第二十二章 二次函数-二次函数与一元二次方程重点题型梳理 专项练（一）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第一十一章一次函数-一次函数与一元一次方程重点题型梳理专题

练（一）2025・2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

一、二次函数与坐标轴的交点问题

I.（23-24九年级上.天津河西期末）抛物线2.3与x轴的两个交点分别为（）

A.（3,0）和（TO）B.（-3.0）和（1,0）C.（2,0）和（—4,0）D.（4,0）和（一2,0）

2.（22-23九年级上•上海普陀・期中）如果抛物线的对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点的坐标是

（6,0）,那么它与x轴的一个交点的坐标是（）

A.（-6,0）B.（-4,0）C.（-2,0）D.（4,0）

3.（24-25九年级上•山东德州•期中）二次函数的解析式为尸-4（工-2『与x轴的交点坐标是,

与），轴的交点坐标是

4.（21-22九年级卜・浙江丽水・期中）已知二次函数丫=/+4x-2.

（1）求抛物线开口方向及对称轴.

（2）写出抛物线与y轴的交点坐标.

5.（22-23九年级上•广西河池・期中）若函数），=/+x+c的图象与工轴有两个交点，则。的取值范围

是—.

6.（24-25九年级上•广东中山•期中）已知抛物线丁=，/-2%+。与1轴没有交点，则c的取值范围

4

是.

7.（河南许昌•一模）已知抛物线y=/-2x+c与x轴只有一个交点，则.

8.（22-23九年级上•安徽芜湖•阶段练习）若二次函数y=f+（Fl）x+4的图象与x轴只有一个交点，

求〃的值.

二、二次函数的图象与一元二次方程的解

9.（24-25九年级上•天津北辰•期中）已知函数丁="+法+。的图象如图所示，那么方程加+/»+c=0

的解是（）

C.-1,0D.3,0

10.（24-25九年级上•广西南宁•开学考试）二次函数）=aF+/次（a工0）的图象如图所示，则关于x的

)

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个支数根D.没有支数根

11.（24-25九年级上•山东淄博・期末）如图，已知抛物线y=+灰+c与直线）=〃/+〃相交于

x的方程or?+bx+c=nvc+n的解为.

12.（24・25九年级上•江苏南通・期末）如图，抛物线）=汗与直线的两个交点坐标分别为

A（-2,6）,B（1,2）,则方程如2十°=加较小的根是

N

w

13.（24-25九年级上•广西河油期中）函数y=-f+2x+3的图象如图所示，结合图象回答下列问题:

⑴方程-/+24+3=（）的两个根为_;

⑵当），＞。时，则x的取值范围为_；当一1。＜2时，则变量），的取值范围为一；

⑶若方程/+2%+3=%有实数根，则"勺取值范围是一

三、判断一元二次方程的解的近似值

14.（24-25九年级上•山东潍坊•期末）已知二次函数），=♦-2ax+c（〃工0,1,c为常数），下表

给出了自变量％与函数值y的部分对应值.

X2.42.52.62.72.8

y=ax2-2ax+c3.964.254.564.895.24

根据表格，可以估计方程aP-2ax+c=5的近似解是（）

A.-0.55和2.55B.1.45和2.55

C.1.25和2.75D.-0.75和2.75

15.（24-25九年级上•内蒙古呼和浩特•期末）已知二次函数），=衣2+云+《。。0）的变量乂旷的部分

对应值如表：

X

••・-3-2-101•••

y・・.1361-2-3•・•

根据表中信息，可得一元二次方程如2+加+。=0的一个近似解々的范围是,

16.（2324九年级上全国•课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程--2工-1一0的实数根.（精

确至IJ0.1）

21.（23-24九年级上•浙江杭州•阶段练习）如图，抛物线y2x+c与x轴交于4-1,0）和B（3,0）

⑵过点A的直线％=，心+〃与他物线在第一象限交于点。，若点。的横坐标为％请直接写出当

%<）1时，x的取值范围是_______.

