河北省某中学2024-2025学年高二年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

河北省枣强中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知函数〃x)=lnx-2Y的导函数为尸(外，则不等式(的解集为()

A.(-2,2)B.[-另)C.(。⑵口.(*)

2.有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉。(3,10)后，下列说法错误的是()

7-£(10,12)

•。(3,10)

-C(4,5)

.・仅2,4)

41,3)

Ox

A.残差平方和变小B.相关系数/•变大

C.决定系数店变大D.解释变量x与响应变量y的相关性变弱

3.投资A,B两种股票，每股收益的分布列如下表：

股票人收益分布列

收益X-202

概率0.10.30.6

股票4收益分布列

收益Y012

概率0.30.40.3

下列说法正确的是()

A.投资股票A的期望收益较小B.投资股票8的期望收益较小

C.投资股票4的风险比投资股票4的风险小D.投资股票4的风险比投资股票A的风

险小

4,若函数/(x)=or+cosx在(3，内)上单调递增，则实数”的取值范围是()

A.[1,+co)B.(0,-Ko)C.-)D.(-1,+co)

5.在一个不透明的容器中装7块形状相同的酥性饼干，其中2块是葱香饼干，2块是芝麻

饼干，3块是奶油饼干，每次从中任意抽取I块，抽出的饼干不再放回，则在第1次推到的

不是奶油饼干的条件下，第2次抽到的是奶油饼干的概率为（）

A.!B.-C.~D.一

4324

6.如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，口为下底边长的一半，一个侧面的

面积为12百，则该正四棱台的体积为（）

7.已知（2x+l）”=%+平+冢++一炉展开式中,只有第6项的二项式系数最大,则

40-4+°2一/+.•（）

A.-1024B.-1C.1D.1024

8.小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错倒扣1分，设他每道题

答对的概率均为〃（。<〃<1），且每道题答对与否相互独立，记小王答完3道题的总得分为X，

则当E（X）+O（X）取得最大值时，〃=（）

二、多选题

9.随着时代发展，我国新能源汽车逐渐火爆起来.卜表是2025年我国某市1~5月份新能

源汽车销最》（单位：干耦）与月份x的统计数据.

月份XI2345

销量）’55m68

现已求得y与X的经验回归方程为3=O.6X+4.2,贝I」（）

试卷第2页，共6页

A.〃z=6B.)，与x负相关

C.y与尤的样本相关系数一定小于1D.由已知数据可以分析，7月份该市新能源

汽车销量约为0.84万辆

10.函数/")=d和g(x)=e-的导函数分别为f\x)=ev和g'(x)=七、,若/“)="和

g(x)=eT在”=/处的切线分另IJ为乙，/2,则()

A.l\-L

B./,///2

C.卜4在工轴上的截距之差的绝对值为2

D.卜4在1轴上的截距之积的取值范围为［1,+8)

II.从申、乙、丙、丁4幺男牛和小红、小花、小欣3名女牛中诜派3人参加A,B,C活

动，且每项活动有且仅有1人参加，则()

A.共有210种不同的安排方法

B.若男生甲必须参加其中的一项活动，则共有120种不同的安排方法

C.若3人中必须既有男生又有女生，则有180种不同的安排方法

D.若小红必须参加且不能安排A活动，则有120和不同的安排方法

三、填空题

12.(2-3幻5的二项展开式中，产项的系数为.(用数字作答)

13.在三棱锥。一八8C中，PA_L平面==AC=2,BC=2四,点。为一，44内(包

含边界)一点，且如_LCD,则点。的轨迹的长度为.

14.甲、乙两个小朋友做游戏，游戏规则：用0,1两个数字从左往右排成一个五位数(允

许第一位为0,数字可重复使用)，若五位数中的1的个数比0的个数多，则甲胜，反之，

乙胜，胜方得2分，另一方得-1分，重复100次这样的游戏，甲得分的均值为.

四、解答题

15.2026中国演出交易会、呼和浩特市将接棒成都成为下一届主办城市、聚焦演出行业创

新与产业链合作.该活动是国内演出行业规模最大、影响力最强的品牌活动之一，预计吸引

(2)若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源

汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8,求这个人购买

的是新能源汽车的概率.

88

参考数据：=460,£衲=379.5.

r-l

£(七—初片一月

附：回归直线中9=b=---------,a=y-bx.

f(菁F

M

17.己知函数/(x)=ae4'-2(。-1)/“一4人.

