

得为=0,zi=3,竺二-1,Z2=l,

所以〃=(0,2,3),w=(V3,-1,1),

设平面PC。和平面P8厂所成的二面角为0,

所以|cos例=|cos(m,n)|

=\nvn\_1_V65

贝ijsin6=71-cos2g=,

65

即平面PC。和平面P8E所成的二面角的正弦值为哼.

65

跟踪训练2⑴证明分别取棱CD,A。的中点。，P,连接0/，PE,OP,

由尸是边长为2的正三角形，得OFLCD,

OF=V3,

又平面。£＞产_1_平面ABCD,平面CQ/T1平面ABCD=DC,。尸u平面CDF，贝ij0尸_1_平面ABCD,

同理PEJ_平面ABCD,