2025年大学《数理基础科学》专业题库-随机过程在人口学中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——随机过程在人口学中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述马尔可夫链的定义及其三个基本假设。举例说明马尔可夫链在描述人口状态转移（如受教育程度、婚姻状况）时的适用性。二、设一个简化的城市人口迁移模型，包含三个区域：城市A、城市B和郊区C。人口在区域间的迁移服从以下规则（每年）：*从A迁往B的概率为0.1，迁往C的概率为0.2，留在A的概率为0.7。*从B迁往A的概率为0.2，迁往C的概率为0.1，留在B的概率为0.7。*从C迁往A的概率为0.1，迁往B的概率为0.1，留在C的概率为0.8。假设初始时刻人口分布为$\pi_0=(0.5,0.3,0.2)$，求：1.一年后各区域的人口分布$\pi_1$。2.该模型是否存在平稳分布？若存在，请说明其经济意义。三、描述生灭过程的定义及其基本方程。解释参数$\lambda_n$和$\mu_n$的含义。一个昆虫种群的增长可以近似看作生灭过程，其中每天新出生的数量（新增个体数）与当前种群数量成正比，比例系数为$\lambda=0.2$；每天死亡的数量（死亡个体数）也与当前种群数量成正比，比例系数为$\mu=0.1$。假设初始时刻种群数量为0只。求：1.该生灭过程的详细状态转移率矩阵$Q$。2.种群数量达到10只的概率。四、考虑一个有两个状态（健康S，感染I）的离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵为：$$P=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix}$$假设初始时刻个体是健康的，即状态概率为$(1,0)$。1.求第3步时个体处于健康状态的概率。2.求该马尔可夫链的平稳分布，并解释其含义。3.从健康状态出发，计算首次进入感染状态的平均时间（期望步数）。五、论述随机过程在处理人口学中不确定性（如生育率波动、死亡率随机性、迁移决策随机性）方面的优势。以随机性影响生育率为例，说明如何可能改进确定性人口模型（如Logistic增长模型）。六、假设某地区人口数量变化可以用一个连续时间的线性生灭过程描述，初始人口为$N_0$，出生率（速率）$\lambda=0.3$，死亡率（速率）$\mu=0.2$。求：1.系统的稳态人口数（若存在）。2.当时间$t$趋于无穷时，人口数量$N(t)$以多大概率收敛于稳态人口数？请解释原因。七、一个种群内部存在两种类型的个体，类型A与类型B可以相互转换。转换过程可以建模为一个连续时间的齐次马尔可夫过程，状态空间为{0,1,2}，分别代表类型A个体数、类型B个体数、转换过渡状态。转移速率矩阵为：$$Q=\begin{pmatrix}0&\lambda_{01}&\lambda_{02}\\\mu_{10}&0&\mu_{12}\\\mu_{20}&\lambda_{21}&0\end{pmatrix}$$其中$\lambda_{01},\lambda_{02},\mu_{10},\mu_{12},\mu_{20},\lambda_{21}$是给定的速率常数。请写出该过程的Kolmogorov向前方程（或向后方程），并说明如何利用这些方程求解状态0和状态2的稳态概率（假设过程是遍历的）。试卷答案一、马尔可夫链是指一个系统的状态在时间推移中演变的过程，其中下一个状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。其三个基本假设是：时间参数通常是离散的（或连续的）；状态空间是离散的；马尔可夫性（无后效性），即$P(X_{n+1}=j|X_n=i,X_{n-1}=i_{n-1},...,X_0=i_0)=P(X_{n+1}=j|X_n=i)$。在人口学中，马尔可夫链可用于模拟个体在不同生命阶段或社会状态之间的转移，如从未婚到已婚的状态转移，或从低学历到高学历的教育过程转移。只要状态转移只依赖于当前状态，且未来转移概率不依赖于转移历史，即可考虑使用马尔可夫链建模。二、1.转移概率矩阵为$P=\begin{pmatrix}0.7&0.1&0.2\\0.2&0.7&0.1\\0.1&0.1&0.8\end{pmatrix}$。初始分布$\pi_0=(0.5,0.3,0.2)$。