(1)若〃=(),求f(x)在x=()处的切线方程；

(2)若aN0,求了⑶的单调区间;

⑶求八x)的极大值.

18.小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量

是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售

的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布.

⑴若随机变量g服从正态分布N(M/)，从g的所有取值中随机抽取〃亚2)个数据,

/2\

记这〃个数据的平均值为X,则随机变量X服从正态分布N•

k〃)

(i)若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质

量为丫，求P“W4940).

(ii)若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都

在(49(X),5100)内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概

率的角度说明小张举报该商店的理由.

⑵若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在

(4900,5200)内的箱数为Z，求Z的方差.(结果保留两位小数)

附：①若随机变量"服从上态分布N(〃,/)，则P(〃一卜。.6827,

P(/z-2cr<//<//+2<r)«0.9545,P(//-3cr<?;<//4-3。)«0.9973：

②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.

〜江“1-0.6827八，1-0.9545八八”.1-0.9973八~、，《

③参考数据：--------=0.1587,---------=0.02275,---------=0.00135,

222

0.6827x().3173»0.2166,().8186x().1814«0.1485

19.若存在正实数。，对任意xe。，使得〃工/(6工2〃，则称函数/6)在D上是一个“。一

有界函数

⑴已知函数〃力=乎在上是一个“〃一有界函数''，求〃的取值范围；

⑵证明：函数月("=匕学?在(0胃)上是一个[―有界函数”；

i]]]2/一〃

+++

(3)设证明：tan?0ton1n(nn>+:J>2〃+1•

2tan-3tan-//tan-

23n

试卷第6页，共6页

《河北省枣强中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题》参考答案

题号1234567891()

答案DDDACDCCACDAC

题号11

答案AC

1.D

【分析】求导,然后解分式不等式即可.

【详解】/(力的定义域为(0,+8),==

XX

1一4r八(A21r\

----->04r1一1v01

因为4>0,所以/'(">()=x，解得。〈人

„x>02

x>0

故选：D

2.D

【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况.

【详解】从散点图可分析出，若去掉。点，

则解释变量x与响应变量y的线性相关性变强，且是正相关，

所以相关系数一变大，决定系数R2变大，残差平方和变小，

故选：D.

3.D

【分析】根据表格求出两者的期望和方差，进而得到答案.

【详解】股票A收益X的期望为七(X)=-2x0.1+0x0.3+2x0.6=l,

方差为。(乂)=(-2-1八0.1+(0-1)，0.3+(2-1八0.6=1.8,

股票B收益Y的期望为曲丫)=0x0.3+1x04+2x0.3=1,

方差为。(y)=(O-1)、0.3+(1-1)10.4+(2-1)2又0.3=。.6,

所以E(x)=E(y),z)(x)>z)(y),

投资股票A的期望收益等于投资股票B的期望收益，

投资股票4的风险比投资股票A的风险小.

故选：D.

4.A

答案第1页，共12页

【分析】由导数与函数单调性的关系，建立不等式，根据正弦函数的值域，可得答案.

【详解】由/（力="+8",求导可得r（x）=a-sinx,由题意可得广（“知，

ftjsinxG[-l,l],则心1,

当。=1时，由/'（可没有变号零点，符合题意.

故选：A.

5.C

【分析】令事件A表示第1次抽到的不是奶油饼干，事件〃表示第2次抽到的是奶油饼干,

利用条件概率公式2（用力="詈即可求解•.

【详解】令事件A表示第1次抽到的不是奶油饼干，事件8表示第2次抽到的是奶油饼干,

2

-

44327I

/

-(X---

7\42

-

---7

767

故选：c.

6.D

【分析】检验所给定条件，结合正四楂台的结构特征求出正四极台的高扩底面边长，再利用

台体的体积公式计算得解.

【详解】设则A8=2a,正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为

正方形，

在四边形中，过点A/乍AELA8于点七，AE=；（〃-〃）《，则4公正。，

右2

S.叫A•*”=苧/=124，解得。=4，

在平面ACGA中，过点A作AF_L4C于点〃，则4户为正四棱台的高,

.且4F'=；x（8x/i-4夜）=2拉，因此/\.=1人H一4产=/6—8=2忘,

答案第2页，共12页

该正四楂台的体积为V=」(42+"短+8〉2人=生2.

