九年级数学-九上

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.也就是说，菱形是特殊的平行四边形.2.菱形的性质：（1）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是对角线交点.（2）菱形的两组对边分别平行且四条边相等；两条对角线互相垂直且平分；两组对角分别相等，邻角互补.认识菱形【例1】（原创题）下列图案中，不是由菱形组成的是（C）先找出每个图案中组成图案的基本图形，再根据定义判断基本图形是不是菱形，从而确定不是由菱形组成的图案.菱形的对称性【例2】如图，在菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.如果菱形ABCD的面积为42cm2，那么阴影部分的面积为22cm2.经过对称中心的每一条直线都能将菱形分为面积相等的两部分.图中阴影部分的面积等于菱形面积的一半，这是特殊四边形对称性的一种广泛运用.菱形的性质【例3】（周口模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为32，∠BAD＝60°，求△OCM的面积.解：∵菱形ABCD的周长为32，∴AB＝BC＝CD＝AD＝8.∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形.∴BD＝AD＝8.∵AC⊥BD，AC，BD互相平分，∴OD＝4，AO＝CO＝43.∵M为边CD的中点，∴S△OCM＝12S△OCD＝12×12×4×43＝本例可根据菱形的四条边相等，由周长求出边长，再利用等边三角形的性质求出其中一条对角线的长，利用勾股定理求出另一条对角线的长.1.（永城模拟）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（B）A.是中心对称图形B.邻边相等C.两条对角线相等D.两条对角线互相平分2.（周口模拟）如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，AC的中点，若菱形ABCD的周长为16，则EF的长为（B）第2题图A.1 B.2 C.3 D.43.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE＝64°.第3题图4.（开封模拟）如图所示的木质活动衣帽架由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节A，E间的距离.已知菱形ABCD的边长为20cm，若A，E间的距离调节到60cm，则这个活动衣帽架所围成的面积为（B）第4题图A.600cm2 B.6003cm2 C.4503cm2 D.9003cm25.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，E为OB的中点，F为AD的中点，连接EF，则EF的长为132第5题图6.（周口模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（－3，3），C（1，－1），菱形ABCD的对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（D）第6题图A.（32，72） B.（2，2C.（4，2） D.（2，4）7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF.已知BF＝8，DF＝4，求CD的长.第7题图CD＝5.1.（河南中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点.若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（C）A.6 B.12 C.24 D.48第1题图2.（甘孜州中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为（1，3），则点C的坐标为（3，3）.第2题图第2课时菱形的判定1.根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.菱形的判定定理：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形.尺规作菱形【例1】已知线段a，以a为边长作菱形ABCD.作法：作线段AB＝a，以点A为圆心，AB的长为半径作圆弧，在圆弧上任取一点D，分别以B，D为圆心，a的长为半径作弧，两弧相交于点C，则四边形ABCD是要求作的菱形.作菱形一般是作四条长度相等的线段，但由于四边形具有不稳定性，以对角线的长所作的菱形是唯一的，而以这种方法作出的菱形不唯一.利用对角线互相垂直判定菱形【例2】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接EC，当∠BAC＝90°时，求证：四边形ADCE为菱形.证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AE∥BD，AB∥DE.∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴CD＝AE，且AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形.∵AB∥DE，∠BAC＝90°，∴∠COD＝∠BAC＝90°，即AC⊥DE.∴平行四边形ADCE是菱形.利用对角线互相垂直证明菱形时，可以先证明四边形是平行四边形，再证明两条对角线垂直.也可以直接证明四边形的两条对角线互相垂直平分.可以利用等腰三角形“三线合一”的性质或垂直平分线的性质来证明.利用四条边相等判定菱形【例3】如图，等腰梯形ABCD的两条对角线AC＝BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形.证明：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，AD的中点，∴EF是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，GH是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线.∴EF＝12AC，FG＝12BD，GH＝12AC，EH＝又∵AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH.∴四边形EFGH是菱形.利用四条边相等判定菱形时，可以求四条边的长度相等，也可利用等量代换证明构成这个菱形的其中三条线段和第四条线段相等，还可利用全等三角形、等腰三角形等知识进行代换.1.（濮阳模拟）如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件后仍不能判定平行四边形ABCD是菱形的为（B）第1题图A.AB＝AD B.AB⊥ADC.∠BAC＝∠DAC D.AC⊥BD2.如图为某班同学在主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带.丝带重叠部分形成的图形是（C）第2题图A.三角形 B.矩形C.菱形 D.正方形3.（鄢陵模拟）下列条件中，能判定平行四边形是菱形的为（A）A.对角线互相垂直 B.对角线相等C.对角线互相平分 D.有一个角是直角4.如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是AD＝AB.（写出一个即可）（答案不唯一）第4题图5.如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，则当AF＝145时，四边形BCEF是菱形第5题图6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，下列条件：①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC.其中能判定四边形ABCD是菱形的有①②④.（填序号）第6题图7.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO并延长MO到点N，使NO＝MO，连接BN与ND.若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状是菱形.第7题图8.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝50cm，∠A＝60°，点D从C点沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从A点沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤12.5），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.第8题图（1）求证：AE＝DF.证明：在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠C＝90°－∠A＝30°.由题意知CD＝4t，AE＝2t，∴DF＝12CD＝2t，∴AE＝DF（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.解：∵DF⊥BC，∴∠CFD＝90°.∵∠B＝90°，∴∠B＝∠CFD，∴DF∥AB.