以椭圆定义的实验教学为例培养实验意识

以椭圆定义的实验教学为例培养实验意识摘要：结合数学史，补充完善教材中椭圆定义来源。利用信息技术手段研究数学问题，引导学生学习使用Geogebra软件来学习旦德林双球模型，通过圆的拉伸和压缩绘制椭圆。利用定义探究教材习题改编的折纸实验。在整个学习中，让学生参与数学实验的过程，体验数学实验对理解数学概念的帮助，培养学生的动手能力和探索问题的态度。关键词：椭圆定义，数学史，数学实验，旦德林双球，Geogebra软件引言：课后对学生椭圆定义的学习反馈中，发现学生对椭圆定义的认识有一些模糊的地方，经过统计，学生对平面截圆锥的截线为何是椭圆仅停留在形上，不清楚截线上的点满足的几何特征。也好奇课本上椭圆画法的由来。所以在讲完椭圆之后选择利用一课时探究椭圆定义的由来，完善椭圆定义的认识过程。本文以椭圆定义发生和发展的数学史为线索，通过信息技术手段，让学生动手实验，参与椭圆定义的发生过程。在此过程中培养学生的数学实验意识。用平面去截圆锥面，截线即是圆锥曲线。北师大版选择性必修一第2章“椭圆及其标准方程”一节中通过生活中椭圆形状物体和卫星轨道引入椭圆，利用两钉一线画出椭圆，再给出椭圆的定义。教学实践及课后调查发现，学生对此是非常疑惑的。疑惑的是：平面截圆锥的截线是如何确定为椭圆的，截线上的点有什么特征?椭圆的画法是怎么产生的?圆有一个圆心，而椭圆为什么有两个焦点?这两个焦点是怎么发现的?为什么是距离之和，而不是距离相等呢?为什么是距离，而不是角度或其他呢?显然，这些疑惑来源于教学中对椭圆知识发生过程的忽略。为了搞清楚这些问题，弄清楚椭圆定义的来龙去脉，笔者设计了一节数学实验课，向学生们展示椭圆定义的发生和发展史。椭圆定义的发生和发展历经了2000多年。中间有几个关键节点。首先古希腊人在圆柱或圆锥被平面截得的截口上发现椭圆。到公元前3世纪，梅内克缪斯用垂直于锥面母线的平面截三种圆锥(直角，锐角和钝角的圆锥),截线分别是抛物线，椭圆和双曲线的一支。这也是圆锥曲线的由来。此时椭圆仅只是确定了形“椭圆的焦半径之和等于常数”这一性质。随之在公元6世纪，拜占庭数学家安提师画法”。直到19世纪，旦德林在圆锥里上下塞进两个相离的内切球，非常巧妙地在圆锥上推导出椭圆的焦半径性质，从而统一了截线定义与轨迹定义。使椭圆的形状与椭圆上点的几何特征有机结合了起来。笔者根据历史上对椭圆认识的发生和发展过程，利用实验教学法设计了椭圆定义的教学。根据教学经验，按照学生理解的难易程度，依次为：生活情境，自然科学，平面截圆柱(圆锥),旦德林双球圆柱和圆锥模型，细绳实验，折纸，圆的压缩。实验的地点是微机室。实验工具包括电脑，一个圆规，一条线，两张白纸，一支笔。下面是实验的主要过程。3.1.直观感受椭圆的形状活动一：用Geogebra软件模拟平行光照射篮球的过程。引导学生观察篮球在水平面上影子轮廓的形状，留意球与地面的切点到影子轮廓的距离发生了怎样的变动，有什么规律。我们建立一个几何模型来研究它。这一束平行光可以看成是一个与球相切的圆柱面。影子的椭圆形轮廓可以看成圆柱面与平面的交线。设球与平面的切点为F,在椭圆上任取一点P,连接PF,过P点的光线与圆相切于点Q。如图1。接着我们把圆柱竖起来。如图2。3.2.利用软件演示旦德林双球，探讨椭圆上点的几何性质活动二：利用Geogebra软件构造旦德林双球圆柱模型。随着P点的移动，观察哪些点、线、面的位置与长度在变换，哪些没有变。学生会发现线段PF的长度在变化，而且很有规律，先变长再变短。线段PF始终在平面上，光线PQ始终在圆柱面上；线段PQ始终与球相切，线段PF也始终与球相切，|PF|=|PQ|。那么PQ长度的变化有什么规律呢?这个圆柱被平面面所截的下半部分和上半部分非常的对称。旦德林和同学们想的一样，在圆柱的下半部分又塞了一个球，球与平面相切于点E。