第二十三章 图形的相似（讲义）-华东师大版九年级数学上册

第二十三章图形的相似（举一反三讲义）全章题型归纳

【华东师大版】

题型归纳

【培优篇】.......................................................................................5

【题型1由比例的性质求值或证明】..............................................................5

【题型2由平行判断成比例的线段】..............................................................8

【题型3分割】.................................................................................12

【题型4证明两三角形相似】....................................................................15

【题型5利用相似三角形的判定与性质求解或证明】...............................................19

【题型6作位似图形1...........................................................................................................24

【拔尖篇】......................................................................................27

【题型7利用平行线分线段成比例求解】.........................................................27

【题型8利用相似求最值】......................................................................36

【题型9利用相似解决动点问题】...............................................................44

【题型10利用相似进行规律探究】...............................................................52

【题型11相似三角形的应用】....................................................................57

【题型12利用相似格点作图】...................................................................62

举一反三

知识点1相似多边形

1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者说是把似形.两个边数相同的多边形，如果它们的

对应角相等,对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似支边形•相似多边形对应边长度的比叫做相似

比或相似系数.

2.性质：如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角相等,对应边的长度成比例.

知识点2」匕例线段

1.定义：如果a:b=c:d（或£），那就说a,b,c,d成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比.

对于四条线段a,b,c,d,如果由力=匚4（或表示为2="），那么a,b.cd叫做成比例线段，简称比例线段.这

时，线段a,d是比例外项,线段4c是比例内项.

2.性质：

-W--X-1/1-ac.、」.bded

基本性质：-=-<^ad=bc,-=--

人aca+bc+daca-bc-d

合比性质：K=d^―=—=d^―=—

等比性质：：=20篝4=乔

知识点3分割

如果点P把线48分割成AP和P8（AP>PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项,即这种分割为分割,

点P称为线段48的分割点.

力户与PB的比值亨称为分割教（.笥称数）.分割数是一个无理数,在应用时取其接近值好菖.

知识点4平行线分线段成比例

1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

2.数学语言描述：如图，已知直线匕〃。〃0，分别交直线m,n于点A,B,C,D,E,F,则胎=祭第二强

BC_EF

AC-DF

3.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例.

如图（】）、图（2）所示，BC//DE,则有照二差，*二与

DuCc/\u/ID

图（IXA型）

知识点5相似三角形

1.定义：三角分别相等、三边成幽的两个三角形叫做相似三角形.匚14以7和口小小G相似，记作

2.全等三角形与相似三角形的比较

全等三角形相似三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三三角分别相等、三边成比例的两个三角

定义

角形形叫做相似三角形

特征形状相同且大小相等形状相同但大小不一定相等

图形表示AAA△

BCB'CBCB'C

对应边相等成比例

对应角相等相等

相似比1可以是1，也可以是其他正实数

知识点6三角形相似的判定

如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.

1.定理1：两角分别对应相笠的两个三角形相似.

已知匚43。和和□力力'。'和，若□/=□/,匚8=口8；则口4以二口□才4'C’.

2.定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

已知匚力8c和和匚力'8'C',若A名B=刍AC，□/=□/,则ZUACDEMRC'.

3.定理3：三边对应成比例的两个三角形相似.

己知匚48。和和若器=券=养，则□48。口口/8'。’.

直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条

直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

4.有关三角形相似的常见图形

图形特征所需条件证明方法

/Y已知DE〃BC,所以两角分别相等的两个三角形相

平行线型

B乙-----iCB乙——同位角、内错角相等似.nADEnUABC

AX有公共角或对顶角，两角分别相等的两个三角形

□B74ED彳以.匚4DEIUjCB

斜交型

A且⑼公共角的两边对应成两边成比例，且夹角相等的两个

D比例，啜有三角形相似.\1ACBU\JAED

ADAt

A

两角分别相等的两个三角形相

母子型□1=32

似.口力CO□匚44C

有一组角对应相等，

W)

公共角（对应角）的两边成比例，且夹角相等的两个

旋转型

两边对应成比例，三角形相似.匚

2]1=匚2,「77--不

ABAC

知识点7相似三角形的性质

1.相似三角形对应高的比等于相似比.