由（1），得DF＝AE＝2t，∴四边形ADFE是平行四边形，当AD＝AE时，平行四边形AEFD是菱形，∴50－4t＝2t，解得t＝253即四边形AEFD能成为菱形，此时t＝253（聊城中考）如图，△ABC中，D是AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.（1）求证：AD＝CF.证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA.∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF.（2）连接AF，CD.如果D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？请证明你的结论.解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形.证明：由（1）知AD＝CF.∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形.∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.∵D是AB的中点，∴CD＝12AB＝AD∴平行四边形ADCF是菱形.第3课时菱形的性质与判定1.菱形的周长公式为边长×4；面积公式为底×高或对角线的积的一半.2.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形.菱形面积相关问题【例1】（南阳模拟）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB.分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C.连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，则OC的长为（C）A.2cm B.3cmC.4cm D.5cm求四边形的面积一般有两种方法：一种方法是将四边形分割成几个特殊的图形来求面积；另一种方法是先判定四边形是特殊四边形再求面积.利用垂直平分线的性质判定菱形【例2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且O为AC，BD的中点，AB＝10，AC＝16，BD＝12.四边形ABCD是什么特殊的四边形？请写出你的结论并进行证明.解：四边形ABCD是菱形.证明：∵O为AC，BD的中点，∴OA＝OC＝12AC＝8，OB＝OD＝12BD＝∴四边形ABCD为平行四边形.∵AO2＋BO2＝100，AB2＝100，∴AO2＋BO2＝AB2.∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形.菱形有三种判定方法，求菱形的面积有两种计算方法，解题时要根据已知条件灵活使用，并能与所学知识紧密结合.1.下面对菱形的描述错误的是（B）A.菱形的四条边都相等B.对角线相等的平行四边形是菱形C.菱形的对角线互相垂直D.邻边相等的平行四边形是菱形2.如图，在▱ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC.E，F分别是边AB，BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（A）第2题图A.35° B.45° C.55° D.70°3.（南阳模拟）如图，△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接AE，DF，要使AE，DF互相垂直平分，还需要添加一个条件，这个条件不可能是（C）第3题图A.AE⊥BC B.AB＝ACC.AE＝BC D.AE平分∠BAC4.如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD是菱形.（填“是”或“不是”）第4题图5.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是线段AD，BC的中点，G，H分别是线段BD，AC的中点，当四边形ABCD的边满足AB＝CD时，四边形EGFH是菱形.第5题图6.如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝4.若对角线BD＝6，则▱ABCD的面积为67.第6题图7.如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以点C，D为圆心，OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE.若OC＝10，OE＝16，则C，D两点之间的距离为（B）第7题图A.10 B.12 C.14 D.838.如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC.其中一定正确的有①②③.（填序号）第8题图9.（焦作模拟）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD.第9题图（1）求证：四边形ABCD是菱形；证明：∵AC平分∠BAE，BD平分∠ABF，∴∠BAC＝∠DAC，∠ABD＝∠CBD.∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠DAC＝∠BAC，∴AB＝BC.∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD，∴AB＝AD.∴AB＝BC＝AD.∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形.（2）若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，O为BD中点.∴∠AOD＝90°，OD＝12BD＝3∵∠ADB＝30°，∴AO＝12AD在Rt△AOD中，（12AD）2＋OD2＝AD2∴AD＝23.10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD.过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF，AF.第10题图（1）求证：四边形DEBF是菱形；证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形.∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.∴△BOE≌△DOF（ASA）.∴BE＝DF.∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形.∵EF⊥BD，∴平行四边形DEBF是菱形.（2）若AD∥EF，AD＋AB＝12，BD＝43，求AF的长.解：过点F作FG⊥AB于点G，如图.∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°.∴在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2.∵AD＋AB＝12，BD＝43，∴AD2＋（43）2＝（12－AD）2.解得AD＝4，AB＝8.∵AD∥EF，DF∥AE，∴四边形ADFE为平行四边形.∴DF＝AE＝BE＝4.∴BE＝DF＝BF＝4.∵AD＝EF＝4，∴EF＝BF.∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2.∴AG＝6.根据勾股定理，得FG＝42－22∴AF＝AG2＋FG2（盐城中考）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE.（1）求证：四边形ADEF为平行四边形.证明：∵D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，且DE＝12AC＝AF即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形.（2）加上条件后，能使得四边形ADEF为菱形.请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（填序号），并加以证明.②证明：∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE.∵四边形ADEF为平行四边形，∴EF∥DA.∴∠DAE＝∠AEF，∴∠FAE＝∠AEF.∴AF＝EF.∴平行四边形ADEF为菱形.③证明：∵EF∥AB且EF＝12AB，DE∥AC且DE＝12AC，AB＝∴EF＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.矩形的性质：（1）矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等.3.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.认识矩形【例1】下列图案中，不是由矩形组成的为（C）先找出每个图案中组成图案的基本图形，再根据定义判断基本图形是不是矩形.直角三角形的性质【例2】（偃师模拟）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC＝8，CD＝5，则DE＝3.定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是三角形的边的一个重要定理，若条件中又给出另一中点，则可结合三角形中位线的相关知识进行解题.矩形的性质【例3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O.