广西2025-2026学年高二年级上册开学考试数学试题

广西南宁市第八中学2025-2026学年高二上学期开学考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知平面向量1=（4,-1）与石=（2,力共线，则旷=（）

2.已知复数2=如，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（

3.高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在［50,100］内，估计所

有参赛同学成绩的第75百分位数为（）

婶网也距

0.7a

06a

OM

0.2a

506070W)90100成绩分

C-85

4.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好闹成一个圆锥,

则圆锥的高为（）

试卷第II页，共33页

A,2x/3B.而C.屈D.2而

5.已知万=（_],（）,]）为直线力〃的一个方向向量，点40,2,-1），P（2,-l,2）,则点尸到直线

48的距离为（）.

A-4B.历C.3后D.加

6.若直线心（"2）x+y+l=0与直线4：2..（。+1）k2=0互相平行，则实数”的值为

（）

A.0B.1C.0或1D.0或-1

7.已知育线x-叩”?-1=0恒过点P,则过点尸并与直线x-2y+4=0垂直的百线方程为

（）

A.2x+y-3=0B.2x+y+1=0

C.x—2y+\=0D.2x—y+3=0

乱已知‘一力+3=。，则（八-2『十/的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

二、多选题

9.已知直线小_歹+亚=o,则（）

A.’的倾斜角为三

B./在y轴上的截距为公

C.原点到/的距离为1

试卷第21页，共33页

D./与坐标轴围成的三角形的面积为2

10.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品，大小质地完全相同，若从

中随机取出3支，则与事件“取出1支一等品和2支二等品”互斥的事件有()

A.取出的3支笔中，至少2支一等品B.取出的3支笔中，至多1支二等品

C.取出的3支笔中，既有一等品也有二等品D.取出的3支笔中，没有二等品

11.已知向量［豆=(2,-1,~4”配=(4,2,0)，/=(T,2,-1”则下列说法正确的是

().

A.网=20B,而，"

C.万是平面力3。的一个法向量D.万上万

三、填空题

12.过点尸(_2,1)且倾斜角为90。的直线方程为-

13.已知复数z=2+力i，且z.(l+2i)为纯虚数，则实数力=.

14.小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，，甲和

6

乙两本书都买的概率为则小王买乙书的概率为.

四、解答题

15.已知V45c的三个顶点是力(4,0)，8(2,4)，C(0,3)-

试卷第31页，共33页

(3)若V"8c为锐角三角形，求华£的范围.

b

试卷第51页，共33页

【广西南宁市第八中学2025-2026学年高二上学期J甲学考试数学试题》参考答案

一题号12345678910

答案CI)CDBAA1)ABCABD

题号11

答案BCD

1.c

【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可.

【详解】由，=(4T)与B=(2，用共线，则"=TX2,解得好一；

故选：C.

2.D

【分析】利用复数的除法化简复数z，利用共规复数的定义结合复数的概念判断可得出合

适的选项.

【详解】•.•z=^=^^^=U=，+2i，则Z

1-i(l-i)(l+i)22222

故z的虚部为-3.

2

故选：D.

3.C

【分析】先由长方形的面积和为1求出再由第75百分位数的定义求解；

【详解】因为2/10=1，所以a=0”

参赛成绩位于［50,80)内的频率为10x(0.01+0.015+0,035)=0.6，

第75百分位数在［80,90)内，

设为80+y，则0.03歹=0.15，

解得),=5,即第75百分位数为85,

答案第11页，共22页

故选：C.

4.D

【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得与A"*/,求得""8’进而由

h=病二7可求得圆锥的高.

【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为

设扇形半径为则有四R=2w,解得*=8,因此圆锥的母线长为"=8,

2

所以圆锥的高〃==

故选：D

5.B

【分析】根据点到直线的共离的向量求法计算可得结果.

【详解】•=（-1，3,-3）,故网=加，

-PA,万—2>/38

所以8""丽"而双"一而，

设直线4与直线力8所成角为。，

则cosO^cos力，方卜噜，可得sin。=

因此点P（2,7,2）到直线AB的距离为阳忖皿=Mx噜=如•

故选：B.

6.A

答案第21页，共22页

【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.

【详解】因为直线乙：(a-2)x+)，+l=0与直线/”2X-(。+1万-2=0互相平行，

所以有("2)[-(〃+l)]=lx2且伍-2)(-2)Hlx2,

解得a=0，

故选：A

7.A

【分析】根据恒过定点化简直线方程求出P(l,l)，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列

点斜式方程化简即可.

【详解】由工一加卜+小一1=0,Wx-1=w(y-l)»

直线x-my+〃?-1=0恒过点尸(1,1).

