几何最值之费马点问题-2022年中考数学考点总复习

专题37几何最值之费马点问题

«方法技巧

问题分析

“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点,主要分为两种情况：

(I)当三角形三个内角都小于12()。的三角形，通常将某三角形绕点旋转6。度，从而将“不等三爪图''中

三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。

(2)当三角形有一个内角大于120。时，费马点就是此内角的顶点.

费马点问题解题的核心技巧：

旋转60。-＞构造等边二角形将“不等二爪图”中二条线段转化至同一直线上令利用两点之间线段最短

求解问题

模型展示：如图，在△ABC内部找到一点P,使得PA+PB+PC的值最小.

当点P满足NAPB=NBPC=NCPA=120。，则PA+PB+PC的值最小，P点称为三角形的费马点.

特别地，△ABC中，最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此时费马点就是最大角的顶点A

(这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°)

费马点的性质：

I.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为12()。。

最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。证明过程：

将AAPC边以A为顶点逆时针旋转60。，得到AQE,连接PQ,则△APQ为等边三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PO+PB+PC,当B、P、0、E四点共线时取得最小值BE

回题型精讲

B'C

【答案】6>/3

【详解】

将ABMN绕点、B顺时针旋转60度得到△BNE,ZMBN=ZCBE=60°,AMN=BM

VMC=NE/.AM+MB+CM=AM+MN+NE.当A、M、N、E四点夫线时取最小值AE.

故答案为66.

A、

D

M

BC

N

E

【例2】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点,

将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接EN、AM、CM.

(1)求证：AAMB^AENB：

(2)①当M点在何处时，AM+CM的值最小：

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由;

【答案】

(1)△AMB^AENB,证明略。

(2)①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小.

②连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时，

AM+BM+CM的值最小，图略

(3)41

【解析】解：⑴•二△ABE是等边三角形，

ABA=BE,ZABE=60°.

VZMBN=60°,

ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.

即NBMA=NNBE.

又・.・MB=NB,

r.AAMB^AENB(SAS)

⑵①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小

②如图，连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,

AM+BM+CM的值最小

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMBZ^ENB,

・・・AM=EN.

VZMBN=60°,MB=NB,

AABMN是等边三角形.

・・・BM=MN.

.•・AM+BM+CM=EN+MN+CM

根据“两点之间线段最短“，得EN+MN+CM=EC最短

・••当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长

⑶过E点作EF1BC交CB的延长线于F,

.,.ZEBF=90o-600=30o,

设正方形的边长为x,则BF=3X,EF=-.

22

在RSEFC中，

VEF2+FC2=EC2,

解得，x=V2(舍去负值).

・•・正方形的边长为行

M提分作业

1.如图，已知矩形/WCO,人8=4,BC=6,点、M为矩形内一点,点E为8C边上任意一点，则M4+MO+ME

的最小值为.

【分析】依然构造60。旋转，将三条折线段转化为•条直线段.

分别以4。、AM为边构造等边△A。尸、等边aAMG,连接FG,

易让△AMQgZ\AGE:.MD=GF

ME+MA+MD=ME+EG+GF

过F作FHLBC交BC于H点,线段切的长即为所求的最小值.

2.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且NABC=NABE=60。，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，

将AABG绕点B逆时针旋转60。得到△EBF,当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）

【答案】D

【详解】

解：如图，

•••将△ABG绕点B逆时针旋转60。得到△EBF,

/.BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

•••△BFG是等边三角形.

.\BF=BG=FG,.

，AG+BG+CG=FE+GF+CG.

根据“两点之间线段最短”，

・••当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，

过E点作EFXBC交CB的延长线于F,

.•.ZEBF=180°l20o=60°,

VBC=4,

・・・BF=2,EF=2g,在RSEFC中，

VEF^+FC^EC2,

：.EC=4y/3.

VZCBE=120°,

•••ZBEF=30°,

VZEBF=ZABG=30°,

AEF=BF=FG,

故选：D.

3.如图，已知矩形/WCQ,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点、E为BC边上任意一点，则M4+MO+ME

的最小值为______.

【解析】依然构造60。旋转，将三条折线段转化为一条直线段.

分别以AD、AM为边构造等边△ADF.等边△AMG,连接FG,

易证△AM。出△AGF,：.MD=GF

・•・ME+MA+MD=ME+EG+GF

If

8忆--------------^=^(7

【解析】如图，连接AC，把△AEC绕点。顺时针旋转60。，得到△GFC,连接E/、BG、AG,

可知AEFC、ZMGC都是等边三角形，则EF=CE.又FG二AE,

:・AE+BE+CE=BE+EF+FG.

•・•点8、点G为定点(G为点A绕C点顺时针旋转60。所得).

:.线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、〃两点都在8G上.

设正方形的边长为。，那么

5.已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。ZAGC=ZAGB=ZBGC=120°.

求证：GA+GB+GC的值最小.

【解析】证明：将ABGC逆时针旋转60。，5SGRDB.ro△CGB^ACPD；

・•・ZCPD=ZCGB=120°,CG=CRGB=PD.BC=DC,ZGCB=ZPCD.

■:ZGCP=60°,.\ZBCD=60°,AAGCPBCD都是等边三角形。

VZAGC=120°,ZCGP=60°.AA.G、P三点一线。

,/ZCPD=I2O°,ZCPG=60°.AG.P、D三点一线。

AAGsGP、PD三条线段同在一条直线上。

*/GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

・•・G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那•点

6.若点P为4人8。所在平面上一点，且/AP8=N8PC=/C弘=120。，则点P叫做△A8C的费马点.

(1)若。为锐角△A8C的费马点，且乙48c=60。，PA=3,PC=4,则P8的值为；

(2)如图，在锐角△ABC的外侧作等边△AC9,连结B所.求证：B夕过△A8C的费马点P,且89=以

+PB+PC.

A_______________

【解析】（1）VZPAB+ZPBA=1800-ZAPB=60°,ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

ZPAB=ZPBC,

又•:ZAPB=ZBPC=120°,AAABP^ABCP,

(2)设点。为锐角△ABC的费马点，即NAP4=N4PC=NCP4=120。

如图，把△ACP绕点C顺时针旋转60。到△夕CE,连结PE,则AEPC为正三角形.

V=ZAPC=120°,ZPEC=60°,,N8EC+NPEC=180。，即P、E、8'三点在同一一直线上,

VZBPC=120°,ZCPE=60°,ZBPC+NCPE=180°,即B、P、E三点在同一直线上

・•・3、F、E、B'四点在同一宜线上，即，ZT过A/WC的费马点P.

又PE=PC,B'E=PA,/.BB'=EB,+PBJi-PE=PA+PBJi-PC.

(1)如图1,将△ADE绕点D逆时针旋转90。得到△DCF,连接EF；

①把图形补充完整(无需写画法)；②求砂2的取值范围；

(2)如图2,求BE+AE+DE的最小值.

【详解】

(1)①如图△DCF即为所求;

②丁四边形ABCD是正方形,

・，・BC=AB=2&,ZB=90°,ZDAE=ZADC=45°,

■:AADE绕点D逆时针旋转90。得到△DCF,

AZDCF=ZDAE=45°,AE=CF,

・•・NECF=ZACD+ZDCF=90°,

设AE=CF=x,EF2=y,则EC=4-x,

Ay=(4-x)24-x2=2x2-8x4-l6(J(0<x<4).

即y=2(x-2)2+8,

V2>0,

・・・x=2时，y有最小值，最小值为8,

当x=4时，y最大值=16,

A8<EF2<16.

(2)如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60。得到4AFG,连接EG,DF.作FH