第26讲 图形的相似与位似（讲义）【5大考点24大题型】（举一反三）（原卷版）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

第第页第26讲图形的相似与位似【5大考点24大题型】考点一考点一比例线段1.比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如ab=c比例的性质：1）基本性质：ab=2）变形：ab=3）合、分比性质：a实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：a4）等比性质：如果ab=c根据等比的性质可推出，如果ab=c5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACAB6）平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．【题型1成比例线段】【例1】（2024·湖南永州·一模）已知线段a，b，c，d成比例，且a=3b，A．4cm B．6cm C．9cm【变式1-1】湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是千米（结果精确到1千米）【变式1-2】（2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值为（

）A．2 B．3 C．43 D．【变式1-3】（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则mn的值为【题型2利用比例的性质求值】【例2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知abc≠0，且a+bc=b+ca=A．2 B．−1 C．2或0 D．2或−1【变式2-1】（2023·甘肃武威·中考真题）若a2=3b，则A．6 B．32 C．1 D．【变式2-2】（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的倍．【变式2-3】（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

【题型3黄金分割的应用】【例3】（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732A．0.73m B．1.24m C．1.37m【变式3-1】如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB．若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1S2.【变式3-2】如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为5−12的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝【变式3-3】（2021·四川德阳·中考真题）我们把宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为5−【题型4平行线分线段成比例】【例4】（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（

）A．1 B．2 C．5 D．10【变式4-1】（2023·海南海口·一模）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（

）A．2 B．2 C．103 【变式4-2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函数y=kxk≠0的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则ANA．13 B．14 C．15【变式4-3】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF=1，EC=3，则GF的长为（

）

A．4 B．6 C．8 D．10考点二考点二相似图形与位似1.相似多边形的性质：1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.2)相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.2.位似图形的定义:如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.3.画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）4.判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.5.位似图形的性质：1)位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；2）位似图形的对应边互相平行或者共线.3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.6.画位似图形的步骤：1）确定位似中心,找原图形的关键点.2）确定位似比.3）以位似中心为端点向各关键点作射线.4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.【题型5相似多边形及其性质】【例5】如图，直线y=13x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作AB⊥AM，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，An−1Bn−1Cn−1An中的阴影部分的面积分别为S1，S【变式5-1】（2021·江苏无锡·中考真题）下列命题中，正确命题的个数为．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似【变式5-2】（2023·山东·中考真题）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1，则CD的长为（）

A．2−1 B．5−1 C．2+1【变式5-3】如图，点A,B,C在同一直线上，且AB=23AC，点D,E分别是AB,BC的中点，分别以AB,DE,BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1,S【题型6画位似图形】【例6】（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．

(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．【变式6-1】（2020·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1)．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1∶2的△A【变式6-2】（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(3,1)，C(2,3)，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个ΔA1B1C1，使它与ΔABC位似，且相似比为2：1，然后再把（1）画出ΔA1B（2）画出ΔA2B2C【变式6-3】（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于12（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出【题型7与位似图形有关的求值】【例7】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O0,0，A3,0，B3,2，C0,2，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点

A．9,4 B．4,9 C．1,32 【变式7-1】（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1A．90 cm2 B．135 cm2【变式7-2】（2023·吉林长春·中考真题）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若

【变式7-3】（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C′的坐标为

考点三考点三相似三角形的性质与判定1.相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”.2,。相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2）两个三角形相似的判定定理：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似．④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.3.相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3）相似三角形周长的比等于相似比.4）相似三角形面积比等于相似比的平方.【题型8添加条件使两个三角形相似】【例8】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中，与△BOC一定相似的是（

）

A．△ABD B．△DOA C．△ACD D．△ABO【变式8-1】（2024·青海·中考真题）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：，使△AOB∽△COD．【变式8-2】如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是A．B．C．D．【变式8-3】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．ADAE=AC【题型9证明两个三角形相似】【例9】（2024·广西·中考真题）如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB．(1)求证：△ABC∽△CBO；(2)如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A′OC′，旋转角为①求△A′M②当△A′M【变式9-1】（2024·广东广州·中考真题）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽【变式9-2】（2023·贵州·中考真题）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．

(1)写出图中一个度数为30°的角：_______，图中与△ACD全等的三角形是_______；(2)求证：△AED∽△CEB；(3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．【变式9-3】（2023·福建·中考真题）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长线相交于点M．