2.相似三角形对应角平分线的比等于相似比.

3.相似三角形对应中线的比等于相似比.

4.相似三角形的周长比等于相似比.

5.相似三角形的面积比等于相似比的平方.

知识点8位似图形的有关概念

1.一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P，所在的直线都经过同一点。，且有0口'=□-

口匚（□工0）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形.点。叫做位似中心,女就是这两个相似多边形的相

似比.位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边

上，还可能在两个位似图形的内部.

2.位似与相似的关系

位似相似

形状完全相同完全相同

对应角相等相等

对应边成比例成比例

位置关系对应点所在直线都经过同一点任意摆放

联系位似是相似的特殊情况

知识点9位似图胫的性质

1.位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心.

2.位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

3.位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相笠.

4.如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似,其周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.

知识点10位似图形的画法

I.利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换.

2.画位似图形的步骤

（1）确定位似中心O；

（2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点；

（3）按相似比找出所作位似图形的府应点；

（4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形.

知识点H平面直角坐标系中的位似变换

1.2平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数所对应的图形与

原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为依|,即若原图形的某一顶点坐标为（勺，y0）,则其位

似图形对应顶点的坐标为（匕0，kyo）或（-依0，-kyo）.

2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律

名称规律

平移变换对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度

若以X轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若

轴对称变换

以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横〜标互为相反数

将一个图形绕原点旋转180。，则旋转前后两个图形对应点的横坐标

旋转变换

与纵坐标都互为相反数

当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标

位似变换

之比的绝对值都等于相似比

【培优篇】

【题型1由比例的性质求值或证明】

【例11（2425八年级下•山东烟台•期中）（1）已知:=J===J且b+d-/=18,则a+c-e=

baf9

（2）已知线段〃、氏c满足?=?=且a+2b+c=26.

326

①求a、b、C的值；

②若线段为是线段4、6的比例中顶，求线段”的长；

③若四条线即。，b,C,d为成比例线段，则线段d的长为.

【答案】（1）8；（2）①Q=6,6=4,c=12；②》=2遍；③8

【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，热记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设女法”用

k表示出4、b、C可以使计算更加简便.

<1）由题意可知a=gb，c=^d,C=gf，由b+d—f=18即可得到答案；

（2）①设5=?=（=A（k00），则Q=3k,b=2k,c=6k,代入a+2b+c=26,求得女的值，即可求

出。、氏c的值；

②由线段x是线段〃、的比例中项，可得/=ab=6x4=24,计算即可；

③根据题意得到Q：b=c:d,将a=6,b=4,c=12代入计算即可.

【详解】（1）解：瞪=；=

444

^a=-b,c=-d,e=-/,

勖+d-/=18,

4444

（3Q+C—e=-9b+-9d—9，/=-9x18=8,

故答案为：8；

<2）解：①设：=RH0）,则a=3/c,b=2k,c=6k,

326

回a+2b+c=26,所以3k+2x2k+6/c=26,解得k=2,

团a=3x2=6,b=2x2=4>c=6x2=12；

②©线段％是线段a、）的比例中项，

0x2=ab=6x4=24,所以％=2伤（舍负）；

③初，b,c,d为成比例线段，

0a:=c:d,

即6:4=12:d

团d=8,

故答案为：8.

【变式11】（2425八年级下•河南周口•阶段练习）已知？=4=其。工0）,则登等的值为（）

2342a-b+c

AB.\C.\D.2

536

【答案】A

【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用"设A法''是解题的关键.

设：=9=3=则a=2k、b=3k、c=4k,代入已知等式中，即可求得结果.

【详解】解•：设5===：=

234

则a=2k,b=3ktc=4k,

a+2b-c2k+2x3k-4k

m0-----=---------=4

2a-b+c2x2k-3k+4kS

故选:A.

