函数的概念及其表示（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（人教A版必修第一册）原卷版

第09讲函数的概念及其表示

【人教A版2019】

■内首航

思维导图

「模块一：函数的概念

「题型1函数的概念的理解

一题型2求函数的定义域

♦题型3求函数的值域

函数的概念及其表示

一题型4由函数的定义域或值域求参数

提升•必考题型归纳--题型5求函数值或由函数值求参

一题型6判断两个函数是否相等

一题型7函数的表示法

一题型8函数解析式的求解

I题型9分段函数

J课后作业（19题）

思维导图

概念：一般地，设48是非空的实数集，如果对于集合H中的任意一个

数按照某种确定的对应关系/：在集合3中都有唯一确定的数r和它对

应，那么就稠•：d-3为从集合.倒集合8的一个函数，记作1寸x),

函数的概念函数的四个特征①非空性；②｛王意性；③单值性；④方向性

(1)定义域；(2)值域；(3)对应关系

函数的概念函数的三要素

数

(D求给定解析式的函数定义域的方法；(2)求抽象函数定义域的方法

的

I函数的定义域求函数值域的一般方法：(1)分离常数法；(2)配方法；(3不等式法；(4)

与值域单调性法；⑸换元法；(6激形结合法

概

念定义：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数

及

其

表

示

模块一函数的概念

知识梳理

1.函数的概念

(1)一般地，设4,8是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数X,按照某种确定的对应关系

f在集合B中都有唯一确定的数)，和它对应,那么就称££2为从集合4到集合B的一个函数(funciion),

记作)=7"),x^A.

(2)函数的四个特征：

①非空性：A，8必须为非空数集,定义域或值域为空集的函数是不存在的.

②任意性：即定义域中的每二企元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯二的函数值与之对应.

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系,如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定

的关系就不一定是函数关系.

2.函数的三要素

(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围.

(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合伏x)|x£A｝叫做函数的值域(range).

(3)对应关系：对应关系/是函数的核心，它是对自变量％实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.

3.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等

式或不等式组求解：对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

4.求抽象函数定义域的方法

⑴若已知函数兀力的定义域为S⑼，则复合函数/［以刈的定义域可由不等式。身⑴劭求出.

(2)若已知函数力8(*)］的定义域为［“用，则«r)的定义域为矶丫)在—上的值域.

5.求函数值域的一般方法

(1)分离常数法;

(2)配方法;

(3)不等式法；

(4)单调性法；

(5)换元法；

(6)数形结合法.

题型归纳

【题型1函数的概念的理解】

【例1】(24-25而一上•货州贵阳•阶段练习)下列从集合A到集合8的对应关系，其中J，是x的函数

的是()

A.A=B=R,对应关系=(

B.A=B=R,对应关系/:%fy=2x

C.A=B=R,对应关系/:无7y=±x

D.A=B=N,对应关系=；

【变式1.2](24-25高一上•山东潍坊•期中)已知集合4={-1,1,2},B={-1，,1,2,4卜若％€A,yEB,

则下列对应关系为力上的一个函数的是()

A.y=x+1B.y-C.y=x2+1D.y=2X

【变式1.3](24-25高一上.山西大同•期中)下列关于％,y的关系中，y是'的函数的是()

A.y=Vx-34-V2-x

A.[—3,6]B.[-2,6]C.[2,10]D.[1,10]

【变式3.3】(24-25高一上•江西•阶段练习)函数/•(%)=我式中-五一代i的值域为()

A.[-^,-1]B.[V2,2]C.[-V2,2]D.[-1，-^2]

【题型4由函数的定义域或值域求参数】

L」【例4】(23-24高一上.江西宜春.阶段练习)已知函数/(父)=7aX?一2QX+1的定义域为R,则实数

Q的取值范围是()

A.(0,1]B.(0,+8)C.[1,十8)D.[0,1]

【变式4.1](24-25高一下•广东梅州•期中)已知函数/'⑺=：/一%+5在[科用上的值域为[4科4川，则

m4-n=()

A.4B.5C.8D.10

【变式4.2](24-25高一上・江苏常州•期中)若函数/(幻=导=的定义域为R,则实数A的取值范围是

'Vkx2+icx+l

()

A.(0,4)B.(0,4]C.[0,4)D.kV0或k>4

【变式4.3](24-25高一上•四川广安•期中)若函数f。)=,22—mx+3的值域为[0,+8),则实数小的

取值范围是()

