高三数学一轮复习讲义（提高版）向量法求空间角

§7.7向量法求空间角

【课标要求】1.能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角问题，并能描

述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用2弄清折叠问题中的变量与不变量，掌

握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题.

1.异面直线所成的角

若异面直线/1，，2所成的角为仇其方向向量分别是〃，了，贝|JCOS9=|cos〈〃，V)|=,

2.直线与平面所成的角

如图，直线AB与平面。相交于点8,设直线A8与平面。所成的角为仇直线A8的方向向量为〃，平

面Q的法向量为〃，则sin<9=|cos〈〃，〃〉|=-^7-=.

\u\\n\---------------------

3.平面与平面的夹角

如图，平面。与平面夕相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。的二面角称为平面a

与平面用的夹角.

若平面如夕的法向量分别是小和孙，则平面a与平面尸的夹角即向量小和小的夹角或其补角.设平面

(X与平面”的夹角为0,则COS。二COS〈〃I,〃2〉仁.

3自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()

(3)二面角的平面角为6,则两个平面的法向量的夹角也是0.()

(4)二面角的平面角与平面a，少的夹角相等.()

2.若直线/的一个方向向量〃二(1,0,I),平面a的一个法向量〃二(0,1,1),则/与a所成角的大小为

()

A.-B.-

63

C.鸿吗崂

3.若平面a的一个法向量为〃二(1,1,0),平面/y的一个法向量为机=(1,0,1),则平面a与“夹角的大小

为()

A-

D.y

4.已知点。(0,0,0),A(l,0,1),8(1,1,2),C(l,0,1),则异面直线。C与43所成角的余弦值

为.

口微点提醒

(1)斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中的最小角.

(2)线面角〃的正弦值等于直线的方向向量。与平面的法向量〃所成.角的余弦值的绝对值，即sin〃=|cos〈0,

n)|.

(3)平面与平面的夹角和二面角的概念不同.

题型一异面直线所成的角

例1(1)如图，圆锥的轴截面48c为等边三角形，。为弧A8的中点，E,尸分别为母线8C,AC的中

点,

BsDT

(2)在直三棱柱ABCAEG中，底面△ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，测棱长为2,

。为B山上的点，若直线4c与直线。G所成角的余弦值为半，则8。的长为()

6

A.1

Di

思维升华用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)用坐标表示异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(4)注意异面直线所成角的范围是(0,外，即异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.

跟踪训练1若在三棱柱A8C4出G中，/AiAC=N8AC=60。，平面4ACG_L平面48C,AAi=AC=AB,

则异面直线AG与48所成角的余弦值为

题型二直线与平面所成的角

例2如图，在三棱台A8CAI6中，AG与AC相交于点88」平面ABC,AB=6,BC=4,BBi=2,

4c产尺，AE=2EB,且OE〃平面8CGE.

(1)求》幺的值；

S&ABC

(2)求直线CC)与平面A।妁C所成用的正弦值.

思维升华利用空间向量求线面角的解题步骤

跟踪训练2(2025・济南模拟)如图，在三棱台A8CDE/中，平面A8CJ_平面8CTE,AF_DE,Z

ABC=/CBF=45°,AC>AB=\.

⑴求三棱台ABCDEF的高；

(2)若直线AC与平面48f所成角的正弦值为壁，求8C

题型三平面与平面的夹角

例3(2024•新课标全国I)如图，四棱锥PA8C£>中，PA_L底面A8C。，PA=AC=2,BC=i,AB=W.

(1)若AO_LP8,证明：AO〃平面PBC；

(2)若AO_L£>C,且二面角ACPO的正弦值为耳，求AD

也叫

雨

21"小

'|M||H|

3WiMl

,凡1出1

自主诊断

l.(l)X(2)X(3)X(4)X

2.A3.B4.5

6

探究核心题型

例1(1)C|取A8的中点。，连接0C,。。，如图，以。。，。8,。。所在直线分别为x轴、)，轴、z轴，

建立空间直角坐标系，

设45=2,则

B(0,1,0),ZX1,0,0),C(0,0,V3),

40,1,0),

又E,产分别为母线BC,4c的中点，

所以E(0,1.^),<0,-A-T).