【变式12】(2425八年级下•山东烟台•期中)若劲生=/=四型=鼠则k的值为______.

abc

【答案】4或-2

【分析】本题考查比例的性质.当x+y+zH。时、根据题意可得2b+2c=ak,2a+2c=bk,2a+2b=ck,

当x+y+z=O时，根据题意可得a=—(b+c),分别代入，即可求解.

【详解】解：当Q+b+cHO时，

E26+2a+2c2a+2b.

丁2c=F-=丁=匕

团2力+2c=ak,2a+2c=bk,2a+2b=ck,

02b+2c+2a+2c+2a+2b=k(a+b+c),

即4(a+b+c)=k(a+b+c)

0/c=4：

当a+b+c=O时，Q=-(b+c),则k=2.2c==一2；

a—(D+C)

综上所述，k=4或一2,

故答案为：4或一2.

【变式13](2425八年级下•江苏扬州•阶段练习)已知线段a、b、c满足a:加c=3:2:4,且a+2b+c=33.

(1)求Q、b、c的值；

⑵若线段乃是线段a、b的比例中项，求无的值；

【答案】(l)a=9.b=6,c=12：

(2)i=3V6.

【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键.

（1：,根据a:加c=3:2:4,设Q=3k,b=2k,c=4k,再代入等式进行计算即可得;

（2）根据比例中项的定义列式求解即nJ.

【详解】（1）解：Sa:b:c=3:2:4,

团设a=3k,b=2k,c=4/c,

0a4-2h4-c=33,

（33k+4k+4k=33,解得：k=3,

0a=9,b=6,c=12；

（2）解:13线段》是线段a、b的比例中项,

屋二3

xb

0xz=ab,

回a=9,b=6,

=V6V9=3V6（负值已舍去）.

【题型2由平行判断成比例的线段】

【例2】（2025•黑龙江哈尔滨•三模）如图,点。,F,E分别在边BC、AB.AC上，DEIIAB,DF||AC.BE^FD^

点G，则下列说法错误的是（）

八AFEGFG__BG_

A.­=一

ABBEGD~

cFGDG

c.—=一

AEEC

【答案】D

【分析】本题考查了平行线截线段成比例定理和相似三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理

是解题的关键.

根据平行线截线段成比例定理得到比例式以及利用相似三角形的判定定理得出^EDG-△BFG、△ABE-△

FBG、ACBDsAEBC,再根据相似三角形的性质得出比例式并进行判断即可.

【详解】解：A、0DF||AC,

吟=寮故A正确，不符合题意;

B、WE||AB,

0AEDG~△BFG,

喘=患故B正确，不符合题意;

C0DFIIAC,

(?!△ABE^△FBGf△GBD^△EBC,

曜二祟故C正确，不符合题意;

D.不能证明北=霹，故D错误，符合题意.

DTCC

故选D.

【变式21】（2425九年级下•河南周口•期中）如图，团4BC。中，点G在D4的延长线上，直线GC交于点E,

交8D于点。.下列结论正确的是（）

cODAD

B.—=—

OBBC

cBEGD

D.—=—

CDBC

【答案】A

【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的对边平行，得到△DOG〜

△EOC,〉AEG八BCE,△BOE〜△DOC,根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质，进行判断即可.

【详解】解：（3团4BCD,

^AD||BC.AB||CD,

「OG_ODOD_PC

，

OC-OB'OB-OE

嚼=穹；故A选项正确，符合题意;

团4。IIBC.AB||CD,

0ADOGBOC,〉AEGs公BCE,△BOEDOC»

喘=,，胎=够■=詈=*=怒故&。D选项错误，不符合题意,

故选A.

【变式22］（2025•山东临沂•一模）如图，481BD,CD1BD,垂足分别为3、0,AD和BC相交于点E,"1BD,

垂足为F.则下列结论错误的是（）

EF_DFcD.—BE=—EF

"AB~DBECCD

【答案】D

【分析】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握基本知

识是解题的关键.利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可.

