计数问题专项讲义：抽屉原理-小升初数学模块化思维提升

专题3抽屉原理

小升初数学模块化思维提升

（知识梳理+典题精讲+专项训练）

]

知拥梳理

1、抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至

少放有2个物体.

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以

下四种情况：

©4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0@4=2+1+1

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有

2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体.

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m,那么必有一个抽屉

至少有：

①个物体：当n不能被m整除时.

②1<=就■个物体：当n能被m整除时.

I

当观褊出，

【典例一】请你说明：在任意的25个人中，至少有3个人的属相相同。（属相，

又叫十二生肖，是中国与十二地支相配以人出生年份的十二种动物，包括鼠、牛、

虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。）

【分析】把12属相看作12个“抽屉”，把25人“看作物体的个数”，根据抽

屉原理可得：25+12=2-1（人），至少有2+1=3人的属相相同

【解答】解：一共有12个属相。

25+12=2（人）...1（人）

2+1=3（人）

故至少有3个人的属相相同。

【点评】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽

屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。

【典例二】把26个玩具放进抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放6个玩

具，那么最多有几个抽屉？为什么？

【分析】从最坏的情况开始讨论：假设每个抽屉里一个玩具，当放到21个抽屉

时，还剩5个玩具，然后把这5个玩具全部放在其中一个抽屉中，则符合：总有

一个抽屉至少放6个玩具.

【解答】解：假设每个抽屉里一个玩具，当放到21个抽屉时，还剩5个玩具，

然后把这5个玩具全部放在其中一个抽屉中

26-5=21（个）

答：最多有21个抽屉.

【点评】在此类抽屉问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况

下）.最多数应该从最坏的情况开始考虑.

【典例三】一排有20个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论

坐在何处，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少人就座？

【分析】因若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，则说明每三

个位的中间一定有一个人，再根据抽屉原理进行解答即可.

【解答】解：20+3=6（人）...2（个）

6+1=7（人）

答：原来至少有7人就坐.

【点评】本题的关犍是根据'若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他

相邻”可确定每三个位的中间一定有一人就坐，再根据抽屉原理解答.

I专项制称I

一.选择题（共8小题）

1.书店里有26名同学正在挑选书籍，每人只选购1本，有自然科学类、文化历

史类、艺术欣赏类、运动健康类四个种类，总有1类书至少有（）名同学选

购。

A.9B.8C.7D.6

【分析】每人只选购1本，有自然科学类、文化历史类、艺术欣赏类、运动健康

类四个种类，共有4种选法，看作4个抽屉，然后根据抽屉原理解答即可。

【解答】解：26+4=6（名）...2（名）

6+1=7（名）

答：总有1类书至少有7名同学选购。

故选：C。

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况

考虑。

2.运动会上，在5分钟投篮比赛中，六年（1）班的10名同学共投中了82个,

总有一名队员至少投中（）个球。

A.7B.8C.9D.10

【分析】将10名同学作为抽屉，将82个球放入抽屉中，利用抽屉原理最差情

况：要使每个抽屉里的个数最少，只要使每个抽屉里的元素数尽量平均分即可。

【解答】解：82+10=8（个）……2（个）

8+1=9（个）

答：总有一名队员至少投中9个球。

故选：C。

【点评】在此抽屉问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商十1（有余的情况下）。

3.把26条金鱼最多放进（）个鱼缸里，才能保证至少有一个鱼缸里不少于5

条金鱼。

A.4B.5C.6D.7

【分析】考虑最不利的情况，假设只有1个一个鱼缸里有5条金鱼，其它鱼缸里

都有4条金鱼，然后根据抽屉原理解答即可。

【点评】本题主要考查抽屉原理的应用。

6.把红、黄、绿3种颜色的球各5个放到一个袋子里。至少取()个球，可

以保证取到两个同色球。

A.3B.4C.5D.6

【分析】用球的颜色的种类加上1,即可求出至少取几个球，可以保证取到两个

同色球。

【解答】解：3+1=4(个)

