高一数学单元复习（人教A版必修第一册）第三章函数的概念与性质（知识清单9大易错训练）含解析

第三章函数的概念与性质

思维导图

函

数

的T列表法

概

念表示方法I--1解析法

与

性-I图象法

质

单调性与最大（小）值

清单01函数的概念

知识点01函数的概念

1、函数的定义

设A,4是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系/,在集合8中都

有唯一确定的数），和它对应，称/：4TB为从集合4到集合B的一个函数，记作：y=/U）,

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域：与.门内值相对应的），值叫做困数值，函数值的集

合伏幻仅£A｝叫做函数的值域.

2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应.

（1）非空性：定义的集合A,8必须是两个非空数集；

（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；

（3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；

（4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即4—8.

知识点02函数的三要素与函数相等

1、定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的工的取值范围；

2、对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控

制着值域的形态，/可以看作是定“X”施加的某种运算或法则.如：/'3)=/，/就是对自变量x求平方.

3、值域：对应关系/对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，y=/(x)表示“y是x的

函数”，指的是)，为不在对应关系/下的对应值.

4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变最对应的函数值也相同，那么

这两个函数为同一个函数.

知识点03区间与无穷大

1、区间

(1)区间的概念

设Q,〃是两个实数，而且〃我们规定：

满足不等式。4x4人的实数x的集合叫作闭区间，表示为［〃,加；

满足不等式的实数x的集合叫作开区间，表示为(〃,〃)；

满足不等式。4/<人或。匕的实数x的集合叫作半开半闭区间，表示为打为)，(〃,加;

这里的实数叫做相应区间的端点.

(2)几何表示

定义名称符号数轴表示

{*<x<b}闭区间.

ab

{和<x<Z?}开区间

ab

{也<x<h}半开半闭区间口力)

ab

<x<b}半开半闭区间

l1J

ah

2、无穷大

可以用区间表示为(-8,+8),“00”读作“无穷大”，“一8”读作"负无穷大”，"+8”读作“正无穷大”.

我们可以把满足x>a,xWb,的实数x的集合，用区间表示为［a,+8),(a,*c),(-,(-co,。)

定义符号数轴表示

x>a(a,”)

a■

—

x>a[a*)

a

x<b(一8,〃)

x<b(-8」“力J

清单02函数的表示法

知识点01函数的三种表示方法

1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

优点：(1)简明、全面概括了变量间的关系；(2)利用解析式可求任意函数值。

缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。

2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值；

缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。

3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。

优点：能形象直观地表示函数的变化情况；

缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。

知识点02分段函数

1、分段函数的定义

在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的这应关系的函数.

2、分段函数的常见的几种类型

(1)取整函数：/(x)=[幻([*表示不大于x的最大整数).

为正奇数

(2)/«=(-1)'=

16为非负偶数

x+2,犬之—2

含绝对值符号的函数，如/(x)=|x十2|二

—(x+2),x<—2

-X—1,X(一]

自定义函数，如/(X)=(/一工一2,-1<工42

(4)

x-2,x>2

3、分段函数图象的画法

(1)作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象,

再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段

函数，然后作出函数的图象.

知识点03函数的图象

1、描点法作函数图象

（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示;

（2）描点：从表中得到一些列的点（x./（x））,在坐标平面上描出这些点；

（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来.

清单03函数的单调性与最值

知识点01函数的单调性

1、增函数与减函数

（1）设函数/（X）的定义域为/，如果对于定义域/内某个区间Q上的任意两个自变量的值内,£

当$＜与时，都有/（M）＜/（々），那么就说函数#幻在区间。上是单调递增函数；

当看＜今时，都有/（为）＞/（与），那么就说函数力R在区间O上是单调递减函数。

（2）单调性的图形趋势（从左往右）

（3）X,,々的三个特征

①区间/上的自变量的两个值X，当必须是任意的，即区间/内的全部x，任意即所有，不可以随便取两

个特殊值；

②有序性：一般要对阳和々的大小进行规定，通常规定％〈占；

③同区间性：即芭，超同属于一个单调区间.

2、函数的单调区间

若函数.y=/Q）在区间。上是增函数或减函数，则称函数y=/（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区

间D叫做y=/（x）的单调区间.