【详解】解：-AB1BD,CD1BD,EF1BD,

•••ABIIEF||CD,

Z.ABE=Z.DCE,Z.BAE=Z.CDE,

△ABEs&DCE,

噎若，故B正确;

•••AB||EF,

器噜故A正确;

-ABIIEF,

•••乙DEF=LDAB,乙DFE=Z-DBA=90°,

•••△DEFDAB,

泊翁故C正确;

•••EF||CD,

黄噎，故D错误;

故选:D.

【变式23］（2025•安徽合肥•一模）在即4BCZ）中，对角线AC与8。交于点O,点七在BC上，点尸在CD上，连

接《£力居E凡下列结论错误的是（）

A.若EFIIBO,MOCF-=—AB

B.^AC1BD,AE=AF,则EF||8。

C.若琮=笫W1EFWBD

D.^AE1BC,AF1CD,AE=AF,则EFII8D

【答案】B

【分析】平行线分线段成比例结合平行四边形的对边相等，判断A；先证明四边形ABC。是菱形，得到C8=CD,

分CE=CF和CEHCF,两种情况，判断B,根据平行线分线段成比例的推论，判断C；先证明四边形/BCD

是菱形，再证明=得到？=受，判断D.

LECD

【详解】解•：如图：

回四边形A8CD是平行四边形，

团力。=BC,AB=CD；

若EFIIBD,则:吊=号

CoCU

喔=*=条故选项A正确，不符合题意；

若HC1BD,则：四边形4BCD是菱形；

•••CB=CD,

•••Z.ACE=Z.ACF,

如图，当/E与8C不垂直时，BC上还存在一点口，使力口=力尸,

B

假设CE=CF,

在AACE和△AC尸中，

(CE=CF

1/.ACE=Z.ACF,

(AC=AC

,△ACE三△4CF(SAS),

AE=AF,

,C£_CF

"63-CD1

:.EFIIBD,

而另一点&也满足力。=4/，但E午与8。不平行，

••.EF与8。不一定平行，故B选项错误，符合题意；

若生=竺，则：££=££,

CFABCFCD

CE__CF_

''CB=CD

(3E*BD,故C选项正确，不符合题意；

^AE1BC,AF1CD,AE=AF,WJ：SADCD=BC-AF=CDAF,

0FC=CD,

团四边形力8co是菱形；

^AC=AC,AE=AF,LAEC=UFC=90°,

0AAEC=△AFC,

团C£=CF,

••・一CE=一CF,

CBCD

•.EFWBD,故选项D正确，不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线分线段成比例

等知识，熟练掌握相关知识点，是解题的关键.

【题型3分割】

【例3】(2425九年级上•安徽马鞍山•期中)在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。

我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“分割如图，P为48的分割点(4P>P8),如果88

的长度为8cm,那么AP的长度是（）

A

R

A.（4—26）cmB.（4V5-4）cm

C.（4A/5+4）cmD.（4—4V5）cm

【答案】B

【分析】本题考查了分割，根据分割的定义得到42=与力历代入值即可求出.

【详解】解:13P为AB的分割点（AP>PB）,4B的长度为8cm,

团4P=等=等x8=（4V5-4）cm,

故选：B.

【变式31】（2425八年级下•黑龙江大庆•期中）点C、。是线段4B的两个分割点，若AB=2,则CD的长为

（）

A.3-V5B.2鱼一4C.2V5-4D.3-V2

【答案】C

【分析】本题考查了分割，线段的和差，由题意可得力C=8D="48=6一1,再由线段的和差计算即

可得解.

【详解】解：如图：

111I

ADCB9

同点C、。是线段48的两个分割点，

EL4C=BD=-AB=遍-1,

2

团CD=AC+8。-48=遥一1十通一1一2二2花-4,

故选：C.

【变式32】（2025•宁夏银川•二模）宽与长的比是写的矩形叫做矩形，矩形给我们以协调、匀称的美感.如

图，把矩形48。。沿对角线4c翻折，点B落在点力处，41交CD于点E,则COSND4E的值为（）

B'

A.1「3c2低

A.wBD.-C.-0,—

【答案】D

【分析】本题考查分割、矩形的性质及翻折变换，设力。=8c=（遥一l）a,AB=CD=2a,再根据翻折的

性质及等角对等边得出力E=EC,最后利用勾股定理表示出。E及4E即可.