（1）求证：△AOM≌△CON；证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠M＝∠N.∴△AOM≌△CON（AAS）.（2）若AB＝3，AD＝6，求AE的长.解：连接CE.∵MN是AC的垂直平分线，∴CE＝AE.设AE＝CE＝x，则DE＝6－x.∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD2＋DE2＝CE2，即32＋（6－x）2＝x2，解得x＝154即AE的长为154利用矩形的内角是直角来解决问题时，可充分与直角三角形的性质、勾股定理等知识相结合；利用矩形的对角线相等来解决问题时，可充分与等边三角形、全等三角形等知识相结合.1.（驻马店模拟）矩形、菱形都具有的性质是（B）A.对角线相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且相等2.在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（C）第2题图A.4 B.6 C.8 D.103.（夏邑模拟）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC＝12，OB＝6.5，则OM的长为（B）第3题图A.1 B.2.5 C.3 D.54.已知一个直角三角形的斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为8.5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE＋EF的值为（C）第5题图A.485 B.C.245 D.6.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA.连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为317.第6题图7.如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB且BN⊥AM，垂足为N.第7题图（1）求证：△ABN≌△MAD；证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD.∵BN⊥AM，∴∠BNA＝∠D＝90°.∵AM＝AB，∴△ABN≌△MAD（AAS）.（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积.45－8.8.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为CD边的中点，P为矩形ABCD边上的动点.点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着A→B→C运动，设点P运动的时间为ts.第8题图（1）当△APE是以EP为腰的等腰三角形时，求t的值.解：（1）当AE＝PE时，点E在AP的垂直平分线上.∵四边形ABCD是矩形，E为CD边的中点，∴CE＝DE＝2，点E在AB的垂直平分线上，∴此时点P与点B重合，∴AP＝AB＝4，∴t＝42＝2当EP＝AP时，点P在BC上，由勾股定理可得AB2＋BP2＝EC2＋CP2，即16＋BP2＝4＋（6－BP）2，解得BP＝2，∴t＝4+22＝3综上所述，当t＝2或3时，△APE是以EP为腰的等腰三角形.（2）当点P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APE的周长最小？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.解：（2）如图，延长EC到点E'，使得E'C＝EC，连接AE'，交BC于点P.由对称可知此时△APE周长最短.∵E'C＝EC＝2＝DE，∴DE'＝6＝AD，∴∠DAE'＝45°.∴∠BAP＝∠BPA＝45°.∴AB＝BP＝4.∴t＝4+42＝4即存在点P使△APE的周长最小，此时t的值为4.（吉林中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝14AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝52第2课时矩形的判定1.根据定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形.利用定义判定矩形【例1】如图，在▱ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，BE＝DG，BF＝DH.（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；证明：（1）在▱ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C.∵BE＝DG，BF＝DH，且∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH（SAS）.∴EF＝HG.同理可证EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形.（2）当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形.证明：（2）∵AB＝BC，BE＝BF，∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝BF＝DH＝DG.∴AE＝AH.∵AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°.∵BE＝BF，AE＝AH，∴∠BEF＝∠BFE＝12（180°－∠B），∠AEH＝∠AHE＝12（180°－∠∴∠AEH＋∠BEF＝90°.即∠FEH＝90°.∴平行四边形EFGH是矩形.在利用定义判定矩形时，先证明四边形是平行四边形，再证明有一个内角是直角，可结合全等三角形、余角的性质等知识点来解决问题.利用对角线相等判定矩形【例2】如图，在▱ABCD中，E，G分别是AB，CD的中点，AH＝CF，AH∥CF.（1）求证：△AEH≌△CGF；证明：（1）延长AH交CD于点P，延长CF交AB于点Q，在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴AQ∥CP.∵AH∥CF，∴四边形APCQ是平行四边形，∴∠HAE＝∠FCG.又∵E，G分别是AB，CD的中点，∴AE＝12AB，CG＝12CD，∴AE＝又∵AH＝CF，∴△AEH≌△CGF（SAS）.（2）连接FH，若FH＝AD，求证：四边形EFGH是矩形.证明：（2）连接EG.∵AH∥CF，∴∠AHF＝∠HFC.由（1）可得∠AHE＝∠CFG，HE＝FG，∴∠AHF－∠AHE＝∠HFC－∠CFG，即∠EHF＝∠GFH，∴HE∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AE＝DG，AB∥CD，∴四边形ADGE是平行四边形，∴AD＝EG.∵FH＝AD，∴EG＝FH，∴平行四边形EFGH是矩形.在证明对角线相等的平行四边形是矩形时，一般都是通过全等三角形的对应边相等来进行代换对角线相等，也可结合等腰三角形和直角三角形的性质来证明.根据三个角是直角判定矩形【例3】如图，直线EF∥GH，MN与EF，GH分别相交于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAN，∠GCM，∠MCH，∠FAN的平分线，求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵EF∥GH，∴∠EAC＋∠ACG＝180°，∠FAC＋∠ACH＝180°.∵AB平分∠EAC，CB平分∠ACG，∴∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠B＝90°.同理可证∠D＝90°，∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形.证明一个角是直角的方法：根据两直线垂直得直角、根据平角的性质或余角的性质证明直角、根据平行线的性质证明直角、根据等量代换得直角.1.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（C）A.测量两条对角线是否相等B.度量两个角是不是90°C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D.测量两组对边是否分别相等2.已知平行四边形ABCD，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD.其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（B）A.① B.② C.③ D.④3.如图，为了检查形状为平行四边形的书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，工人这样判断的主要依据是对角线相等的平行四边形是矩形.第3题图4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA.下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（B）第4题图A.OE＝BE B.AC＝2OEC.AE＝AF D.AC⊥BE5.如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.