注：单调区间之间可用“，”分开，不能用“U”，可以用“和”来表示；

3、常见简单函数的单调性

函数单调性

一次函数y=kx+b(k*0)当/>0时，在R上单调递增；当2<0时，在R上单调递减.

当人>0时，在（-oo,0）和（0,+oo）上单调递减；

反比例函数），=4（%工0）

X当2<0时，在（-oo,0）和（0,欣）上单调递增.

当4>0时，在卜肯上单调递减，在卜微_,壮）上单调递酒；

二次函数

2

y=ax+/?x+c("O)当。<0时，在卜8，嗫上单调递增，在卜去引上单调递减.

知识点02函数的最大（小）值

1、函数的最大值

⑴定义：对于函数尸./3其定义域为如果存在xo£0，./U）=M,使得对于任意的都有加AM,

那么，我们称M是函数），=儿6的最大值，即当x=x0时，人即）是函数y=人工）的最大值，记作,3=/■））.

（2）儿何意义：困数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标.

2、函数的最小值

（1）定义：对于函数），=凡丫），其定义域为。，如果存在的£。，於）=何，使得对于任意的x£。，都有

那么，我们称M是函数产危）的最小值，即当％=xo时，«ro）是函数尸危）的最小值，记作）血加=/由）.

（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.

3、函数最值的常用结论

（1）如果函数〉=〃”在区间［。向上单调递增，在区间［。,。］上单调递减，那么函数>=〃"，xe［a,c］

在匕=〃处有最大值/（〃）；

（2）如果函数y=在区间［。向上单调递递减，在区间g,c］上单调递增，那么函数y=〃x）,

工£团,（?］在工=〃处有最小值/（b）.

清单04函数的奇偶性

知识点01函数的奇偶性

1、奇函数的定义

如果对于函数/（五）的定义域内任意一个—都有/（一对二一/（五），那么函数是奇函数，图象关于

原点对称.

2、偶函数的定义

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（T）=〃x）,那么函数/（力是偶函数，图象关于），

轴对称.偶函数/*）的性质：f（-x）=f（x）=f（\x\）,可避免讨论.

知识点02判断奇偶性的常用方法

1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数

的定义域是关于原点对称的，再判断/（-幻与±/（工）之一是否用等.

【注意】判断Ar）与“X）的关系时，也可以使用如卜.结论：

（1）如果/（一彳）一/（力=0或卷§=1（/（元）工。），则函数/（X）为偶函数；

（2）如果/（-x）+/（x）=0或4?=-1（/（工）工（）），则函数f（x）为奇函数.

2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（），轴）对称.

3、分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也

是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f（-x）与f（x）的关系.首先要特别注意x与-x的范围,

然后将它代入相应段的函数表达式中，/（X）与/（-x）对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义

进行比较.

清单05募函数

知识点01幕函数的概念

1、幕函数的定义：一般地，函数y=U叫做暴函数，其中x是自变量，a是常数.

2、算函数的特征：（1）片的系数是1；（2）V的底数x是自变量：（3）1的指数。为常数.

只有满足这三个条件，才是基函数.对于形如丁=（2丫汽y=2Ay=K+6等的函数都不是鼎函数.

知识点02募函数的图象与性质

1、五个具体导函数的图象

1-

当a=1,2,3,—,一1时，可得到五个寻函数y=x,y=f,〉，=_?,y=xr，y=x2,在同一直角坐标系中,

2”

通过秒点发得到五个黑函数的图象，如下图所示.

2、五个具体骞函数的性质

观察上图，可以得到五个恭函数的性质如下:

1

y=xV-I3y=/

函数)一人y=x2

定义域RRR[。,+8)s,o)U(o,田)

值域R[0,+oo)R[0,+oo)(-oo,0)U(0,+oo)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

在(0,+o。)上递增，在(-00,0)和(0,+oo)

单调性增函数增函数增函数

在(-8,0］上递减上递减

过定点点(1,1)

3、一般塞函数的性质

(1)所有的事函数在(0,+8)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

(2)如果a>0,那么基函数的图象过原点，并且在区间［0,+笫)上单调递增；

(3)如果aVO,那么累函数的图象在区间(0,+8)上单调递减，

在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，

当工从原点趋向于+8时，图象在x轴上方无限接近x轴；

(4)在(1,+oo)上，随哥指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴.