【详解】解•：由题知，

令AD=BC=（遥一l）a,AB=CD=2a,

由翻折可知，^EAC=^DAC,

（3四边形480是矩形，

^ABWCD,

^z.DCA=Z.BAC,

0ZDC/I=Z.EAC»

团力E=EC»

令DE=x,^\AE=EC=2a-x,

222

在Rt/kADE中，AD+DE=AEf

[（V5—l）a]+x2=（2a—x）2»

解得％=3二a，

^AE=2a-2-a=-2a,

在RMZZ4E中，COSNO/E=,=等.

故选：D.

【变式33】（2425九年级上•江苏扬州•阶段练习）如图，在国旗上的五角星中，C、。两点都是线段力B的分

割点.若48=4,则人。的长为—.（结果保留根号）

AGDB

【答案】2V5-2

【分析】本题主要考查了分割，设/1。=必则m=4—%,根据分割的定义可得啜=黑，则”2=4（4—%）,

Z<oAU

解方程即可得到答案.

【详解】解：设4。=%,则80=4-%,

0C,0两点都是线段48的分割点，

团力。2=AB•BD,

0X2=4（4-X）,

0X2+4X-16=0,

解得%i=-2+2V5,%2=-2-2^5（舍去），

财。的长为2遍一2.

故答案为：2V5-2.

【题型4证明两三角形相似】

【例4】（2425九年级上•安徽六安•阶段练习）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（）

C.△ABCEDCD.△AEDCBA

【答案】C

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键.

根据题意，推得”=告，再利用相似三角形的判定即可求解.

【详解】解：♦♦♦BE=4,CE=6,CD=5,AD=7,

AC=AD+CD=12,BC=BE+CE=10,

EC

v—=—10=32,"-=—12=

CD5CE6

:.—BC=

CD

LACB=乙ECD,

•••△ABCEDC.

故选：C.

【变式41](2425九年级上•四川内江・期中)如图，在4X4的方格纸中，每个方格边长为1,^ABC^^DEF

都是格点三角形.

(1)填空：^ABC=°,BC=

(2)判断△ABC^^OEF是否相似，并说明你的结论.

【答案】(1)135。,2V2

(2)A4BC-AD£T,理由见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关

键.

(1)根据图形求出乙力BC,根据勾股定理求出8c即可；

(2)求出E尸、AB.DE的值，求加暖和喘的值，再根据相似三角形的判定定理即可解答.

ABBC

【详解】(1)解：由图可知：4/BC=45。+90。=135。，

根据勾股定理团8C=V22+22=2V2.

故答案为：1350,2企.

(2)解：&ABC*DEF,理由如下：

(L4B=2,BC=2V2,ABC=135°,FF=2,DE=\pZ,Z-DEF=900+45°=135°=^.ABC,

般=它,竺=之

AB2BC242

碎=竺，乙DEF=4ABC,

ABBC

0AABC〜△DEF.

【变式42](2425九年级下•湖北武汉•阶段练习)如图在四边形力BCD中，ADIIBC,点F,E分别在线段BC上,

AC上，且4FAC==4D.

(1)求证:DE=AF

⑵请增加一个条件，使△力8F〜则此条件可以是.

【答案】(1)见解析

(2)/8=Z-CDE^Z.BAF=或瞿=

E>L/VC

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性

质是解题关键.

(1)先根据平行线的性质可得=44;凡再根据三角形的全等的判定可得三A/ICF,然后根据

全等三角形的性质即可得证；

(2)先根据全等三角形的性质可得乙=从而可得4肝8=/CEO,再根据相似三角形的判定添

加条件证明即可.