五、二次函数的图象与系数的关系

22.（2025・湖北十堰•模拟预测）抛物线y=a—+法+。（〃为常数且。<0）,过点A（T0）,网机0）

且下列结论：①abc>0；②2a+c、v（）；③〃（"?一1）一。一（?>0；④若关于k的方程

a（x+l）（x-〃?）=3有实数根，则4〃•-6KW.其中正确的结论有（）

A.①③④B.②®④C.①②③D.②④

23.（2025・青海•三模）如图是抛物线x=ad+/»+c（aw0）图象的一部分，其顶点坐标为

与工轴的一个交点为8（-3,0）,直线为="a+〃（〃7工。）与抛物线交于4，。两点，下列结论:①ahc>0；

②力=2〃：③抛物线与x轴的另一个交点是（3,0）；④不等式依2+⑦_MI+c-〃<0的解集为

-3<x<-l；⑤方程♦+云+c+3=0有两个相等的实数根：其中正确的个数有（）

C.3个D.4个

24.（24-25九年级上•湖南长沙•期中）如图为二次函数），=以2+以+。（叱0）的图象，图象与x轴

的交点为（-1，0）和（3,0）,对称釉是直线x=l,则下列说法正确的有（）

①a〃c<0；®2a+b=0；③4。-2/，+（?>0；④3a+c>0；®m（nui+h）<a+b（'常数〃.

答案

一、二次函数与坐标轴的交点问题

1.解：令f-2x-3=0,

即（x-3）（x+1）=0,

解得一元二次方程的根为；玉-3,x2--l；

则抛物线产--2.3与x轴的两个交点分别为(3,0)和(T0)；

故答案选：A.

2.解：:抛物线与x轴的一个交点坐标为(6,0),对称轴为直线x=2,

••・抛物线与x轴另一交点的横坐标为2x2-6=-2,

••・抛物线与％轴的另一个交点坐标为(-2,0),

故选：C

2

3.解：Vy=-4(x-2),

当)=0时，，-4(X-2)2=0,解得：玉=修=2

当x=0时，y=-4x4=-16,

・•・二次函数丁=一1(4一2)2与x轴的交点坐标是(2,0),与〉，轴的交点坐标是(0,-16).

故答案为：(2,0),(0,-16).

4.(1)Vt/=l>0,

・•・抛物线开口向上，

Vy=x2+4A-2=(X+2)2-6,

・•・对称轴是直线户-2；

(2)Vx=0,

y=-2,

・••与.y轴交点坐标是(0,-2).

5.解：函数y=F+x+c的图象与x轴有两个交点，

令)，=0,则f+x+o,

•*•△=I2-4x1xc>0»

解得

4

故答案为：

4

6.解：抛物线y=!x2-2x+c与x轴没有交点，

4

AA=(-2)2-4xixc<0,

解得c>4,

，C的取值范围是c>4.

故答案为：04.

7.解：当丁=。时，x2-2x+c=0

由题意得，△=(一2)~—4x1xc=0,

解得：c=l,

故答案为：1.

8.解：•・•二次函数y=f+«・1)X+4的图象与X轴只有一个交点，

・••D=(力-产4?40.

解得：〃=5或-3.

【点睛】本题主要考杳了二次函数的图象与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握当A〉0时，二

次函数的图象与x轴有两个交点；当A=0时，二次函数的图象与x轴有一个交点；当△<()时，二次

函数的图象与工釉没有交点.

二、二次函数的图象与一元二次方程的解

9.解：•・•二次函数y=*+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标为-3与-1,

•••ar2+Zzr+c=0的两根为：内=-3,x2=-1.

故选：A.

10.解：一元一次方程a/+法=0,的根即为一次函数)，=以2+法(。=0)的图像与直线x轴的交点的

横坐标，

结合图像，可知二次函数)，=曲2+公<。/0)的图像与工轴有两个不同的交点，即方程aF+法=0：有

两个不相等的实数根，

故选：B.

11.解：根据题意，关于X的方程”2+瓜+c=〃a+〃的解为％=-3/2=1,

故答案为:X.=-3,X2=1.

12.解：抛物线丫=力与直线y="-c的两个交点坐标分别为A(-2,6),8(1,2),

「•当x=-2或x=l时，ar2=bx-c»

，方程ar?+c=〃x的解为％=-2,=1,

'''方程av?+e=/zr较小的根是％=-2,

故答案为：x=-2.

13.(1)解.：由图象可得：方程—d+2x+3=0的两个根为内=-1,%=3.