知识点03作幕函数图象的步骤

第一步：画出第一象限的部分。幕函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象:

(1)当avO时，以y=为代表，；

(2)当0<avl时，以y为代表；

（3）当时，以y=V为代表.

第二步：求基函数的定义域。幕函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于定义域.

第三步：若幕函数在y轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出），轴左侧的图象.

清单06函数的应用（一）

1、一次函数模型

（1）一次函数；y=b（k*金）

（2）求最值的方法：常转化为求解不等式依+杞0（或W0）,解答时，注意系数。的正负，也可以结合函数

图象或其单调性来求最值.

（3）解决实际应用问题的一般步骤

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利川数学知识，建立相应的数学型；

③求模：求解数学模型，得出数学结论；

④还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示如图：

2、二次函数模型

（1）二次函数：形如），=办2+云+c（qw0）

（2）求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调

性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来

解答.

（3）解决实际应用问题的注意事项

①函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要理解题意，选择适当的函数模型.

②耍特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.

③注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.

3、嘉函数模型

（1）幕函数模型：83,匕为常数，存0）,

（2）在计算辕函数解析式、求显函数最值的时候，通常利用箱函数的图象、单调性、奇偶性等解题.

4、对勾函数模型

解决“对勾”函数/。）二依+2（〃>0/>0）的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性、值域和

x

图象等，一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值.

【易错01:函数的三要素考虑不周】

判断两个函数是否表示同一个函数，也就是利用函数的概念看其定义域、对应法则、值域是否对应相同,

只要有一项不同就不是同一函数.由于没有特殊要求，函数的值域可由函数的定义域及对应法则来确定,

因而只需判断定义域和对应法则是否都相同即可.

【典例】

（25-26高一上•全国・单元测试）二列函数中，与函数y=,-2025|是同一个函数的是（）

A.y=x2-2025B..2025,

x2-2025

C.y=D.1=(6-2025)~

x°

【针对训练】

（25-26高一上.全国.单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（）

A./"）二三三与g（x）=±B-/（MT乂与g（x）=（4『

A-1A+1\/

C.仆）=看与网上百D・与g（x）=%

【易错02：抽象函数的定义域】

（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数人幻的定义域是指x的取值范围，函数yXg（x）］的定

义域也是指x的取值范围，而不是g（x）的取值范围.

（，）W），#0，/［0（r）］,小@）］四个函数中的/,羽0（x）,〃（r）在对应关系/下的范围相同，在同一函数,作

用下，括号内整体的取值范围相同.

（3）已知儿T）的定义域为人，求人双幻］的定义域,，其实质是已知夕（幻的取值范围（值域）为人，求式的取值范

围.

（4）已知/!贝明的定义域为B,求人处的定义城，其实质是已知/配（.切中工的取值范围为8,求°。）的取值

范围（值域），这个范围就是/U）的定义域.

【典例】

（2025高一•全国•专题练习）（1）若函数〃力的定义域为『2』，则函数/（x+1）的定义域为；

（2）若函数〃x+l）的定义域为卜2』，则函数1）的定义域为.

【针对训练】

（2025高一上•全国•专题练习）已知函数/（X十2）的定义域为（-3,4）,则困数篇x）=4H”的定义域

1

为.

【易错03：换元法没注意新元的范围】

利用换元法求函数的解析式，求函数的定义域、值域的时，一定要注意换元后新元的限制条件.

【典例】

（2025高一•全国•专题练习）已知函数/（1-司=上;（工工0）,则/（力=（）

A.（।\2-1（"0）B./\一】（"1）

（x-1）（%-1）

44,

C.丁仆。）D.7~^一仆1)

(1)

【针对训练】

（23-24高一上•江苏盐城•期中）若函数/（J7TT）=x—1,则/（1）=

【易错0%分段函数忽略分段处大小比较】

一般地，若函数/（2在区间［小力」二为增函数，在区间g，c］上为增函数，则不一定说明函数/（x）在［小

c］为增函数,如图：

由图象可知函数/（X）在m，cl上整体不呈上升趋势，故此，时不能说/（X）在［a,C］上增函数，若图象

满足如图：

即可说函数在［a,C］上为增函数,即只需/（X）在口，即上的最大值不大于I（x）在［瓦C］上的最小值即可,

同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论.