答：至少取4个球，可以保证取到两个同色球。

故选：Bo

【点评】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算

即可。

7.下列说法正确的有［)个。

(1)用0、2、5、8四张数字卡片，可以组成9个不同的四位数。

(2)在0、2、5、8四张数字卡片中任意摸出一张，摸到偶数的可能性大。

(3)将0、2、5、8四张数字卡片分给三个小朋友，总有一个小朋友至少有2张。

(4)用0、2、5、8四张数字卡片，组成一个两位数乘两位数算式，积最大是

4100o

A.1B.2C.3D.4

【分析】(1)0不能在最高位，2、5、(8分)别在最高位，各能组成6个不同

的四位数，共6x3=18个不同的四位数，据此分析。

(2)整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此比较奇

数和偶数的个数即可。

(3)抽屉原则一：如果把(〃+1)个物体放在〃个抽屉里，那么必有一个抽屉中至

少放有2个物体。

(4)用0、2、5、8四张数字卡片，组成一个两位数乘两位数算式，两位数十位

上的数尽可能大一些，举例说明即可。

【解答】解：(1)2在千位：2058、2085、2508、2580、2805、2850,5和8在

千位也有6个不同的四位数。6x3=18(个)，用0、2、5、8四张数字卡片，可

以组成18个不同的四女数，原说法错误。

（2）在0、2、5、8四张数字卡片中，偶数有0、2、8,3个，奇数有1个，3>1,

任意摸出一张，摸到偶数的可能性大，说法正确。

（3）将0、2、5、8四张数字卡片分给三个小朋友，总有一个小朋友至少有2张，

说法正确。

（4）52x80=4160,用0、2、5、8四张数字卡片，组成一个两位数乘两位数算

式，积最大是4160,原说法错误。

说法正确的有2个。

故选：Bo

【点评】本题主要考查了抽屉原理，可能性的大小，乘法原理，最大与最小的知

识，要熟练掌握。

8.学校将新购置的40张束子分给6个班，总有一个班至少分得（）张荣子。

A.5B.60.7D.8

【分析】40张桌子分给6个班，那么6个班是抽屉数，总数除以抽屉数，根据

是否有余数做出选择。

【解答】解：40+6=6….・4

6+1=7（张）

答：总有一个班至少分得7张桌子。

故选：C。

【点评】本题考查的是抽屉原理，对于此类问题，首先要确定抽屉数和整数分别

是多少，然后用总数除以抽屉数，根据是否有余数进行判断。

二.填空题（共8小题）

9.箱子里有红色袜子、黄色袜子和蓝色袜子各6只，闭着眼睛至少摸出9只

袜子，才能保证有2双颜色不同的袜子。

【分析】根据题意，箱子里有红色袜子、黄色袜子和蓝色袜子各6只，运气最差

的情况为先摸出的6只都是同一种颜色的袜子，再摸出2只是另两种颜色的袜

子，此时已有一双颜色不同的袜子；再从箱子中任意摸出一只袜子，无论是哪种

颜色，一定会出现2双颜色不同的袜子。

［解答］解：6+2+1=9（只）

答：闭着眼睛至少摸出9只袜子，才能保证有2双颜色不同的袜子。

故答案为：90

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况

考虑。

10.一颗骰子的六个面上分别写着“1〜6”，掷一次，数字“2”朝上的可能性是

-:至少要掷次，才能保证掷出朝上的面的数字有重复的。

6-------

【分析】数字“2”只有一面，1+总面数=掷出数字“2”的可能性；考虑最差的

情况，掷出的前6次数字都不相同，再掷一次无论是几，都可保证掷出朝上的面

的数字有重复的；据此解答即可。

【解答】解：1+6=」

6

6+1=7（次）

答：掷一次，数字“2”朝上的可能性是1，至少要掷7次，才能保证掷出朝上

6

的面的数字有重复的。

故答案为：1,70

6

【点评】解决抽屉问题的关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的

量，然后依据抽屉原则进行计算。

11.把17条金鱼放入3个鱼缸时,总有一个鱼缸至少放了6条；小明班共

有52个同学，那么至少有个同学在同一个月过生日。

【分析】先用17除以6求出商，再结合余数即可确定有几个鱼缸；一年有12个

月，用52除以12求出商，再结合余数解答即可。

【解答】解：17+6=2（个）...5（条）

2+1=3（个）

答：把17条金鱼放入3个鱼缸时，总有一个鱼缸至少放了6条。

52+12=4（个）4（个）

4+1=5（个）

答：至少有5个同学在同一个月过生日。

故答案为：3;5o

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况

考虑。

12.将400张卡片分给若干个同学，每人都能分到，但都不超过11张，至少有

z个同学分到的卡片张数相同。

【分析】把1、2、3、……11,这11张卡片看作11个抽屉，把学生人数看作物

体的个数。如果每个抽屉都有一个物体，那么就需要1+2+3++11=66（个）物

体，即66张卡片，而400+66=6……4（张），每个抽屉里有6个物体，还余下4

个物体；这4个物体无论怎么放，都会有一个抽屉放（6+1）个物体；据此即可解

答。

【解答】解:1+2+3++11-66（个）

400+66=6......4（张）

6+1=7（个）

答：至少有7个同学分到的卡片张数相同。

故答案为：7o

【点评】解答考查了拈屉问题，解答的关键是把这11张卡片看作11个抽屉。

13.将红、黄、篮三种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，要保证取出的帽子至

少有两种颜色，至少应取出6顶帽子,要保证三种颜色都有，则至少应取出

顶；要保证取出的帽子中至少有两个是同色的，则至少应取出顶.

