2021北京重点校高一（上）期中数学试卷试题汇编：函数的基本性质章节综合3

1/12021北京重点校高一（上）期中数学汇编函数的基本性质章节综合3一、单选题1．（2021·北京·清华附中高一期中）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A． B．C． D．2．（2021·北京·人大附中高一期中）若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（）A．或 B．或C．或 D．3．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）如图为函数和的图像，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4．（2021·北京·人大附中高一期中）函数，则下列结论中错误的是（）A．的图象关于点对称B．在其定义域上单调递增C．的值域为D．函数有且只有一个零点5．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则（）A． B． C． D．7．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则的取值范围是（）A． B．C． D．8．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）下列函数中在上单调递增的是（）A． B． C． D．9．（2021·北京八十中高一期中）向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（）A． B． C． D．10．（2021·北京·101中学高一期中）下列函数中，在区间上为增函数的是（）A． B．C． D．11．（2021·北京八十中高一期中）奇函数f（x）在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为－1，则f（6）＋f（－3）的值为（）A．10 B．－10 C．9 D．1512．（2021·北京八十中高一期中）函数是（）A．在定义内是增函数 B．奇函数C．偶函数 D．非奇非偶函数13．（2021·北京八十中高一期中）已知函数f（x）在区间（0，2）上是减函数，又函数y＝f（x＋2）是偶函数，那么f（x）（）A．在区间（2，4）内是减函数B．在区间（2，4）内是增函数C．在区间（－2，0）内是减函数D．在区间（－2，0）内是增函数14．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数15．（2021·北京·101中学高一期中）设是奇函数，且在上是减函数，，则的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或16．（2021·北京八十中高一期中）下列函数中是偶函数的是（）A． B．C． D．二、填空题17．（2021·北京市十一学校高一期中）已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：①函数是周期函数；②函数的图象关于点，对称；③函数是偶函数；④函数在上是单调函数.在上述四个命题中，正确命题的序号是___________（写出所有正确命题的序号）18．（2021·北京·人大附中高一期中）已知，若命题“，都有成立”为假命题，则的取值范围是______.19．（2021·北京·人大附中高一期中）设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.20．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论：①在上单调递减；②存在，使得；③不等式的解集为；④关于的方程的解集中所有元素之和为.其中所有正确结论的序号是___________.21．（2021·北京·101中学高一期中）用表示两个实数中的最大值.设，则函数的最小值是________22．（2021·北京八十中高一期中）己知，若对，使得，则实数m的取值范围是________．23．（2021·北京·人大附中高一期中）函数的值域是__________24．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知函数在上单调递增，若，则满足的实数的取值范围是______三、解答题25．（2021·北京·人大附中高一期中）已知二次函数.（1）若是偶函数，求m的值；（2）函数在区间上的最小值记为，求的最大值；（3）若函数在上是单调增函数，求实数m的取值范围.26．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；（3）在（2）成立的条件下，解不等式.27．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）函数为定义在上的奇函数，已知当时，.（1）当时，求的解析式；（2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）若，求的取值范围.28．（2021·北京·101中学高一期中）已知二次函数满足：①；②当时，函数取得最小值2.（1）求的解析式；（2）记.①若是定义域上的单调函数，求在的取值范围；②记的最小值为，求方程的解集.29．（2021·北京·101中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）若实数满足不等式，求的取值范围30．（2021·北京八十中高一期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且．（1）求函数的解析式，以及零点．（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明．（3）判断函数在区间上的单调性．（只需写出结论）（4）在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域R上的示意图．