【典例】

-x2-or-5,x<I

（24-25高三上•江苏南通•开学考试）已知函数/（刈=〃是R上的增函数，则。的取值范围

一,x>1

X

是（）

A.-3WaW-2B.a<-2

C.-3<«<OD.a<0

【针对训练】

£x<-\

（2324高一上,黑龙江佳木斯期中）已知—一在（》,a）上是减函数，则〃的取值

（«-3）x+a-5,x>-1

范闱是.

【易错05：复合函数忽略定义域】

求复合函数的单调性要注意

（1）单调区间区间/是定义域的了•集，即应在函数的定义域内研究单调性.

（2）如果函数），=/5）存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接.

（3）单调性是函数的局部性质，增（减）函数是函数的整体性质.

（4）复合函数的单调性遵从“同埴异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是

增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减

函数.

【典例】

（24-25高一下•江苏无锡•月考）函数y=，？+5x—6的单调减区间是—.

【针对训练】

（24-25高一上•广东湛江•期中）因数=J高7-12的单调递减区间为.

【易错06：奇偶性概念理解错误】

若函数/"）是奇函数，则对定义域内的每一个X,有/（r）=—/（x），特别当x=O属于定义域时，有

/（0）=—/（0）即/（0）=0.因此，一般地有结论：奇函数要么在x=O处没有定义，要么在x=（）处的函

数值为0,即/（0）二。

【典例】判断函数的奇偶性.

【针对训练】

x2+2x+3,x<0

判断函数/（工）=<2,x=0,的奇偶性.

—x~+2x—3,A>0

【易错07：塞函数性质应用错误】

①单调性：如果a>（）,则某函数的图象过原点，并且在［0,+8）上为增函数.如果a<0,则累函数的图

象在（0,y）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与），轴.

②过定点：所有的事函数在（0,+8）都有定义，并且图象都通过点（1,1）.

③奇偶性：当。为奇数时，塞函数为奇函数，当。为偶数时，嘉函数为偶函数.

当a=幺（其中互质，〃和夕EZ）,若〃为奇数q为奇数时，则），=.6是奇函数，若p为奇数q为

P

幺1

偶数时，则），=x"是偶函数，若〃为偶数夕为奇数时，则y=W'是非奇非偶函数

【典例】

若（。+1厂＜（3—2〃广，试求。的取值范围.

【针对训练】

已知事函数），=--2，-3（加£"）的图象关于），轴对称，且在（0,+”）上是减函数，求满足

nim

（〃+1）下＜（3-2a口的〃的取值范围.

【易错08：函数的单调性、奇偶性综合应用】

1、/⑴在R上是偶函数，且/（上）在（0,+8）单调递增=若解不等式/（$）＞/（&），则有|再|＞同（不

变号加绝对值）：

2、/（x）在卡上是偶函数，且/⑴在（0,长。）单调递减=若解不等式/（*）＞/（£），则有|再|＜图（变

号加绝对值）；

【典例】

1.（2025而一•全国•专题练习）已知定义在R上的奇函数满足〃/）=9+2＞4壮0）,若/（3-。2）+/（_27）＞0,

则实数〃的取值范围是.

2.（24-25高一下•上海•期中）已知定义域为R的偶函数丁=/（力在［。,也）上为严格减函数，则不等式

7a-i）〈/（2x+i）的解集为.

【针对训练】

I.（24-25高一下•广西南宁・月考）已知定义在R上的奇函数/（力在［0,+8）上单调递增，且

/（2-«）+/（1-«）＜0,则实数。的取值范围是.

2.（24-25高一上•山东德州•期中）已知函数“X）是定义在-3,2a］上的偶函数，且对任意的彳、/£［0,勿］

且苦工声，满足/(；［；］)>°，若/⑵〃-1)</(1+36)，则〃?的取值范围是.