A.(-8,-2网B.(-oo,-2V6]U[2V6,4-co)

C.[-2V6,2A/6]D.[2A/6,+00)

【题型5求函数值或由函数值求参】

【例5】(24-25高一上・江西宜春•阶段练习)已知函数/(2义+3)=/-工+。，且/(5)=3,则。=

()

A.3B.-3C.17D.-17

【变式5.1](24-25高一上•陕西西安•期中)已知函数fa+l)=M-3%+5,则/'(3)=()

A.9B.7C.5D.3

【变式5.2](24-25高一上•全国•课后作业)已知函数/'(%-1)=乎，f(rn)=1,则m=()

A.-1或3B.1或3C.-1D.3

(变式5.3](24-25高一上•安徽合把•阶段练习)已知函数/'(%)的定义域为R,且/Xx)=x3/(1)(xe(-00,0)U

(。，+8)),/(x)+/(y)-2xy=/(x+y),则f(4)的值是()

A.-20B.-16C.-12D.-10

模块二、\函数的相等]]

知识梳理

1.函数的相等

同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相篁，即是同一个函数.

2.区间的概念

设小人是两个实数，而且我们规定：

（1）满足不等式。4x4b的实数x的集合叫做闭区间,表示为他⑸：

（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为（a份：

（3）满足不等式aSx<〃或a<XS〃的实数A的集所叫做半开半闭区间,分别表示为[%〃）、（&〃].

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.

题型归纳

【题型6判断两个函数是否相等】

童J【例6】（24-25面一上•四UI泸州•阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（）

A.、=土与〉=岩B-、=%与丫=；

,2

C.y=|x|与y=D.y=|x|与y=（4）

【变式6.1]（24-25高一上•内蒙古包头•期中）下列各组中的两个函数是同一函数的是（）

7

①yi="C）,y2=x-S；②/（x）=X,g（x）=Vx；

2

③h(x)=x,m(x)=Vx^；®/i(x)=(V2x-5),f2W=2%-5.

A.®®B.②③C.(3)D.@®

【变式6.2]（24-25高一上•陕西渭南•期中）下列选项中表示同一函数的是（）

A.f(t)=H与g(%)=1

B./(幻=x+2与g(x)=A

尸，x>o仁，to

C.fW=与g⑴=iti

1—1>x<0(1,C=0

D.f(x)=J(x-2024/与g(x)=x_2024

【变式6.3](24-25高一上•江苏盐城•阶段练习)下列各组函数中，表示同一函数的为()

A./(x)=2x2,g(x)=*B.f(x)=72x+2025,g(x)=|2%+2025|

C.fM=gW=D./(x)=5x,g(x)=A/5%2

模块三N函数的表示法

知识梳理

1.函数的表示法

函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.

(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系：

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；

(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

2.抽象函数与复合函数

(1)抽象函数的概念；没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数.

(2)复合函数的概念：若函数"次。的定义域为A,函数的定义域为。，值域为C,则当CGA时，

称函数度口⑴)为川)与g(x)在。上的复合函数，其中，叫做中间变量，/=g(x)叫做内层函数，产小)叫做处

层函数.

题型归纳

【题型7函数的表示法】

[例7](24-25高一上•广东东莞•期中)已知力=(%I0$%$2},8={y|I£y£2},下列图象能

表示以4为定义域，B为值域的函数的是(

【变式7.1](24-25高一」二•贵州遵义♦阶段练习)面积为S的长方形的某边长度为％,则该长方形的周长L与

工的函数关系为()

A.A=x+^(%>0)B.L=x+^(0<x<S)

C.乙=2x+亍(x>0)D.L=2x+y(d<x<S)

【变式7.2X24-25高一上•广东佛山•期中)已知函数/'(%)、g(x)列表法表示如下，则下列说法正确的是()

X1234

fM2341

X।234

gW2413

A./(/(D)=4B.g(g(D)=1

C.f(g(l))=3D.g(/'(1))=2

【变式7.3]（24-25高一上•全国•课后作业）某同学坐公交车去上学，出发一段时间后他妈妈发现他忘记带

文具盒，于是开车去追，在公交换乘时追上他，把文具盒交给他后便开车回家，忽略两人见面的时间，以

下哪个图象表示随着时间变化两人之间距离的变化（）

个两人之间的距向

上两人之间的距面

【题型8函数解析式的求解】

【例81（24-25高一上•全国•课后作业）若/'（X）是一次函数，2/（2）-3/（1）=5,2/（0）-/（-I）=1,

则f(%)=()