如图3.数学中的对称美也是我们解题的灵感来源。过P点的光线PQ与下面的圆相切于点R,|PE|=|PR|。而两个球之间的距离是一个定值。所从而得到了椭圆的定义。平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹就是椭圆。E、F两点是椭圆与上下两个球的切点，这两个切点也就是椭圆的的两个焦点。从而解释了椭圆为何有两个焦点，以及两个焦点是怎么发现的。学生很快得到如下结论：①E、F是平面与圆锥内两个球的切点。Q、R是圆锥母3.3.纸上操作：运用椭圆定义绘制椭圆活动四：(1)用圆规固定绳子两端，笔尖勾紧绳子，移动笔尖画出椭圆。绳子的长度等于两个定点间的距离时，轨迹为线段；长度小于两定点间距离时，轨迹不存在。(2)教材56页，习题B组第4题”纸折实验”.在纸上用圆规作圆0,剪下来。在圆内任取一点E(不取圆心0)。折起纸片，使得圆周过点E,展开后画出折痕。如图5.不断重复刚才的操作，画出数条折痕后，这些折痕中间围成的图形就是椭圆。如图6那么问题来了，你能解释一下为什么吗?学生讨论后给出了证明：明证明折纸试验，让学生体会到动手操作的快乐。3.4.用Geogebra软件演示椭圆的其他生成方式(1)教材54页例7:点P是圆0:x²+y²=4上的动点，作PHx轴于点H,演示P点移动时M点的轨迹如图8。M点的轨迹方程为教材58页阅读材料中提到圆的伸缩，对圆上的点P沿着竖直方向向x轴压缩(或拉伸)为点P纵坐标的λ倍(λ>0,且λ≠1)。经过压缩(或拉伸)后得到点M的轨迹方程为学生可以通过改变参数λ,观察轨迹的变化规律。这个例子从形状和方程上圆和椭圆的关系，圆经过压缩或拉伸变成椭圆，椭圆经过压缩或拉伸页(2)播放木匠画椭圆的视频。结合实际生活让学生思考生活中椭圆形的镜子，盘子还有其他物体都是如何作出来的。激起了学生探索的欲望。本节课的内容到此结束了，但是学生的学习兴趣却更加高涨。四、活动设计说明1.椭圆的形状特点是长圆形，比圆形要扁，由圆形拉长而来。卫星的轨道是椭圆形，这是遵循严格自然规律，毋庸置疑。而油罐车罐体的截面形状可能是圆矩形，最好避免这种容易产生分歧的物体。在选择生活情景引入椭圆时尽量选择与圆形有关的物体。比如水杯和沙漏，它们的水平截面都是圆形的，具有轴对称性，倾斜时斜面形状也具有对称性。本节课选用的光线照射篮球的实验，原因有两点：第一，篮球是圆形的，在阳光下的影子轮廓是椭圆形；第二，篮球与地面的切点是椭圆的焦点，更容易启发学生从数量和几何位置上来探究椭圆的焦半径性2.旦德林球是立体几何模型。但是两个球的位置构造巧妙，数量关系众多，尽管学生已经学习了立体几何，却畏惧这个模型，无法从模型上直观的看出椭圆双球是旦德林双球实验的简化版本。为了让学生体会从一个球到两个球的由来，从一个焦点到两个焦点的生成过程。所以教学过程中先分析圆柱上的双球，再呈现圆锥上的双球模型。3.从阿基米德设计的圆规到小弗朗西斯发明的曲线尺，再到拜占庭的“两钉一线”画法。体现了数学家孜孜不倦寻求解决问题方法的高贵品质。在讲解数学史的同时鼓励学生积极探索，培养了学生的探究兴趣。我们学到的知识是在历史的长河里由数代人努力而来。我们尊敬历史，要深刻认识我们学到的知识并非一蹴而就，学习和探索周围的世界是每一个人的责任。4.细绳画椭圆和折纸游戏增强了学生的动手能力。实际生活中如何画出规定尺寸的椭圆呢?比如生活中木匠如何画出的椭圆。用课本上的知识如何解决实际问题。这也是很多同学感兴趣的地方。课后同学的积极性很高，用数学知识研究木匠取点的方法和意义。大部分同学表示对画椭圆很有兴趣，并踊跃寻找画椭圆5.本节课还立足于圆锥曲线的单元整体设计，对椭圆定义的讨论的方式都可以平推到双曲线和抛物线上。利用旦德林双球模型可以推导出双曲