【易错09：抽象函数的简单性质】

一般采用赋值法，0,1,M-x是常见的赋值手段，或者是代入……,-K-i,0,11.....等特殊值求解.：

【典例】

(23-24高一上•浙江金华•月考)(多选题)定义在R上的函数/")满足〃刈+/()，)=/(工+川，则下列说

法正确的是()

A./(0)=0B.f(x)-f(y)=f(x-y)

c./(X)为奇函数D./(X)在区间上国〃］上有最大值/(〃)

【针对训练】

(多选题)已知函数/("的定义域为R.若对任意x,yeR,都有/(x+y)=/(x)+/(y)成立，且当％>0

时，均有均(»>0,则()

A./(o)=lB./(3x)=3/(x)

c.“X)是奇困数D.若/(—〃十2),则,

易错训练

1.(24-25高一上•天津•期中)下列各组函数是同一个函数的是()

A./(x)=x°与g(x)=lB.〃必==一与g(x)=x

C./(工人行与g(x)=ND.f(x)=J^与=

2.(24-25高一上.吉林通化.期末)已知/'(五+1)=工+2,则函数“X)的解析式为()

A.f(x)=x2B./(A)=X2+1(x>l)

C./(x)=x2-2x+2(X>1)D./(x)=f-2x+3(x>l)

3.(24-25高一上•云南昭通・期中)已知/(x2-=则函数/")的解析式为()

A./(3)=/-2工B.f(x)=x2-1(^>-1)

C./(x)=x2+2X(JT>-1)D.f(x)=x2-2x+2(x>\)

4.(24-25高一下・贵州毕节•期末)函数/(4)=Jx(4—x)—1的最大值为()

A.0B.IC.2D.3

X2+6LV+5,X<1

5.已知函数/("=da是R上的减函数，则实数。的取值范围是()

一,x>1

X

A.—3WaW—2B.—3KaK0C.aK—2D.ci<()

(1—十3a,x<1

6.(24-25高一上•江苏淮安•期中)(多选题)已知函数/")=1的值域为R,那么。的取

x——,.v>1

.X

值可以是().

A.0B.-1C.1D.g

7.(24-25高一上.河北张家口.月考)(多选题)已知函数/(力的定义域为R,对任意实数1,)'有

十)')=/(刈十/(>')—3且/。)=0,当x>0时，/(x)<3.则下列选项正确的是()

A./(O)=3B./(2)=2

C./(力-3为奇函数D./(力为R上的减函数

8.(24-25高一上•四川巴中•期中)已知函数/"+3)的定义域为卜2,4),则函数〃力的定义域为.

9.(24-25高一上•云南红河•月考)若函数/(x)的定义域为[1,3],则函数g(x)="#l)的定义域是_____

v.r—1

10.函数/(4)二,1，的单调递增区间为______.

x+2x-3

11.(24-25高一上•北京•期中)函数/(x)=J』+2x—8的值域是；单调递减区间是.

12.(24-25高一上•北京东城・期末)已知函数f(x)为R上的奇函数,且在0+8)上单调递增，/(2)=1,若

-l</(3x-l)<0,则x的取值范围是.

13.(2025高一•全国・专题练习)已知定义在R上的奇函数满足f(x)=f+2x(xN0),若

f（3-a2）+f（-2a）>0,则实数。的取值范围是.

14.（24-25高一上•上海宝山・月考）若函数/（"是定义在R上的偶函数，在（-8,0］上为严格减函数，且

/（2）=0,则不等式”到40的解集为.

2工+4xWQ

15.已知函数/（》）=1,「一在R上单调递增，则实数〃的取值范围是________.

x'+\,x>a

16.（25-26高一上•全国・单元测试）若函数/（"="7后在卜3.2］上单调递减，则攵的取值范围为.

17.若是定义在R上的奇函数，且在（0,十⑹上是严格增函数，/（1）=0,则不等式。-1）/（“<0

的解集是.

18.（2025高一•全国•专题练习）判断下列函数的奇偶性：

|x+3|-3

⑵&）=（x+l）旧；

（3）f（x）=k-l|+k+l|；

“x-3X-4,X>0,

⑷〃“=22//

x+3x-4,x<0.

19.（2025高一•全国•专题练习）已知事函数尸-的图象关于>轴对称，且在（0,+8）上是减

函数，求满足（a+if?<（3_2a）寸的。的取值范围.

20.（25-26高一上•全国•单元测试）已知寻函数/（"=（3>-7〃I+3）・/L2在区间（o,+8）上单调递减.