$\pi_1=\pi_0P=(0.5\times0.7+0.3\times0.2+0.2\times0.1,0.5\times0.1+0.3\times0.7+0.2\times0.1,0.5\times0.2+0.3\times0.1+0.2\times0.8)=(0.43,0.31,0.26)$。2.求平稳分布$\pi=(\pi_1,\pi_2,\pi_3)$满足$\piP=\pi$且$\pi_1+\pi_2+\pi_3=1$。得到方程组：$0.7\pi_1+0.2\pi_2+0.1\pi_3=\pi_1$，$0.1\pi_1+0.7\pi_2+0.1\pi_3=\pi_2$，$0.2\pi_1+0.1\pi_2+0.8\pi_3=\pi_3$，以及$\pi_1+\pi_2+\pi_3=1$。解得$\pi_1=\frac{1}{\lambda}(0.7-0.2-0.1)=\frac{0.4}{1.0}=0.4$，$\pi_2=\frac{1}{\lambda}(0.2-0.7-0.1)=\frac{-0.6}{1.0}=-0.6$，$\pi_3=\frac{1}{\lambda}(0.1-0.1-0.8)=\frac{-0.8}{1.0}=-0.8$。此结果不符合非负性和概率和为1的要求，表明计算有误或矩阵不可行。重新检查方程$\piP=\pi$，应得到：$0.6\pi_1-0.6\pi_2+0.1\pi_3=0$，$0.1\pi_1+0.6\pi_2-0.1\pi_3=0$，$0.2\pi_1+0.1\pi_2+0.2\pi_3=0$。解此齐次线性方程组，结合$\pi_1+\pi_2+\pi_3=1$。设$\pi_3=t$，则$\pi_2=-\frac{1}{3}t$，$\pi_1=\frac{2}{3}t$。代入归一化条件得$(\frac{2}{3}t,-\frac{1}{3}t,t)\cdot(1,1,1)=1\implies\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}t+t=1\implies\frac{4}{3}t=1\impliest=\frac{3}{4}$。平稳分布为$\pi=(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4},-\frac{1}{3}\times\frac{3}{4},\frac{3}{4})=(\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{3}{4})$。发现$\pi_2$为负，表明此马尔可夫链不具有平稳分布，或转移概率矩阵的初始设定有问题（例如，行和不为1）。若假设行和为1是正确的，则模型可能不是遍历的，或者存在吸收态未被考虑。若按行和为1修正矩阵，则$\pi_1=0.4,\pi_2=0.3,\pi_3=0.3$。经济意义：长期来看，区域A、B、C的人口比例将趋于$(0.4,0.3,0.3)$。但此结果与初始题目条件（行和不为1）矛盾，说明题目条件或模型设定需审慎。三、生灭过程是一个状态空间为非负整数的连续时间马尔可夫链，其状态转移只发生在相邻状态之间，转移速率与当前状态值成正比。基本方程（Kolmogorov向前方程）为$\frac{dP_{ij}(t)}{dt}=\lambda_{i-1,j}P_{i-1,j}(t)-(\lambda_i+\mu_i)P_{ij}(t)+\mu_{i+1,j}P_{i+1,j}(t)$，其中$P_{ij}(t)$是系统在时间$t$从状态$i$转移到状态$j$的概率。参数$\lambda_n$是系统处于状态$n$时，向下一个状态（$n+1$）转移的速率（通常指“出生”或“增加”的速率）；$\mu_n$是系统处于状态$n$时，向前一个状态（$n-1$）转移的速率（通常指“死亡”或“减少”的速率）。对于昆虫种群模型，$\lambda=0.2$是每天新增个体的速率系数，$\mu=0.1$是每天死亡个体的速率系数。初始种群数量为0只。1.状态转移速率矩阵$Q$的对角线元素为$-\sum_{j\neqi}q_{ij}=-(\lambda_{i-1,i}+\mu_i)$，非对角线元素为$q_{ij}=\lambda_{i-1,i}$当$j=i+1$，$q_{ij}=\mu_i$当$j=i-1$。$Q=\begin{pmatrix}-(\lambda+\mu)&\lambda&0\\\mu&-(\lambda+\mu)&\lambda\\0&\mu&-(\lambda+\mu)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0.3&0.2&0\\0.1&-0.3&0.2\\0&0.1&-0.3\end{pmatrix}$。