33

故选：D

7.C

【分析】由题意先求〃，令工=-1即可求解.

【详解】由题意有第6项的二项式系数为C〉又只有第6项的二项式系数最大，所以g=5,

解得〃=10,

令x=-1有12x(—1)+1]=%—q+%—/++《0=(—1J=1，

故选：C.

8.C

【分析】设答对题的个数为y,由条件可得y~8(3,〃)，结合二项分布期望公式和方差公式

求E(y),D(r),根据关系X=3V-3,结合期望性质和方差性质求E(x),D(x),由此

可得E(x)+O(x)的解析式，再根据二次函数性质求结论.

【详解】设答对题的个数为y,由己知可得y~8(3,p),

所以E(y)=3p,D(y)=3p(i-p),

因为每道题答对得2分，答错倒扣1分，X为小王答完3道题的总得分，

所以X=2y-(3-y)=3Y-3,

所以E(X)=3E(Y)-3=9p-3,

D(X)=9D(y)=9x3p(l-p)=27p(1-p),

所以七(X)+O(X)=-27〃2+36〃-3=-27(p-g)+9,又O<P<1,

所以当p=：时，E(X)+D(X)取最大值，最大值为9.

故选：C.

9.ACD

【分析】求出依据回归方程求得亍，从而可求〃?，故可判断A,根据回归系数为正判断

B,求出相关系数判断C,求出预测值判断D.

答案第3页，共12页

1+2+3+4+5

【详解】由题设的数据可得工==3,故y=0.6x3+4.2=6,

5

5+5+〃?+6+8

故=6,故，〃=30—10—14=6,故A正确;

5

因为0.6〉0,故y与4正相关，故B错误;

而当x=7时，y=0.6x7-4.2=8.4,故7月份该市新能源汽车销量约为0.84万辆，故D正

确；

由表中数据可得£(%-对=10，£(乂一寸=1+1+1+0+4=7,

1=11=1

而2a-可2=i°，z&-工)(乂-力7,

r-lJ-I

ZU-^)(X-7)7

故「二昌；r故c正确；

JXU-x)

Vr=lV1=1

故选：ACD.

10.AC

【分析】AB选项，利用导数几何意义得到两直线的斜率，得到斜率之积为-1,A正确，B

错误；CD选项，求出两切线方程，得到在x轴上的截距，判断出C正确，D错误.

【详解】AB选项，4的斜率为r（A））=e"，t的斜率为g'1）=-e』,

所以尸(%)<(%)=«'°•(-€♦)=-/=-1,故A正确，B错误;

C选项，4的方程为）=e"令y=0得，x=x0-l,

，2的方程为）』ef=-6』（工一七），令y=0得，x=%+l,

故《，4在x轴上的截距之差的绝对值为K+1-（与-1）|=2,C正确；

D选项，心《在x轴上的截距之积为（3-1）（3+1）=片-IN-1,D错误.

故选：AC

11.AC

【分析】对于A将4名男生和3名女生安排3个人参加AbC活动，则有A；即可判断，对

于B先安排甲，再安排剩下的，利用分步计数原理即可求解，对于C既有男生又有女生则

有C；C；+C；C1再安排参加3项活动，根据分步计数原理即可判断，对于D先安排小红，

答案第4页，共12页

再安排剩下即可计算.

【详解】对于A：将4名男生和3名女生安排3个人参加人及。活动，则有A；=7x6x5=210,

故A正确；

对于B：若男生甲必须参加其中的一项活动，则先将甲安排一项活动有C；中排法，

再将剩卜.的2项活动安排给剩下的6人有A；,则共有C；A：=90种排法，故B错误：

对于C：若3人中必须既有男生又有女生，则有(C；C：+C；C)A；=30x6=180,故C正确；

对于D：小红必须参加且不能安排A活动，则安排小红参加民C活动中选一项有C；种排法,

剩下2项活动安排给剩下6个人，则有A；,所以共有C；A：=6()种排法，故D错误.

故选：AC.

12.720

【分析】写出二项展开式为通项公式，然后令r=2即可得解.

【详解】(2-3x)5的二项展开式的通项公式加=C；25-r.(-3A)z=(-3)r.25-rC；Z,

令r=2得(=(-3)2.CT=720/,/项的系数为720.