(1)求证：△ADE∽△FMC；(2)求∠ABF的度数；(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．【题型10利用相似的性质求解】【例10】（2023·重庆·中考真题）如图，已知△ABC∽△EDC，AC:EC=2:3，若AB的长度为6，则DE的长度为（

）

A．4 B．9 C．12 D．13.5【变式10-1】（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是（

）A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:9【变式10-2】（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）【变式10-3】（2023·山东聊城·中考真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO1为2，则其侧面展开图的面积为（

A．3π B．23π C．3【题型11利用相似三角形的性质解决折叠问题】【例11】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC，∠ACB=90°，CB=5，CA=10，点D，E分别在AC，AB边上，AE=5AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC【变式11-1】（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°,AC=4, BC=3，点D,E分别在AB,AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则ADA．259 B．258 C．157【变式11-2】（2022·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【变式11-3】（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中ABBC=23．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1<v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA【题型12利用相似三角形的性质判断函数图象】【例12】（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE=x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（

A． B．C． D．【变式12-1】（2022·青海西宁·中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【变式12-2】如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠BCE=43．设AB=x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为(A． B．C． D．【变式12-3】如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【题型13利用相似三角形的性质解决尺规作图问题】【例13】（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度θ(0°<θ<180°)，再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T(A，顺θ，k)；若逆时针旋转，记作T(A，逆θ，k)．例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A1BC1，再将△A1BC1以点B为位似中心缩小到原来的(1)如图②，△ABC经过T(C，顺60°，2)得到△A′B(2)如图③，△ABC经过T(B，逆α，k1)得到△EBD，△ABC经过T(C，顺β，k2)得到△FDC，连接AE，(3)如图④，在△ABC中，∠A=150°,AB=2,AC=1.若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形AFDE是正方形．①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；②直接写出AE的长．【变式13-1】（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD=AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH>BH，

(1)在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）．(2)连结AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD的长度；(3)如图2，延长AH至点F，使得HF=AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM，若PD=12AD【变式13-2】求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．

【变式13-3】（2025·广东深圳·一模）在矩形ABCD中，连接AC．(1)如图1，请用尺规在边AD上求作一点P，连接PC，使PD+PC=AD；（不写作法，保留作图痕迹）(2)如图2，已知点P在边AD上，且PD+PC=AD，连接PB，交AC于点Q，若AB=6，AD=8，求AQ的长．【题型14利用相似三角形的性质解决存在性问题】【例14】（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA−PD有最大值？若存在，求出PA−PD的最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN=23【变式14-1】（2024·宁夏·中考真题）抛物线y=ax2−32x−2与x轴交于A−1,0，B(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当PE=52BE(3)如图2点F1,0，连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H【变式14-2】（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D(3)F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标．【变式14-3】（2024·广东·中考真题）【知识技能】（1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E【数学理解】（2）如图2，在△ABC中(AB<BC)，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C【拓展探索】（3）如图3，在△ABC中，tanB=43，点D在AB上，AD=325．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE=3，CE=323【题型15利用相似三角形的性质解决最值问题】【例15】（2024·四川德阳·中考真题）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE=BE,AM=1，又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E②当DA1达到最大值时，A1③DA1的最小值为④DA1达到最小值时，你认为小王同学得到的结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式15-1】（2024·四川达州·中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD=22CE，则下列结论：①AEBD=2；②∠DFE=135°；③△ABF面积的最大值是42

A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【变式15-2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+ca<0的图象交x轴于点A−3,0、B1,0，交y轴于点C．以下结论：①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c=7；④当c=3时，在△AOC内有一动点P，若OP=2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式15-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB【题型16利用相似三角形的性质解决动点问题】【例16】（2024·江苏南通·中考真题）在△ABC中，∠B=∠C=α0°<α<45°，AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误【变式16-1】（2023·海南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AD上，且AD=4AE，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，则EFPE=．若点M是线段EF的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为