【详解】(1)证明：•••AOIIBC,

•••Z.DAE=Z-ACF,

在A/Z4E和△4C/中，

(LDAE=Z.ACF

AD=CA,

(^ADE=Z.CAF

.••△ZZ4E三4C产(ASA),

:.DE=71F：

(2)证明：•••△DAE三△4CF,

:*乙AFC=乙DEA,

：•180°-乙AFC=180°-LDEA,^^AFB=乙CED,

当，8=/CDE时,

ABFCDE；

或当NZM尸=乙ECD时,

ABFs&CDE；

0-AABFCDE,

故答案为：ZB=1DE或血尸=zECD或冷德

【变式43］如图，已知b48_LBC于点心CD工BC于■点、C,AB=4,CD=6,BC=14,P为直线BC上一点，

若以4、B、P为顶点的三角形与以AC、。为顶点的三角形相似，则这样的P点有个.

D

A

__1rl

8（：

【答案】6

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

分3种情况求解即可：①当点。在线段8c上运动时，②当点尸在B的左侧运动时，③当点P在点C的右

侧运动时.

【详解】解：团481DB,CD1DB,

回乙。=48=90°,设8P=%,

①当点P在线段8C上运动时，

团=2,不=12；

当PB:PC=时，XPAB〜&PDC,

解得：x=5.6；

②当点。在4的左侧运动时,

D

团s=-7+7V2,%=一7一7企（舍去）；

当P5:PC=A8:DC时,XPABfPDC,

解得：x=28；

③当点，在点。的右侧运动时,

必=」一,

6x-14

0xt=7+7V2,Xi=7-7V2（舍去）；

当PB:PC=A&DC时，XPAB〜NPDC,

解得：x=-28（舍去）；

综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的P点有6个.

故答案为：6.

【题型5利用相似三角形的判定与性质求解或证明】

【例5】（2025•陕西西安•模拟预测）如图，在△4?。中，AB=AC,。为4B的中点，DE||BC^ACTE,延

长。力至尸，使力尸=2X4.若HE=3,BC=8,则EF的长为（）

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A.2V5B.5C.3V2D.2V13

【答案】A

【分析】本题考查了相似二角形的判定和性质，直角二角形判定和性质，勾股定理等知识点，证明△〃心.是

直角三角形是解题关键.

利用平行相似证明AE=\AC,从而可得40=BD=AF=^AB=3,进而证明4=^AED+^AEF=

900,再由勾股定理求出EF=VDF2一DE?=2遍.

【详解】解：0DF||BC,

0AADE〜匕ABC,

又也）为的中点，

樱=竺=丝=工，

ABACBC2

^AC=2AE=6tDF=>=|x8=4,

^AF=DA,

^AD=BD=AF=-2AB=3,

团4D=AE=AF=3,

0Z4DF=Z.AED,Z.AEF=Z.AFE,

^Z-ADE+Z.AED+Z.DAE=Z.ADE+Z-AED+Z.AEF+LAFE=180%

0ZDEF=Z.AED+Z.AEF=90°,

0FF=y/DF2-DE2=V62-42=275,

故选A.

【变式51］如图，已知梯形/8C0中，AD\\BC.E是边A8上一点，CE与对角线80交于点F,RBE2=EF-EC.

求证:

(l)hABDFCB；

(2)BDBE=ADCE.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】(1)由BE2=EFEC可证△BEF〜ACEB,得到/=ZECB,再由4DIIBC得到N/DB=NDCB,

即可证明△力BO〜AFCB；

（2）由△BE尸〜△CEB得到站=络△ABD~A尸CB得到工=瞿二空,进而得到笠=级,即可得到8D-BE=

BCCEFCBCBFCEBD

AD^CE.

【详解】（1）回=EFEC,

0Z.FFF=乙CEB,

OABEF~ACEB

0ZEFF=乙ECB

出Wil",

^LADB=Z.DCB

0AABD~AFCB；

(2)0ABEF-ACEB,

BCCE

0AABD—△FCB,

AB_BD__AD_

FC~~BC~~BF

^BE-BD=ADCE.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键.

【变式52］（2025•浙江杭州•三模）如图，在菱形A8CD中，£是对角线力。上一点，连接5E,将△8CE绕着

点8旋转，点。的对应点尸落在边匕点E的对应点G落在边48匕8F与4c交于点H.若尸是力。的

中点，则好的长为

D

5

B

【答案】》0.5

【分析】由ASA可证△力尸，三△凡4G,可得力G=FH,确定8G=B，，再证明△4尸，C8，，由相似三角

形的性质即可求解.