故答案为：％=-1，占=3；

（2）解：由图象可得：当），>0时，贝口的取值范围为T<x<3,

V2

J=_（A--1）+4,

•••当x=l时，y=4,

,当-lvx<2时，自变量》的取值范。<y«4.

故答案为：-1<戈<3；0<3'<4；

（3）解:由图象可得：若方程-/+21+3=4有实数根，々取值范围是A<4.

故答案为：k<4.

三、判断一元二次方程的解的近似值

14.解：y=ax1-2ax+c,

••・抛物线的对称轴为直线x=-手=1,

2a

工观察表格可知，当y=ad-2at+c=5时，》在2.7和2.8之间，

根据二次函数的对称性可知，当），=以2-2办+。=5时，x还在-0.8和-0.7之间，

故选：D.

15.解：根据表格中的数据可知：当x=T时，y=（）且当x=0时，），=-2

一元二次方程奴?+云+。=0佗一个近似解为的范围是-1<玉<0

故答案为：

16.解：方程1一2工-1=0的根是函数y=f-21-1的图象与“轴的公共点的横坐标.

作出二次函数y=f—2x—l的图象（如图）.

由图象可知方程有两个根，一个根在-1和0之间，另一个根在2和3之间.先求-1和0之间的根.

当x=-0.4时，），=-0.04；

当x=-0.5时，y=0.25.

因此，-0.4是方程的一个近似根.

同理，2.4是方程的另一个近似根.

综上，方程――2x7=()的实数根为芯04W。2.4(根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于

().1均可).

四、根据二次函数的图象写出不等式的解集

17.解：二•二次函数对称轴为直线x=l,与x轴交点为仪-1,0),

••・根据二次函数的对称性，可得到图象与x轴的另•个交点坐标为A(30),

又；函数开口向下，x轴上方部分y>0,

<x<3.

故选：B.

18.解:根据函数图象可知，当y=4时，x,=0,X2=2,

结合函数图象可知.当.V04成立的x的取值范闱是工<0或x>2.

故选：C.

19.解：根据函数图象可得直线在抛物线上方时，-4<x<2,

即tnx+n>ax2+k的解集为T<xv2,

故答案为：-4<x<2.

20.解：由图象可知：关于x的不等式加+加+cx+%2+1>0的解集为：-3<x<l或x>2；

故答案为；-3。<1或%>2.

21.(1)解：•・•抛物线y=o？-2x+c与x轴交于A(T0)和8(3,0)两点，

a+2+c=0

9〃-6+c=0'

「•抛物线的解析式为y,=x2-2x-3；

(2)解：观察图象可知当xv-1或x>4时，当％<凹，

故答案为：工<-1或x>4.

五、二次函数的图象与系数的关系

22.解:①，・•抛物线y=o?+力r+c(a为常数且avO),过点A(-LO),3(-0)

・,•抛物线可表示为y=+1）（工一，〃）=加1+a（1一〃7）x-am,

/.a(\-ni)=b,c=一am

Vl</n<2

1-;n<0,

/.b=a(\-m)>0,c=-cun>0

・・・。权、<0,结论①错误；

②将c=~a,n代入2a+c,得2a-cun=a(l-n{)

Vl<w<2,

/.0<2-"?<I,

V«<0,

.•.a(2—〃z)<(),结论②正确；

③•・"=〃(1一"。，c=-am

/.a^m-\)-b-c

=(-ani)

=am—a—a+cun+am

=a(3/〃-2)

Vl<w<2

3<3m<6

1<3/72-2<4

YavO

.••。(3机—2)<0,结论③错误；

©V67(X+l)(.r-77?)=3

/.CD?+«(1-ni)x-cun-3=0

:.△=[a(l-4ax(-am-3)0

Ja2(m+\)2+\2a>0

，/(m+1)->-\2a

二"=a(1-"[)，c=-am

■:4ac-b2=4a(-am)-a2(\-z»)2=-a2(/z?+l)~<\2a,结论④正确.

综上，正确结论为②④，

故选：D.

23.•••抛物线开口向上，

：.a>0,

•・•抛物线交)'轴于负半轴，

Ac<0,

:对称轴在)'轴右边