2.种群数量达到10只的概率，即求$P(N(t)=10)$。对于线性生灭过程$N'(t)=\lambdaN(t)-\muN(t)$，若$\lambda\neq\mu$，解为$N(t)=N_0e^{(\lambda-\mu)t}$。稳态分布为$\pi_n=\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n\pi_0$，但需注意这里$\lambda\neq\mu$，且初始为0。更准确地说，稳态概率比$\frac{\lambda}{\mu}$不变，即$\pi_n=\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n\pi_0$。若初始$N_0=0$，则$N(t)=0$对所有$t$。但题目问“达到10只的概率”，可能指从某个正初始值出发。若假设初始为0是笔误，假设初始为1只（$N_0=1$），则稳态分布$\pi_n=\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n\pi_0=\left(\frac{0.2}{0.1}\right)^n\cdot1=2^n$。归一化条件$\sum_{n=0}^{\infty}\pi_n=1$，$\sum_{n=0}^{\infty}2^n\pi_0=1$，$\pi_0\sum_{n=0}^{\infty}2^n=1$，$\pi_0\cdot\frac{1}{1-2}=1$，$\pi_0=-1$，不合理。若假设$\lambda=\mu$，则系统无增长或衰减，稳态分布为均匀分布$\pi_n=\frac{1}{N+1}$（若考虑0状态）。若$\lambda\neq\mu$，则系统最终会趋向于0或无穷，不存在稳态概率分布。题目条件可能需修正。若理解为求某时刻$t$系统恰好为10的概率，需要完整的分布函数$P(N(t)=n)$，通常涉及生灭过程的积分形式解，且与初始条件有关。此题表述可能不够严谨。若按最常见的齐次生灭过程模型，且假设初始$N_0>0$，则稳态分布比值为$\frac{\lambda}{\mu}=2$。若初始为1，则$\pi_{10}=2^{10}\pi_0$。若要求$\pi_0$，需归一化，但如上归一化失败。若理解为求从某个状态出发，首次到达10的概率，则需使用首次到达概率公式，但题目未给完整条件。此题条件或表述存在模糊性，标准答案需基于更明确的假设。四、1.$P=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix}$。$P^3=P\timesP\timesP=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.9\times0.9+0.1\times0.2&0.9\times0.1+0.1\times0.8\\0.2\times0.9+0.8\times0.2&0.2\times0.1+0.8\times0.8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.89&0.11\\0.34&0.66\end{pmatrix}$。从健康（状态1）出发，第3步处于健康（状态1）的概率为$P_{11}^3=0.89$。2.求平稳分布$\pi=(\pi_1,\pi_2)$满足$\piP=\pi$且$\pi_1+\pi_2=1$。$\pi_1\times0.9+\pi_2\times0.2=\pi_1$，$\pi_1\times0.1+\pi_2\times0.8=\pi_2$。解得$\pi_1=\frac{0.2}{0.7}\pi_2$。代入$\pi_1+\pi_2=1$，$\frac{0.2}{0.7}\pi_2+\pi_2=1$，$\frac{0.9}{0.7}\pi_2=1$，$\pi_2=\frac{0.7}{0.9}=\frac{7}{9}$。$\pi_1=1-\pi_2=1-\frac{7}{9}=\frac{2}{9}$。平稳分布为$\pi=(\frac{2}{9},\frac{7}{9})$。含义：长期来看，个体处于健康状态的概率为$\frac{2}{9}$，处于感染状态的概率为$\frac{7}{9}$。这是系统的稳定状态比例。3.首次进入感染状态的平均时间（期望步数）$E(T|X_0=1)$，其中$T$是首次到达状态2的时间。$E(T|X_0=1)=1\cdotP(T=1|X_0=1)+2\cdotP(T=2|X_0=1)+3\cdotP(T=3|X_0=1)+...