【详解】解：团四边形力3CD是菱形，

(L4B=BC=AD=CD,Z-DAC=Z.BAC=乙BCA,

回将ABCE绕着点及旋转，

0Z?E=DG,BC=BF/BCE=Z.BFG,

0ZF/1F=Z.AFB,

^/.AFB=Z.BAF=2/.BCA=2乙GFB,

^Z.AFG=Z.BFG=Z-DAC=Z.BAC,

又凶尸=AFt

0A/1FH三△F/1G(ASA),

回力G=FH,

^BG=AB-AG,BH=BF-FH,即8G=8H,

团尸是AO的中点，

皿=*=泗，

田WII8C,

:心AFH-△CBH,

偿=型=工，

BCBH2

胫=型，，

BGBH2

故答案为：

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，灵活

运用这些性质解决问题是解题的美键.

【变式53](2025•广东深圳•模拟预测)(1)如图1,在△/1BC中，乙4=90。，将线段8C绕点B顺时针旋转

90c得到线段8D,作OEJ.4B交AB的延长线于点E,求证：AB=DE.

(2)如图2,连接C。并延长交力B的延长线于点凡若718=2,AC=6,求8F的长.

【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的

关键.

(1)先证明=90。，BC=BD,可推导出4=408E=90。一4ABC,继而证明

EDB(AAS),即可解答；

(2)先证明8E=AC,DE=AB,再推导出。E||AC,可得到△DEF〜△CAF,则器=系求出"=4,即

可解答.

【详解】(1)证明：(3线段8。绕点8顺时针旋转90。得到线段8D,

0ZCFD=90°,BC=BD,

团乙I=ZE=90°,

在射8C和趾中,

(Z.A=Z-E=90°

Z-BCA=乙DBE,

(BC=BD

0A/IFC=△EDB(AAS),

a4B=DE；

(2)解：由(1)可知：AABC王&EDB(AAS),

（3BE=AC,DE=AB,

^AB=2,AC=6,

:.DE-2,BE=6,

•••AE=AB+BE=8,

v£DEB+LA=180°,

•••DEIIAC

0ADEFs匕CAF,

喘吟，

即2

6EF+8

0EF=4,

团BF=BE+EF=10.

【题型6作位似图形】

【例6】（2425九年级上•安徽六安•阶段练习）如图，在正方形网格图中，A/1BC与是位似图形，则

位似中心是（）

A.点QB.点PC.点ND.点M

【答案】D

【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键.

连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答.

【详解】解：如图：连接力片,。。'，易得交点为即位似中心是点M.

【变式61】（2425九年级上•河南商丘・期末）按如下方法，将△/BC的三边缩小为原来的（如图，任取一点

。，连接力。，BO,CO,并取它们的中点。，E,F,得到ADE凡则下列说法错误的是（）

A.Zk/IBC与AOE尸是位似图形，位似中心为0

B.△ABC与△0EF相彳以

C.△48C与△OEF的面积之比为4:1

D.与△0EF的周长之比为4:1

【答案】D

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键.根据位似图形的性

质，得出△48。与仆DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得壮必ABC与ADEF是相似图形，再

根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案.

【详解】解：根据位似性质可得：

A、△48。与40£1/是位似图形，位似中心为0,故本选项正确，不符合题意；

B、△力BC与aOEF是相似图形，故B选项止确，不符合题意；

C、（3将△48C的一:边缩小为原来的点

:.△48C与的相似比为2:1,

团面积比等于相似比的平方，

团△4BC与的面积之比为4:1,故C选项正确，不符合题意;

D、由上可知△山?。与^OEF的周长之比等于相似比，即为2:1,故D选项错误，符合题意；

故选:D.

【变式62】(2025•辽宁沈阳•二模)如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△0'48'是位似图形，其中对应

点A和片坐标分别是(1,2),(7,-4),则位似中心。的坐标是.