则乔=(0,-1,9,

屁=(fT)'

设异面直线8F和。石所成的角为0,则cos6>=|cos〈时，屁〉|

理匹l=]j电

|函|函\BF\\DE\'

又。£(0，1,所以".]

(2)A［以A为原点，A8,AC,A4所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,2),

G(0,2,2),

C(0,2,0).

设。(2,0,r),0＜忘2,

则律(0,2,2),

西二[2,2,2/),

所以|cos〈砧,西〉1=需箫

=12cl__6

2V2-/4+4+(2-C)26，

解得=1(负值舍去).即I3D=\.]

跟踪训练14

4

解析设M为AC的中点，连接朋8,MA1,由题意知△A8C是等边三角形，

所以BMLAC,同理，AiMLAC,

因为平面4ACG平面ABC,

平面AiACGD平面ABC=AC,

8Mu平面A8C,

所以BM_L平面AiACG,

因为AiMu平面4ACG,

所以BMLA}M,

所以AC,BM,AM两两垂直，以M为坐标原点，丽，丽，初的方向分别为x轴、），轴、z轴的正方向

建立如图所示的空间直角坐标系.

设AA\=AC=AB=2,

则A(1,0,0),B(0,V3,0),4(0,0,V3),

Ci(2,0,V3),

所以温=(3,0,V5),

项=[O,V3,V3),

所以|cos〈宿,1=2晨，

故异面直线AG与48所成角的余弦值为”.

例2解(1)连接GB,如图，

因为DE〃平面BCC\B},OEu平面ABC\,平面A6GD平面BCC\B\-C\B,

所以DE〃GB.

因为乐二2而，所以而二2西，

所以A|C《AC,

因此A/产,BC=BC,

所以乎幺=g)2

S4ABe\2/4

(2)由⑴可知,A|Ci=iAC,

所以AC=2V13.

依题意，AC2=AB2+BC2,

所以4B_LBC,

又8S_L平面A8C.

因此，以8为坐标原点，分别以明,BC,西的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系.

则A(6,0,0),C(0,4,0),Bi(0,0,2),4(3,0,2),G(0,2,2).

所以5^7=(3,0,0),B^C=(0,4,2),鬲=(0,2,2).

设平面45C的一个法向量为n=(x,)，，z),

由,n.B1A1=3x=0,

In•81d=4y-2z=0,

取产1,则40,z=2,

所以/i=(0,1,2).

设与平面A|8C所成角为B,

贝sinQm•圾।=2=叵

川s1n°间|国1愿x2或io,

即直线CG与平面A由C所成角的正弦值为噜.

跟踪训练2解

(1)作尸0_L6C于点O,

因为平面A8CJ_平面BCFE,平面A8Cn平面BCFE=BC,产。u平面BCFE,FOLBC,

所以「。_1_平面A8C，"。即为三棱台AACOEr的高，

又因为48u平面ABC,

所以FOA.AB,连接AO,

因为AB//DE,AF±DE,

所以A8_LA/,

FOC\AF=F,FO,Afu平面AFO,

所以A8_L平面AFO,

又AOu平面AFO,所以AB1AO,

又48C=NC8”=45°,AB=\,

所以AO=1,BO=FO=V2,

所以三棱台ABC。石尸的高为企.

(2)以0为原点，在平面A8。内，作0x_L8C,以。丫，OB,Ob所在的直线分别为x,y,z粕，建立如图所

示的空间直角坐标系，

则0(0,0,0),4俘，y,0),

8(0,四，0),外。，0,企),

布=(一4，号，0)，

丽=(0,&,&),

50=(0,V2,0),

设平面的法向量为〃=(x,y,z),

(n•丽=V2y—V2z=0,

则*V2V2

n-AB=---xH—y=0,

22z

可取〃=(1,1,1),

设就与丽，贝ijC(0,近伍,0),

则格(一亨，y-V2A,0),

设直线4。与平面A8”所成的角为a,

sina=|cos(AC,〃〉|

I-V2AI_y<15

-"V3XV2A2-2A+15，

化简得8A2182+9=0,

解得儿=2或2=2(舍去，因为AOAB,贝ijBOBO,所以2>1),所以80780二乎.