【变式16-2】（2024·山东德州·中考真题）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．(1)如图1，当∠ACD=15°时，求∠BDE的度数；(2)如图2，连接BE，当0°<∠ACD<90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变求，∠ABE的度数；如果变化，请说明理由；(3)如图3，点M在CD上，且CM:MD=3:2，以点C为中心，将线CM逆时针转120°得到线段CN，连接EN，若AC=4，求线段EN的取值范围．【变式16-3】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF．【模型建立】（1）求证：AF⊥BE；【模型应用】（2）若AB=2，AD=3，DF=12BF【模型迁移】（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=12BF考点四考点四相似三角形的常见模型模型：A字模型①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；③模型拓展2：如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．模型：8字模型①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．模型：一线三等角型(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形模型：三角形内接矩形型由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【题型17A字模型与8字模型】【例17】如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC上的三等分点，若EF∥AB，则S△EFCA．54 B．49 C．45【变式17-1】如图，BD，CE分别是AC与AB边上的高．求证：△ADE∽△ABC．【变式17-2】在△ABC中，AB=mm>0，D为AB上一点，过D作DE∥BC交AC于点E，连接CD．设S△DCE=【变式17-3】马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E为边AD上的一个动点，连接AC，BE并交于点F；（1）若AFFC=14，则AE=_____；若如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P为对角线AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P作MN⊥AC，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交AC于点E；（2）判断点P在移动过程中，线段MN的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段MN长度的变化范围，若不变化，求出线段MN长度的大小；（3）若AMMD=1如图3，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点Q为矩形内部一动点，连接BQ且满足BQ=AB，点F在线段BQ上且BF=4，连接CF．（4）请直接写出DQ+3【题型18一线三等角模型】【例18】如图，边长为10的等边△ABC中，点D在边AC上，且AD=3，将含30°角的直角三角板（∠F=30°）绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q，连接PQ

A．6 B．39 C．10 D．63【变式18-1】如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB=43，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APA．23或67 B．83或247 C．83或30【变式18-2】如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，BD=3，将△ADE沿直线DE翻折得到△FDE，当点F落在边BC上，且BF=4CF时，DE⋅AF的值为．【变式18-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC=mn，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝5，BC＝25，DF＝42，请直接写出CE的长．【题型19旋转相似模型】【例19】如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB=∠GAD；②ΔAFC∽ΔAGD；③2AE2=AH⋅ACA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式19-1】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQAQA．2 B．3 C．22 D．【变式19-2】【问题发现】（1）如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是，位置关系是【探究证明】（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与【拓展延伸】（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2CD=4，将△ACD绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°<α<360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE【变式19-3】在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中AB=AC，DE=AE，点A为公共顶点，∠BAC=∠AED=90°．如图②，若ΔABC固定不动，把ΔADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N，点M不与点B重合，点N不与点(1)求证：ΔBAN∼(2)已知等腰直角三角形的斜边长为4．①请求出BN·CM的值；②若BM=CN，请求出MN的长．【题型20三角形内接矩形模型】【例20】如图，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高AM=hcm，要剪出一个正方形铁片DEFG，使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长=【变式20-1】如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=4，AD=3，EF=12EH，那么EH【变式20-2】在Rt△ABC中∠C=90°，AC=4，BC=3．如图①，四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，则正方形DEFG的边长为；如图②，若Rt△ABC内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，则正方形的边长为．【变式20-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在边BC上时，求t的值．（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．考点五考点五相似三角形的应用1.利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．2.利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．【题型21测量问题】【例21】为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4

A．10m B．12m C．12.4m 【变式21-1】（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．

【变式21-2】（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：方案一：如图（1），测得C地与树AB相距10米，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32°：方案二：如图（2），测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A．已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB的高度．（结果保留整数，tan32°≈0.64【变式21-3】（2024·湖北·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：活动项目测量校园中树AB的高度活动方案“测角仪”方案“平面镜”方案方案示意图实施过程1．选取与树底B位于同一水平地面的D处；2．测量D，B两点间的距离；3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF；4．测量C到地面的高度CD．1．选取与树底B位于同一水平地面的E处；2．测量E，B两点间的距离；3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；4．测量E，D两点间的距离；5．测量C到地面的高度CD．测量数据1．DB=10m2．∠ACF=32.5°；3．CD=1.6m1．EB=10m2．ED=2m3．CD=1.6m备注1．图上所有点均在同一平面内；2．AB，3．参考数据：tan32.5°≈01．图上所有点均在同一平面内；2．AB，3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED=∠AEB．请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．【题型22杠杆问题】【例22】（2022·山东临沂·二模）如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，若动力F动和阻力F阻的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力F阻不变时，则杠杆向下运动时FA．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定【变式22-1】如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式22-2】（2024·河南南阳·一模）在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物体，如图，有一圆形石块，要使其滚动，杠杆的端点C必须向上翘起5cm，若杠杆AC的长度为120cm，其中BC段的长度为20cm，则要使该石块滚动，杠杆的另一端点A必须向下压cm．