⑴判断函数/（"的奇偶性；

⑵若（2a+1尸">（l-«）-w,求。的取值范闱.

21.（24-25高一下•广东•月考）已知暴函数/（"=（3>一2加卜”的定义域不为区.

⑴求/（X）的解析式；

⑵若不等式/(。+1)+/(2〃-3)<0恒成立，求”的取值范围.

22.(24-25高一上•河南•月考)已知函数的定义域为R,对任意实数〃,v,都有/(〃r)=/(〃)-/⑺

成立，且当〃<0时，/(〃)<。.

(1)判断的奇偶性;

(2)证叨：/*)在R上单调递增:

⑶判断命题”对任意正有理数，，炉*)=/(b)”的真假，并说明理由.

第三章函数的概念与性质

思维导图

函

数

的T列表法

概

念表示方法I--1解析法

与

性-I图象法

质

单调性与最大（小）值

清单01函数的概念

知识点01函数的概念

1、函数的定义

设A,4是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系/,在集合8中都

有唯一确定的数），和它对应，称/：4TB为从集合4到集合B的一个函数，记作：y=/U）,

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域：与.门内值相对应的），值叫做困数值，函数值的集

合伏幻仅£A｝叫做函数的值域.

2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应.

（1）非空性：定义的集合A,8必须是两个非空数集；

（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；

（3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；

（4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即4—8.

知识点02函数的三要素与函数相等

1、定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的工的取值范围；

2、对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控

制着值域的形态，/可以看作是定“X”施加的某种运算或法则.如：/'3)=/，/就是对自变量x求平方.

3、值域：对应关系/对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，y=/(x)表示“y是x的

函数”，指的是)，为不在对应关系/下的对应值.

4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变最对应的函数值也相同，那么

这两个函数为同一个函数.

知识点03区间与无穷大

1、区间

(1)区间的概念

设Q,〃是两个实数，而且〃我们规定：

满足不等式。4x4人的实数x的集合叫作闭区间，表示为［〃,加；

满足不等式的实数x的集合叫作开区间，表示为(〃,〃)；

满足不等式。4/<人或。匕的实数x的集合叫作半开半闭区间，表示为打为)，(〃,加;

这里的实数叫做相应区间的端点.

(2)几何表示

定义名称符号数轴表示

{*<x<b}闭区间.

ab

{和<x<Z?}开区间

ab

{也<x<h}半开半闭区间口力)

ab

<x<b}半开半闭区间

l1J

ah

2、无穷大

可以用区间表示为(-8,+8),“00”读作“无穷大”，“一8”读作"负无穷大”，"+8”读作“正无穷大”.

我们可以把满足x>a,xWb,的实数x的集合，用区间表示为［a,+8),(a,*c),(-,(-co,。)

定义符号数轴表示

x>a(a,”)

a■

—

x>a[a*)

a

x<b(一8,〃)

x<b(-8」“力J

清单02函数的表示法

知识点01函数的三种表示方法

1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

优点：(1)简明、全面概括了变量间的关系；(2)利用解析式可求任意函数值。

缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。

2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值；

缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。

3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。

优点：能形象直观地表示函数的变化情况；

缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。

知识点02分段函数

1、分段函数的定义

在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的这应关系的函数.

2、分段函数的常见的几种类型

(1)取整函数：/(x)=[幻([*表示不大于x的最大整数).

为正奇数

(2)/«=(-1)'=

16为非负偶数

x+2,犬之—2

含绝对值符号的函数，如/(x)=|x十2|二

—(x+2),x<—2

-X—1,X(一]

自定义函数，如/(X)=(/一工一2,-1<工42

(4)

x-2,x>2

3、分段函数图象的画法

(1)作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象,

再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段

函数，然后作出函数的图象.

知识点03函数的图象

1、描点法作函数图象

（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示;

（2）描点：从表中得到一些列的点（x./（x））,在坐标平面上描出这些点；

（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来.