连接AE，DC，AD，当点E为线段BC的中点时，四边形AECD为矩形.第5题图6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG.第6题图（1）求证：AD∥CF；证明：（1）∵E，G分别是AC，DC中点，∴EG∥AD.∵∠FCA＝∠CEG，∴EG∥CF.∴AD∥CF.（2）求证：四边形ADCF为矩形.证明：（2）∵AD∥CF，∴∠DAC＝∠ECF.∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴DE＝EF.∵AE＝CE，DE＝EF，∴四边形ADCF为平行四边形.∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥CD.∴平行四边形ADCF为矩形.7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG.当AB与AC满足AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形.第7题图（六盘水中考）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD.（1）求证：△ABE≌△CDF.证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D，∴∠BAC＝∠ACD.∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，∴∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC∠DCF＝∠ACF＝12∠ACD∴∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA）.（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程.解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形.证明：由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF.∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形.∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形.第3课时矩形的性质与判定1.矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分.2.要使平行四边形成为矩形，需满足的条件是一个内角为直角或对角线相等；要使一般四边形成为矩形，需满足的条件是三个角为直角或对角线相等且互相平分.计算线段最小值【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C是直角，AC＝2，BC＝4，P为斜边AB上一动点，PE⊥BC，PF⊥CA，求线段EF的最小值.解：连接PC.∵PE⊥BC，PF⊥CA，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°.∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小.根据垂线段最短，当CP⊥AB时，PC最小.在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，由勾股定理得AB＝25.又∵当CP⊥AB时，S△ABC＝12·AC·BC＝12·AB·∴PC＝AC·BCAB＝2×4即线段EF长的最小值为45在矩形中，可以利用对角线相等来转换线段求最小值，这是矩形性质的巧妙运用.求周长或面积【例2】如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE，与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°.（1）求证：四边形ABDF是矩形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB.又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形.∵∠BDF＝90°，∴平行四边形ABDF是矩形.（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝AD2－DF∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝12BD·CD＝12×4×3＝∴S四边形ABCF＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18.在求相关图形的面积时，通常将其分割为几个易求面积的规则图形，进而根据图形的性质求出线段的长计算各部分的面积，从而求出整个图形的面积.矩形性质和判定综合运用【例3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF和OF.（1）求证：四边形AEFD是矩形；证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）.∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形.∵∠DFC＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形.（2）若AD＝5，CE＝3，∠ABF＝60°，求OF的长.解：由（1）知四边形AEFD是矩形，∴EF＝AD＝5.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝5，OB＝OD.∵EC＝3，∴BE＝CF＝2，∴BF＝BC＋CF＝7.在Rt△ABE中，∠ABE＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AB＝2BE＝4，∴DF＝AE＝AB2－BE2＝23，BD＝BF2＋DF2＝61.∵OB＝OD解决此类问题时，可以先通过已知条件使用合适的判定方法判定四边形是矩形，再利用矩形的性质解决问题；也可以利用矩形的性质证明全等三角形或平行四边形，再判定另外的四边形是矩形.解题时应灵活运用.1.（平顶山模拟）下列叙述错误的是（D）A.平行四边形的对角线互相平分B.矩形的对角线相等C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形2.如图，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，若点A到点D的直线距离是20cm，则点B到点C的直线距离为（B）第2题图A.10cm B.20cmC.30cm D.40cm3.如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片.根据图中标示的长度与角度，剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是3.第3题图4.如图所示，工人师傅制作一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行.第4题图先截出两对符合规格的铝合金窗料如图（1）所示，使AB＝CD，EF＝GH.（1）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，它的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（2）将直尺紧靠窗框的一个角如图（3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时如图（4），说明窗框合格，这时窗框是矩形，它的依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形.5.（郑州模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为25.第5题图6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.第6题图（1）求证：四边形OEFG是矩形；证明：∵在菱形ABCD中，OB＝OD，E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG.∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形.又∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形.（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长.OE＝5，BG＝2.（德阳中考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝23cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H.点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动.设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过点F作FG⊥BC于点G，连接EF.（1）求证：四边形EFGH是矩形.