【分析】此题应从最极端的情况进行分析：①假设取出的前5顶都是同一种颜色

的帽子（把一种颜色的取完），再取一顶就一顶有两种颜色；②假设前10次取

出的是前两种颜色鹅帽子（把两种颜色的帽子取完），再取出一顶，只能是第三

种颜色中的一个；③把三种颜色看作三个抽屉，保证取出的帽子中至少有两个是

同色的，根据抽屉原理，应至少取出4顶.

【解答】解：①5+1=6（顶）；

②2x5+1=11（顶）；

③3+1=4（顶）；

答：要保证取出的帽子至少有两种颜色，至少应取出6顶帽子，要保证三种颜色

都有，则至少应取出11顶：要保证取出的帽子中至少有两个是同色的，则至少

应取出4顶；

故答案为:6,11,4.

【点评】此题属于抽屉原理，解答此题的关键是从极端的情况进行分析，通过分

析得出结论.

14.一个袋中有红、黄、篮三种颜色的球各3个（每个球的大小形状都一样），

每次至少摸出上一个球才能保证一定有两个相同颜色的球；如果这些球中只有

一个比较轻，其他的一样重，用天平至少称次就可以找到那个较轻的球。

【分析】把红、黄、蓝三种颜色看作3个抽屉，把红、黄、蓝三种颜色的球的个

数看作元素，从最不利情况考虑，红、黄、蓝三种颜色的球各取出1个，共取出

3个，那么再取一个，不论是什么颜色，总有一个球的颜色和它是同色的，所以

至少要摸出：3+1=4（个）；天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量

物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中

分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量较小。

【解答】解：3+1.=4（个）

将9个球分成3、3、3三组，

第一次：称量其中的两组，若天平平衡，则较轻的那个就在剩下的那组中，再需

一次就可以找出那个较轻的球：

若天平不平衡，则较轻的那个球就在天平托盘上升的那一端；

第二次：将较轻的那一组再分成1、1、1三组，称量其中的两组，即可以找出那

个较轻的球；

所以只需2次即可找出那个较轻的球。

答：每次至少摸出4个球才能保证一定有两个相同颜色的球；用天平至少称2次

就可以找到那个较轻的球。

故答案为：4,2O

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况

考虑。

15.据统计，某边境城市2023年出生的儿童共有370人，那么这一年出生的儿

童至少有2个人是同一天出生的。

【分析】要求至少有几个人是同一天出生的，先判断出2023年是平年，所以有

365天：然后用370除以365得1余5,1加1等于2：所以至少有2人同一天出

生。

【解答】解：2023+4=505……3,2023年是平年,所以有365天。

370-365=1（人）....5（人）

1+1=2（人）

答：这一年出生的儿童至少有2个人是同一天出生的。

故答案为：2o

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况

考虑。

16.“全城志愿”正成为阳新文明新风尚，“红星”志愿小队有25名队员、5个

小组长；那么队员中至少有3人是同一个月出生的.组长中至少有人

的性别是相同的。

【分析】把12个月份看作12个抽屉，把25名队员看作25个元素，那么每个抽

屉需要放25+12=2（个）......1（个），所以每个抽屉需要放2个，剩下的1个再

不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：2+1=3（个），所以，至少有3名队员在

同一个月出生，据此解答。把2种性别看做2个抽屉，5个小组长看做5个元素，

利用抽屉原理最差情况：要使性别相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽

量平均分，即可解答。

【解答】解：根据分析可得，

254-12=2（个）...1（人）

2+1=3（人）

5+2=2（个）……1（个）

2+1=3（个）

答：队员中至少有3人是同一个月出生的，组长中至少有3人的性别是相同的。

故答案为：3,3o

【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和

确定元素的总个数，然后根据“至少数=元素的总个数子抽屉的个数+1（有余数

的情况下）”解答。

三.应用题（共9小题）

17.李华家里存放了2022年全年的《人民日报》（每日一份报纸），如果他从

中任意取出13份报纸，那么至少有2份报纸是同一个月的。这种说法对吗？列

式计算说明理由。

【分析】把12个月看作12个抽屉，13份报纸看作13个元素，利用抽屉原理最

差情况：要使每个月份相同的报纸数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均即

可。

【解答】解：13+12=1（份）...1（份）

1+1=2（份）

答：这种说法对。

【点评】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽

屉原则进行计算。

18.把20个西瓜放进9个筐里，无论怎么放，总有一个筐里至少放了3个西瓜。