因为x-2y+4=0的斜率为1

所以所求直线的斜率为-2，其方程为卜-1=-2(》-1),即2x+y-3=()，

故选：A.

8.D

【分析】(工-2『+/可以看作是点(x,y)到点(2,0)的距离的平方；已知x-2y+3=0,那

么点(XJ)在直线、-2>'+3=°上，所以求的最小值，就是求点(2，°)到直线

x-2j，+3=()的距离的平方.

【详解】因为(X-2)2+)，2=Q(X-2)

答案第31页，共22页

所以问题可转化为求直线x-2y+3=0上的点(x,y)到点(2,0)的距离的最小值，

故求点(2，°)到直线、一2尸3=0的距离即可，因为距离”[2”23|_后

V1+4

所以(X-2)2+『=Q(x-2)2+y[=(6)2=5.

故选：D.

9.ABC

【分析】选项A,利用直线的倾斜角与斜率的关系求解：选项B,利用直线的截距求解即;

选项C,利用点到直线的距离公式求解；选项D,利用直线与坐标轴的围成面积求解即可.

【详解】选项A：直线的颈斜角为二,斜率I,则Iana。由。.°，兀)得a=二，故

4

选项A正确；

选项B：令工=0,则了=正,则/在歹轴上的截距为近，故选项B正确：

选项C：原点到的距离为"二,故选项C正确;

选项D：’与坐标轴围成的三角形的面枳为Ix&x收=1,故选项D错误.

2

故选：ABC.

10.ABD

【分析】根据互斥事件的定义逐项检验即可求解

【详解】对于A,事件”取出的3支笔中，至少2支一等品”包括2支一等品和1支二等品，

3支一等品两种结果，与事件“取出1支-等品和2支二等品”不能同时发生，它们是互斥

事件，故A正确；

对于B,事件”取出的3支笔中，至多1支二等品”包括2支一等品和1支二等品，3支一

答案第41页，共22页

等品两种结果，与事件”取出］支一等品和2支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，

故B正确：

对于C,事件“取出的3支笔中，既有一•等品也有二等品”包括1支一等品和2支二等品，

2支一等品和1支二等品两种结果，与事件”取出1支一等品和2支二等品”可能同时发生，

它们不是互斥事件，故C不正确；

对于D,事件”取出的3支笔中，没有二等品”指3支一等品，与事件“取出1支一等品和

2支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故D正确；

故选：ABD

11.BCD

【分析】先求出而，再结合模的坐标表示求解判断A：先求出前，再根据空间向量数量

积的坐标表示判断B：根据空间向量数量积的坐标表示判断D；结合施,"，而j,亦即

可判断C.

【详解】对于A,因为前="-万=(-3,3,3),所以网="3『+32+32=3性选项A

错误；

对于B,因为沅=刀—方=(2,3,4)，所以比./=-2+6-4=0，

则配选项已正确；

对于D,因为方=_2-2+4=0，所以下_!_»，选项D正确•

对于C,因为在_L万，而J.万，BCC/1B=B，且8cM8u平面48C，

所以亦是平面力4C的一个法向量，选项C正确.

答案第51页，共22页

故选：BCD.

/

⑵x=-2x+2=0

【分析】根据直线的倾斜侑及其所过点的坐标求出直线的方程.

【详解】由于过P的直线倾斜角为90。，即直线垂直于％轴，所以其直线方程为

x=-2.

故答案为：x=-2,

13.1

【分析】由已知计算得z.(l+2i)=(2-26)+(4+6)i,结合已知可得［2-26=0,求解即可.

4+力区0

【详解】因为复数z=2+bi，所以z.(l+2i)=(2+/)i)(l+2i)=(2-2b)+(4+b)i，

又"+2i)为纯虚数，所以12-26=0,解得b」

4+30

故答案为：「

14.2/0.75

4

【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式列出方程组即可.

【详解】设购买甲书的概率为购买乙书的概率为歹，

23

则由题意可得解得

1

故答案为不

答案第61页，共22页

15.⑴x+3y-9=0

【分析】（1）先求得＜8的中点，再利用两点式求解：

（2）根据直线4C与直线8。垂直，求得直线8。的方程，然后联立方程组求解.

【详解】（1）"'中点为（工2）,由直线两点式方程T=

2-33-0

故边AB上的中线所在直线的一般式方程为x+3y-9=0.

（2）由题意知，左=上口=—3,则垂线'。的斜率女=-_L=±,

任4-04”kAC3

故直线的方程为尸二（x-4）,即3X+”T2=0,

4

直线8。的方程为…=-2）,即4、-3），+4=0,

联立和50方程,3x+4jI2=。，解得垂足”4已］.