证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC，∴EH∥FG.由题意知BF＝2tcm，EH＝tcm.∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴FG＝12BF＝tcm，∴EH＝FG∴四边形EFGH是平行四边形.∵∠FGH＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形.（2）连接FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.解：△BFC与△DCE能够全等.∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝23cm，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝23cm，AB∥CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°.∵DH⊥BC，∴∠CHD＝90°，∴∠CDH＝90°－60°＝30°＝∠CBF，∴在Rt△CDH中，DH＝3.∵BF＝2tcm，EH＝tcm，∴DE＝（3－t）cm，∴当BF＝DE时，△BFC≌△DEC（SAS），∴2t＝3－t，∴t＝1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.2.特殊四边形的关系：正方形3.定理：（1）正方形的四个角都是直角；（2）正方形的四条边相等；（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.特殊四边形之间的关系【例1】下列说法错误的是（A）A.对角线相等的四边形是矩形B.平行四边形的对边相等C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形正方形同时具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质，这就是正方形的特殊性，但反过来，正方形具有的特殊性质其他四边形不一定具有，要注意区别对待.正方形的性质【例2】如图，P是正方形ABCD内一点，△PBC是等边三角形，连接PA，PD.（1）求证：PA＝PD；证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°.在等边三角形PBC中，PB＝BC＝PC，∠PBC＝∠PCB＝60°，∴AB＝PB＝PC＝CD，∠ABP＝∠DCP＝30°，∴△ABP≌△DCP（SAS），∴PA＝PD.（2）求∠PAD和∠PDA的度数.解：由（1）知△ABP是等腰三角形，∠ABP＝30°，∴∠BAP＝∠BPA＝75°.又∵PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA＝15°.正方形的性质较多，解题时要根据条件及目的灵活运用，主要用于计算线段长和角度、证明三角形全等.正方形和三角形的综合运用【例3】如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取一点E，使AB＝BE，连接CE，作DM⊥AG于点M.（1）求证：DM＝AG；证明：∵DM⊥AG，BG⊥AP，∴∠AMD＝∠AGB＝90°.∵∠DAM＋∠GAB＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，∴∠GAB＝∠ADM.又∵AB＝AD，∴△ADM≌△BAG（AAS）.∴DM＝AG.（2）连接DE，若△ADE的面积为81，求AE的长.解：∵AB＝BE，BG⊥AP，∴AG＝GE.由（1）知AG＝DM，∴AG＝GE＝DM，即DM＝12AE∴SADE＝12DM·AE＝12·12AE·AE解得AE＝18，即AE的长为18.将等腰三角形的性质与正方形的性质相结合，可解决很多关于角和边的问题，也能证明三角形全等.本题还结合三角形的面积列出方程求线段的长，再次体现正方形的性质的灵活运用.1.（南阳模拟）下列性质中，是平行四边形、矩形、菱形和正方形共有的为（C）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分内角2.如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（B）第2题图A.2条 B.4条 C.6条 D.8条3.如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB＝2，则OE的长度为（B）第3题图A.62 B.6 C.22 D.24.如图，P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为135°.第4题图5.如图，四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF.第5题图证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°.∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∴∠BCE＋∠CBE＝90°＝∠BCE＋∠DCF，∴∠CBE＝∠DCF.∴△CBE≌△DCF（AAS），∴CF＝BE，CE＝DF.∵CE＝EF＋CF，∴DF＝BE＋EF.6.（郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），点E为对角线的交点，若点F与点E关于y轴对称，则点F的坐标为（D）第6题图A.（－2，3） B.（3，－3） C.（－3，2） D.（－3，3）7.如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使点A的对应点A'满足AA'＝13AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是4第7题图8.如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设DE＝d1，点F，G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为（C）第8题图A.2 B.2C.22 D.4（仙桃中考）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3.其中正确结论有（C）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第2课时正方形的判定1.定理：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形.2.特殊平行四边形的关系：3.中点四边形：顺次连接四边形各边中点所组成的四边形，叫中点四边形；凡对角线相等的四边形的中点四边形都是菱形；凡对角线互相垂直的四边形的中点四边形都是矩形.正方形的判定【例1】（郸城模拟）下列说法中，错误的是（D）A.有一个角为直角的菱形是正方形B.有一组邻边相等的矩形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形掌握正方形的特殊性是解答本题的关键，记住正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质，在判定正方形时，也需要包含平行四边形、菱形、矩形的判定.中点四边形【例2】如图（1），在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且AE＝BF.（1）试探索线段AF，DE的数量关系，写出你的结论并说明理由.解：（1）AF＝DE.理由：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°.又∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS）.∴AF＝DE.（2）连接EF，DF，分别取AE，EF，FD，DA的中点H，I，J，K，则四边形HIJK是什么特殊的四边形？请在图（2）中补全图形并说明理由.解：（2）四边形HIJK是正方形.理由：如图，点H，I，J，K分别是AE，EF，FD，DA的中点，∴HI＝KJ＝12AF，HK＝IJ＝12由（1）知AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形.由（1）知△DAE≌△ABF，∴∠ADE＝∠BAF.∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BAF＋∠AED＝90°，∴∠AOE＝90°，∴∠KHI＝90°，∴菱形HIJK是正方形.判断中点四边形的关键是利用中位线定理，在代换边相等时也可利用三角形全等；在求直角时，通常利用余角的性质.正方形性质及判定综合运用【例3】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝32，E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.（1）求证：矩形DEFG是正方形.证明：过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，则∠MEN＝∠DNE＝∠FME＝90°.∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF.又∵E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE.∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形.（2）探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.解：CE＋CG的值是定值，定值为6.理由：∵在正方形DEFG和正方形ABCD中，DE＝DG，AD＝DC，∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC.∵AB＝BC＝32，∴AC＝AB2＋即CE＋CG的值为定值，定值为6.解决这类问题时，需先判定四边形为正方形，再结合全等三角形、等腰三角形、勾股定理等进行求解.1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形.第1题图证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形.∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形.2.如图，D为Rt△ABC中的一点，∠BAC＝90°，AD⊥BD，AD＝3，BD＝4，AC＝12，E，F，G，H分别是线段AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长为（C）第2题图A.7 B.15 C.16 D.253.如图，▱ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE.第3题图（1）求证：四边形BDCE是正方形；证明：（1）在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD.∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BDCE是平行四边形.∵ED⊥AD，∠A＝45°，∴∠A＝∠DEA＝45°，∴AD＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.又∵AB＝BE，∴DB＝BE.∴四边形BDCE是菱形.∴DE⊥BE，∴∠DBE＝90°，∴菱形BDCE是正方形.（2）P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM，求证：AN＝2PB.证明：（2）由（1）知四边形BDCE是正方形，∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°.∵PM＝PB，∴∠PBM＝∠PMB＝45°，∴∠BPM＝90°.∴∠DPN＝∠BPM＝90°，∴∠DPB＝∠NPM.∴△DBP≌△NMP（ASA）.∴DB＝MN.∴AB＝NM.∴AN＝BM.∵BP＝PM，∠BPM＝90°，∴BM＝2BP.∴AN＝2BP.4.如图，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.第4题图（1）探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由.解：（1）OE＝OF.理由：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝∠BCE.又∵MN∥BC，∴∠NEC＝∠ECB，∴∠NEC＝∠ACE，∴OE＝OC.∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF＝∠FCD.又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD，∴∠OFC＝∠OCF，∴OF＝OC，∴OE＝OF.（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由.解：（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形.理由如下：∵EO＝FO，当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形.∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO＋CO＝EO＋FO，∴AC＝EF，∴四边形AECF是矩形.∵MN∥BC，∠ACB＝90°，∴∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形.∴当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形.（兴安盟中考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H.（1）求证：AD⊥EF.证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴∠AED＝∠AFD＝90°.∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，∴AD为EF的垂直平分线，∴AD⊥EF.（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由.解：△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形.理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形.∵EF⊥AD，∴矩形AEDF是正方形.专题一特殊四边形的折叠、动点问题特殊四边形的折叠1.如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是（D）第1题图A.3 B.4 C.43 D.2.（丽水中考）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF.第2题图（1）求证：△PDE≌△CDF；证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD.由折叠得AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°，∴PD＝CD.∵∠PDF＝∠ADC，∴∠PDE＝∠CDF.在△PDE和△CDF中，∠∴△PDE≌△CDF（ASA）.（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长.解：过点E作EG⊥BC于G点.∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4cm.在Rt△EGF中，由勾股定理得FG＝52－42＝设CF＝xcm.由（1）知PE＝AE＝BG＝xcm.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE.由折叠得∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝BF＝（x＋3）cm.在Rt△CDF中，由勾股定理得DF2＝CD2＋CF2.∴x2＋42＝（x＋3）2，∴x＝76∴BC＝2x＋3＝73＋3＝163（动点问题3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（D）第3题图A.当t＝4s时，四边形ABMP为矩形B.当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形C.当CD＝PM时，t＝4sD.当CD＝PM时，t＝4s或6s4.如图，正方形ABCD中，AB＝3，E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG.H是CD上一点，且DH＝23CD，连接GH，则GH的最小值为22第4题图5.如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.求线段OF长的最小值.第5题图解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM.∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM.∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2.∵正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，∴OC＝5，由勾股定理，得OD＝5，∴OM＝52.∵OF＋MF≥OM，∴OF≥52－2，∴线段OF长的最小值为52－2.第一章复习课菱形的性质与判定1.（自贡中考）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（－2，5），则点C的坐标是（B）第1题图A.（5，－2）B.（2，－5）C.（2，5）D.（－2，－5）2.（大连中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC＝60°，AC＝10，E是AD的中点，则OE的长是5.第2题图3.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，P为线段BD上的一个动点，则MP＋12PB的最小值是73第3题图4.（北京中考）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.第4题图（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；证明：（1）在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形.