清单03函数的单调性与最值

知识点01函数的单调性

1、增函数与减函数

（1）设函数/（X）的定义域为/，如果对于定义域/内某个区间Q上的任意两个自变量的值内,£

当$＜与时，都有/（M）＜/（々），那么就说函数#幻在区间。上是单调递增函数；

当看＜今时，都有/（为）＞/（与），那么就说函数力R在区间O上是单调递减函数。

（2）单调性的图形趋势（从左往右）

（3）X,,々的三个特征

①区间/上的自变量的两个值X，当必须是任意的，即区间/内的全部x，任意即所有，不可以随便取两

个特殊值；

②有序性：一般要对阳和々的大小进行规定，通常规定％〈占；

③同区间性：即芭，超同属于一个单调区间.

2、函数的单调区间

若函数.y=/Q）在区间。上是增函数或减函数，则称函数y=/（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区

间D叫做y=/（x）的单调区间.

注：单调区间之间可用“，”分开，不能用“U”，可以用“和”来表示；

3、常见简单函数的单调性

函数单调性

一次函数y=kx+b(k*0)当/>0时，在R上单调递增；当2<0时，在R上单调递减.

当人>0时，在（-oo,0）和（0,+oo）上单调递减；

反比例函数），=4（%工0）

X当2<0时，在（-oo,0）和（0,欣）上单调递增.

当4>0时，在卜肯上单调递减，在卜微_,壮）上单调递酒；

二次函数

2

y=ax+/?x+c("O)当。<0时，在卜8，嗫上单调递增，在卜去引上单调递减.

知识点02函数的最大（小）值

1、函数的最大值

⑴定义：对于函数尸./3其定义域为如果存在xo£0，./U）=M,使得对于任意的都有加AM,

那么，我们称M是函数），=儿6的最大值，即当x=x0时，人即）是函数y=人工）的最大值，记作,3=/■））.

（2）儿何意义：困数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标.

2、函数的最小值

（1）定义：对于函数），=凡丫），其定义域为。，如果存在的£。，於）=何，使得对于任意的x£。，都有

那么，我们称M是函数产危）的最小值，即当％=xo时，«ro）是函数尸危）的最小值，记作）血加=/由）.

（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.

3、函数最值的常用结论

（1）如果函数〉=〃”在区间［。向上单调递增，在区间［。,。］上单调递减，那么函数>=〃"，xe［a,c］

在匕=〃处有最大值/（〃）；

（2）如果函数y=在区间［。向上单调递递减，在区间g,c］上单调递增，那么函数y=〃x）,

工£团,（?］在工=〃处有最小值/（b）.

清单04函数的奇偶性

知识点01函数的奇偶性

1、奇函数的定义

如果对于函数/（五）的定义域内任意一个—都有/（一对二一/（五），那么函数是奇函数，图象关于

原点对称.

2、偶函数的定义

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（T）=〃x）,那么函数/（力是偶函数，图象关于），

轴对称.偶函数/*）的性质：f（-x）=f（x）=f（\x\）,可避免讨论.

知识点02判断奇偶性的常用方法

1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数

的定义域是关于原点对称的，再判断/（-幻与±/（工）之一是否用等.

【注意】判断Ar）与“X）的关系时，也可以使用如卜.结论：

（1）如果/（一彳）一/（力=0或卷§=1（/（元）工。），则函数/（X）为偶函数；

（2）如果/（-x）+/（x）=0或4?=-1（/（工）工（）），则函数f（x）为奇函数.

2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（），轴）对称.

3、分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也

是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f（-x）与f（x）的关系.首先要特别注意x与-x的范围,

然后将它代入相应段的函数表达式中，/（X）与/（-x）对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义

进行比较.

清单05募函数

知识点01幕函数的概念

1、幕函数的定义：一般地，函数y=U叫做暴函数，其中x是自变量，a是常数.

2、算函数的特征：（1）片的系数是1；（2）V的底数x是自变量：（3）1的指数。为常数.

只有满足这三个条件，才是基函数.对于形如丁=（2丫汽y=2Ay=K+6等的函数都不是鼎函数.

知识点02募函数的图象与性质

1、五个具体导函数的图象

1-

当a=1,2,3,—,一1时，可得到五个寻函数y=x,y=f,〉，=_?,y=xr，y=x2,在同一直角坐标系中,

2”

通过秒点发得到五个黑函数的图象，如下图所示.

2、五个具体骞函数的性质

观察上图，可以得到五个恭函数的性质如下:

1

y=xV-I3y=/

函数)一人y=x