故答案为：720

13.沼乃

【分析】根据题意，证得AC_L平面八钻，得到AC/8D,由3£>_LC£>,证得AO_L8O,

得到点O落在以A8为直径的半圆上，结合圆的周长公式，即可求解.

【详解】因为PA_L平面48C,且ACu平面44C,所以~4_LAC

又由A8=AC=2.8C=2、E,可得A8?+AC2=3。2,所以AB/AC,

又因为P八=且广A48u平面附3,所以ACJ•平面以5,

因为4/)u平面FA4,所以

如图所示，连接82AD,若BD上CD,且81AC=C,且CDACu平面ACO,

所以BO_Z平面AC。，

又因为ADu平面AC。，所以

即在平面R3内，若AO_L8D,则比>_LCD,即点。落在以A8为直径的四分之一圆上，

因为AB=2,所以点。的机迹长度为兀x与=g.

答案第5页，共12页

14.50

【分析】方法一:由题意，甲获胜的次数服从二项分布以100,5人则甲获胜的次数的均值为

100x1=50,即可求得甲得分的均值；方法二：由题意，可求得甲获胜的概率尸(A)=g,进

而求出甲得分的均值.

【详解】方法一:根据题意，每个数位是“0”或的机会为等,

且事件“五位数中1的个数比。的个数多”与事件“五位数中0的个数比1的个数多”包含的样

本点个数相同,

因此甲胜的概率为重复100次这样的游戏，则甲获胜的次数服从二项分布

则甲获胜的次数的均值为100x,=50,因此甲得分的均值为2x50+(7)x50=50.

故答案为：50.

方法二：记“一次游戏中，甲获胜”为事件A,因为每个教位是“0”或“1”的概率均为

所以P(A)=C；x(£|*出+口出呜)+0出

故一次游戏中甲得分的均值为2x；+(T)x(l-；］=；,

重复100次这样的游戏，甲得分的均值为100xg=50.

故答案为：50.

15.(1)见解析

(2)在犯错概率不超过0.05的情况下，认为学生成绩优秀是否与性别没有关系

(3)分布列见解析；［

O

【分析】(1)根据题意完善列联表即可；

(2)计算卡方，根据独立性检验即可求解：

答案第6页，共12页

（3）利用分层抽样先求抽到的成绩优秀的男生和女生人数，再确定X的可能取值，求出对

应的概率，即可求解.

【详解】（1）由题意有

优秀不优秀合计

男生305080

女生5050100

合计80100180

⑵由⑴:然就。）々—

所以在犯错概率不超过0.05的情况下，认为学生成绩优秀是否与性别没有关系；

（3）由题意有成绩优秀的男生抽取人数为30x2Q=3人，女生抽取的人数为50、2Q=5人,

8080

所以X的可能取值为0,1,2,3,

所以「（、=。）*="（x=］）=署嘴唳=2)=等=京-3)爷吟

jZojZo

"+3，二二位

565628288

16.(I)y=0.64.r+1.52

(2)0.7

【分析】（1）由数据求得回归方程系数，即可求解;

（2）由全概率公式即可求解;

屋挣尸6,

【详解】(1)x==7,

3l=i

答案第7页，共12页

3”,-8x.y

379.5-8x7x643,5

由参考数据，；=V--------^0.64

460-8x7,一NT

Z—2

i=l

-A-435

所以4=），-"=6-3x7。1.52

68

故广告费投入y关于年销含量入的回归方程为），=0.64x+L52.

（2）设A="在甲汽车店购买汽车''，分=”在乙汽车店购买汽车”,

4=”购买的是新能源汽车”，

P（A）=P（修）=0.5,P（A：IA）=0.6,P（A2IB,）=0.8,

由全概率公式得，P（4）=P（A）P（4I4）+P（4）P（&IM）=0.5X0.6+0.5X0.8=（）.7.

17.（I）y=2

⑵答案见解析

⑶答案见解析

【分析】（1）由函数求导，利用导数的几何意义，求得斜率与切点坐标，根据点斜式方程,

可得答案；

（2）由函数求导，利用导数与函数单调性的关系，根据分类讨论，结合二次函数性质，可

得答案；

（3）由函数求导，利用极大值的判定条件，根据分类讨论，结合二次函数性质，可得答案

【详解】（1）由。=0,则〃x）=2e2'-4x,求导可得r（x）=4e2*-4,

所以函数/（x）在x=0处的切线斜率％=:（。）=。，/（0）=2,

故切线方程为）』2=0"-0）,化简可得y=2.

