九年级数学-第5课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

第二章二次函数2二次函数的图象与性质第5课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

1.

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是

抛物，性质如下：抛物线

a＞0a＜0开口方向

向上

向下

对称轴向上向下

a＞0a＜0顶点坐标增减性

增大减小减小增大a＞0a＜0最大（小）值y最小值＝

​

.y最大值＝

.

右

左

上

下

二次函数的图象及其性质【例1】（长葛模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c

（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①c＜0；②2a

＋b＝0；③a＋b＋c＜0；④b2－4ac＜0.其中正确的有（

C）CA.1个B.2个C.3个D.4个

根据二次函数图象判断常数a，b，c的取值范围是

解答这类问题的关键，解题过程中，涉及二次函数图象

的诸多性质，特别是顶点坐标、对称轴、特殊值等，需

要灵活掌握运用.

综合运用【例2】如图，已知二次函数y＝x2－2x－1的图象与y轴

相交于点A，其对称轴与图象相交于点B，与x轴相交于

点C.

（1）求AB的长；

（2）平移该二次函数的图象得到一个新的图象，设新图

象的顶点为P，若新图象经过原点O，且∠POA＝

∠ABC，求新图象对应的函数表达式.解：（2）由（1）知点A的坐标为（0，－1），将二次函数的图象向上平移1个单位长度经过原点时，四

边形ABPO是平行四边形，∴∠POA＝∠ABC，此时满足条件，∴新二次函数的图象对应的函数表达式为y＝x2－2x.∵抛物线y＝x2－2x关于y轴对称的抛物线表达式为y＝x2

＋2x，图象经过原点，且∠POA＝∠ABC，满足条件，∴新二次函数的图象对应的函数表达式为y＝x2－2x或y

＝x2＋2x.

本例综合运用了勾股定理求线段长，平移和对称求

二次函数图象的表达式，但解题的关键仍在于利用二次

函数的图象性质，同时体现数形结合的思想，在今后的

学习中需多进行拓展练习.

1.

已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增

大而增大时，x的取值范围是（B）A.

x＜1B.

x＞1C.

x＜2D.

x＞2B2.

已知二次函数y＝ax2＋bx－c（a≠0），其中b＞0，

c＞0，则该函数的图象可能为（C）C3.

如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为直

线x＝－1，且过点（0，1）.有以下四个结论：①abc＞

0，②a－b＋c＞1，③3a＋c＜0，④若顶点坐标为（－

1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为－2，此时m的取值范围是－3≤m≤－1.其中正确结论有（

A）A.4个B.3个C.2个D.1个第3题图A4.

已知实数a，b满足b－a＝1，则代数式a2＋2b－6a＋

7的最小值等于（A）A.5B.4C.3D.2A

C第5题图A.B.C.D.6.

要将二次函数y＝x2的图象平移后得到二次函数y＝x2

＋4x＋5的图象，下列平移方法正确的是（A）A.

向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度B.

向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度C.

向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度D.

向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度A7.

二次函数y＝－x2－2x＋3的图象的顶点坐标为

（－1，4）

.（－1，4）

8.

当－1≤x≤3时，二次函数y＝x2－4x＋5有最大值m，

则m＝

10

.109.

二次函数y＝2x2－4x－1的图象关于坐标原点对称的新

图象的表达式为

y＝－2（x＋1）2＋3

.y＝－2（x＋1）2＋310.

若实数x，y满足x＋y2＝3，设s＝x2＋8y2，则s的取

值范围是

s≥9

.s≥9

11.

（河南模拟）以x为自变量的二次函数y＝x2－2（b

－2）x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值

范围是（A）B.

b≥1或b≤－1C.

b≥2D.1≤b≤2A12.

已知二次函数y＝ax2－2x＋1（a≠0）图象的对称轴

为直线x＝1.（1）求a的值；

（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此图象上，

且－1＜x1＜0，1＜x2＜2，比较y1与y2的大小，并说明

理由；解：（2）由（1）可知二次函数的表达式为y＝x2－2x＋

1＝（x－1）2.∵a＝1＞0，∴当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增

大而减小.∵－1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴1＜1－x1＜2，0＜x2－1＜1，结合函数图象可知当图象开口向上时，距离对称轴越远，

值越大，∴y1＞y2.（3）设直线y＝m（m＞0）与二次函数y＝ax2－2x＋1

的图象交于点A，B，与二次函数y＝3（x－1）2的图象

交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比.

13.

（河南模拟）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c

（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x

＝2，下列结论：①abc＞0；②4a＋b＝0；③若点A的坐

标为（－1，0），则线段AB＝5；④若点M（x1，y1），N（x2，y2）在该函数图象上，且满足0＜x1＜1，2＜x2＜3，则y1＜y2.其中正确结论的序号为（D）A.

①②B.

②③C.

③④D.

②④第13题图D14.

二次函数y＝－x2＋2mx－m2＋2的图象与y轴交于点

C，过点C作直线l垂直于y轴，将二次函数的图象在y轴

右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形

G，点M（m－1，y1），N（m＋1，y2）为图形G上两

点，若y1＜y2，则m的取值范围是（D）A.

m＜－1或m＞0D.

－1＜m＜1D

第15题图（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面

积；第15题图解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠A＝60°.∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°，∴△AMQ为等边三角形.

（2）x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大

值？最大值是多少