41-3)，+4=0155；

16.(1%=(2,2,0)或1=(-2,-2,0卜

（2）1

【分析】（1）根据条件可知，1二力而，结合向量共线的性质，结合模的公式，即可求解;

（2）根据三角形的顶点坐标，利用模长公式求边长以及夹角，最后代入三角形面积公式，

即可求解.

【详解】（1）由已知得荏=（0,2,1）=（1,1,0）•

因为1〃万，所以可设0=2荏，

答案第71页，共22页

所以同=14|次|="卜＞/1+1+0=夜林|=2啦,解得“二口,

所以g=2AB=(2,2,0)或工=-2AB=(-2,-2,0)*

(2)由题可得场=0,0,_2)，C5=(2,l,-2)»

所以|3|=42+0+(-2)2=后,同=衣+1+(-2)2=3,

26

所以必/R回FD⑻\_二CA^C^B二_尔6二

可

又停，处［0,让所以如河,闻=J1一混停,西=今

所以“叱的面积s」网.同sin@,闻」x指x3x立="

2252

17.（1）p（x=o）=L,p（y=i）=H.（2）H

42448

【解析】直接利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值.

【详解】解：（1）由题意可知尸（X=0）=（l_£jx（lT）x（l—j=；,

P(X=l)=gx(l

（2）设丫表示第一辆车遇到红灯的个数，z表示第二辆车遇到红灯的个数，

则所求事件的概率为

p（r+z=i）=p（y=o,z=i）+p（y=i,z=o）=p（y=o）p（z=i）+p（r=i）p（z=o）

iiiiiiii

=-XX-=f

42424448

答案第81页，共22页

所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为U.

48

【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，考杳计算能力，属于中档题.

18.⑴竭

⑵骞

【分析】（1）连接SM,作4C的中点M连接SN,根据面面垂直的性质定理得SN

是三棱锥S_/8C的高，再应用棱锥的体积公式求三棱锥M-BCS的体积；

（2）连接根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的

法向量，再应用向量法求夹角余弦值，进而得到其正弦值.

【详解】（1）如图，连接SW,MC,作力C的中点M连接陇，

△S4C是边长为4行的等边三角形，N是力。的中点，所以SN=6，SN工AC，

平面S/1C1平面力C8,平面平面力C8=/C，SA，u平面S1C，

根据面面垂直的性质定理知SN_L平面力4a所以SN是三棱锥s_48c的高，

由题意知：匕〜仃=-^c=-x-x-x4x4^x6=8^»

2232

故三棱锥M-BCS的体积为86•

（2）连接在△力。中，4CJL8C，MN//BC所以力

答案第91页，共22页

结合（1）易知SMMN,彳。两两垂直，建立空间直角坐标系N-kz，如图,

・・・426,0,0),8卜26,4,0),S(0,0,6),C(-2>^,0,0),

...格12石,4,-6),SC=(-273,0,-6),5^=(2>/3,0,-6),

设心（不必当），膜⑸%z?）分别是面4s反面CSB的法向量,

勺=(6,3,1)

%•SB--2\/3xl+4必-6Z]=0Z=1

7

则，则1

〃lSA-2x/3xt-6z)=0

n-SB=-2\/3X+4y2-6z=0zi==(-73,0,1)

222则‘'7

n.•SC--2\f3x2-6z,=0

所以〃一人=-2,同=而，同=2,

・・・成与第所成的角的余弦值为cos。=二==—姮.正弦值为=与区-

2V131313

故二面角/一SB-C的正弦值为噜.

19.⑴/!=］；

⑵5

⑶（亭+；,0+2）.

【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式求解.

（2）由余弦定理得4=（b+c）2-3bc，结合V/AC的周长，求得庆=4,再求出三角形的面

答案第101页，共22页

积.

（3）由正弦定理得空上:sin-+sinC,结合锐角三角形的条件及三角函数性质求出范围.

bsinB

【详解】（I）在V/IAC中，由H2-cos⑷=Wnsin3及正弦定理，得

b(2-cosA)=也bsinA'

^3W2=V3sin^+cosJ=2sin(J+—)»口flsin(4+，)=l,

66

k0加4<兀兀7%

而，即nil一<4+一<—'于是'+合,

666

所以

(2)由余弦定理/=b'+c2-2bccosA，得4=/>:+c2-he=(b+c)2-3bc，

由V”。周长为6,得〃+c=4,解得庆.=4,

所以V4'。的面积L^csin力。为4s