参考答案1．D【分析】题目考察奇偶性和单调性的结合，观察四个选项可以发现，只要比较的大小即可，其中不在区间内，要用偶函数的性质转化为，然后根据单调性比较大小【详解】因为函数是偶函数，所以，因为在上是增函数，且，所以，即故选：D2．D【分析】分析出偶函数在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】、都有，不妨设，则，故函数在上为增函数，因为函数为偶函数，故，由可得，可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.3．D【分析】讨论和两种情况，根据图像得到范围，得到答案.【详解】当时，，此时需满足，，故；当时，，此时需满足，，故；综上所述：.故选：D.4．A【分析】根据的图象上的点关于对称的点不在的图象上，可知A不正确；利用的奇偶性以及在上的单调性，可知在其定义域上单调递增，故B正确；求出函数的值域，可知C正确；求出函数的零点，可知D正确.【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，的图象关于原点对称，在的图象上取点，它关于对称的点不在的图象上，故A不正确；当时，为增函数，又为奇函数，且，所以在其定义域上单调递增，故B正确；当时，，又为奇函数，所以当时，，又，所以的值域为，故C正确；令，得，得，所以函数有且只有一个零点，故D正确.故选：A5．A【分析】由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由于函数是上的减函数，则函数在上为减函数，所以，对称轴，解得.且有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.6．D【分析】根已知条件求出的周期，根据周期性以及奇函数，结合已知条件即可求解.【详解】因为满足，所以，所以是周期为的函数，当时，，所以，又因为是奇函数，，故选：D.7．B【分析】根据函数的新定义得到且，结合函数和二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且值域为，即函数的最小值，最大值为，又由函数，当时，可得，要是函数满足新定义，则满足，即，所以，所以实数的取值范围是.故选：B.8．B【分析】由函数的单调性逐一判断即可求解【详解】对于A：在上单调递减，故A错误；对于B：在上单调递增，故B正确；对于C：在上单调递增，故C错误；对于D：在上单调递减，故D错误；故选：B9．B【分析】从所给函数的图象可以看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除D选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除A、C选项，从而可得正确答案．【详解】解：当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件；

由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，

∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小，∴A、C不满足条件，而B满足条件.

故选：B．10．C【分析】利用解析式结合函数图象逐项判断即可.【详解】解：对A，，为反比例函数在第一象限的图象，所以是单调递减，故A错误；对B，，该函数为开口向上，对称轴为，所以在上先减再增，故B错误；对C，，为单调递增的一次函数，故C正确；对D，，为单调递减的一次函数，故D错误.故选：C.11．C【分析】根据函数在区间上是增函数，可求得，再根据函数的奇偶性可得，从而可得出答案.【详解】解：因为f（x）在区间上是增函数，所以在区间上，，又因为函数为奇函数，所以，所以f（6）＋f（－3）的值为9.故选：C.12．B【分析】根据幂函数的性质判断可得；【详解】解：函数定义域为，且，故为奇函数，因为在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递减；故选：B13．B【分析】根据函数是偶函数，得到函数关于对称，结合函数对称性和单调性的关系进行转化判断即可．【详解】解：函数是偶函数，函数关于轴对称，即函数关于对称，函数在上是减函数，函数在上是增函数，故选：B．14．C【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C15．D【分析】讨论和两种情况，结合单调性以及奇偶性解不等式即可.【详解】当时，得出，因为在上是减函数，所以；当时，得出，因为在上是减函数，所以即的解集是或故选：D16．B【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A，因为函数的定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A不符题意；对于B，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，故B符合题意；对于C，函数的定义域为，，所以函数不是偶函数，故C不符题意；对于D，函数的定义域为，因为，所以函数不是偶函数，故D不符题意.故选：B.17．①②③【分析】由可得，由此可得函数为周期函数，①对，④错，由函数是奇函数确定函数的对称中心，判断②，根据偶函数的定义判断③.【详解】解：对于①：函数是周期函数且其周期为3.①对对于②：是奇函数其图象关于原点对称又函数的图象是由向左平移个单位长度得到.函数的图象关于点，对称，故②对.对于③：由②知，对于任意的，都有，用换，可得：对于任意的都成立.令，则，函数是偶函数，③对.对于④：偶函数的图象关于轴对称，在上不是单调函数，④不对.故答案为：①②③.18．【分析】根据题设命题为假命题，将问题转化为时有解，结合对应二次函数的性质求参数范围即可.【详解】由题设，使，则时，有解，令，开口向上且对称轴为，∴要使时，有解，则，解得.故答案为：19．##【分析】问题转化为函数与直线有三个不同交点，分作出函数图象，数形结合即可求解.【详解】,若函数有且仅有3个零点,则函数的图象与直线有三个不同的交点，，当且仅当时等号成立，当时，如图：即可，解得，当时,如图：即可，解得，综上，故答案为：20．①③④【分析】由函数的奇偶性与单调性可判断①②③，令，则有，从而可求出，进而求出，即可判断④【详解】因为定义在上的偶函数在上单调，且，，因为，所以在上单调递增，所以在上单调递减，故①正确；因为偶函数在上单调递增，所以时，，故②错误；偶函数在上单调递增，，，由可得，所以，解得或，故③正确；令，则，可化为，解得或，即或，所以或，解得或或或，关于的方程的解集中所有元素之和为，故④正确.故答案为：①③④21．3.【分析】将函数的图像画在一个坐标系中，根据题干知取该图中中靠上的部分就是的图像，在这个图像中找到最低点，最低点的纵坐标就是函数的最小值.【详解】根据题意在一个坐标系中画出两个函数的图像，得到图像如上图，取其中靠上的部分，即曲线，线段，曲线这三部分所构成的分段函数，就是的图像，再取这部分图像的最低点，由图知应该是点，该点的纵坐标即函数的最小值.联立或，由图知，代入函数表达式得到，即函数的最小值为3.故答案为：3.22．【分析】根据对，使得，由求解.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为4，当，即时，，因为对，使得，所以，解得，此时；当，即时，，因为对，使得，所以，解得，此时；当，即时，，因为对，使得，所以，解得，此时；综上：实数m的取值范围是，故答案为：23．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出函数的定义域,再由函数的单调性求得答案.【详解】由,得，又在上的增函数,在上也是增函数,