（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形.证明：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA.∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴平行四边形ABCD为菱形，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形.矩形的性质与判定5.（呼和浩特中考）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N.若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（A）第5题图A.23 B.3 C.25 D.326.（内江中考）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为2＋1.第6题图7.（青海中考）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为6.第7题图8.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB.第8题图（1）如图（1），求证：四边形ABCD为矩形；证明：∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ADC＋∠BCD＝180°.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形.∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12∵OA＝OB，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形.（2）如图（2），P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE＋PF的值.6013正方形的性质及判定9.（青岛中考）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点.若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（B）第9题图A.5 B.172 C.2 D.10.（张家界中考）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝6，下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为3；④S正方形ABCD＝5＋22.其中正确结论的序号为①②④.第10题图11.如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG.第11题图（1）求证：△BDE≌△BAC.证明：∵四边形ABDI，四边形BCFE都是正方形，∴AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠DBA＝90°.∴∠ABC＝∠EBD，∴△BDE≌△BAC（SAS）.（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形.①∠EDA＝α－45°，∠DAG＝225°－α.②证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE.∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°.∵∠EDA＝∠BDE－∠BDA＝∠BDE－45°，∠DAG＝360°－∠GAC－∠BAC－∠BAD＝360°－90°－∠BAC－45°＝225°－∠BAC，∴∠EDA＋∠DAG＝∠BDE－45°＋225°－∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形.（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由.解：当∠BAC＝135°且AC＝2AB时，四边形ADEG是正方形.理由：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD.由（2）①知当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°.∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝2AB.又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝2AB.∴当∠BAC＝135°且AC＝2AB时，四边形ADEG是正方形.12.如图，在一个6×6的正方形网格中，点A与点B在两个格点上，以AB为一边作菱形ABCD，若点C，D都在格点上，则这样的菱形有5个.第12题图13.如图，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，求点P的坐标.第13题图P（1－22，0）.14.（广元中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB的中点，连接CE.第14题图（1）求证：四边形AECD为菱形；证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE.∵AB＝2CD，∴CD＝AE.又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC.∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形.（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积.23.第二章一元二次方程1认识一元二次方程第1课时一元二次方程1.定义：等式两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程；只含有一个未知数，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式的方程，叫作一元二次方程.2.相关概念：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，ax2称为二次项，a为二次项系数；bx称为一次项，b为一次项系数；c称为常数项.3.根据实际问题列方程的步骤：①审题；②设未知数；③列代数式；④确定等量关系；⑤列方程.判断一元二次方程【例1】下列方程中，是一元二次方程的为（A）A.（x＋1）2＝2 B.x3－2x＝1C.x2＋2y＝3 D.1x2＋1x－判断一元二次方程需要抓住三个关键点：（1）方程必须是整式方程；（2）只能含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.化简一元二次方程【例2】一元二次方程（3x－1）2＝mx2＋2mx化为一般形式后，若二次项系数为2，则一次项系数为－20或28.确定一元二次方程三项系数时，要将方程化为一般形式.确定系数时不要漏掉符号.当系数前是负号时，系数为负数.根据实际问题列一元二次方程【例3】如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35m、宽20m的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600m2，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为xm，则根据题意可列方程为（C）A.35×20－35x－20x＋2x2＝600B.35×20－35x－2×20x＝600C.（35－2x）（20－x）＝600D.（35－x）（20－2x）＝600根据实际问题列一元二次方程时，关键是找题中的等量关系，用代数式表示相关的量，列出符合题意的方程.1.（林州模拟）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（A）A.x2＋1＝0B.1x2＋2xC.ax2＋2x＋1＝0D.3x2－2xy－5y2＝02.一元二次方程x2－x2－1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（CA.0和2 B.1和1C.1和－12 D.－1和－3.若关于x的一元二次方程（m－3）x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（D）A.0 B.±3 C.3 D.－34.（桐柏模拟）若关于x的方程（m＋1）x｜m｜＋1－mx＋6＝0是一元二次方程，则m的值是（C）A.－1 B.3C.1 D.1或－15.若（a－3）xb－2－5x－1＝0是关于x的一元二次方程，则a，b的取值为（D）A.a≠0，b＝4 B.a≠0，b＝2C.a≠－3，b＝4 D.a≠3，b＝46.下列方程：①x2－x＝0，②x2＋2x＋1＝（x＋2）2，③（x+1）22＝1，④2x＋1y＝13.7.已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2－2bx＋（a－c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长，当x＝1时，试判断△ABC的形状，并说明理由.解：△ABC是等腰三角形.