$$P(T=k|X_0=1)=P(X_1\neq2,...,X_{k-1}\neq2,X_k=2|X_0=1)$。$P(X_k=2|X_0=1)=\sum_{i=1}^{k-1}P(X_1\neq2,...,X_{i-1}\neq2,X_i=1,X_{i+1}\neq2,...,X_{k-1}\neq2,X_k=2|X_0=1)$。利用马尔可夫性，$P(X_{i+1}\neq2,...,X_{k-1}\neq2,X_k=2|X_0=1,...,X_i=1)=P(X_{i+1}\neq2,...,X_{k-1}\neq2,X_k=2|X_i=1)$。$P(X_k=2|X_0=1)=P(X_1\neq2|X_0=1)\cdotP(X_2\neq2|X_1=1)\cdot...\cdotP(X_{k-1}\neq2|X_{k-1}=1)\cdotP(X_k=2|X_{k-1}=1)$。$P(X_1\neq2|X_0=1)=1-P(X_1=2|X_0=1)=1-0.1=0.8$。$P(X_k=2|X_{k-1}=1)=P(X_k=2|X_{k-1}=1)=0.8$。$P(X_k=2|X_{k-1}=2)=P(X_k=2|X_{k-1}=2)=0.8$。$P(X_k=2|X_{k-1}=2)=P(X_k=2|X_{k-1}=2)=0.8$。$P(T=k|X_0=1)=(0.8)^{k-1}\cdot0.1$。$E(T|X_0=1)=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot(0.8)^{k-1}\cdot0.1$。$=0.1\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot(0.8)^{k-1}$。令$S=\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}$，对$\sum_{k=1}^{\infty}x^k=\frac{x}{1-x}$($|x|<1$)两边关于$x$求导得$\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$。$E(T|X_0=1)=0.1\cdot\frac{1}{(1-0.8)^2}=0.1\cdot\frac{1}{0.04}=0.1\cdot25=2.5$。平均需要2.5步才能首次到达感染状态。五、随机过程能够捕捉人口学中个体行为和系统状态的不确定性，从而改进确定性模型。确定性模型（如Logistic增长模型）假设参数是固定的，系统状态按固定规律演变，无法反映现实世界中随机因素的影响。例如，生育率、死亡率、迁移率可能受到经济波动、政策变化、疾病爆发、自然灾害等随机事件的影响而波动。随机性影响生育率时，可以用随机过程（如随机参数的马尔可夫链或随机微分方程）来描述。例如，定义一个随机过程$F(t)$代表时间$t$的生育率，其动态可以包含一个确定性部分（如趋势）和一个随机部分（如随机冲击）。或者，用马尔可夫链描述个体生育决策的不确定性，不同状态代表不同的生育意愿或行为。这样建立的随机模型能够：1.模拟波动：模拟生育率、死亡率的随机波动及其对人口增长和结构的影响。2.计算概率：计算未来人口达到某个规模或构成某种结构（如老龄化）的概率，而不是确定性的一个数值。3.风险评估：评估极端事件（如大流行病）对人口系统的潜在冲击。4.政策分析：分析具有随机性的政策干预（如随机实施的生育激励）的效果。因此，随机过程模型通过引入不确定性，能更真实地反映人口系统的动态变化，为人口预测和政策制定提供更稳健的依据，是对确定性模型的必要补充和深化。六、1.对于线性生灭过程$N'(t)=(\lambda-\mu)N(t)$，稳态人口数（若存在）为$N_{ss}=\lim_{t\to\infty}N(t)=\frac{0}{\lambda-\mu}=\frac{0}{0.3-0.2}=\frac{0}{0.1}=0$。当$\lambda\neq\mu$时，系统最终会趋向于0或无穷。这里$\lambda=0.3$,$\mu=0.2$，故$\lambda>\mu$，系统将指数增长，最终趋向于无穷。此题参数设置导致模型无有限稳态人口数。2.当时间$t\to\infty$时，对于线性生灭过程$N'(t)=(\lambda-\mu)N(t)$，如果$\lambda>\mu$，即出生率大于死亡率，系统将指数增长，$N(t)\to\infty$。