242

例3(1)证明因为PA_L平面A8CO,

而A/)u平面ABCD,所以PA1AD,

又ADLPB,PBC\PA=P,PB,PAu平面PAB,所以AQJ_平面PAB,

而平面PAB,所以AD1AB.

因为BC2+AI32=AC2,

所以BC±AB,

根据平面知识可知AO〃8C,

又AZXt平面PBC,BCu平面PBC,

所以40〃平面PBC.

(2)解方法一以。为原点，万5,反的方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=p,

DC=qt

满足j)2+q2=AC2=4.

则A(p,0,0),P(p,0,2),C((),4,0),0((),0,0).

设平面APC的法向量为m=(x\,y\,zi),

因为而=(0,0,2),AC=(j),q,0),

所以巴.m=2ZL0,

AC・m=+qyi=0,

取m=(q,〃，0).

设平面OPC的法向量为〃=(X2,yi,Z2),

因为。)二(〃，0,2),DC=(0,q,0),

DP-n=px+2Z=0,

所以•22

DC•n=qy2=0,

取n=(2,0,p).

所以|cos(m,n)|

_|n»-n|_______2q

|m||n|Jp2+q2.、/p2+4

又因为六口，所以岛吟

解得p=V5(负值舍去)，BPAD=\[3.

方法二如图所示，过点。作。E_LAC于点E,

A

li

再过点E作E/LLCP于点尸，连接。尸，

因为PA_L平面A8CO,

P4u平面PAC,

所以平面PAC_L平面ABCD,

又平面PAG平面ABCD=AC,

DEu平面ABCD,

所以DE_L平面PAC,

因为CPu平面PAC,所以DELCP,

又EFA.CP,EFCDE=E,EF,DEu平面DEF,所以CP_L平面DEF,

所以。口LCP,

根据二面角的定义可知，NOFE即为二面角ACPO的平面角，

即sin/。产E二手，即tanZDFE=V6.

因为ADA.DC,设AD=x,0<x<2,

则DC=y/4-x2,

由等面积法可得，DE。券,

又CE=J(4—%2)"丁)二y,

而△£人?为等腰直角三角形，

所以2手,

又OE_L平面PAC,ERz平面PAC,

所以DEJ_E/,

八,’4一.2

故tanNDFE二弟二2二瓜,

2>/2

解得尸V3,即AD=V3.

微拓展

典例《

解析建立如图所示的空间直角坐标系，

由AD=AAi=\,AB=2，得E(1,1,1),C(0,2,1),。(0,0,0),

则瓦正(1,1,1),番(0,2,1),

设平面QEC的法向量为n=(x,y,z),

嚅;二燃江:才

令z=2,得n=(\,1,2),

易知平面QEC的一个法向量为m=(0,0,1),

贝ijcos〈"?，〃〉彳*二青乎，

\m\\n\V63

由法向量的方向为同出，得二面角。ECO的余弦值为手.

跟踪训练3⑴证明由A8=8,

AD=5\[3,

AE^-AD,AF=-AB,

5，2，

得AE=2\[3,AF=4,

又N3A£>=30°,在△AEF■中，

由余弦定理得E尸二

\/AE2+AF2-2AE-AFcos^BAD=J12+16-2x273x4xy=2,

所以AE2+EF2=AF2,

贝ijAELEF,即EFA.AD,

所以E/J_PE,EFLDE,

又PEQDE=E,

PE,DEu平面PDE,

所以E凡L平面PDE,

又PZ)u平面PDE,

故EFLPD.

⑵解连接CE,由NAQO90。，

ED=3^3,

CD=3,

贝ijEC2=ED2«CD2=36,

在中，PCMA/3,

PE=26,EC=6,

得EC2+PE2=PC2,

所以PEIEC,由(1)知