理由：令x＝1，得（a＋c）－2b＋（a－c）＝0，解得a＝b，∴△ABC是等腰三角形.8.阅读理解：定义：关于x的一元二次方程a1x2＋b1x＋c1＝0与a2x2＋b2x＋c2＝0，若方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1－a2＝0，b1＋b2＝0，c1·c2＝1，则这两个方程互为“对称方程”.如求方程2x2－3x＋1＝0的“对称方程”，可以这样思考：由方程2x2－3x＋1＝0可知a1＝2，b1＝－3，c1＝1，根据a1－a2＝0，b1＋b2＝0，c1·c2＝1，分别求出a2，b2，c2，就能确定这个方程的“对称方程”.请用以上方法解决下面的问题：（1）填空：方程x2－4x＋3＝0的“对称方程”是x2＋4x＋13＝0（2）若关于x的方程5x2－（m－1）x＋n＝0与5x2＋x＝1互为“对称方程”，求（m＋n）2026的值.1.（衢州中考）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：15x（10－x）＝360.（不必化简）第2课时估算一元二次方程的解1.一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.2.逼近法求近似解：先根据所列方程确定未知数的取值范围，取整数进行计算，缩小取值范围后，再取一位小数进行计算……最后确定方程的近似解.方程的解的运用【例1】已知a是方程x2＋x－1＝0的一个根，则代数式2026－2a2－2a的值是（C）A.2022 B.2023C.2024 D.2025利用方程的根解决问题有两种类型：一是已知方程的根是一个数，将这个数代入方程，可求出待定系数的值；二是已知方程的根是一个字母，代入方程后，可求出含有这个字母的代数式的值.用逼近法求方程的解【例2】如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？（1）设未知数：设剪去的正方形的边长为xcm；（2）列方程：2×[（30－2x）＋（20－2x）]x＝200；（3）确定未知数的取值范围：0＜x＜10；（4）填表求解：x12352×[（30－2x）＋（20－2x）]x92168228300x2.12.53.13.52×[（30－2x）＋（20－2x）]x174.72200233.12252方程的解为x＝2.5；（5）作答：当剪去正方形的边长为2.5cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2.本题中的方程应该有两个根，但有一个根是10，因为20－2x＝0，所以这个根不符合题意，这就说明，利用逼近法求方程的根时，首先不能漏解，其次注意未知数的取值范围，最后还需注意根的精确度.1.根据表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c为常数）的一个解x的范围是（B）x5.315.325.335.34ax2＋bx＋c－0.05－0.030.010.06A.5.31＜x＜5.32 B.5.32＜x＜5.33C.5.33＜x＜5.34 D.5.34＜x＜5.352.已知m为方程x2＋3x－2024＝0的根，那么m3＋2m2－2027m＋2024的值为（B）A.－2024 B.0C.2024 D.40483.已知x＝－1是方程mx2＋nx＝0的根，则必有（C）A.m＋n＝0 B.m2＋n＝0C.m－n＝0 D.m2－n＝04.已知x＝－2是关于x的方程bx2＋5ax＋3＝0的根，则代数式17－20a＋8b的值为（A）A.11 B.14 C.20 D.235.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋3＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2025－a－b的值是（D）A.2025 B.2026C.2027 D.20286.观察表格，一元二次方程x2－x－1.1＝0最精确的一个近似解是x＝1.7.（精确到0.1）x1.51.61.71.81.9x2－x－1.1－0.35－0.140.090.340.617.若关于x的方程x2＋ax－2＝0有一个根是1，则a＝1.8.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x－1）2＋bx－b＝－2必有一根为（D）A.2022 B.2023 C.2024 D.20259.已知2＋3是关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个实数根，则实数m的值是（B）A.0 B.1 C.－3 D.－110.根据表格可确定方程x2－8x＋7.5＝0的一个解的范围是1.0＜x＜1.1.x1.01.11.21.3x2－8x＋7.50.5－0.09－0.66－1.2111.已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－60＝0的一个解，且a≠b，求a2－30.12.若a－b＋c＝0，则一元二次方程ax2－bx＋c＝0（a≠0）必有一根是（C）A.0 B.－1C.1 D.无法确定13.若关于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋｜m｜－1＝0的一个根为0，则m的值为－1.14.可以用如下方法估计方程x2＋2x－10＝0的解：当x＝2时，x2＋2x－10＝－2＜0，当x＝－5时，x2＋2x－10＝5＞0，所以方程有一个根在－5和2之间.（1）仿照上面的方法，找出方程x2＋2x－10＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；解：（1）∵当x＝2时，x2＋2x－10＝－2＜0，当x＝3时，x2＋2x－10＝5＞0，∴方程的另一个根在2和3之间.（2）若方程x2＋2x＋c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围.解：（2）∵方程x2＋2x＋c＝0有一个根在0和1之间，∴c>0，解得－3＜c＜0.1.（资阳中考）若a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的一个根，则2a2＋4a的值是6.2.（连云港中考）若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m＋n的值是1.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解一元二次方程1.完全平方式：因为a2±2ab＋b2＝（a±b）2，所以把a2±2ab＋b2叫作完全平方式.2.配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为配方法.3.思路和方法：先将方程化为一元二次方程的一般形式，再将常数项移到方程右边，将左边配成完全平方式，从而将方程化为（x＋m）2＝n的形式，当n≥0时，两边同时开平方，将方程转化为一元一次方程，即可求出方程的根.完全平方式【例1】（1）把方程x2－10x＝3化成含有x的完全平方式是（x－5）2＝28；（2）若多项式a2＋ka＋25是完全平方式，则实数k的值是±10.在等式中进行配方时，若缺少常数项，则在两边同时加上一次项系数一半的平方；若缺少一次项，则一次项的系数为常数项的平方根的2倍，一次项有两个，它们互为相反数.用配方法解一元二次方程【例2】解方程：（1）x2＋6x＋9＝0；解：（1）原方程可转化为（x＋3）2＝0，∴x＋3＝0，解得x＝－3，即原方程的解为x1＝x2＝－3.（2）x2－x－1＝0.解：（2）原方程可转化为x2－x＝1.配方，得x2－x＋（12）2＝1＋（12）整理，得（x－12）2＝5两边同时开平方，得x－12＝±5∴x1＝12＋52＝1+52，x2＝12即原方程的根为x1＝1+52，x2＝利用配方法解一元二次方程的关键是配方，当二次项系数为1时，把常数项移到方程右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方即可将方程左边配成完全平方式.求增长率问题【例3】随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客为1.6万人，4月份游客为2.5万人.（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x.根据题意，得1.6（1＋x）2＝2.5，解得x1＝0.25，x2＝－2.25（舍去）.答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25％.（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客最多是多少万人？解：（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，依题意，得2.125＋y≤2.5（1＋25％），解得y≤1.答：最多是1万人.解决增长率（或降低率）问题时，所列出的方程含有完全平方式，用配方法（直接开平方法）是最简单的方法.1.关于x的方程（x＋a）2＝b能直接开平方求解的条件是（D）A.a≥0，b≥0 B.a≥0，b≤0C.a为任意数或b＜0 D.a为任意数且b≥02.（项城模拟）用配方法解方程x2＋6x＋8＝0，配方后得到的方程是（A）A.（x＋3）2＝1 B.（x＋3）2＝8 C.（x－3）2＝1 D.（x－3）2＝93.（林州模拟）“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（A）A.100（1＋x）2＝121B.100（1＋x％）