因此，$N(t)$不会收敛于某个有限值（如稳态人口数），除非有外部因素使$\lambda\leq\mu$或引入吸收态。在本题参数下，系统将持续增长。此题条件下，$N(t)$不收敛于有限稳态值。*（注：如果题目意图是考虑一个修正的模型，例如加入环境容量限制的Gompertz模型或Logistic模型，或者假设初始时刻系统处于某个有限状态，则结论可能不同。但基于提供的线性生灭过程和参数，标准分析结果如上。）*七、1.Kolmogorov向前方程描述了连续时间马尔可夫链状态概率随时间的变化。对于状态空间为{0,1,2}的过程，设$p_n(t)$是时间$t$时处于状态$n$的概率。向前方程为：对状态0：$p_0'(t)=-q_{00}p_0(t)+q_{10}p_1(t)+q_{20}p_2(t)$。即$p_0'(t)=-\mu_{10}p_0(t)+\mu_{20}p_2(t)$。对状态1：$p_1'(t)=-q_{11}p_1(t)+q_{01}p_0(t)+q_{21}p_2(t)$。即$p_1'(t)=-(\lambda_{10}+\mu_{10})p_1(t)+\lambda_{01}p_0(t)+\lambda_{21}p_2(t)$。对状态2：$p_2'(t)=-q_{22}p_2(t)+q_{12}p_1(t)+q_{32}p_3(t)$。即$p_2'(t)=-(\lambda_{21}+\mu_{21})p_2(t)+\lambda_{12}p_1(t)$。2.稳态概率分布$\pi=(\pi_0,\pi_1,\pi_2)$满足平衡方程$p_i'(t)=0$，即：$\mu_{10}\pi_0-\mu_{20}\pi_2=0$。$\lambda_{01}\pi_0+\lambda_{21}\pi_2-(\lambda_{10}+\mu_{10}+\lambda_{12}+\mu_{21})\pi_1=0$。$(\lambda_{21}+\mu_{21})\pi_2-\lambda_{12}\pi_1=0$。以及归一化条件$\pi_0+\pi_1+\pi_2=1$。从第一个方程得$\pi_0=\frac{\mu_{20}}{\mu_{10}}\pi_2$。从第三个方程得$\pi_2=\frac{\lambda_{12}}{\lambda_{21}+\mu_{21}}\pi_1$。代入归一化条件：$\frac{\mu_{20}}{\mu_{10}}\pi_2+\pi_1+\frac{\lambda_{12}}{\lambda_{21}+\mu_{21}}\pi_1=1$。$\pi_1\left(1+\frac{\lambda_{12}}{\lambda_{21}+\mu_{21}}\right)+\frac{\mu_{20}}{\mu_{10}}\pi_2=1$。解得$\pi_1=\frac{1-\frac{\mu_{20}}{\mu_{10}}\pi_2}{1+\frac{\lambda_{12}}{\lambda_{21}+\mu_{21}}}$。如果过程是遍历的（即存在平稳分布），则$\pi_2$可用$\pi_1$表示，或$\pi_0,\pi_1,\pi_2$之间存在确定的归一化关系。具体求解需要给定所有参数值。例如，若假设$\lambda_{10}=\lambda_{01}=\lambda$,$\mu_{20}=\mu_{21}=\mu$,$\lambda_{12}=\lambda$，则：$\pi_0=\frac{\mu}{\lambda}\pi_2$。$\pi_2=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\pi_1$。代入归一化条件：$\frac{\mu}{\lambda}\pi_2+\pi_1+\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\pi_1=1$。$\pi_1\left(1+\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)+\frac{\mu}{\lambda}\pi_2=1$。$\pi_1\left(\frac{\lambda+\mu+\lambda}{\lambda+\mu}\right)+\frac{\mu}{\lambda}\pi_2=1$。$\pi_1\left(\frac{2\lambda+\mu}{\lambda+\mu}\right)+\frac{\mu}{\lambda}\pi_2=1$。代入$\pi_2=\frac{\lambda}{\lambda+