A.3%+2B.3x-2C.2x+3D.2x—3

【变式8.1](24-25高一上•云南文山•期中)已知函数2,则/(%)的解析式为()

A.f(x)=x2-2x—1B.f(x)=x2-2(xH0)

C.f(x)=x2—2x—3(x*1)D.f(x)=x2—2x—l(x工1)

【变式8.2](24-25高一上•福建福州•期中)若函数f(%)是二次函数,满足/(0)=2,f(x+2)-f(x)=4x,

则f(%)=()

A.x2+x+2B.x2-2x+2C.x2-x+2D.x2+2x+2

【变式8.3]（24-25高一上•湖北•阶段练习）已知/"（号3=詈，则/（%）=（）

A.2x—3(%W0)B.2%一3(%W2)

C.2x+3(x*0)D.2x+3(%*2)

【题型9分段函数】

【例】35高一上・江苏南通・阶段练习）设/⑺=｛绥；幡巳；。叫则/⑼的值为（

LJ9)

A.9B.11C.28D.14

【变式9.1]（24-25高一上•山西太原•阶段练习）函数/（%）=e2-1'”£，:：个的定义域为（）

（X.xG[0,2}

A.0B.{x|-l<x<2}C.{-1,04,2}D.{-1,0,1}

【变式9.2]（24・25高一上•广东广州•期中）已知函数八乃=].；%；*/],则/■[/《）]的值为（）

A.-B.-C.-D.--

2222

2TClY1

【变式9.3]（24-25高一上・江苏•期中）已知实数QH0,函数/'（幻=''.若/（I一a）=

.-x-2a,x>1

/（l+2a）,则a的值为（）

A.1B.--C.-1D.二或一1

22

课后作业（19题）

一、单选题

I.（24-25高一上•陕西渭南•阶段练习）函数/•（%）=JE+士的定义域是（）

A.(-co,-1)B.(1,4-co)C.[-1,4-00)D.[-l,l)U(l,+8)

2.（24-25高一上•江西赣州•开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（）

A./a)=：,g(x)=.B./(%)=M,gW=｛；氏°0

C.f(x)=l,gW=x°D./(X)=/,gQ)=(x+1)

2X-3

3.（24-25高一上•黑龙江哈尔滨•期中）函数/（%）=的值域（）

3x+l

A・（-喝）呜+8）B•(-8,|)U(|,+8)

C.（一叫皿一2）D-(一8彳)陷+8)

霁鹫箕=则3=（）

4.（24-25高一上•浙江杭州•期中）已知函数/"（%）=

A.21B.-3C.-21D.3

5.(24-25高一上•辽宁鞍山•期中)已知函数/Ct+1)的定义域为[—1,3],则/(7)的定义域为()

A.[-2,2]B.[0,4]C.[1,9]D.[0,8]

6.(24-25高一上•福建福州•期中)若函数/(%)是二次函数,满足f(0)=2,f(x+2)-/(%)=4x,则f(%)=

()

A.x2+x+2B.x2—2x+2C.x2—x+2D.x24-2x4-2

7.（24-25高•上・安徽合肥•阶段练习）已知函数f（x）的定义域为R,且f*）=x"C）（xe（一叫。）U（0,+co））,

fix')+/(y)-2xy=f(x+y),则f(4)的值是()

A.-20B.-16C.-12D.-10

8.(24-25高一上.湖北省直辖县级单位.阶段练习)已知/"(4+1)="+3,则f(x+l)的解析式为().

A.x+4(x>0)B.x2+3(x>0)

C.X2-2X+4(X>1)D.x2+3(x>1)

二、多选题

9.(24-25高一上•陕西渭南•阶段练习)下列四个曲线中，可以作为函数图象的有()

10.(24-25高一上•陕西西安•期中)下列各组函数中，表示同一个函数的是()

A./(x)=x+1,g{x)=Vx24-2x4-1B./(x)=%24-1,g(x)=Vx4+2x24-1

C./(x)=x2-x+1,g(t)=d_「+ID./(%)=%,^(r)=Vx^

II.(24-25高一上•吉林通化•阶段练习)下列说法正确的是()

A.函数八%+