在上是增函数,

则函数的值域为故答案为:24．【分析】由题意可得，再根据单调性去掉，解不等式即可.【详解】因为，所以，因为函数在上单调递增，所以，可得，所以满足的实数的取值范围是，故答案为：.25．（1）；（2）最大值为0；（3）或.【分析】（1）利用偶函数的定义直接求解；（2）根据对称轴与定义区间位置关系，分类求解最小值，按分段函数形式写的解析式，作出分段函数的解析式，数形结合求最值即可；（3）先转化：在上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，再根据对称轴以及单调性列方程组，解得实数m的取值范围.【详解】（1）是偶函数，，即，解得：（2），二次函数对称轴为，开口向上①若，即，此时函数在区间上单调递增，所以最小值.②若，即，此时当时，函数最小，最小值.③若，即，此时函数在区间上单调递减，所以最小值.综上，作出分段函数的图像如下，由图可知，的最大值为0.（3）要使函数在上是单调增函数，则在上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，或，即或，解得或.所以实数m的取值范围是：或.【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.26．（1）奇函数，证明见解析；（2）单调增函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）先求函数的定义域，再判断与的关系，即可得到答案；（2）任取，作差判断与的大小关系；（3）利用（1）（2）结论将原不等式，利用单调性即可得到答案；【详解】（1）函数为奇函数.证明如下：∵定义域为R又∴为奇函数（2）函数在为单调增函数.证明如下：任取，则∵，∴，∴即故在上为增函数（3）由（1）､（2）可得，则解得：所以原不等式的解集为27．（1）；（2）在上的单调递增，证明见解析；（3）【分析】（1）由奇偶性的定义结合已知求解即可；（2）先判断，再用单调性的定义证明即可；（3）由函数的奇偶性与单调性求解即可（1）函数为定义在上的奇函数，时，.当时，，所以，所以时，求的解析式为；（2）在上的单调递增；证明：设，则，因为，所以，，即，所以在上的单调递增；（3）因为函数为定义在上的奇函数，且在上的单调递增，所以函数在上单调递增，由得，所以，解得，所以的取值范围是28．（1）（2）①；②【分析】（