【答案】(3,0)

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式，用待定系数法求出直线4A的解析式为：y=

-x+3,再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案.

【详解】解：M与4是对应点，8与B'为对应点，

团4T与B8'的交点C为位似中心，

姐与夕都在x轴上，

团点。在x轴上，

设直线的解析式为:y=kx+b(kW0),把(1,2),(7,-4)代入得：

(k+b=2

加+匕=-4'

解得:(V;‘

Ih=3

回直线AA的解析式为：y=-x+3,

把y=0代入得：一%+3=0,

解得：x=3

团位似中心坐标是(3,0),

故答案为：(3,0).

【变式63】(2425八年级下•江苏苏州•阶段练习)如图，△/18C在带有网格的平面直角坐标系中的位置.

姝

⑴以点。为位似中心，在y轴右侧作出△力BC的位似图形△&B1G，使得放大后的△久当6与448。的位似

比为2:1.

⑵若点P在△4BC内部，且坐标为（a,b）,写出按（1）变化后的对应点Pi的坐标.

【答案】（1）作图见解析

⑵（2a,2b）

【分析】（1）把点力、B、C的横纵坐标都乘以2得到点为、为、Ci的坐标，然后描点即可；

（2）把点P的横纵坐标分别乘以2即可求解；

本题考查了位似作图，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键.

【详解】（1）解：如图所示，△ABiG即为所求；

（2）解：由位似图形的性质得，点P的横纵坐标分别乘以2得到对应点入的坐标,

团点匕的坐标为（2兄2匕），

故答案为:（2a,2b）.

【拔尖篇】

【题型7利用平行线分线段成比例求解】

【例7】如图，在AABC中，。是边A8上一点，过点。作。EII8C交4C于点E,过点8作AC的平行线交ED的延

长线于点F,连接FC交4B于点G,设的面积为Si，AFCB的面积为S2,△FBG的面积为S3,若SiS3=

”，则冷

【分析】本题考查了平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，比例的性质，分别利

用平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质及三角形的面积得出=^，*=/？再根据&•S3=

i>2BD02AD'VDD

2s得在用=g即可得=g进而得到穿=；,据此即可求解，掌握平行线等分线段定理及相似三角

5S2s25AB+BD5AB4

形的判定和性质是解题的关键.

【详解】解：驱力8。与△FBC是等高三角形，且SVBC=S“EC，

团DEIIBC,

0AF8G与△FBC高相同,

0BFIMC,

0ABGF4GC,

喔=第

即竺

FCAC+BF

WEWBC,BFWAC,

回四边形BCE尸为平行四边形,

团CE=BF,

AC+CE

WEWBC,

*3BD

~AB+BD"

吃』二*，

故答案为:

74-

【变式71］在四边形ABC。中，ZR4D=^BCD=90°,4=45。，点石为对角线80的中点，连接力E并延

长交线段8c于点凡CF=6,BF=4,则。。的长为.

【答案】2V5

【分析】如图所示，过点。作0门1BC交力产于7,过点4作于"，延长力D,BC交于G,证明△8FE三

△DTE(AAS),得到07=BF=4；再证明△ABG,△OCG都是等腰直角三角形，得到CD=CG,设CO=CG=

2x,则8G=10+2%,AH=HG=5+x；证明△ADT〜得到”=竺，进一步证明AHIICD,得到

FGAG

AD段则冬二段即+=a了，解方程即可得到答案.

茄=nUrunuo+ZX5+X

【详解】解：如图所示，过点。作。TIIBC交AF于丁，过点4作AH_L8C于”，延长/W,BC交于G,

WT||BC,

0ZEDT=乙EBF,乙ETD=Z.EFB,

团点E为对角线80的中点,

团BE=DE,

0ABFE-△DTF(AAS),

0DT=BF=4,

^BAD=乙BCD=90°,Z.ABC=45°,

"=45°,乙DCG=90°,

团△力BG,^DCG都是等腰直角三角形,

团CD=CG,

团4"1