（2）由/（x）=ae4x_2（a_l）e2*_4x,求导可得/'（司=4，汜4'_4（。_1”2'_4,

化简可得了。）=4体筋+1）伊-1），

当4=0时，r（x）=4（e2'-l）,令r（x）=0得x=0,

由r（x）＜o得不＜（）,由r（x）＞。得x＞。，

所以函数/（X）在（y,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增；

答案第8页，共12页

当〃〉()时，令r(x)=o得x=o,由r(x)<o得xvo,由ra)>o得%>0,

所以函数/(1)在(3，。)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

综上可得

当.20时，函数/(X)的单调增区间为(0,+8),单调递减区间为(-8,0).

(3)由(2)可知当〃之0时，”丫)无极大值：

当代0时，由导数广(力=4(血2、1)e一1),则令/。)=0得x=-gln(F)或0,

当一1<〃<0时，即0<—In(-a),

由了'(X)<。得x<0或x>-gln(-〃)，由/,(^)>0^0<^<-^ln(-£z),

所以函数/(力的极大值为/1；ln(—a))=21n(—a)—5；

当。二一1时，即一;皿-司=0,则/'(力<0,函数“X)在R上单调递减，无极大值;

当av-1时，即一51n(-a]<0,

由/'(6<0得4>0或工〈一3111(-4),由/'(4)>0得一gin(-a)vxv。，

所以函数/(x)的极大值为/(。)=2-七

综上所述，当。=-1或。20时，函数/(X)无极大值；

2

当一1<〃<0时，函数“X)的极大值为21n(-4)-,；

当av-1时，函数/(%)的极大值为2-a.

18.(1)(i)0.00135；(ii)理由见解析；

(2)14.85.

【分析】(1)(i)根据已知y~N(5000,202),应用特殊区间的概率及正态分布的对称性求

P(r<4940)；(ii)根据(i)结果及已知小概率事件的定义得结论；

(2)设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为K,且K~N(5OOO,1(X)2),应用特殊区间的

概率求得P(4900<K<5200)=0.8186,进而有Z~8(10008186)并应用二项分布的方差公

式求方差.

答案第9页，共12页

【详解】(1)(i)依题意得，噤=400=20,所以y~N(5(X)O,2()2).

设〃=5000,0-,=20,因为P(〃-35<丫W〃+3历)a0.9973,

则?(y<4940)二尸(y45000-3x20)=—=0.00135；

(ii)由⑴得尸“44%0卜0.00135.

囚为小张计算出这25箱车果质量的平均值为4938.77克，且4938.77<4940,

所以0.00135<0.05,则小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件,

小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由.

(2)设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为K,则K~N(5OOO』O()2).

设〃=5000。=100,由4900=5000-100,5200=5000+2x100,

得P(4900<K<5200)=5000-100<K<5000+200)

~“r、0.6827+0.9545

=P(//-cr<K</.i+2。)x-------------=0n.o8i1o86r,

根据题意，得随机变量Z~8(100,0.8186),故。(Z)=100x0.8186x(l-0.8186卜14.85.

32

19.(1)[—,-]

2九n

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)利用导数判断函数〃力=乎在今微上的单调性，求得

2a>-

==j依题解不等式27t即得；

a<—

n

Z\--

jrI1

(2)由题意，将待证结论转化成需证“xe0,-时，1X2<1-COSX<^A-2",分别构造函数

〃?(工)=3£+8§1_],工《()，1)和函数女(刈=:/+8驮_]/{0弓)利用导数判断函数单

调性，完成证明：

2

(3)利用(2),可得当0<x<9时，cosx>I-匕且x>sinr,利用该结论，化简放缩得到

22

11112(\1)

蒜继而推出当〃GN*时，嬴r左二7〔罚一亦再利用

nn

裂项相消法即可得证.

答案第10页，共12页

【详解】⑴由函数小）=?在花上是一个“。一有界函数”,

,、Acosx-sinr../.

由/（x）=----------,令x=Acosx-sinx,

则〃'（x）=—Kiru<0,因此力（x）在上单调递减，

即rw<o,

因此/（X）在龙上单调递减，故