为什么？

【分析】有9个抽屉，把20个西瓜看作20个元素，那么每个抽屉需要放1个,

剩下的2个再不论怎么放，至少有一个抽屉放进3个，据此解答。

【解答】解:20+9=2（个）......2（个）

2+1=3（个）

所以总有一个筐里至少放了3个西瓜。

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况

考虑。

19.教室里有红、蓝两种颜色的塑料方髡，六甲班45名同学将凳子搬运出去，

每个人至少拿1张髡子，最多拿2张凳子。至少有多少名同学所拿的凳子颜色是

相同的？

【分析】在此类抽屉问题中，至少数=被分配的物体数除以抽屉数的商+1（有余

的情况下）。在本题中，被分配的物体数是45,抽屉数是5（红、蓝、红红、蓝

蓝、红蓝），据此计算即可。

【解答】解：45+5=9（名）

答：至少有9名同学朋拿的凳子颜色是相同的。

【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和

确定元素的总个数，然后根据“至少数=元素的总个数+抽屉的个数+1（有余数

的情况下）”解答。

20.停车场上有41辆客车，车的座位数不完全相同，最少的有25座，最多的有

44座，那么在这些客车中至少有几辆车的座位数是相同的？

【分析】因各种客车座位数不同，最少有25座，最多有44座，先用“44-25+1”

求出不同座位数量是20,求在这些客车中至少有几辆座位数相同，即求40里面

有几个20,40+20=2,则至少2辆车的位数相同。

【解答】解：40+（44-25+1）

=40・20

=2（辆）

答：至少有2辆车的座位数是相同的。

【点评】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关犍是找出把谁看作“抽

屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。

21.宁宁到舅劈家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的

水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中

柚子的个数是菠萝的2倍。随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种

水果各有几个吗？”

【分析】根据最不利原则，随便拿出4个，其中至少有1个苹果，那么不是苹果

的水果有3个。据此求出苹果的个数。再根据柚子的个数是菠萝的2倍，根据和

倍公式计算即可。

【解答】解：苹果有：12-3=9（个）

菠萝有：3+（1+2）

=3・3

=1（个）

柚子有：3-1=2（个）

答：柚子有2个，菠萝有1个，苹果有9个。

【点评】此题考查了利用抽屉原理和和信公式解决问题。

22.一个袋子中有三种不同颜色的球共20个，其中红球7个，黄球5个，绿球

8个。现在阿奇闭着眼睛从中取球，要保证有一种颜色的球不少于4个，则至少

要取出多少个球才能满足要求？如果还要保证另一种颜色的球不少于3个，则最

少要取出多少个球？

【分析】（1）从最极端情况考虑：假设取出的三种颜色的球各3个，共9个，

这时再取出任意颜色的一个球，都能保证有一种颜色的球不少于4个。

（2）从最极端情况考虑：要保证另一种颜色的球不少于3个，假设先取出2个

黄球，又取出2个红球和2个黄球，再摸一个，就能保证另一种颜色的球不少于

3个；据此解答即可。

【解答】解：（1）3+3+3+I

=9+1

=10（个）

答：要保证有一种颜色的球不少于4个，则至少要取出10个球才能满足要求。

（2）2+2x24-1

=2+4+1

=7（个）

答：如果还要保证另一种颜色的球不少于3个，则最少要取出7个球。

【点评】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用，应从最极端情况进行分

析。

23.希望小学六年级准备开展“中华好诗词”活动，六（1）班有45名学生，男、

女生的人数比是3:2。从中随机选取，至少选出多少人才能保证选出的学生中男、

女生都有？

【分析】先根据男、女生人数比是3:2,可得男生占总人数的二用乘法得出

3+2

男生人数为27人，再求出女生人数为18人。建立抽屉，因为男女生分别为27

人、18人，可以看作27个抽屉，把男女生共45人看作元素，要保证选出的人

中男、女生都有，根掂抽屉原则，要每个抽屉里先选一个即27个同性别的，然

后再选一个，无论放在那一个抽屉里，就可以保证选出的人中有男生、女生；即

至少要选取27+1=281人）才能保证选出的人中男生、女生都有。由此解答。

【解答】解：男生人数：45x3

3+2

=4“5x-3

5

=27（人）

女生人数：45乂二一

3+2

=45x-

5

-18（人）

27+1=28（人）

答：至少选出28人才能保证选出的学生中男、女生都有。

【点评】此题考查抽屉原理的应用。

24.一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各有12条，从中任意捞金鱼。

（1）至少要捞多少条金鱼，才能保证一定有3条金鱼的花色是相同的？

（2）至少要捞多少条金鱼，才能保证一定有3条花色不同的金鱼？