04普通高等学校招生全国统一考试湖南卷文科数学试题及解答

普通高等学校招生全国统一考试湖南卷文科数学试题及解答

2021年普通高等学校招生湖南卷文史类数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的1．函数的定义域为（）A．B．C．D．2．设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（）A．B．C．D．3．设是函数f(x)=的反函数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．4．如果双曲线上一点P到右焦点的距离为,那么点P到右准线的距离是（）A．B．13C．5D．5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、BC、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；

在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法7．若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（）A．B．C．（0，1）D．8．已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（）A．B．C．16，0D．4，0xyoAxyoDxyoCxyoB9．若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f/(x)的图象是（）10．从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（）A．56B．52C．48D．4011．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2021年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元),预计该地区自2021年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元根据以上数据，2021年该地区农民人均收入介于（）A．4200元~4400元B．4400元~4600元C．4600元~4800元D．4800元~5000元12．设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P（2，3）的充要条件是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________.14．的展开式中的常数项为___________(用数字作答)15．F1，F2是椭圆C：的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________.16．若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤.17．（本小题满分12分）18．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值.19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.20．（本小题满分12分）已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4成等差数列.（I）证明12S3,S6,S12-S6成等比数列；

（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.21．（本小题满分12分）如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0<t0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.2021年普通高等学校招生湖南卷文史类类数学试题参考答案1.D2.D3.C4.A5.C6.B7.D8.D9.A10.C11.B12.A13．2x－y+4=014．8415．216．17．（本小题满分12分）解：由于是18．（Ⅰ）证法一因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.因为所以、、共面.又PB平面EAC，所以PB//平面EAC.证法二同证法一得PA⊥平面ABCD.连结BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.连结OE，因为E是PD的中点，所以PB//OE.又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又E是PD的中点，从而G是AD的中点，所以19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.①②③由题设条件有由①、③得代入②得27[P(C)]2－51P(C)+22=0.解得（舍去）.将分别代入③、②可得即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是（Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为20．（Ⅰ）证明由成等差数列，得，即变形得所以（舍去）.由得所以12S3，S6，S12－S6成等比数列.（Ⅱ）解：

即①①×得：

所以21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.即（Ⅱ）令解得当从而在区间上是增函数；

当从而在区间上是减函数.所以当时，有最大值为22．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为代入抛物线方程得①设A、B两点