【变式22-3】（2022·浙江金华·一模）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3米，CD＝3.6米．（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则AG＝米．（2）投石车投石瞬间，AP的延长线交线段DC于点E，若DE:CE=5:1，则点G的上升高度为米．【题型23实验问题】【例23】（2024·吉林四平·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有一道几何问题，其译文为：今有小城，东西7里，南北9里，各方中央开有城门．出东门15里有树．问出南门多少里见到树？如图，设AH为x里，则下面所列方程正确的是（

）

A．x15=3.54.5 B．x4.5=【变式23-1】（2025·广东深圳·一模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若OB=30cm，OB′=20cmA．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B．△ABO∽△C．蜡烛火焰AB长9D．线段AB的中点与线段A′B【变式23-2】（2024·山东临沂·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D．若物体AB的高为6cm，实像CD的高度为4cm，则小孔O的高度OE为【变式23-3】（2024·河南信阳·二模）某校数学小组拟测量学校新建实验楼的高度AB，测量方案如下：如图所示，首先，测量者在C处放置一平面镜，从点C沿BC后退，当退行1.2米到E处时，恰好在镜子中看到实验楼顶A的像，此时测量者眼睛到地面的距离DE为1.5米；然后，沿BC的延长线继续后退到点G，用高度为1.5米的测角仪测得实验楼的顶端A的仰角为37°，已知EG=14米，点B，C，E，G在同一水平直线上，且AB，DE，FG均垂直于BG，求实验楼的高度AB．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，【题型24九章算术问题】【例24】刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一．《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝1000步，点D、B、H成一线，从B处退行123步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A，点A、C、F也成一线，从DE退行127步到点G处，从G观察A点，A，E，G三点也成一线，试计算山峰的高度AH及BH的长（这里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，结果用步来表示）．【变式24-1】我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为步．【变式24-2】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．【变式24-3】据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”大意如下：如图，今有山AB位于树CD的西面.山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离树3里的F处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，问山AB的高约为多少丈？(1丈=10尺，结果精确到个位)【新考向：新考法】1．如图，D、E两点分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足条件（写出一个即可）时，△ADE∽△ACB．2．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为．【新考向：新趋势】1．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90∘，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含2．（2021·河南·中考真题）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：∠PAO=2∠PBO；（2）若⊙O的半径为5，AP=203，求3．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图①160°244图②145°222图③130°__________________请补全表格中数据，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB⋅AC之间的数量关系：______．【变式思考】（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB⋅AC之间的数量关系，并证明．【拓展运用】（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在边AC上，BD=BC=AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析1BM【新考向：新情境】1．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得POQO=12，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，A(2,4),B(2,2),P−1,−32是线段AB外一点，Q2,3在PO的延长线上，且POQO(1)如图1，已知图形W1：线段AB，A2,4，B2,2，在P(2)如图2，已知图形W2：线段BC，B2,2，C5,2，若直线MN:y=−x+b上存在点P是图形W(3)如图3，已知图形W3：以Tt,1为圆心，半径为1的⊙T，若以D−1,−2，E−1,1，F2,1为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P2．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．(1)如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF=5，CE=2，则AE=________；AB=(2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；(3)①如图3所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；②若△ABC关于直线AC对称得到△AB′C，连接CB′，作射线CB′3．（2024·河南·中考真题）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD，AC是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC=m，DC=n，∠BCD=2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）．(3)拓展应用如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN【新考向：跨学科】1．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′．设AB=36cm，A′B′=24cm．小孔O到AB的距离为2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（

）A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=2．（2024·湖南·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．3．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为（

）A．2 B．3 C．52 D．4．（2024·山东威海·中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（

）A．若CECF=B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，则EFC．若EF∥BD，CE=CFD．若AB=AD，AE=AF，则EF5．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．根据以上的操作，若AB=8，AD=12，则线段BM的长是（

）

A．3 B．5 C．2 D．16．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，AB=3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP=2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ=x，PQ=y．当x=y时，CD=；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为．7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是．

8．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=9．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN=2，AB=4，当点H为GN三等分点时，MD的长为．

10．（2022·山东东营·中考真题）如图，在△ABC中，点F、G在BC